Sistemas reparables y análisis de Weibull Dr. Rodrigo Pascual Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de Chile http://www.ing.uchile.cl/~rpascual/

Motivación Sistemas Subsistemas Componentes Reparables No reparables x x x x tiempo Edad (ut) Componente reparable Componente no reparable ut: unidad de tiempo um: unidad monetaria

Sistemas

Subsistemas

Componentes

Reparables

No reparables

Sistema triste Diagrama Nelson-Aalen o N(t) Fuente: Ascher, H., and H. Feingold, Repairable Systems Reliability. Modeling,Inference, Misconceptions and Their Causes, Marcel-Dekker, New York, 1984. Tiempo entre fallas

Diagrama Nelson-Aalen o N(t)

Motor Diesel de submarino A B Fuente:Rausand, M., Hoyland, A., System Reliability Theory, 2nd ed., Wiley, New York, 2004.

Banco de resistencias Inyectora de Termoplásticos Banco de resistencias Piezas moldeadas pellets Fuente: C. Llanos, R. Lozano, F. Muñoz, N. Seitz, informe final proyecto ME57a, Universidad de Chile, 2006.

tasa de fallas  (t) número de fallas esperado por unidad de tiempo Función de la edad t 

número de fallas esperado por unidad de tiempo

Función de la edad t

Etapas en la vida de un sistema infancia madurez vejez fallas/ut ut:unidad de tiempo 0 0 Tiempo calendario  ( t)

infancia

madurez

vejez

Infancia tasa de falla de cre ce con el tiempo componentes defectuosos de fabrica, tras el montaje. Para reducir la niñez Establecer una etapa de marcha blanca, componentes defectuosos fallen y sean reemplazados; Aplicar ensayos no destructivos rigurosos. 0 0 Tiempo calendario  ( t)

tasa de falla de cre ce con el tiempo

componentes defectuosos

de fabrica,

tras el montaje.

Para reducir la niñez

Establecer una etapa de marcha blanca,

componentes defectuosos fallen

y sean reemplazados;

Aplicar ensayos no destructivos rigurosos.

Madurez Los sistemas eléctricos  (t) constante, no hay desgaste; Los sistemas mecánicos incrementan  (t) con edad mantenimiento preventivo 0 0 Tiempo calendario  ( t)

Los sistemas eléctricos

 (t) constante, no hay desgaste;

Los sistemas mecánicos

incrementan  (t) con edad

mantenimiento preventivo

Vejez Aumento de la tasa de fallas d egradación importante; i nspecci o nes frecuentes necesarias. mantenimiento sintomático reemplazo 0 0 Tiempo calendario  ( t)

Aumento de la tasa de fallas

d egradación importante;

i nspecci o nes frecuentes necesarias.

mantenimiento sintomático

reemplazo

Efectividad de una intervención tan bueno como nuevo Intervenciones perfectas Exponencial Weibull,… tan bueno como antes Intervenciones mínimas mantenimiento imperfecto 

tan bueno como nuevo

Intervenciones perfectas

Exponencial

Weibull,…

tan bueno como antes

Intervenciones mínimas

mantenimiento imperfecto

Intervenciones perfectas (Exponencial) intervalos entre fallas independientes idénticamente distribuidos (i.i.d) distribución exponencial x x x x x N Tiempo calendario  Edad

intervalos entre fallas

independientes

idénticamente distribuidos (i.i.d)

distribución exponencial

Intervenciones perfectas (Weibull,…) tiempos entre fallas independientes idénticamente distribuidos distribución general (i.e. Weibull) intervenciones perfectas dejan el sistema como nuevo (AGAN) Tiempo calendario  (t) o x o o:preventiva x:correctiva x x x x x N Tiempo calendario

tiempos entre fallas

independientes

idénticamente distribuidos

distribución general (i.e. Weibull)

intervenciones perfectas

dejan el sistema como nuevo (AGAN)

Tasa de fallas agregada

Análisis de confiabilidad Weibull

Prerrequisito Diagrama Nelson-Aalen Tests de tendencia de Laplace standard MIL-HDBK-189 de Mann de Lewis-Robinson

de Laplace

standard MIL-HDBK-189

de Mann

de Lewis-Robinson

Asumiendo i.i.d. Confiabilidad Estimación inicial i= 1 2 3 4 x x x x tiempo Edad

Confiabilidad

Estimación inicial

Obs O sea, posibilidad nula de que hayan unidades operando para t > t n . poco probable que muestra incluya el tiempo de supervivencia más largo, se subestima R

O sea,

posibilidad nula de que hayan unidades operando para t > t n .

poco probable

que muestra incluya el tiempo de supervivencia más largo,

se subestima R

Además, Es razonable que las primeras y las ultimas observaciones, tengan la misma distancia con respecto al 0% y 100% de posibilidad simetría 25% 100% F=i/n

Es razonable que

las primeras y las ultimas observaciones,

tengan la misma distancia con respecto al 0% y 100% de posibilidad

simetría

Estimación de F (II) -rangos medios- 25% 100% F=i/n 20% 80% F=1/n F=1/(n+1)

III rangos de la mediana Importancia de las colas 25% 100% 20% 80% F=i/n F=i/(n+1) F=(i-0.3)/(n+0.4) 16% 84% Rangos de la mediana Fuente: A. Benard and E.C. Bos-Levenbach, The plotting of observations on probability paper, Report SP 30 of the Statistical Department of the Mathematics Centrum, Amsterdam, 1953.

Importancia de las colas

Observación Cuando edades iguales, se puede promediar los rangos iniciales asociados a las observaciones repetidas [Benard’53] para obtener un rango ajustado común para ellas: (2+3)/2

Cuando edades iguales, se puede promediar los rangos iniciales asociados a las observaciones repetidas [Benard’53] para obtener un rango ajustado común para ellas:

Desviaciones c/r a método de la mediana n=8

Distribución de Weibull en estudios de confiabilidad sistemas mecánicos. Ventaja s muy fl exible, adaptable a una variedad de observaciones experimentales.

en estudios de confiabilidad

sistemas mecánicos.

Ventaja s

muy fl exible,

adaptable a una variedad de observaciones experimentales.

Distribución de Weibull de 3 parámetros adimensional ut ut  (t)= 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Edad   =.5  =1  =3  =2

Si  =0

Aplicación práctica Obtener n observaciones , ordenar Estimar la funci ó n de distribución F F(i) = ( i )/( n + 1 ) F(i) = ( i – 0 . 3 )/( n + 0 . 4 ) Calcular pares (X,Y), Graficar Ajustar la mejor recta

Obtener n observaciones , ordenar

Estimar la funci ó n de distribución F

F(i) = ( i )/( n + 1 )

F(i) = ( i – 0 . 3 )/( n + 0 . 4 )

Calcular pares (X,Y), Graficar

Ajustar la mejor recta

Ejemplo, población de componentes Un grupo de rodamientos tuvieron las siguientes duraciones : 801 312 402 205 671 1150 940 495 570 Se desea conocer la confiabilidad para una vida de 600 horas y el MT T F. Fuente:Lyonnet, P., Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991.

Un grupo de rodamientos tuvieron las siguientes duraciones :

801 312 402 205 671 1150 940 495 570

Se desea conocer la confiabilidad para una vida de 600 horas y el MT T F.

48.7% R(600) ut 642 MTTF

Weibull Si  0 cambio de variable, t’=t- 

Si  0

cambio de variable,

t’=t- 

Curva de Weibull para  > 0 ln t ln(ln(1/R))

Ejemplo  0 , vida de componentes

Ajuste para  =0

Estudio Obs:  puede ser negativo mínimo

Ajuste óptimo ✔  :Vida asegurada o Predesgaste

Vida característica Si t=  +  R(t)=exp(-1)=37%

Si t=  + 

Vida remanente esperada Confiabilidad condicional R Edad t 0 t R(t|t 0 )? t 0 t ¿Cuánto le queda? 0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Vida remanente esperada (MRL) Confiabilidad condicional probabilidad que el componente sobreviva t ut mas dado que ha sobrevivido t 0 ut desde que estaba como nuevo ut:unidad de tiempo Función densidad de probabilidad condicional

Confiabilidad condicional

probabilidad que el componente sobreviva t ut mas

dado que

ha sobrevivido t 0 ut desde que estaba como nuevo

Weibull de 2 parámetros

Ejemplo =1/2,1,2,3 = 100 ut t 0 =3/2MTTF(  ,  ) >beta:=0.5;eta:=100;t0:=1.5*eta*GAMMA(1+1/beta); > f0:=beta/eta*((t+t0)/eta)^(beta-1)*exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta); >MRL:=int(t*f0,t=0...infinity); > plot(exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta),t=0..2*t0); En Maple: R 0 t

=1/2,1,2,3

= 100 ut

t 0 =3/2MTTF(  ,  )

>beta:=0.5;eta:=100;t0:=1.5*eta*GAMMA(1+1/beta);

> f0:=beta/eta*((t+t0)/eta)^(beta-1)*exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta);

>MRL:=int(t*f0,t=0...infinity);

> plot(exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta),t=0..2*t0);

Industria aeronáutica United Airlines ‘68 A B C D E F 4% 2% 5% 7% 14% 68% aplicar políticas de mantenimiento centrado en el uso: 11%. Fuente:Moubray, J., Reliability-Centered Maintenance, 2nd ed., Butterworth-Heinemann, 1997.  (t) Edad, uso

Comentarios R(t) MTBF  (t)  ,  Weibull  vida asegurada/ predesgaste vida remanente esperada confiabilidad condicional Datos históricos (sin suspensiones) Análisis de confiabilidad Edad ✔

R(t)

MTBF

 (t)

 ,  Weibull

 vida asegurada/ predesgaste

vida remanente esperada

confiabilidad condicional

Datos históricos

(sin suspensiones)

Análisis de confiabilidad con suspensiones

Censura Datos incompletos se han detenido componentes antes de su falla Mantenimiento preventivo Falla por otro modo de falla ensayo es terminado antes de que fallen todas las unidades. Edad Edad

Datos incompletos

se han detenido componentes antes de su falla

Mantenimiento preventivo

Falla por otro modo de falla

ensayo es terminado antes de que fallen todas las unidades.

Datos censurados t i instante de una falla t + i instante de censura. Se asumirá vida de las unidades censuradas sigue la misma distribución que aquellas que no lo han sido. Suspensión Edad

t i

instante de una falla

t + i

instante de censura.

Se asumirá

vida de las unidades censuradas sigue la misma distribución que aquellas que no lo han sido.

Lewis’87, sin censura Fuente:Lewis, E.E., Introduction to Reliability Engineering, John Wiley & sons, N.Y., 1987.

Luego, recursivo

Obs Si en t i ocurre una censura R no se ajusta: + : censura

Si en t i

ocurre una censura

R no se ajusta:

luego

Procedimiento i=0, inicio de la recursividad N(t)!

Ejemplo: Mandos Finales del CAT 785B Fuente: Dr. Darko Louit, PUC Santiago

Ejemplo: fallas de los mandos finales, flota Cat 785B (1) (Flota de 12 camiones) Datos Originales ./datos/cat785b-datos.xls

(Flota de 12 camiones)

Cat 785B  ~ 2.3  ~ 8760 hrs.

Razón de costos esperados =2 C i +C f C i +C f (1-R) correctiva preventiva Ci=85000 USD c gc =32.9 USD/hora Ahorro=32.9*(1-0.82)*8760=52300 USD/año