บทความทางคณิตศาสตร์

1. John Wallis (1616-1703)
π 2 2 4 4 6 6
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ L
2 1 3 3 5 5 7 Wallis’ Product (version 1)
John Wallis (ค.ศ. 1616-1703) นักคณิตศาสตรชาวอังกฤษ ผูมีสวนรวมในการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห
และภาคตัดกรวย (conic sections) รวมกับ René Descartes โดยผลงานทางคณิตศาสตรของเขาเนนในเรื่อง
ตรีโกณมิติ แคลคูลัส เรขาคณิตวิเคราะห และการวิเคราะหอนุกรมอนันต นอกจากนั้นเครื่องหมาย ∞ (infinity)
ที่เราใชกันอยูในปจจุบันก็เปน “ สิ่งประดิษฐทางคณิตศาสตร ” หนึ่งในจํานวนผลงานอันมากมายของเขาอีก
ดวย
ในป ค.ศ. 1655 John Wallis ไดเสนอผลคูณอนันต (infinite product) ของตัวเลขชุดหนึ่ง ซึ่งคาของผล
คูณอนันตนั้นลูเขา (convergent) หาคาคงที่ ที่มีความสําคัญอยางมากในคณิตศาสตร นั่นคือ พาย ( π ) และเรียก
ชุดของผลคูณอนันตนั้นวา “ ผลคูณของวอลลิซ (Wallis’ product) ”
ผูเขียนมีความตั้งใจนําเสนอวิธีการพิสูจนคา π ที่เขียนอยูในรูปผลคูณของวอลลิซ โดยการพิสูจนในฉบับ
นี้จะอาศัยวิธีการทางแคลคูลัสเชิงปริพันธ (integral calculus) เริ่มตนจากการพิจารณาปริพันธจํากัดเขต (finite
integral) ของฟงกชั่นตรีโกณมิติ sin p x ที่อยูในรูป
π 2
∫0
sin p x dx
โดยพิจารณา กรณีที่ p = 2n , 2n + 1 และ p = 2n + 2 สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n ซึ่งเปนการหา
ปริพันธของฟงกชั่นที่เขียนในรูปแบบทั่วไป ทําไดโดยอาศัยสูตรลดทอน (reduction formula) ดังนี้ (โดยขอไม

2. แสดงการพิสูจน และหากผูอานตองการทราบขั้นตอนการพิสูจน สามารถทําโดยอาศัยเทคนิคการหาปริพันธที
ละสวน (integration by parts) หรือศึกษาจากเอกสารอางอิงทายบทความ)
sin p −1 x ⋅ cos x p − 1
I p = ∫ sin p x dx = − สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก
p ∫
+ sin p − 2 x dx + c p≥2
p
พิจารณาปริพันธจํากัดเขตจาก x=0 ถึง x= π
2 ของฟงกชั่น sin p x ในกรณีตางๆ ดังนี้
π 2
1. กรณีที่ p = 2n จากสูตรลดทอนเรามี I 2n = ∫
0
sin 2 n x dx
π 2
⎛ sin 2 n −1 x ⋅ cos x ⎞ 2n − 1 π 2 2 n − 2
2n ∫0
= −⎜
⎜ ⎟
⎟ + sin x dx
⎝ 2n ⎠ x =0
2n − 1 π 2 2 n − 2
(1)
2n ∫0
= sin x dx
การหาผลเฉลยในรูปแบบทั่วไป (general solution) ของคาปริพันธในสมการ (1) พิจารณาไดจากแทนคา
n = 1 , 2 , ... แล ว หาความสั ม พั น ธ ใ นลั ก ษณะของพจน ทั่ ว ไป ซึ่ ง เราจะแสดงให เ ห็ น ต อ ไปว า ผลเฉลยใน
รูปแบบทั่วไปที่กลาวถึงนั้น อยูในรูปของผลคูณอนันต (infinite products)
1 π2 1 π 2 ⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞
สําหรับ n = 1 ; I1 = ∫0 dx = 2 x 0 = ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟
2 ⎝ ⎠⎝ ⎠
3 π2 3 π 2 ⎛ 1 − cos 2 x ⎞
สําหรับ n = 2 ; I 2 = ∫ sin 2 x dx = ∫ ⎜ ⎟ dx
4 0 4 0 ⎝ 2 ⎠
{ จากเอกลักษณ sin 2 θ = 1 − cos 2θ }
2
π 2
3 ⎛ x sin 2 x ⎞
= ⎜ − ⎟
4⎝2 4 ⎠ x =0
⎛ 3 ⎞⎛ π ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
5 π 2 ⎛ 1 − cos 2 x ⎞
2
5 π2
สําหรับ n=3 ; I 3 = ∫ sin 4 x dx = ∫ ⎜ ⎟ dx
6 0 6 0 ⎝ 2 ⎠
5 1 π 2
(
= ⋅ ∫ 1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx
6 4 0
)
5 1 π 2⎛ 1 + cos 4 x ⎞
= ⋅ ∫ ⎜1 − 2 cos 2 x + ⎟ dx
6 4 0
⎝ 2 ⎠
{ จากเอกลักษณ cos 2 θ = 1 + cos 2θ }
2
π 2
5 1⎛ 1 1 ⎞
= ⋅ ⎜ x − sin 2 x + x + sin 4 x ⎟
6 4⎝ 2 8 ⎠ x =0

3. π 2
5 1 ⎛ 3x ⎞
= ⋅ ⎜ ⎟
6 4 ⎝ 2 ⎠ x =0
⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 3π ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 6 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
โดยสังเกตความสัมพันธขางตน จะพบวา
⎛ 2n − 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞
สําหรับ n = n ; In = ⎜ ⎟ L ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 2n ⎠ ⎝ 6 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
ดังนั้น
π 2 ⎛ π ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 2n − 1 ⎞ π n ⎛ 2i − 1 ⎞
I 2n = ∫ sin 2 n x dx = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ L ⎜ ⎟ = ∏⎜ ⎟
0
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 2n ⎠ 2 i =1 ⎝ 2i ⎠
π 2
2. กรณีที่ p = 2n + 1 จากสูตรลดทอนเรามี I 2 n +1 = ∫
0
sin 2 n +1 x dx
π 2
⎛ sin 2 n x ⋅ cos x ⎞ 2n π 2 2 n −1
2n + 1 ∫0
= −⎜
⎜ ⎟
⎟ + sin x dx
⎝ 2n + 1 ⎠ x =0
2n π 2
= ∫0 sin x dx
2 n −1
(2)
2n + 1
คาปริพันธในสมการ (2) พิจารณาไดในทํานองเดียวกับกรณีแรก คือ
π 2
2 π2
I 1 = ∫ sin x dx = − (cos x ) =
2 2
สําหรับ n = 1 ;
3 0 3 0 3
4 π2
สําหรับ n = 2 ; I 2 = ∫ sin 3 x dx
5 0
= ∫ (1 − cos 2 x )sin x dx = − ∫ (1 − cos 2 x ) d (cos x )
4 π2 4 π2
5 0 5 0
π 2
4⎛ cos 3 x ⎞
= − ⎜ cos x − ⎟
5⎜
⎝ 3 ⎟ x =0
⎠
4 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 2 ⎞
= ⎜1 − ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟
5 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎝ 3 ⎠
6 π2
สําหรับ n = 3 ; I 3 = ∫ sin 5 x dx
7 0
= ∫ (1 − cos 2 x ) sin x dx
6 π2 2
7 0
6 π2
(
= − ∫ 1 − 2 cos 2 x + cos 4 x d (cos x )
7 0
)
π 2
6⎛ 2 1 ⎞
= − ⎜ cos x − cos 3 x + cos 5 x ⎟
7⎝ 3 5 ⎠ x =0
⎛ 6 ⎞⎛ 8 ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 2 ⎞
= ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠⎝ 15 ⎠ ⎝ 7 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 3 ⎠

4. โดยสังเกตความสัมพันธขางตน จะพบวา
⎛ 2n ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 2 ⎞
สําหรับ n = n ; In = ⎜ ⎟ L ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 2n + 1 ⎠ ⎝ 7 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 3 ⎠
ดังนั้น
π 2 ⎛ 2 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 6 ⎞ ⎛ 2n ⎞ n
⎛ 2i ⎞
I 2 n +1 = ∫ sin 2 n +1 x dx = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ L ⎜ ⎟ = ∏⎜ ⎟
0
⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 7 ⎠ ⎝ 2n + 1 ⎠ i =1 ⎝ 2i + 1 ⎠
3. กรณีที่ p = 2n + 2 จากสูตรลดทอนเรามี I 2 n + 2 = ∫ sin 2 n + 2 x dx
π 2
⎛ sin 2 n +1 x ⋅ cos x ⎞ 2n + 1 π 2 2 n
= −⎜
⎜
⎝ 2n + 2
⎟
⎟ + ∫ sin x dx
⎠ x = 0 2n + 2 0
2n + 1 π 2 2 n
(3)
2n + 2 ∫0
= sin x dx
รูปแบบทั่วไปของปริพันธในสมการ (3) ใหเราสังเกตวา เมื่อแทนคา n = 1 จะได I 1 ในกรณีนี้มีคา
เทากับ I2 ในกรณีที่ p = 2n
3 π2 2 ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞
สําหรับ n = 1 ; I1 = ∫0 sin x dx =⎜ 4 ⎟⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ {เทากับ I 2 ในกรณีที่ p = 2n }
4 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
5 π2 ⎛ 5 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞
สําหรับ n = 2 ; I 3 = ∫ sin 4 x dx =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ {เทากับ I 3 ในกรณีที่ p = 2n }
6 0
⎝ 6 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
7 π2 ⎛ 7 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞
สําหรับ n = 3 ; I 3 = ∫ sin 6 x dx = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ {เทากับ I 4 ในกรณีที่ p = 2n }
8 0 ⎝ 8 ⎠⎝ 6 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 7 ⎞ ⎛ 2n + 1 ⎞
สําหรับ n = n ; I n = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ L ⎜ ⎜ ⎟
⎟ {เทากับ I n+1 ในกรณีที่ p = 2n }
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎝ 2(n + 1) ⎠
ดังนั้น
π 2 ⎛ π ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 2n − 1 ⎞ π n ⎛ 2i + 1 ⎞
I 2n+2 = ∫ sin 2 n + 2 x dx = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ L⎜ ⎟ = ∏⎜⎜ ⎟
⎟
0
⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 2n ⎠ 4 i =1 ⎝ 2(i + 1) ⎠
เราสรุปคาปริพันธจํากัดเขต ของฟงกชั่น sin p x ในกรณีตางๆ ไดดังนี้
⎧ ⎛ π ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 2n − 1 ⎞
⎪ I 2n = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ L ⎜ ⎟ if p = 2n
⎪ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 2n ⎠
π ⎪ ⎛ π ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 6 ⎞ ⎛ 2n ⎞
∫
2
sin p x dx = ⎨ I 2 n +1 = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ L ⎜ ⎟ if p = 2n + 1
0
⎪ ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 7 ⎠ ⎝ 2n + 1 ⎠
⎪ ⎛ π ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 7 ⎞ ⎛ 2n − 1 ⎞
⎪ I 2n+2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ L ⎜ ⎟ if p = 2n + 2
⎩ ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎝ 2n ⎠

5. ในการเปรียบเทียบคาปริพันธที่อยูในรูปผลคูณอนันต สามารถทําไดโดยอาศัยสมบัติการเปรียบเทียบ
(comparison property) ดังทฤษฎีบท 1 และ 2 ตอไปนี้ (โดยไมกลาวถึงการพิสูจน)
ทฤษฎี บ ท 1 ให f เป น ฟ ง ก ชั่ น ที่ ส ามารถหาปริ พั น ธ ไ ด บ นช ว ง [a, b] และ f (x ) ≥ 0 สํ า หรั บ ทุ ก ค า
x ∈ [a, b] แลว ∫ f ( x ) dx ≥ 0 □
b
a
ทฤษฎีบท 2 ถา f และ g เปนฟงกชั่นที่สามารถหาปริพันธไดบนชวง [a, b] และ f (x ) ≤ g (x ) สําหรับทุก
คา x ∈ [a, b] แลว ∫a f (x ) dx ≤ ∫a g (x ) dx □
b b
ในทฤษฎีบท 2 ทําใหเราสามารถเปรียบเทียบคาปริพันธทั้งสามที่อยูในรูปผลคูณอนันตได โดยการพิจารณาที่
ตั ว ถู ก ปริ พั น ธ (integrand) เนื่ อ งจากฟ ง ก ชั่ น ตรี โ กณมิ ติ sin x เป น ฟ ง ก ชั่ น ลดบนโดเมน [0, π2 ] และ
2n ≤ 2n + 1 ≤ 2n + 2 สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n
ดังนั้น
sin 2 n x ≥ sin 2 n +1 x ≥ sin 2 n + 2 x
จากสมบัติการเปรียบเทียบในทฤษฎีบท 2 จึงสรุปไดวา
I 2 n ≥ I 2 n +1 ≥ I 2 n + 2
π 2
เนื่องจากในควอดรันตที่หนึ่ง sin 2 n x > 0 โดยทฤษฎีบท 1 จะไดวา I 2n = ∫0 sin 2 n x dx > 0 เมื่อนํามาหาร
ตลอดอสมการ จึงไมเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย นั่นคือ
I 2 n +1 I 2 n + 2
1≥ ≥ (4)
I 2n I 2n
เราสามารถเปรียบเทียบผลลัพธของปริพันธในสมการ (4) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n ใดๆ โดย
กําหนดให n → ∞ และอาศัยทฤษฎีบท 3 ตอไปนี้
ทฤษฎีบท 3 ( Sandwich theorem for sequences ) พิจารณาลําดับของจํานวนจริงซึ่ง an ≤ bn ≤ cn โดยที่
n เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ ถา lim a n = lim c n = L แลว lim bn = L
n →∞ n→∞ n→∞

6. พจนดานขวา ของอสมการ (4) อยูในรูป
n
⎛ 2i + 1 ⎞
π
4 ∏ ⎜ 2(i + 1) ⎟
⎜ ⎟
I 2n+ 2
= ⎝
i =1 ⎠
I 2n ⎛ 2i − 1 ⎞
n
2 ∏⎜
π
⎟
i =1 ⎝ 2i ⎠
⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 7 ⎞ ⎛ 2n − 1 ⎞⎛ 2n + 1 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ K⎜ ⎟⎜ ⎟
1 ⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎝ 2n ⎠⎝ 2n + 2 ⎠
= ⋅
2 ⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 7 ⎞ ⎛ 2n − 1 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ K ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎝ 2n ⎠
จะเห็นวาในเศษสวนซอนนัน มีตัวเศษและตัวสวนตัดกันเปนคูๆ จะได
้
I 2 n + 2 2n + 1
=
I 2n 2n + 2
เมื่อพิจารณาเปนผลคูณอนันต ทําโดยกําหนดใหเปนคาลิมิต เมื่อ n → ∞ จะได
1
2+
I 2n+2 n =1
lim = lim
n→∞ I 2n n →∞ 1
2+
n
ดังนั้น
I 2n+2
lim =1
n→∞ I
2n
I 2n+2
พจนกลาง จาก Sandwich Theorem (ทฤษฎีบท 3) โดยพิจารณา lim
n →∞
= 1 และ lim 1 = 1
n→∞
จึงสรุปไดวา
I 2n
I 2 n +1
lim
n →∞ I
=1 (5)
2n
n
⎛ 2i ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 6 ⎞⎛ 8 ⎞ ⎛ 2n ⎞
I 2 n +1 ∏ ⎜ 2i + 1 ⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ K⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 7 ⎠⎝ 9 ⎠ ⎝ 2n + 1 ⎠
พิจารณา = ni =1
=
I 2n ⎛ 2i − 1 ⎞ ⎛ π ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 7 ⎞ ⎛ 2n − 1 ⎞
2 ∏⎜
π
⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ K⎜ ⎟
i =1 ⎝ 2i ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎝ 2n ⎠
⎡ ⎛ 2 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 6 ⎞⎛ 8 ⎞ ⎛ 2n ⎞ ⎤
⎢ 2 ⎜ 3 ⎟⎜ 5 ⎟⎜ 7 ⎟⎜ 9 ⎟ K ⎜ 2n + 1 ⎟ ⎥
= lim ⎢ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥
I 2 n +1
จะได lim
n →∞ ⎢ π ⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 7 ⎞
n→∞ I 2n ⎛ 2n − 1 ⎞ ⎥
⎢ ⎜ 2 ⎟⎜ 4 ⎟⎜ 6 ⎟⎜ 8 ⎟ K ⎜ 2n ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

7. ⎡ 2 ⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 6 ⎞⎛ 6 ⎞⎛ 8 ⎞ ⎛ 2n ⎞⎛ 2n ⎞⎤
= lim ⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ K⎜ ⎟⎜ ⎟⎥
n →∞ π
⎣ ⎝ 1 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 7 ⎠⎝ 7 ⎠ ⎝ 2n − 1 ⎠⎝ 2n + 1 ⎠⎦
2 ⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 6 ⎞⎛ 6 ⎞
1= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ K (จากสมการ (5))
π ⎝ 1 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 7 ⎠
ดังนั้น
π 2 2 4 4 6 6
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ K
2 1 3 3 5 5 7
ในบทความนี้ เราไดนําความรูแคลคูลัสเชิงปริพันธ และฟงกชนตรีโกณมิติไซน มาประยุกตใชในการ
ั่
พิสูจนผลคูณของวอลลิซ ซึ่งทําใหเราสามารถหาคาพายทีอยูในรูปผลคูณอนันตได นอกจากนั้น เรายังสามารถ
่
พิสูจนผลคูณของวอลลิซดวยวิธีการอื่นไดอก โดยผูเขียนจะนํามาเสนอในโอกาสตอไป
ี
หมายเหตุ บทความนี้ผูเขียนตั้งใจทีจะนําเอาคําวา “ ปริพันธ ” มาใชแทนคําเดิมคือ “ อินทิเกรต ” ที่มีใชกันอยู
่
กอนซึ่งเปนทับศัพทมาจากภาษาอังกฤษ คือ integrate และคําวา “ ตัวถูกปริพันธ ” ในความหมายเดิมคือ ตัวถูก
อินทิเกรต (integrand) โดยตองการใหเกิดความคุนเคย และมีการนําคําดังกลาวไปใชกันมากขึ้น
เอกสารอางอิง
1. James Stewart, Single Variable Calculus: Early Transcendentals (6th edition), Thomson
Brooks/Cole, USA, 2008.
2. ภาพนํามาจาก www.wikipedia free encyclopedia.org
ขอมูลผูเขียน : นายอิทธิเดช มูลมั่งมี นักศึกษาปริญญาโท ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล
คณะวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบุรี
ชื่อบัญชี นายอิทธิเดช มูลมั่งมี เลขที่บัญชี 029-0-06107-5 ประเภทออมทรัพย ธนาคารกรุงไทย
สาขา ถนนสุขสวัสดิ์ ที่อยู 53/463 หมูบานสามัคคี (นวมินทร 105) ถนนนวมินทร ตําบลคลองกุม

เขตบึงกุม กทม. 10240 เบอรโทรศัพท 08-6579-4040 หรือ 02-5108103