Métodos Matemáticos em Biologia de Populações V

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Métodos Matemáticos em Biologia de Reação e Difusão Populações Roberto André Kraenkel Instituto de Física Teórica-UNESP São Paulo http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel Aula V

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão 1 Densidade & Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão 1 Densidade & Difusão 2 Reação e Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\".

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\". • NO ENTANTO...

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\". • NO ENTANTO... • Indivíduos se movem,

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\". • NO ENTANTO... • Indivíduos se movem, e o espaço pode não ser homogêneo.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\". • NO ENTANTO... • Indivíduos se movem, e o espaço pode não ser homogêneo. • Muitos fatores podem torna-lo heterogêneo:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\". • NO ENTANTO... • Indivíduos se movem, e o espaço pode não ser homogêneo. • Muitos fatores podem torna-lo heterogêneo: • clima

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\". • NO ENTANTO... • Indivíduos se movem, e o espaço pode não ser homogêneo. • Muitos fatores podem torna-lo heterogêneo: • clima • solo

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\". • NO ENTANTO... • Indivíduos se movem, e o espaço pode não ser homogêneo. • Muitos fatores podem torna-lo heterogêneo: • clima • solo • vegetação

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O espaço R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Até aqui, em todos os modelos que estudamos, assumimos Reação e implicitamente que todos os indivíduos estão localizados Difusão numa dada região do espaço. • Esta região não inﬂui no desenvolvimento temporal da população . • A região é homogênea. • A população é \"bem misturada\". • NO ENTANTO... • Indivíduos se movem, e o espaço pode não ser homogêneo. • Muitos fatores podem torna-lo heterogêneo: • clima • solo • vegetação • composição

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Densidade R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos começar a nos ocupar da distribuição de uma população no espaço.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Densidade R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos começar a nos ocupar da distribuição de uma população no espaço. • Não mais falaremos do número de indivíduos numa região.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Densidade R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos começar a nos ocupar da distribuição de uma população no espaço. • Não mais falaremos do número de indivíduos numa região. • Ao invés disto, consideraremos a densidade de indivíduos.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Densidade R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos começar a nos ocupar da distribuição de uma população no espaço. • Não mais falaremos do número de indivíduos numa região. • Ao invés disto, consideraremos a densidade de indivíduos. • Ou seja: o número de indivíduos por unidade de espaço.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Densidade R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos começar a nos ocupar da distribuição de uma população no espaço. • Não mais falaremos do número de indivíduos numa região. • Ao invés disto, consideraremos a densidade de indivíduos. • Ou seja: o número de indivíduos por unidade de espaço. • Usualmente, denotamos tal densidade por ρ(x, t).

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Densidade R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos começar a nos ocupar da distribuição de uma população no espaço. • Não mais falaremos do número de indivíduos numa região. • Ao invés disto, consideraremos a densidade de indivíduos. • Ou seja: o número de indivíduos por unidade de espaço. • Usualmente, denotamos tal densidade por ρ(x, t). Como indicado, é uma função do tempos e do espaço.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Densidade R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos começar a nos ocupar da distribuição de uma população no espaço. • Não mais falaremos do número de indivíduos numa região. • Ao invés disto, consideraremos a densidade de indivíduos. • Ou seja: o número de indivíduos por unidade de espaço. • Usualmente, denotamos tal densidade por ρ(x, t). Como indicado, é uma função do tempos e do espaço. • Em alguns contextos, ao invés de densidade utilizamos a palavra concentração .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Vamos supor que os indivíduos se movimentam de forma Reação e Difusão aleatória.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Vamos supor que os indivíduos se movimentam de forma Reação e Difusão aleatória. • No fundo, pensamos que eles se movem como se fossem partículas de um gás.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Vamos supor que os indivíduos se movimentam de forma Reação e Difusão aleatória. • No fundo, pensamos que eles se movem como se fossem partículas de um gás. • Olhando uma população que se movimenta assim de uma escala de espaço muito maior que o do movimento dos indivíduos, veremos um fenômeno macroscópico chamado de difusão .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Vamos supor que os indivíduos se movimentam de forma Reação e Difusão aleatória. • No fundo, pensamos que eles se movem como se fossem partículas de um gás. • Olhando uma população que se movimenta assim de uma escala de espaço muito maior que o do movimento dos indivíduos, veremos um fenômeno macroscópico chamado de difusão . • Partículas num gas obedecem a lei de Fick.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Vamos supor que os indivíduos se movimentam de forma Reação e Difusão aleatória. • No fundo, pensamos que eles se movem como se fossem partículas de um gás. • Olhando uma população que se movimenta assim de uma escala de espaço muito maior que o do movimento dos indivíduos, veremos um fenômeno macroscópico chamado de difusão . • Partículas num gas obedecem a lei de Fick. • Vamos assumir que os indivíduos de nossa população também obedecem.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • Vamos supor que os indivíduos se movimentam de forma Reação e Difusão aleatória. • No fundo, pensamos que eles se movem como se fossem partículas de um gás. • Olhando uma população que se movimenta assim de uma escala de espaço muito maior que o do movimento dos indivíduos, veremos um fenômeno macroscópico chamado de difusão . • Partículas num gas obedecem a lei de Fick. • Vamos assumir que os indivíduos de nossa população também obedecem. • M AS O QUE É A LEI DE F ICK ?

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fick R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fick R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • A lei de difusão ﬁckiana nos diz que: Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fick R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • A lei de difusão ﬁckiana nos diz que: Difusão • O ﬂuxo de J de material ( que pode ser animais, células, etc) é proporcional ao gradiente da densidade do material:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fick R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • A lei de difusão ﬁckiana nos diz que: Difusão • O ﬂuxo de J de material ( que pode ser animais, células, etc) é proporcional ao gradiente da densidade do material: ∂ρ ∂ρ J = −D ρ ≡ −D( , ) ∂x ∂y

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fick R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • A lei de difusão ﬁckiana nos diz que: Difusão • O ﬂuxo de J de material ( que pode ser animais, células, etc) é proporcional ao gradiente da densidade do material: ∂ρ ∂ρ J = −D ρ ≡ −D( , ) ∂x ∂y • Acima, consideramos o espaço bidimensional.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fick R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • A lei de difusão ﬁckiana nos diz que: Difusão • O ﬂuxo de J de material ( que pode ser animais, células, etc) é proporcional ao gradiente da densidade do material: ∂ρ ∂ρ J = −D ρ ≡ −D( , ) ∂x ∂y • Acima, consideramos o espaço bidimensional. • Para prosseguirmos de uma maneira simples, vamos considerá-lo uni-dimensional:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fick R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • A lei de difusão ﬁckiana nos diz que: Difusão • O ﬂuxo de J de material ( que pode ser animais, células, etc) é proporcional ao gradiente da densidade do material: ∂ρ ∂ρ J = −D ρ ≡ −D( , ) ∂x ∂y • Acima, consideramos o espaço bidimensional. • Para prosseguirmos de uma maneira simples, vamos considerá-lo uni-dimensional: ∂ρ J∼− ∂x

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação de Matéria R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos agora impor a seguinte lei de conservação :

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação de Matéria R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos agora impor a seguinte lei de conservação : • A taxa de variação (no tempo) da quantidade de matéria numa região do espaço é igual ao ﬂuxo de material pelas fronteiras desta região.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação de Matéria R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos agora impor a seguinte lei de conservação : • A taxa de variação (no tempo) da quantidade de matéria numa região do espaço é igual ao ﬂuxo de material pelas fronteiras desta região. • ou seja ( em uma dimensão , sendo (x0 − x1 ) o tamanho da região):

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação de Matéria R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Vamos agora impor a seguinte lei de conservação : • A taxa de variação (no tempo) da quantidade de matéria numa região do espaço é igual ao ﬂuxo de material pelas fronteiras desta região. • ou seja ( em uma dimensão , sendo (x0 − x1 ) o tamanho da região): ∂ x1 ρ(x, t)dx = J(x0 , t) − J(x1 , t) ∂t x0

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação da matéria II R.A. Kraenkel ∂ x1 ∂t x0 ρ(x, t)dx = J(x0 , t) − J(x1 , t) Densidade & Difusão Reação e • Podemos escrever a equação anterior em forma diferencial: Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação da matéria II R.A. Kraenkel ∂ x1 ∂t x0 ρ(x, t)dx = J(x0 , t) − J(x1 , t) Densidade & Difusão Reação e • Podemos escrever a equação anterior em forma diferencial: Difusão • Façamos x1 = x0 + ∆x.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação da matéria II R.A. Kraenkel ∂ x1 ∂t x0 ρ(x, t)dx = J(x0 , t) − J(x1 , t) Densidade & Difusão Reação e • Podemos escrever a equação anterior em forma diferencial: Difusão • Façamos x1 = x0 + ∆x. • Assim, para ∆x → 0:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação da matéria II R.A. Kraenkel ∂ x1 ∂t x0 ρ(x, t)dx = J(x0 , t) − J(x1 , t) Densidade & Difusão Reação e • Podemos escrever a equação anterior em forma diferencial: Difusão • Façamos x1 = x0 + ∆x. • Assim, para ∆x → 0: • xx1 ρ(x, t)dx → ρ(x0 , t)∆x R 0

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação da matéria II R.A. Kraenkel ∂ x1 ∂t x0 ρ(x, t)dx = J(x0 , t) − J(x1 , t) Densidade & Difusão Reação e • Podemos escrever a equação anterior em forma diferencial: Difusão • Façamos x1 = x0 + ∆x. • Assim, para ∆x → 0: • xx1 ρ(x, t)dx → ρ(x0 , t)∆x R 0 “ ” • J(x1 , t) → J(x0 , t) + ∆x ∂J(x,t) ∂x x=x0 • De modo que: „ « ∂ρ ∂J(x, t) ∆x = −∆x ∂t ∂x

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação da matéria II R.A. Kraenkel ∂ x1 ∂t x0 ρ(x, t)dx = J(x0 , t) − J(x1 , t) Densidade & Difusão Reação e • Podemos escrever a equação anterior em forma diferencial: Difusão • Façamos x1 = x0 + ∆x. • Assim, para ∆x → 0: • xx1 ρ(x, t)dx → ρ(x0 , t)∆x R 0 “ ” • J(x1 , t) → J(x0 , t) + ∆x ∂J(x,t) ∂x x=x0 • De modo que: „ « ∂ρ ∂J(x, t) ∆x = −∆x ∂t ∂x • ou, por ﬁm, pela lei de Fick:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Conservação da matéria II R.A. Kraenkel ∂ x1 ∂t x0 ρ(x, t)dx = J(x0 , t) − J(x1 , t) Densidade & Difusão Reação e • Podemos escrever a equação anterior em forma diferencial: Difusão • Façamos x1 = x0 + ∆x. • Assim, para ∆x → 0: • xx1 ρ(x, t)dx → ρ(x0 , t)∆x R 0 “ ” • J(x1 , t) → J(x0 , t) + ∆x ∂J(x,t) ∂x x=x0 • De modo que: „ « ∂ρ ∂J(x, t) ∆x = −∆x ∂t ∂x • ou, por ﬁm, pela lei de Fick: ∂ρ ∂J(x, t) ∂2ρ =− =D 2 ∂t ∂x ∂x

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A equação de difusão R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & Difusão ∂t = D∂ ρ ∂x2 Reação e Difusão • A equação acima é conhecida por equação de difusão .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A equação de difusão R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & Difusão ∂t = D∂ ρ ∂x2 Reação e Difusão • A equação acima é conhecida por equação de difusão . • Em duas dimensões teríamos:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A equação de difusão R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & Difusão ∂t = D∂ ρ ∂x2 Reação e Difusão • A equação acima é conhecida por equação de difusão . • Em duas dimensões teríamos: ∂ρ 2 =D ρ ∂t

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A equação de difusão R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & Difusão ∂t = D∂ ρ ∂x2 Reação e Difusão • A equação acima é conhecida por equação de difusão . • Em duas dimensões teríamos: ∂ρ 2 =D ρ ∂t 2ρ ∂2ρ ∂2ρ onde ≡ ∂x2 + ∂y2

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A equação de difusão R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & Difusão ∂t = D∂ ρ ∂x2 Reação e Difusão • A equação acima é conhecida por equação de difusão . • Em duas dimensões teríamos: ∂ρ 2 =D ρ ∂t 2ρ ∂2ρ ∂2ρ onde ≡ ∂x2 + ∂y2 • Trata-se da mesma equação que descreve a difusão do calor, se interpretarmos ρ como a temperatura.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A equação de difusão R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & Difusão ∂t = D∂ ρ ∂x2 Reação e Difusão • A equação acima é conhecida por equação de difusão . • Em duas dimensões teríamos: ∂ρ 2 =D ρ ∂t 2ρ ∂2ρ ∂2ρ onde ≡ ∂x2 + ∂y2 • Trata-se da mesma equação que descreve a difusão do calor, se interpretarmos ρ como a temperatura. • R ECORDEMOS RAPIDAMENTE ALGUNS FATOS SOBRE ESTA EQUAÇÃO .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão Reação e Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes. • Pode ser resolvida analiticamente.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes. • Pode ser resolvida analiticamente. Observação matemática

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes. • Pode ser resolvida analiticamente. Observação matemática • Para se falar em solução de uma equação diferencial, devemos precisar condições suplementares.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes. • Pode ser resolvida analiticamente. Observação matemática • Para se falar em solução de uma equação diferencial, devemos precisar condições suplementares. • No caso, da equação de difusão , devemos dar a condição inicial ρ(x, 0)

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes. • Pode ser resolvida analiticamente. Observação matemática • Para se falar em solução de uma equação diferencial, devemos precisar condições suplementares. • No caso, da equação de difusão , devemos dar a condição inicial ρ(x, 0) além dos valores de ρ(x, t) nos limites do intervalo de solução

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes. • Pode ser resolvida analiticamente. Observação matemática • Para se falar em solução de uma equação diferencial, devemos precisar condições suplementares. • No caso, da equação de difusão , devemos dar a condição inicial ρ(x, 0) além dos valores de ρ(x, t) nos limites do intervalo de solução ou para x → ±∞.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes. • Pode ser resolvida analiticamente. Observação matemática • Para se falar em solução de uma equação diferencial, devemos precisar condições suplementares. • No caso, da equação de difusão , devemos dar a condição inicial ρ(x, 0) além dos valores de ρ(x, t) nos limites do intervalo de solução ou para x → ±∞. • Resolve-la analiticamente, quer dizer que podemos achar uma fórmula que nos liga ρ(x, t) a ρ(x, 0).

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Equação de difusão R.A. Kraenkel Densidade & • A equação de difusão é uma equação diferencial a derivadas parciais, Difusão uma EDP. Reação e Difusão • É linear, a coeﬁcientes constantes. • Pode ser resolvida analiticamente. Observação matemática • Para se falar em solução de uma equação diferencial, devemos precisar condições suplementares. • No caso, da equação de difusão , devemos dar a condição inicial ρ(x, 0) além dos valores de ρ(x, t) nos limites do intervalo de solução ou para x → ±∞. • Resolve-la analiticamente, quer dizer que podemos achar uma fórmula que nos liga ρ(x, t) a ρ(x, 0). • Baixe um mini-curso sobre a equação do site do Caltech: http://www.rpgroup.caltech.edu/ natsirt/aph162/diffusion.pdf

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Gauss R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A equação de difusão possui uma solução importante: uma função gaussiana.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Gauss R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A equação de difusão possui uma solução importante: uma função gaussiana. • Em uma dimensão temos, para t > 0:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Gauss R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A equação de difusão possui uma solução importante: uma função gaussiana. • Em uma dimensão temos, para t > 0: Q 2 /(4Dt) ρ(x, t) = e−x 2(πDt)1/2 onde Q é uma constante.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Gauss R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A equação de difusão possui uma solução importante: uma função gaussiana. • Em uma dimensão temos, para t > 0: Q 2 /(4Dt) ρ(x, t) = e−x 2(πDt)1/2 onde Q é uma constante. • É uma função gaussiana que vai \"abrindo\" com o tempo.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Gauss R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A equação de difusão possui uma solução importante: uma função gaussiana. • Em uma dimensão temos, para t > 0: Q 2 /(4Dt) ρ(x, t) = e−x 2(πDt)1/2 onde Q é uma constante. • É uma função gaussiana que vai \"abrindo\" com o tempo. • Corresponde a uma condição inicial concentrada em x = 0.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Gauss R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A equação de difusão possui uma solução importante: uma função gaussiana. • Em uma dimensão temos, para t > 0: Q 2 /(4Dt) ρ(x, t) = e−x 2(πDt)1/2 onde Q é uma constante. • É uma função gaussiana que vai \"abrindo\" com o tempo. • Corresponde a uma condição inicial concentrada em x = 0. • Vejamos graﬁcamente.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Gauss: gráﬁcos R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Solução da equação de difusão em 1D Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Gauss: gráﬁcos 2D R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Solução da equação de difusão em 2D Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Vamos por alguma biologia nesta aula! Difusão • Vamos tentar dar um sentido biológico ao que encontramos até agora.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Vamos por alguma biologia nesta aula! Difusão • Vamos tentar dar um sentido biológico ao que encontramos até agora. • Suponha que no tempo t = 0 soltamos uma certa população de N indivíduos em x = 0.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Vamos por alguma biologia nesta aula! Difusão • Vamos tentar dar um sentido biológico ao que encontramos até agora. • Suponha que no tempo t = 0 soltamos uma certa população de N indivíduos em x = 0. • Depois de um certo tempo, queremos saber qual será a extenção ocupada pela população .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Vamos por alguma biologia nesta aula! Difusão • Vamos tentar dar um sentido biológico ao que encontramos até agora. • Suponha que no tempo t = 0 soltamos uma certa população de N indivíduos em x = 0. • Depois de um certo tempo, queremos saber qual será a extenção ocupada pela população . • Sejamos mais especíﬁcos: queremos saber a extenção da região que contêm 95% da população .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Sabendo a densidade uma população pode-se saber a Difusão população numa certa região.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Sabendo a densidade uma população pode-se saber a Difusão população numa certa região. Em 1D temos:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Sabendo a densidade uma população pode-se saber a Difusão população numa certa região. Em 1D temos: +L População entre −L e L = NL = ρ(x, t)dx. −L

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Sabendo a densidade uma população pode-se saber a Difusão população numa certa região. Em 1D temos: +L População entre −L e L = NL = ρ(x, t)dx. −L • Se inserirmos a função gaussiana para ρ(x, t), ﬁzermos a integral ( e usarmos uma tabela de integrais), obteremos que √ 95% da população está num raio de tamanho 2 2Dt.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Sabendo a densidade uma população pode-se saber a Difusão população numa certa região. Em 1D temos: +L População entre −L e L = NL = ρ(x, t)dx. −L • Se inserirmos a função gaussiana para ρ(x, t), ﬁzermos a integral ( e usarmos uma tabela de integrais), obteremos que √ 95% da população está num raio de tamanho 2 2Dt. • Ou seja, o alcance da população cresce com o tempo, proporcional à t1/2 .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Sabendo a densidade uma população pode-se saber a Difusão população numa certa região. Em 1D temos: +L População entre −L e L = NL = ρ(x, t)dx. −L • Se inserirmos a função gaussiana para ρ(x, t), ﬁzermos a integral ( e usarmos uma tabela de integrais), obteremos que √ 95% da população está num raio de tamanho 2 2Dt. • Ou seja, o alcance da população cresce com o tempo, proporcional à t1/2 . • Ou, a uma velocidade proporcional à t−1/2 .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão:biologia R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Sabendo a densidade uma população pode-se saber a Difusão população numa certa região. Em 1D temos: +L População entre −L e L = NL = ρ(x, t)dx. −L • Se inserirmos a função gaussiana para ρ(x, t), ﬁzermos a integral ( e usarmos uma tabela de integrais), obteremos que √ 95% da população está num raio de tamanho 2 2Dt. • Ou seja, o alcance da população cresce com o tempo, proporcional à t1/2 . • Ou, a uma velocidade proporcional à t−1/2 . Decrescente.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão + Crescimento R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • No entanto, esta hipotética população é uma que não cresce.... Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão + Crescimento R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • No entanto, esta hipotética população é uma que não cresce.... Difusão • O crescimento da população pode ser facilmente incorporado:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão + Crescimento R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • No entanto, esta hipotética população é uma que não cresce.... Difusão • O crescimento da população pode ser facilmente incorporado: ∂ρ ∂2ρ = D 2 + aρ(x, t) ∂t ∂x • É ainda uma equação linear.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão + Crescimento R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • No entanto, esta hipotética população é uma que não cresce.... Difusão • O crescimento da população pode ser facilmente incorporado: ∂ρ ∂2ρ = D 2 + aρ(x, t) ∂t ∂x • É ainda uma equação linear. • Mas evidentemente,

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão + Crescimento R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • No entanto, esta hipotética população é uma que não cresce.... Difusão • O crescimento da população pode ser facilmente incorporado: ∂ρ ∂2ρ = D 2 + aρ(x, t) ∂t ∂x • É ainda uma equação linear. • Mas evidentemente, como já aprendemos nas aulas anteriores, podemos introduzir tambésm um termo afeito à competição intra-especíﬁca:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Difusão + Crescimento R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • No entanto, esta hipotética população é uma que não cresce.... Difusão • O crescimento da população pode ser facilmente incorporado: ∂ρ ∂2ρ = D 2 + aρ(x, t) ∂t ∂x • É ainda uma equação linear. • Mas evidentemente, como já aprendemos nas aulas anteriores, podemos introduzir tambésm um termo afeito à competição intra-especíﬁca: ∂ρ ∂2ρ = D 2 + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂t ∂x

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão Figure: Robert. A. Fisher

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão Figure: Robert. A. Fisher Figure: Alexander N. Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • A equação acima é a equação dita de Fisher-Kolmogorov. Figure: Robert. A. Fisher Figure: Alexander N. Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • A equação acima é a equação dita de Fisher-Kolmogorov. • É a equação mais simples descrevendo a difusão , Figure: Robert. A. Fisher Figure: Alexander N. Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • A equação acima é a equação dita de Fisher-Kolmogorov. • É a equação mais simples descrevendo a difusão , crescimento e Figure: Robert. A. Fisher Figure: Alexander N. Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • A equação acima é a equação dita de Fisher-Kolmogorov. • É a equação mais simples descrevendo a difusão , crescimento e auto-competição de uma espécie. Figure: Robert. A. Fisher Figure: Alexander N. Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • A equação acima é a equação dita de Fisher-Kolmogorov. • É a equação mais simples descrevendo a difusão , crescimento e auto-competição de uma espécie. Figure: Robert. A. Fisher • É não-linear. • Faz parte de uma classe de equações ditas de “reação -difusão ”. Figure: Alexander N. Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • A equação acima é a equação dita de Fisher-Kolmogorov. • É a equação mais simples descrevendo a difusão , crescimento e auto-competição de uma espécie. Figure: Robert. A. Fisher • É não-linear. • Faz parte de uma classe de equações ditas de “reação -difusão ”. • Esta nomenclatura vem da química. Figure: Alexander N. Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • A equação acima é a equação dita de Fisher-Kolmogorov. • É a equação mais simples descrevendo a difusão , crescimento e auto-competição de uma espécie. Figure: Robert. A. Fisher • É não-linear. • Faz parte de uma classe de equações ditas de “reação -difusão ”. • Esta nomenclatura vem da química. • A sua generalização bi-dimensional é óbvia: Figure: Alexander N. Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • A equação acima é a equação dita de Fisher-Kolmogorov. • É a equação mais simples descrevendo a difusão , crescimento e auto-competição de uma espécie. Figure: Robert. A. Fisher • É não-linear. • Faz parte de uma classe de equações ditas de “reação -difusão ”. • Esta nomenclatura vem da química. • A sua generalização bi-dimensional é óbvia: Figure: Alexander N. ∂ρ 2 Kolmogorov =D ρ + aρ − bρ2 ∂t

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • Vamos agora voltar a nos ocupar da situação em que uma população é solta num ponto (x = 0), e se espalha pelo espaço.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • Vamos agora voltar a nos ocupar da situação em que uma população é solta num ponto (x = 0), e se espalha pelo espaço. • Mas agora, esta população obedece a equação de Fisher-Kolmogorov

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • Vamos agora voltar a nos ocupar da situação em que uma população é solta num ponto (x = 0), e se espalha pelo espaço. • Mas agora, esta população obedece a equação de Fisher-Kolmogorov (e não mais, a equação de difusão simples).

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • Vamos agora voltar a nos ocupar da situação em que uma população é solta num ponto (x = 0), e se espalha pelo espaço. • Mas agora, esta população obedece a equação de Fisher-Kolmogorov (e não mais, a equação de difusão simples). • Não temos mais a mesma fórmula gaussiana para a solução .

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel ∂ρ 2 Densidade & ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Difusão Reação e Difusão • Vamos agora voltar a nos ocupar da situação em que uma população é solta num ponto (x = 0), e se espalha pelo espaço. • Mas agora, esta população obedece a equação de Fisher-Kolmogorov (e não mais, a equação de difusão simples). • Não temos mais a mesma fórmula gaussiana para a solução . • Graﬁcamente temos o seguinte:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel 2 ∂ρ ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Densidade & Difusão Reação e Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel 2 ∂ρ ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Densidade & Difusão Reação e Difusão • A frente de onda da equação de Fisher-Kolmogorov move-se com √ velocidade constante v = 2 aD.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel 2 ∂ρ ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Densidade & Difusão Reação e Difusão • A frente de onda da equação de Fisher-Kolmogorov move-se com √ velocidade constante v = 2 aD. • Lembre-se: no caso da difusão simples, a velocidade decrescia com o tempo.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel 2 ∂ρ ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Densidade & Difusão Reação e Difusão • A frente de onda da equação de Fisher-Kolmogorov move-se com √ velocidade constante v = 2 aD. • Lembre-se: no caso da difusão simples, a velocidade decrescia com o tempo. • Isso nos permite comparações com observações de campo.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Fisher-Kolmogorov R.A. Kraenkel 2 ∂ρ ∂t = D ∂ ρ + aρ(x, t) − bρ2 (x, t) ∂x2 Densidade & Difusão Reação e Difusão • A frente de onda da equação de Fisher-Kolmogorov move-se com √ velocidade constante v = 2 aD. • Lembre-se: no caso da difusão simples, a velocidade decrescia com o tempo. • Isso nos permite comparações com observações de campo. • O que devemos observar é a velocidade de avanço de uma espécie.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Note: a velocidade não depende de b.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Note: a velocidade não depende de b. • Assim, na realidade a velocidade de propagação constante é um fenômeno independente da saturação logística.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Note: a velocidade não depende de b. • Assim, na realidade a velocidade de propagação constante é um fenômeno independente da saturação logística.Só foi introduzida para evitarmos funções ilimitadas.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Note: a velocidade não depende de b. • Assim, na realidade a velocidade de propagação constante é um fenômeno independente da saturação logística.Só foi introduzida para evitarmos funções ilimitadas. • A equação ∂ρ ∂ 2ρ =D + aρ(x, t) ∂t ∂x2 é dita equação de Skellam.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Note: a velocidade não depende de b. • Assim, na realidade a velocidade de propagação constante é um fenômeno independente da saturação logística.Só foi introduzida para evitarmos funções ilimitadas. • A equação ∂ρ ∂ 2ρ =D + aρ(x, t) ∂t ∂x2 é dita equação de Skellam. Ouviremos falar muito neste senhor na aula que vem.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O exemplo clássico R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão O rato almiscarado • O rato almiscarado (muskrat), uma espécie nativa do continente americano, foi introduzido na Europa.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O exemplo clássico R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão O rato almiscarado • O rato almiscarado (muskrat), uma espécie nativa do continente americano, foi introduzido na Europa. • Em 1905, cinco indivíduos foram introduzidos em Praga.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O exemplo clássico R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão O rato almiscarado • O rato almiscarado (muskrat), uma espécie nativa do continente americano, foi introduzido na Europa. • Em 1905, cinco indivíduos foram introduzidos em Praga. • Hoje, existem milhões na Europa.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O exemplo clássico R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão O rato almiscarado • O rato almiscarado (muskrat), uma espécie nativa do continente americano, foi introduzido na Europa. • Em 1905, cinco indivíduos foram introduzidos em Praga. • Hoje, existem milhões na Europa. • Na próxima transparência, a sua expansão ao redor de Praga nos 17 primeiros anos.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O rato almiscarado R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e 1905 Difusão

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam ! R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • A partir das medidas, podemos fazer o gráﬁco da \"frente de Reação e Difusão onda\" em função do tempo.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam ! R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • A partir das medidas, podemos fazer o gráﬁco da \"frente de Reação e Difusão onda\" em função do tempo. • Ei-lo:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam ! R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • A partir das medidas, podemos fazer o gráﬁco da \"frente de Reação e Difusão onda\" em função do tempo. • Ei-lo: • Uma reta.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam ! R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • A partir das medidas, podemos fazer o gráﬁco da \"frente de Reação e Difusão onda\" em função do tempo. • Ei-lo: • Uma reta. A velocidade é constante.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Skellam ! R.A. Kraenkel Densidade & Difusão • A partir das medidas, podemos fazer o gráﬁco da \"frente de Reação e Difusão onda\" em função do tempo. • Ei-lo: • Uma reta. A velocidade é constante. Skellam dixit!.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Micro X macro R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Da teoria do movimento browniano poderíamos estimar o coeﬁciente D como sendo o deslocamento quadrático médio por unidade de tempo.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Micro X macro R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Da teoria do movimento browniano poderíamos estimar o coeﬁciente D como sendo o deslocamento quadrático médio por unidade de tempo. • Podemos estimar a ordem de grandeza D a partir de considerações sobre as escalas de espaço e tempo sobre os quais se move um indivíduo.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Micro X macro R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Da teoria do movimento browniano poderíamos estimar o coeﬁciente D como sendo o deslocamento quadrático médio por unidade de tempo. • Podemos estimar a ordem de grandeza D a partir de considerações sobre as escalas de espaço e tempo sobre os quais se move um indivíduo. • No mais das vezes, obteríamos valor de D errados.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Micro X macro R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Da teoria do movimento browniano poderíamos estimar o coeﬁciente D como sendo o deslocamento quadrático médio por unidade de tempo. • Podemos estimar a ordem de grandeza D a partir de considerações sobre as escalas de espaço e tempo sobre os quais se move um indivíduo. • No mais das vezes, obteríamos valor de D errados. Grandes demais.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Micro X macro R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Da teoria do movimento browniano poderíamos estimar o coeﬁciente D como sendo o deslocamento quadrático médio por unidade de tempo. • Podemos estimar a ordem de grandeza D a partir de considerações sobre as escalas de espaço e tempo sobre os quais se move um indivíduo. • No mais das vezes, obteríamos valor de D errados. Grandes demais. • Por que?

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Área de vida R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Muitso animais têm área de vida.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Área de vida R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Muitso animais têm área de vida. • A área de vida vem de diversos fatores: a necessidade buscar alimentos, mas também \" voltar para a toca\".

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Área de vida R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Muitso animais têm área de vida. • A área de vida vem de diversos fatores: a necessidade buscar alimentos, mas também \" voltar para a toca\". • Assim, o avanço difusivo é sempre mais lento

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Área de vida R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Muitso animais têm área de vida. • A área de vida vem de diversos fatores: a necessidade buscar alimentos, mas também \" voltar para a toca\". • Assim, o avanço difusivo é sempre mais lento • E então, o que faço com o termo difusivo na equação ? • F ICA F RIO.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Área de vida R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Muitso animais têm área de vida. • A área de vida vem de diversos fatores: a necessidade buscar alimentos, mas também \" voltar para a toca\". • Assim, o avanço difusivo é sempre mais lento • E então, o que faço com o termo difusivo na equação ? • F ICA F RIO.Está tudo bem com ele.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Área de vida R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • Muitso animais têm área de vida. • A área de vida vem de diversos fatores: a necessidade buscar alimentos, mas também \" voltar para a toca\". • Assim, o avanço difusivo é sempre mais lento • E então, o que faço com o termo difusivo na equação ? • F ICA F RIO.Está tudo bem com ele. • Considere-o como sendo um coeﬁciente fenomenológico.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Exemplo; Hantavirus R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Em 2000, uma nova espécie de Hantavirus foi descoberta, Difusão causando uma síndrome respiratória grave em humanos.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Exemplo; Hantavirus R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Em 2000, uma nova espécie de Hantavirus foi descoberta, Difusão causando uma síndrome respiratória grave em humanos.Isso no Panamá.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Exemplo; Hantavirus R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Em 2000, uma nova espécie de Hantavirus foi descoberta, Difusão causando uma síndrome respiratória grave em humanos.Isso no Panamá. • O hospedeiro é o Oligoryzomys fulvescens.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Exemplo; Hantavirus R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Em 2000, uma nova espécie de Hantavirus foi descoberta, Difusão causando uma síndrome respiratória grave em humanos.Isso no Panamá. • O hospedeiro é o Oligoryzomys fulvescens. Ei-lo:

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Exemplo; Hantavirus R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Em 2000, uma nova espécie de Hantavirus foi descoberta, Difusão causando uma síndrome respiratória grave em humanos.Isso no Panamá. • O hospedeiro é o Oligoryzomys fulvescens. Ei-lo: • Onde há o rato, há o hantavirus.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Exemplo; Hantavirus R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e • Em 2000, uma nova espécie de Hantavirus foi descoberta, Difusão causando uma síndrome respiratória grave em humanos.Isso no Panamá. • O hospedeiro é o Oligoryzomys fulvescens. Ei-lo: • Onde há o rato, há o hantavirus. • A doença se espalha seguindo o hospedeiro.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Hantavirus II R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A difusão do hospedeiro é bem modelada por um termo difusivo.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Hantavirus II R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A difusão do hospedeiro é bem modelada por um termo difusivo. • Mas D é pequeno.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Hantavirus II R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A difusão do hospedeiro é bem modelada por um termo difusivo. • Mas D é pequeno. • O Oligoryzomys fulvescens possui tocas e tem uma área de vida limitada.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Hantavirus II R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A difusão do hospedeiro é bem modelada por um termo difusivo. • Mas D é pequeno. • O Oligoryzomys fulvescens possui tocas e tem uma área de vida limitada. • Mas ele se difunde pela migração de ratos juvenis.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Hantavirus II R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A difusão do hospedeiro é bem modelada por um termo difusivo. • Mas D é pequeno. • O Oligoryzomys fulvescens possui tocas e tem uma área de vida limitada. • Mas ele se difunde pela migração de ratos juvenis. • O evento é estatisticamente raro.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Hantavirus II R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A difusão do hospedeiro é bem modelada por um termo difusivo. • Mas D é pequeno. • O Oligoryzomys fulvescens possui tocas e tem uma área de vida limitada. • Mas ele se difunde pela migração de ratos juvenis. • O evento é estatisticamente raro. • Mas induz uma difusão da espécie.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Hantavirus II R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • A difusão do hospedeiro é bem modelada por um termo difusivo. • Mas D é pequeno. • O Oligoryzomys fulvescens possui tocas e tem uma área de vida limitada. • Mas ele se difunde pela migração de ratos juvenis. • O evento é estatisticamente raro. • Mas induz uma difusão da espécie. • O coeﬁciente D em nossa equação é um resumo ﬁnal deste processo de movimento animal.

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Referências R.A. Kraenkel Densidade & Difusão Reação e Difusão • J.D. Murray: Mathematical Biology I e II (Springer, 2002) • N.F. Britton: Essential Mathematical Biology ( Springer, 2003). • R.S. Stephen e C. Cosner: Spatial Ecology via Reaction-Diffusion Equations (Wiley, 2003). • A. Okubo e S.A. Levin: Diffusion and Ecological Problems (Springer, 2001).

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações V

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