мультиагентная модель финансового рынка

1. Предсказание кризисных ситуаций на
финансовых рынках на основе
мультифрактального и вейвлет
анализа
Российская экономическая академия
им. Г.В. Плеханова
Романов В.П., Бачинин Ю.Г., Московой И.Н., Бадина М.В.

2. Введение
 Предсказание кризисных ситуаций на финансовых
рынках является сложной задачей из-за
нелинейной структуры процессов. Это не
позволяет нам эффективно использовать такие
известные методы как ARIMA или MACD ввиду их
инерционности.
 Эффективность методов мультифрактального и
вейвлет анализа основана на том факте, что они
используют фрактальные свойства временных
рядов, которые существенно различаются в
«нормальных» и «кризисных» условиях

3. b) Американский индекс Доу
a) Изменение курса доллара за Джонса для Чёрного
период 01.08.1997-01.11.1999 Понедельника 1987 на период
(период дефолта в России) 17.10.1986-31.12.1987

4. d) RTSI 07.10.1999 -06.10.2008
с) Dow Jones Industrial
07.10.1999 -06.10.2008
e) Nasdaq 07.10.1999 -06.10.2008

5. Падение индексов DJI, RTS.RS, NASDAQ,
S&P 500 в период кризиса
1 месяц 3 месяца 6 месяцев
Сентябрь 15,2008 – Октябрь 17, 2008 Июль 17,2008 – Октябрь 17, 2008 Апрель 17,2008 – Октябрь 17, 2008
Обвал на фондовых биржах аналитики Инвесторы опасаются, что принятый В том числе, азиатские фондовые
связывают с негативным внешним план объемом $700 млрд., который индексы обвалились до минимума
фоном. Американские индексы предполагает выкуп у банков более чем за три года.
завершили неделю 29.09 – 6.09 неликвидных активов, не сможет Негативные новости не оставили
падением, несмотря на то, что улучшить ситуацию на кредитном российскому рынку выбора - он
Конгресс США одобрил план по рынке и предотвратить падение в начал стремительно падать.
спасению экономики. экономике страны.

6.  Гипотеза эффективного рынка (EMH) говорит о том, что цена
финансового актива отражает всю доступную публичную
информацию и реагирует только на неожиданные новости. Если
это так, невозможно для инвестора предсказать, будут ли цены
расти или падать.
 Модель CAPM (The Capital Assets Pricing Model ) связывает
процент доходности актива с уровнем риска. Ожидаемый доход
от более волатильных ценных бумаг выше, однако дисперсия
дохода также выше. Модель CAPM предполагает, что инвесторы
склонны к риску, т. е. что они предпочтут инвестиции с большим
уровнем риска, если они обещают более высокий доход.
 APT (арбитражная ценовая теория) является альтернативой
CAPM. APT не накладывает ограничений на распределение
функции полезности или доходности ценных бумаг.

7. Гипотеза эффективного рынка против
гипотезы фрактального рынка
Гипотеза эффективного Гипотеза фрактального рынка
рынка (EMH)
 Цены проявляют лептоэксцессное
 Гауссовское предположение распределение (“толстые хвосты”)
нормального распределение  Картина динамики изменения цен
цен одинакова для отрезка времени в
 Слабая форма EMH с чисто день, неделю, месяц (фрактальная
случайным распределением структура)
цен подвергается критике  Уменьшение надежности
 Полусильная форма ЕMH, в предсказания с увеличением его
которой вся доступная периода
информация отражается в  Цены проявляют
ценах, используется кратковременную и
профессионалами долговременную корреляцию и
 Изменение цен в тренды (эффект обратной связи)
долгосрочной перспективе не  Хаотическая активность рынка при
проявляет наличие «памяти» некоторых условиях (критические
уровни)

8. Определение фрактала
 Фракталы – это математические объекты, которые
проявляют самоподобие, таким образом, что части объекта
каким-то образом подобны целому.
 Второе свойство, которое характеризует фракталы, это
дробная размерность.
Слово фрактал произошло от fractional values - дробные
величины, которые может принимать размерность
фрактальных объектов
 Фракталы могут порождаться применением Итерируемой
Системы Функций.
 Изображение, которое является единственной неподвижной
точкой ИСФ, называется аттрактором

9. Хаос и динамика финансового рынка
 Рыночные цены стремятся к
уровню естественного
равновесия в пределах
диапазона цен
 Эти уровни или диапазоны
могут быть описаны как
«аттракторы»
 Однако данные в пределах
этих диапазонов остаются
случайными

10. Типы аттракторов
Точечные аттракторы
• Простейшая форма аттрактора. Теоретически
совместима с равновесием спроса и
предложения в экономике или с рыночным
равновесием
Аттракторы предельного цикла
• Представляют рыночную волатильность
относительно равновесия или “маркет-шум”
Странные или фрактальные аттракторы
• Отображает множественные колебания
различной амплитуды, которые содержатся
внутри множества аттрактора предельного
цикла, называемого «фазовым пространством».

11. Треугольник Серпинского

12. Примеры фракталов

13. Другие примеры фракталов

14. Фрактальные аттракторы и
финансовые рынки
 Акции и фьючерсы –
классические примеры
ценных бумаг. Прибыль от
покупки и продажи сравнима
с колебаниями маятника
 Каждая ценная бумага или
фьючерсный контракт
располагаются в своем
собственном фазовом
пространстве
 Долгосрочное
прогнозирование сильно
зависит от точности
измерения начальных
условий рынка

15. Фракталы на рынке капитала
 Финансовый рынок описывается
нелинейной функцией
активности трейдеров
 Традиционные методы
технического анализа
базируются на линейных
уравнениях и евклидовой
геометрии и неадекватны
 Рыночные переходы роста и
спада являются нелинейными
 Методы технического анализа
являются плохими
индикаторами взаимосвязи
тренда и трейдинговых решений
 Фракталы позволяют описывать
такие явления, которые не
описываются в евклидовой
геометрии

16. Мультифрактал
Стохастический процесс {x(t)} называется мультифрактальным, если
он имеет стационарные приращения и удовлетворяет условию
τ ( q ) −1
E (| xl + ∆l − xl | ) = c(q)(,∆l )
q
где c(q) – предиктор, E-оператор математического ожидания, t ∈ B,
q ∈ Q – интервалы на вещественной оси. Скейлинг-функция τ (q )
принимает во внимание влияние времени на моменты q

17. Определение индекса фрактальной
размерности
 Фрактальная размерность объекта (FDI): ln( N A (1 / n))
d = lim
n →∞ ln(n)
 NS(1/2n)– число блоков с длиной стороны 1/2n, которое
необходимо, чтобы покрыть S – треугольник Серпинского.
ln(3n ) ln(3)
d s = lim = = 1,58
n → ∞ ln( 2 n ) ln(2)
 Где NA (1/n) –число блоков с длиной стороны, равной 1/n,
необходимое для того, чтобы покрыть множество А.
Фрактальное
Множество
А

18. Индекс фрактальной размерности
 Определяет персистентность или
антиперсистентность рынка
 Персистентный рынок слабо колеблется
относительно рыночного тренда
 Антиперсистентный рынок проявляет
существенную волатильность относительно
тренда
 Антиперсистентный рынок имеет более
изрезанный ценовой график и более часто
проявляет изменение тенденций

19. Техника предсказания
кризисных ситуаций
 Поскольку нашей целью является предсказание
кризисных ситуаций, мы пытаемся вначале выяснить
лучший индикатор, используя методологии
мультифрактального и вейвлет анализа.
 Далее мы тестируем различные виды предварительной
обработки оригинального временного ряда, чтобы
обнаружить лучший индикатор.

20. Экспонента Хёрста
xt = ln z t +1 − ln z t , t = 1,..., T В зависимости от значения
экспоненты Хёрста свойства
t
1 τ
x(t ,τ ) = ∑ ( xu − xτ ) , xτ = ∑ xτ
процесса различают следующим
образом:
u =1 τ t =1
•При H=0,5 имеет место процесс
τ τ случайных блужданий, который
R (τ ) = max x(t ,τ ) − min x(t ,τ ) подтверждает гипотезу EMH.
t =1 t =1 •При H >0,5, процесс имеет
долговременную память и является
τ
1 персистентным, т.е. имеет
S (τ ) = ∑( x − xτ )
2 положительную корреляцию для
τ u=1
u различных временных шкал.
•При H<0,5 временной ряд
log R (τ)
является антиперсистентным с
S (τ) переключающимся время от
H ≅ log τ
времени средним значением.

21. Разбиение временных рядов
 Временной ряд: {xt}; t ∈ [0, T].
 Вычисляем: Z={zt}, zt= lnxt+1-lnxt; t ∈ [0,T];
 Делим интервал [0, T]на N подынтервалов,
1 ≤ N ≤ Nmax, в результате формируется множество
интервалов Θ

Каждый элемент этого множества содержит int (T/N)=A значений
Z;
 Для каждого подынтервала K; 1 ≤ K ≤ N обозначим текущий
индекс lK; 1 ≤ lK ≤ A; t = (K-1) А+ lK
 Поскольку мы стараемся найти наилучший возможный индикатор,
мы испытываем несколько различных вариантов предварительной
обработки исходного временного ряда.

22. Предварительная обработка
временного ряда
1. Оригинальный временной ряд: Z={zt};
2. Временной ряд предварительной обработки Z1={  },
ZK
K=1,2,…N, где A
 1
ZK = ∑z
Al =1
0l K
K
3. Центрированное и нормированное значение отсчетов 
 Z 0 ( K −1) A + l − Z K 
 
исходного временного ряда, Z2 =  K


 SK 

(  2
)
A
1
где SK = ∑1 Z 0lK − Z K
A lK =

4. Центрированное значение отсчетов временного ряда без
нормализации Z3={ Z 0 ( K −1) A+lK − Z K
}

23. Функции партиций
Для каждой версии временных рядов вычисляем функцию
партиций:
N
π ( 0)
N ( Z , q) = ∑ | Z 0 ( KA) (T ) − Z 0 ( K −1) A |q
K =1
N  
π (1) N ( Z , q ) = ∑
K =1
| Z K (T ) − Z K −1 |q
N ∧ ∧
π ( 2) N (Z , q) = ∑
K =1
| Z 2 ( KA) − Z 2( K −1) A |q
N
π ( 3) N ( Z , q) = ∑
K =1
| Z 3 ( KA) − Z 3 ( K −1) | q
A

24. Скейлинг функции
∧ log π ( 0 ) N ( Z , q ) + log A − log N
τ 0 (q ) =
− log A
N
∧ log π (1) N ( Z , q ) + log A − log N
τ 1N (q ) =
− log A
∧ log π ( 2 ) N ( Z , q ) + log A − log N
τ 2 (q) =
− log A
N
∧ log π ( 3) N ( Z , q) + log A − log N
τ 3 (q) =
− log A
N

25. Оценка мультифрактального спектра
сингулярности
1. Локальная экспонента Липшица-Хёльдера:
∧
i
dτ   
αi =
dq
= (τ i (q) − τ i (q − 1)) / ∆ q = ∆ τ i (q)/ ∆ q , где i = 1, 2, 3, 4.
2. Мультифрактальный спектр сингулярности :
∧ ∧
f I (α ) = arg min [qα − τ i (q)] ≈ (arg min[q∆τ i (q) − τ i (q )])
q q

26. Попытка использования ширины
мультифрактального спектра сингулярности в
качестве индикатора крушения
 Мультифрактал может состоять из двух или
бесконечного числа монофракталов с непрерывным
изменением α-переменной. Ширина α-спектра может
быть оценена как разность между максимальным и
минимальным значением α:
Δα = αmax - αmin ,
 Выполняя преобразование Лежандра, мы
пытаемся использовать нашу программу, оценивая
Δ, чтобы найти различия в ее значениях до и после
кризиса.

27. Скейлинг-функции
Изменения курса валюты на
Нелинейная скейлинг-
период Российского дефолта
функция τ(q)
1998 года
(мультифрактальный
процесс)

28. Скриншоты оценки
мультифрактального спектра
сингулярности
Оценка Оценка
мультифрактального мультифрактального
спектра сингулярности на спектра сингулярности на
период 09.07.96-21.07.98 18.11.96-30.11.98

29. Скейлинг-функции
Индекс Dow Jones Industrial, Нелинейная скейлинг-функция
предкризисная ситуация τ(q)
19.12.2006-06.10.2008 (мультифрактальный процесс)

30. Скейлинг-функции
Индекс RTSI, Нелинейная скейлинг-функция
предкризисная ситуация τ(q)
19.12.2006-06.10.2008 (мультифрактальный процесс)

31. Скейлинг-функции
Линейная скейлинг-функция τ(q) Оценка ширины
(монофрактальный процесс) мультифрактального центра
сингулярности RTSI за
период 16.05.2000 -30.05.2002

32. Скриншоты оценки
мультифрактального спектра
сингулярности
Оценка мультифрактального Оценка мультифрактального
спектра сингулярности DJI спектра сингулярности RTSI
на период 19.12.2006- на период 16.12.2003-
08.10.2008 10.01.2006

33. “Иглы”, определяющие расширение мультифрактального
спектра на почасовом графике 5.2008-11.2008

34. Результаты экспериментов
График Российского дефолта на август Американский индекс Доу Джонса на
1998 (курс валют) «Черный Понедельник» 1987
периода 17.10.1986-31.12.1987
0,6 0,3
0,5 0,25
0,4 0,2
0,3
0,15
0,2
0,1
0,1
0
0,05
one year 11.07.96-19.07.96-29.07.96-06.08.96-14.08.96- 0
before 23.07.98 31.07.98 10.08.98 18.08.98 26.08.98 1 11
График оценки ширины фрактального
defolt График оценки ширины фрактального
спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) для спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на
Period
разных периодов времени «Черный Понедельник»

35. График оценки ширины фрактального спектра
сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на российском индексе РТС на
период 07.10.1999-07.11.2008
Интервал Qmin Qma N ∆
x
1-512
07.10.1999 –18.10.2001
-2 6 47 0,964
151-662
16.05.2000 -30.05.2002
-2 6 103 0,495
301-812
15.12.2000 -31.12.2002
-2 6 129 1,62
451-962
25.07.2001 -11.08.2003
-2 5 31 0,81
601-1112
28.02.2002 -17.03.2004
-2 6 170 1,77
751-1262
03.10.2002 -19.10.2004
-2 6 129 2,17
901- 1412
15.05.2003 -02.06.2005
-2 6 129 1,927
1051-1562
16.12.2003 -10.01.2006
-2 5 43 0,952
1201-1712
26.07.2004 -15.08.2006
-2 5 21 0,868
1351-1862
04.03.2005 -26.03.2007
-2 5 22 0,89
1501-2012
06.10.2005 -25.10.2007
-2 5 23 0,848
1651-2162
19.05.2006 -07.06.2008
-2 5 40 0,927
1801-2246
19.12.2006 -06.10.2008
-2 7 145 2,133
1765-2277
25.09.2006 -07.11.2008
-2 7 161 2,177

36. Результаты экспериментов (PTC)
За 4 года объем выданных ипотечных кредитов и займов в
России вырос более чем в 16 раз - с 3,6 млрд. руб. в 2002
году до 58,0 млрд. руб. в 2005 году. В количественном
выражении - с 9.000 кредитов в 2002 году до 78.603 в 2005
году.
Предкризисная ситуация:
июль 2008 – начало сентября 2008
График оценки ширины фрактального спектра
сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на российском индексе
РТС на период 07.10.1999-07.11.2008
Почему ипотека развивается так стремительно? Факторов много. Это и
увеличение реальных доходов населения, и спад недоверия к ипотеке,
как со стороны потенциальных покупателей, так и со стороны
продавцов, и общее снижение среднестатистической процентной ставки
ипотечного кредитования с 14 до 11% годовых, и приход московских
банков в регионы, и активизация на рынке средних и малых банков.

37. График оценки ширины фрактального спектра
сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на американском индексе Dow
Jones Industrial на период 07.10.1999-07.11.2008
Интервал Qmin Qmax N ∆
1-512
07.10.1999 –18.10.2001
-2 5 164 1,84
151-662
16.05.2000 -30.05.2002
-2 4 5 0,717
301-812
15.12.2000 -31.12.2002
-2 5 134 1,77
451-962
25.07.2001 -11.08.2003
-2 5 65 1,01
601-1112
28.02.2002 -17.03.2004
-2 5 74 1,108
751-1262
03.10.2002 -19.10.2004
-2 4 11 0,791
901- 1412
15.05.2003 -02.06.2005
-2 4 38 0,803
1051-1562
16.12.2003 -10.01.2006
-2 4 50 0,815
1201-1712
26.07.2004 -15.08.2006
-2 4 53 0,884
1351-1862
04.03.2005 -26.03.2007
-2 4 57 0,973
1501-2012
06.10.2005 -25.10.2007
-2 4 29 0,864
1651-2162
19.05.2006 -07.06.2008
-2 4 11 0,836
1801-2263
19.12.2006 -06.10.2008
-2 5 151 2,324
1765-2284
25.09.2006 -07.11.2008
-2 5 174 1,984

38. Результаты экспериментов (DJ)
График оценки ширины фрактального
спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на
американском индексе Dow Jones Industrial
на период 07.10.1999-07.11.2008
3 мая 1999, индекс достиг значения
11014,70. Своего максимума — отметку
11722,98 — Доу-Джонс индекс достиг 14
января 2000 года.
Наблюдалось резкое падение индекса и 9 октября 2002 DJIA достиг
промежуточного минимума со значением 7286,27.
Предкризисная ситуация:
июль 2008 – начало сентября 2008
Промышленный индекс Dow Jones 15 сентября 2008 года упал на 4,42
процента до 10917 пунктов - это самое крупное его падение за один день со
времени 9 октября 2002 года, сообщает France Presse. Мировой фондовый
рынок испытал резкое снижение основных индексов в связи с банкротством
инвестбанка Lehman Brothers.

39. График оценки ширины фрактального спектра
сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на американском индексе
NASDAQ Composite на период 07.10.1999-07.11.2008
Интервал Qmi Qmax N ∆
n
1-512
07.10.1999 –18.10.2001
-2 6 47 0,91
151-662
16.05.2000 -30.05.2002
-2 6 57 0,935
301-812
15.12.2000 -31.12.2002
-2 6 86 1,092
451-962
25.07.2001 -11.08.2003
-2 5 25 0,74
601-1112
28.02.2002 -17.03.2004
-2 5 31 0,821
751-1262
03.10.2002 -19.10.2004
-2 5 129 1,385
901- 1412
15.05.2003 -02.06.2005
-2 4 9 0,726
1051-1562
16.12.2003 -10.01.2006
-2 4 13 0,765
1201-1712
26.07.2004 -15.08.2006
-2 4 19 0,78
1351-1862
04.03.2005 -26.03.2007
-2 4 19 0,792
1501-2012
06.10.2005 -25.10.2007
-2 4 15 0,778
1651-2162
19.05.2006 -07.06.2008
-2 4 5 0,772
1801-2263
19.12.2006 -06.10.2008
-2 5 77 1,185
1765-2284
25.09.2006 -07.11.2008
-2 6 207 1,067

40. Результаты экспериментов(NASDAQ)
График оценки ширины фрактального
спектра сингулярности (Δ(t)=αmax-αmin) на
американском индексе NASDAQ Composite
на период 07.10.1999-07.11.2008
Индекс высокотехнологичных компаний
NASDAQ Composite достиг своего пика в
марте 2000 года.
После чего произошло обвальное падение
В 2000 году он достигал даже пятитысячной отметки, но после всеобщего
падения рынка компьютерных и информационных технологий находится сейчас в
районе до двух тысяч пунктов.
В августе 2002−го NASDAQ закрывает свой филиал в Японии, так же
закрывая филиалы в Европе, и вот сейчас настал черед
европейского отделения, где за два года количество компаний, чьи
акции торгуются на бирже, сократилось с 60 до 38.
Предкризисная ситуация:
июль 2008 – начало сентября 2008

41. Детектор дефолта 1998 года
Часть мультифрактального
спектра данных, соответствующий
графику b)
Данные α min α max ∆
11.08.98 2,837 3,337 0,5
a)
12.08.98 2,837 3,335 0,498
13.08.98 2,838 3,325 0,487
14.08.98 2,839 3,344 0,505
17.08.98 1,8 3,36 1,56
18.08.98 1,97 3,3 1,33
19.08.98 1,355 3,26 1,905
20.08.98 1,499 3,264 1,765
21.08.98 1,499 3,4 1,901
24.08.98 1,5 3,249 1,749
Красная линия показывает, что b)
ширина мультифрактального
спектра начинает
увеличиваться в то же самое
время, как и изменяется курс
валюты, но более явно.

42. Вейвлет-анализ

+∞

W (τ ,α ) = ∫ x(t )ψ τ ,α (t )dt ,
 −∞
 где ψτ,α(t)– фукнция с нулевым средним значением,
центрированным относительно нуля с временным
масштабом α и временным горизонтом τ.
 Семейство вейвлет-векторов, порожденное из
материнской функции путем замещения и
1 t −τ
масштабирования ψτα (t ) = ψ( )
α α

43. Представление временного ряда f(t)
вейвлет-функциями
∞ ∞
f (t ) = ∑α
k = −∞
j0 φ j0 , k (t ) + ∑ ∑β
j ≥ j0 k = −∞
j , kψ j , k (t ),
α j0 , k = ∫ f (t )φ j 0 , k (t )dt
β j,k = ∫ f (t )ψ j , k (t )dt
где jo – константа, представляющая собой
наивысший уровень разрешения, для которого
извлечены самые тонкие детали

44. Эксперимент - 1
 В нашем исследовании мы использовали вейвлет-
функции разложения Добеши (db-4 и db-12).
 Целью эксперимента было извлечение сигнала,
который мог бы предсказать резкие изменения.
Данные по курсам валют (USD) к рублю были взяты с
сайта www.rts.ru за период 1.09.1995 – 12.02.1999
 Общее количество пронумерованных по порядку
отсчетов во временном ряде за период 1.09.1995 –
12.02.1999 составляло 862 значения.

45. 10
15
20
25
0
5
01.09.1995
04.11.1995
22.01.1996
27.03.1996
04.06.1996
09.08.1996
14.10.1996
18.12.1996
25.02.1997
05.05.1997
10.07.1997
12.09.1997
18.11.1997
27.01.1998
1.09.1995 – 12.02.1999
02.04.1998
10.06.1998
14.08.1998
19.10.1998
График изменения RTS за период
24.12.1998

46. Разделение временных рядов на
диапазоны
 Для достижения цели данный временной ряд был
подразделен на 7 перекрывающихся интервалов,
расположенных неравномерно, таким образом, что
интервал 4 (242-753) непосредственно
предшествовал моменту дефолта, а последующие
интервалы захватывали момент дефолта.
 Каждый интервал состоял из 512 значений: 1-512,
101-612, 201-712, 242-753, 251-762, 301-812, 351-862.

47. Предсказание кризиса при помощи вейвлет-анализа
# Интервал Максимум Разность
для всех максимальных 12
уровней значений 10
коэффициентов 8
6
1 1-512 0,068796 - 4
2
2 101-612 0,140859 0,072062 0
13.02.1998 10.07.1998 07.09.1998 18.09.1998 30.11.1998 12.02.1999
-2
3 201-712 0,150173 0,009314 -4
-6
4 242-753 11,234599 11,084426
График изменения разностных коэффициентов от
5 251-762 11,850877 0,616278 максимальных значений коэффициентов разложения по
Добеши-12 за период 19.09.1997-12.02.1999 (даты
6 301-812 7,944381 -3,906496 взяты по правой границе, т.е. с 512 значения)
7 351-862 9,802439 1,858058
1,8
# Интервал Среднее Разность 1,6
значение средних 1,4
значений 1,2
1
1 1-512 5,249121 - 0,8
0,6
2 101-612 5,518002 0,268881 0,4
3 201-712 5,759273 0,241271
0,2
0
13.02.1998 10.07.1998 07.09.1998 18.09.1998 30.11.1998 12.02.1999
4 242-753 5,926961 0,167688
График изменения разностных коэффициентов,
5 251-762 6,077492 0,150531 полученных из отношения среднего значения курса валют
текущего интервала к значению предыдущего интервала
6 301-812 7,124922 1,047431 за период 19.09.1997-12.02.1999 (даты взяты по правой
границе, т.е. с 512 значения).
7 351-862 8,672407 1,547484

48. Разности коэффициентов разложения
Добеши-12
№ Интерв Максимум Разность 20000
ал по всем максимальн
уровням ых значений 15000
коэффициен
10000
тов
5000
1 1-128 13083,070 --------------
2 64-192 223,834 -12859,235 0
3 96-224 262,039 38,204 -5000
87
87
7
87
87
7
87
87
7
98
98
98
19
9
19
9
19
9
.1
.1
.1
.1
.1
.1
4.
9.
0.
07
09
09
10
10
12
.0
.0
.1
4 106-234 258,122 -3,916
2.
4.
8.
1.
9.
1.
21
21
15
2
0
2
0
1
3
-10000
-
7-
-
7-
-
7-
7-
7-
7-
86
87
87
98
98
98
98
98
98
19
19
19
.1
.1
.1
.1
.1
.1
0.
3.
4.
5 111-239 262,371 3,917
1
3
4
3
3
6
.1
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
17
19
05
19
26
31
14
16
30
-15000
6 114-242 14785,540 14523,169
-20000
7 124-252 789,933 -13995,607
8 126-254 1298,050 508,117
График изменения разности
9 177-305 475,376 -822,673
максимальных значений коэффициентов
разложения по Добеши-12 (17.10.1986-
31.12.1987).

49. Детектор «Черного
Понедельника»
 На предыдущем слайде мы можем наблюдать
положительный пик ранее 01.10.87 и
отрицательный пик ранее 15.10.87. Это более, чем
за 4 дня до «Черного Понедельника». Резкая
линия соединяет эти два пика. Очевидно, это
информация может послужить детектором
надвигающегося кризиса.

50. 42 дня до дефолта
 Из рисунка видно, что за начало дефолта, соответствующего резкому
скачку курса доллара, может быть принята точка 742 (21.08.1998), а
пиковое значение соответствует 754 точке (07.09.1998).
 Как мы можем видеть из предыдущего слайда в случае
обработки данных по Российскому дефолту по умолчанию, если
мы будем использовать индикатор разности усредненных
значений интервалов, тогда мы можем обнаружить, что резкий
прирост происходит 18.09.1998, т.е. с запозданием по крайней
мере на 11 дней. В то же время график коэффициентов
разложения по вейвлет-функциям показывает нам, что начало
резких изменений разностей коэффициентов вейвлет-
разложений относится к точке 712 (10.07.1998).
 Мы можем, по-видимому, прогнозировать наступление дефолта
по крайней мере за 42 дня (10.07.1998 - 21.08.1998). При этом
прирост максимального значения (рис. 4) такого индикатора в
начальный момент составил 74,5 раза (начальное значение =
0,15; следующее значение = 11,23)

51. Эксперимент - 2
 В нашем эксперименте №2 мы использовали вейвлет-функции
разложения Добеши (db-12).
 Целью эксперимента было извлечение сигнала, который мог бы
предсказать резкие изменения индекса DJI (Dow Jones Index -
Индекс Доу-Джонс). Данные по DJI были взяты с сайта
http://finance.yahoo.com за период 7.10.1999 – 6.10.2008
 Общее количество пронумерованных по порядку отсчетов во
временном ряде за период 7.10.1999 – 6.10.2008 составило
2263 значения.

52. 10000
10500
11000
11500
12000
12500
13000
13500
14000
14500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
окт.99
фев.00
июн.00
окт.00
фев.01
июн.01
окт.01
фев.02
июн.02
окт.02
фев.03
июн.03
окт.03
фев.04
июн.04
окт.04
фев.05
июн.05
окт.05
фев.06
июн.06
окт.06
фев.07
7.10.1999-6.10.2008
июн.07
окт.07
фев.08
июн.08
окт.08
График изменения DJI за период

53. График изменения максимальных коэффициентов по всем уровням
разложения по Добеши-12 за период 7.10.1999 - 6.10.2008 (DJ)
Максимум по 3000
№ Интервал всем
уровням
1 1-512 1954,161187 2500
2 151-662 2326,932148
3 301-812 2475,435072
2000
4 451-962 1792,637529
5 601-1112 1981,99312
6 751-1262 2931,138643 1500
7 901-1412 1166,101445
8 1051-1562 1292,677785
1000
9 1201-1712 949,2859849
10 1351-1862 906,6151828
11 1501-2012 1703,875851 500
12 1651-2162 2103,951908
1-512 151- 301- 451- 601- 751- 901- 1051- 1201- 1351- 1501- 1651- 1752-
662 812 962 1112 1262 1412 1562 1712 1862 2012 2162 2263
13 1752-2263 2364,574186

54. Построение графика изменения показателя
Хёрста за период 7.10.1999-6.10.2008 (DJ)
С помощью программы MatLab был
вычислен показатель Хёрста для входящих
в исследуемый интервал отрезков:
№ Интервал Вектор 1 Вектор 2 Вектор 3
0,6
1 1-512 0,543009 0,498046 0,452023
2 151-662 0,532399 0,484101 0,27548 0,55
3 301-812 0,494417 0,497379 0,464322
4 451-962 0,461101 0,457196 0,433508 0,5
5 601-1112 0,41562 0,421605 0,527681
0,45
6 751-1262 0,304119 0,29804 0,414117
7 901-1412 0,395083 0,394632 0,455711 0,4
8 1051-1562 0,475853 0,494124 0,366426
9 1201-1712 0,510703 0,438463 0,444203 0,35
10 1351-1862 0,506749 0,412502 0,339065
0,3 751-1262
11 1501-2012 0,410994 0,34161 0,522356
03.10.2002 -19.10.2004
12 1651-2162 0,39805 0,393607 0,567343 0,25
13 1752-2263 0,359393 0,269061 0,499643 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

55. Сопоставление графика изменения DJI за период 7.10.1999 – 6.10.2008 (1),
графика изменения максимальных коэффициентов по всем уровням
разложения по Добеши-12 за тот же период (2) и графика изменения
показателей Херста (3)
15000
14000
(1) 13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
1
60
355
591
650
768
827
886
119
178
237
296
414
473
532
709
945
1122
1004
1063
1181
1240
1299
1358
1417
1476
1535
1594
1653
1712
1771
1830
1889
1948
2007
2066
2125
2184
2243
3500
(2) 3000
751-1262
2500
2000
03.10.2002 -19.10.2004
1500
1000
500
1-512 151-662 301-812 451-962 601-1112 751-1262 901-1412 1051-1562 1201-1712 1351-1862 1501-2012 1651-2162 1752-2263
(3) 0,6
0,55
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13