21 Weibull

©Dr. Rodrigo Pascual
Curso “Ingeniería de Mantenimiento
TECSUP, Lima
19-21 Septiembre de 2007
PAM Lab
Laboratorio de
Gestión de Activos Físicos
Ingeniería
Mecánica
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Sistemas reparables y
análisis de Weibull
Dr. Rodrigo Pascual
Departamento de Ingeniería Mecánica
Universidad de Chile
http://www.ing.uchile.cl/~rpascual/

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Gestión de Activos Físicos http://opam.ing.uchile.cl
Ingeniería
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Motivación
 Sistemas
Subsistemas
 Componentes
 Reparables
 No reparables
x x x x
tiempo
Edad (ut)
Componente reparable
Componente no reparable
ut: unidad de tiempo
um: unidad monetaria

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Sistema triste
 Diagrama Nelson-Aalen o N(t)
Fuente: Ascher, H., and H. Feingold, Repairable Systems Reliability. Modeling,Inference, Misconceptions and
Their Causes, Marcel-Dekker, New York, 1984.
Tiempo entre fallas

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Motor Diesel de submarino
A B
Fuente:Rausand, M., Hoyland, A., System Reliability Theory, 2nd ed., Wiley, New York, 2004.

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Banco de resistencias
Inyectora de Termoplásticos
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5000 10000 15000 20000
Tiempo Calendario (horas)
NúmerodeFallasAcumulado
Banco de
resistencias
Piezas
moldeadas pellets
Fuente: C. Llanos, R. Lozano, F. Muñoz, N. Seitz,
informe final proyecto ME57a, Universidad de Chile, 2006.

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tasa de fallas (t)
número de fallas esperado por unidad de
tiempo
 Función de la edad t


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Etapas en la vida de un sistema
 infancia
 madurez
 vejez
0
0
Tiempo calendario
(t)
fallas/ut
ut:unidad de tiempo

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Infancia
 tasa de falla decrece con
el tiempo
 componentes
defectuosos
 de fabrica,
 tras el montaje.
 Para reducir la niñez
 Establecer una etapa de
marcha blanca,
 componentes
defectuosos fallen
 y sean reemplazados;
 Aplicar ensayos no
destructivos rigurosos. 0
0
Tiempo calendario
(t)

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Madurez
 Los sistemas
eléctricos
 (t) constante, no
hay desgaste;
 Los sistemas
mecánicos
 incrementan (t) con
edad
 mantenimiento
preventivo
0
0
Tiempo calendario
(t)

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Vejez
 Aumento de la tasa
de fallas
 degradación
importante;
 inspecciones
frecuentes
necesarias.
 mantenimiento
sintomático
 reemplazo
0
0
Tiempo calendario
(t)

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Efectividad de una intervención
 tan bueno como nuevo
 Intervenciones perfectas
 Exponencial
 Weibull,…
 tan bueno como antes
 Intervenciones mínimas
 mantenimiento imperfecto


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Intervenciones perfectas
(Exponencial)
 intervalos entre fallas
 independientes
 idénticamente distribuidos (i.i.d)
 distribución exponencial
x
x
x
x
xN
Tiempo calendario

Edad

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Intervenciones perfectas
(Weibull,…)
 tiempos entre fallas
 independientes
 idénticamente distribuidos
 distribución general (i.e. Weibull)
 intervenciones perfectas
 dejan el sistema como nuevo (AGAN)
Tiempo calendario
(t)
o
x
o
o:preventiva
x:correctiva
x
x
x
x
xN
Tiempo calendario

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Tasa de fallas agregada

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Análisis de
confiabilidad
Weibull

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Prerrequisito
Diagrama Nelson-Aalen
Tests de tendencia
 de Laplace
 standard MIL-HDBK-
189
 de Mann
 de Lewis-Robinson 0
10
20
30
40
50
60
70
0 5000 10000 15000 20000
Tiempo Calendario (horas)
NúmerodeFallasAcumulado

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Asumiendo i.i.d.
 Confiabilidad
 Estimación inicial
i= 1 2 3 4
x x x x
tiempo
Edad

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Obs
 O sea,
 posibilidad nula de
que hayan unidades
operando para t > tn.
 poco probable
 que muestra incluya
el tiempo de
supervivencia más
largo,
 se subestima R

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Además,
 Es razonable que
 las primeras y las
ultimas observaciones,
 tengan la misma
distancia con respecto
al 0% y 100% de
posibilidad
 simetría
25% 100%
F=i/n

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Estimación de F (II)
-rangos medios-
25% 100%
F=i/n
20% 80%
F=1/n
F=1/(n+1)

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III
rangos de la mediana
 Importancia de las colas
25% 100%
20% 80%
F=i/n
F=i/(n+1)
F=(i-0.3)/(n+0.4) 16% 84%
Rangos de la mediana
Fuente:A.BenardandE.C.Bos-Levenbach,Theplottingofobservationsonprobabilitypaper,ReportSP30
oftheStatisticalDepartmentoftheMathematicsCentrum,Amsterdam,1953.

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Observación
 Cuando edades iguales, se puede promediar los rangos iniciales
asociados a las observaciones repetidas [Benard’53] para obtener
un rango ajustado común para ellas:
i edad falla i' i'/(n+1)
1 34 1 0.2
2 55 2.5 0.5
3 55 2.5 0.5
4 70 4 0.8
(2+3)/2

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Desviaciones c/r a método de la
mediana n=8

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Distribución de Weibull
 en estudios de confiabilidad
sistemas mecánicos.
 Ventajas
muy flexible,
adaptable a una variedad de observaciones
experimentales.

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Distribución de Weibull
de 3 parámetros
adimensional
ut
ut
(t)=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Edad

b=.5
b=1
b=3
h=2

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Si =0

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Aplicación práctica
1. Obtener n observaciones, ordenar
2. Estimar la función de distribución F
1. F(i) = (i )/(n + 1)
2. F(i) = (i – 0.3)/(n + 0.4)
3. Calcular pares (X,Y), Graficar
4. Ajustar la mejor recta

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Ejemplo, población de
componentes
 Un grupo de rodamientos tuvieron las
siguientes duraciones:
 801 312 402 205 671 1150 940 495 570
 Se desea conocer la confiabilidad para
una vida de 600 horas y el MTTF.
Fuente:Lyonnet, P., Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991.

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y = 1.79x - 11.78
R2
= 0.9995
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50
ln(edad)
ln(ln(1/R))
MTTF 642 ut
R(600) 48.7%

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Weibull
 Si 0
cambio de variable,
 t’=t-

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Curva de Weibull para  > 0
ln t
ln(ln(1/R))
·

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Ejemplo 0 , vida de
componentes
0.11. MODELOS DE CONFIABILIDAD 21
i Vida F (i)(%)
1 2175 5
2 2800 10
3 3300 15
4 3800 20
5 4250 25
6 4650 30
7 5250 35
8 5840 40
9 6300 45
10 6700 50
11 7150 55
12 7800 60
13 8500 65
14 9200 70
15 10500 75
16 11000 80
17 12600 85
18 14000 90
19 15800 95
Tabla 2: Datos del ejercicio

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Ajuste para =0
7.5 8 8.5 9 9.5 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
log t
log(log(1/(1-F)))
=0

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800 900 1000 1100 1200 1300 1400
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3

normadelvectorresiduo
mínimo
Obs:  puede ser
negativo
Estudio

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Ajuste óptimo
6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
log t
log(log(1/(1-F)))
=1280
7.5 8 8.5 9 9.5 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
log t
log(log(1/(1-F)))
=0 ✔
 :Vida asegurada o
Predesgaste

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Vida característica
 Si t=+h
R(t)=exp(-1)=37%

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Vida remanente esperada
Confiabilidad condicional
R
Edad
t0
t
0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
R(t|t0)?
t0 t
¿Cuánto le queda?

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Vida remanente esperada
(MRL)
 Confiabilidad
condicional
 probabilidad que el
componente
sobreviva t ut mas
 dado que
 ha sobrevivido t0 ut
desde que estaba
como nuevo
ut:unidad de tiempo
Función
densidad
de probabilidad
condicional

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Weibull de 2 parámetros

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Ejemplo
b=1/2,1,2,3
h= 100 ut
t0=3/2MTTF(b,h)
 >beta:=0.5;eta:=100;t0:=1.5*eta*GAMMA(1+1/beta);
 > f0:=beta/eta*((t+t0)/eta)^(beta-1)*exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta);
 >MRL:=int(t*f0,t=0...infinity);
 > plot(exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta),t=0..2*t0);
En Maple:
R0
t

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Industria aeronáutica United Airlines ‘68
A
B
C
D
E
F
4%
2%
5%
7%
14%
68%
aplicar políticas
de mantenimiento
centrado en
el uso: 11%.
Fuente:Moubray,J.,Reliability-CenteredMaintenance,2nded.,Butterworth-Heinemann,1997.
(t)
Edad, uso

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Comentarios
 R(t)
 MTBF
 (t)
 b,h Weibull
  vida asegurada/
predesgaste
 vida remanente
esperada
 confiabilidad
condicional
Datos históricos
(sin suspensiones)
Análisis de
confiabilidad
Edad
✔

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Análisis de
confiabilidad con
suspensiones

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Censura
 Datos incompletos
 se han detenido
componentes antes de su
falla
 Mantenimiento preventivo
 Falla por otro modo de
falla
 ensayo es terminado antes
de que fallen todas las
unidades.
Edad
Edad

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Datos censurados
 ti
 instante de una falla
 t+
i
 instante de censura.
 Se asumirá
 vida de las unidades censuradas sigue la misma
distribución que aquellas que no lo han sido.
Suspensión
Edad

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Lewis’87, sin censura
Fuente:Lewis, E.E., Introduction to Reliability Engineering, John Wiley & sons, N.Y., 1987.

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Luego,
recursivo

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Obs
 Si en ti
 ocurre una censura
 R no se ajusta:
+: censura

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luego

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Procedimiento
historial de fallas
y censuras
De i=1 a N
Ordenar por
edades
Calcular ai
Calcular
Ri(Ri-1)
i=0, inicio de la recursividad
N(t)!

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Ejemplo: Mandos Finales del CAT 785B
Fuente: Dr. Darko Louit, PUC Santiago

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Ejemplo: fallas de los mandos finales, flota
Cat 785B (1)
(Flota de 12 camiones)
Datos Originales
rango Edad (horas) censura?
1 350 1
2 603 1
3 1087 1
4 1283 1
5 1889 1
6 2137 0
7 2259 1
8 2601 0
9 3717 0
10 4320 1
11 4320 1
12 4320 1
13 4320 1
14 4320 1
15 4320 1
16 4510 0
17 4860 1
18 4860 1
19 4860 1
20 4860 1
21 4860 1
22 4860 1
23 5131 0
24 5393 0
25 6480 1
26 6480 1
27 6480 1
28 6480 1
29 6480 1
30 7020 1
./datos/cat785b-datos.xls

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Cat 785B
b ~ 2.3
h ~ 8760 hrs.
y = 2.2983x - 20.795
-3.500
-3.000
-2.500
-2.000
-1.500
-1.000
-0.500
0.000
7.600 7.800 8.000 8.200 8.400 8.600 8.800

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Razón de costos esperados
=2
Ci+Cf
Ci+Cf(1-R)
correctiva
Ci=85000 USD
cgc=32.9 USD/hora
Ahorro=32.9*(1-0.82)*8760=52300 USD/año
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
Intervalo entre preventivas (horas op.)
Razoncostos(MPrev/MCorr)

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