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Algunos conceptos de estabilidad aplicables al control basado en modelo<br />
Conducta de un sistema dinámico<br />Se representacomo un conjunto de necuaciones<br />no linealesdiferencialesordinarias ...
Representación matricial<br />Sistema dinámico:<br />(Sistema autónomo)<br />Salida del sistema:<br />
Linealización<br />Resultado de representar las funciones <br />no lineales como series de Taylor<br />Matrices resultante...
Representación en el espacio de estados<br />Fuentes de inestabilidad<br />
Una estrategia de control<br />El control no tiene una influencia directa en la salida<br />Se puede definir la ley de con...
Forma canónica controlable<br />Representación en el espacio de estados de un sistema<br />Se redefinen los estados de la ...
Forma canónica controlable (II)<br />Sistemas equivalentes<br />
Ejemplo de Control<br />Linealización por realimentación<br />Ley de control<br />Modelo de referencia<br />
Ejemplo: Sistema masa-resorte<br />Ley de Newton de movimiento<br />fuerza = masa*aceleración<br />Ecuación de segundo ord...
Representación en el espacio de estados<br />Se definen los estados:<br />Resulta:<br />En forma matricial:<br />Ejemplo: ...
Ejemplo: Ecuación de error<br />Ecuación de error<br />Representación en el espacio de estados<br />Se definen los estados...
Ejemplo: Ecuación de error (II)<br />Representación en el espacio de estados<br />Matriz Jacobiana<br />
Sistema de Duffing<br />Sistema caótico no autónomo<br />Para las condiciones:<br />x1=2; x2=2<br />u(t)=0<br />t=[0, 60]<...
Sistemas de segundo orden<br />Sistema masa-resorte<br />Transformada de Laplace<br />Función de transferencia<br />Ecuaci...
Sistemas de segundo orden (I)<br />Solución de la Ecuación característica<br />
Sistemas de segundo orden (II)<br />Respuesta del sistema en lazo abierto<br />u=0 <br />
Sistemas de segundo orden (III)<br />Respuesta sobreamortiguada<br />
Sistemas de segundo orden (IV)<br />Respuesta subamortiguada<br />
Sistemas de segundo orden (V)<br />Respuesta críticamente amortiguada<br />Generalmente<br />más deseada<br />en sistemas ...
Sistemas de segundo orden (VI)<br />Error de seguimiento de modelo de referencia<br />Sistema masa-resorte<br />Ecuación c...
Sistemas de segundo orden (VII)<br />Error de seguimiento<br />Representación en el <br />espacio de estados<br />
Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov<br />Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo<br />Un punto...
Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (II)<br />Si se cumple que la matriz <br />posee autovalores en la...
Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (III)<br />Ejemplo: Sea el sistema<br />Las derivadas cumplen<br /...
Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (IV)<br />Algunos comportamientos de sistemas dinámicos<br />Gráfi...
Puntos de equilibrio a y=0<br />Sistema dinámico<br />Posee puntos de equilibrio<br />;<br />1.- Se define nueva variable ...
Puntos de equilibrio a y=0 (II)<br />Ejemplo: Sistema de Murray<br />(1)<br />Posee puntos de equilibrio<br />Para analiza...
Puntos de equilibrio a y=0 (III)<br />Sistema original<br />Sistema equivalente<br />
Estabilidad basada en Lyapunov<br />Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo<br />Un punto de equilibrio cumple<br ...
Estabilidad basada en Lyapunov (II)<br />Representación de conjuntos como norma euclídea<br />x(t)<br />xi<br />
Estabilidad basada en Lyapunov (III)<br />Estabilidad asintótica<br />1.- El punto de equilibrio xe es estable según Lyapu...
Estabilidad basada en Lyapunov (IV)<br />Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo<br />El sistema es global y asint...
Estabilidad basada en Lyapunov (V)<br />Ejemplo<br />Función candidata<br />El sistema               es estable en el punt...
Estabilidad basada en Lyapunov (VI)<br />Sistemas lineales<br />Si para una matriz definida positiva:<br />Existe una matr...
Estabilidad basada en Lyapunov (VII)<br />Demostración<br />Función candidata de Lyapunov:<br />
Estabilidad basada en Lyapunov (VIII)<br />Ejemplo: Ecuación de error<br />Se define la matriz Q (definida positiva):<br /...
Estabilidad basada en Lyapunov (IX)<br />Sistema masa-resorte<br />Se desea diseñar un controlador estable de la forma:<br...
Estabilidad basada en Lyapunov (X)<br />Sistema masa-resorte<br />Se define la matriz Q (definida positiva):<br />Solución...
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  1. 1. Algunos conceptos de estabilidad aplicables al control basado en modelo<br />
  2. 2. Conducta de un sistema dinámico<br />Se representacomo un conjunto de necuaciones<br />no linealesdiferencialesordinarias de la forma:<br />donde:<br />n: Número de variables de estado<br />r : Número de entradas al sistema<br />Salida del sistema:<br />donde:<br />m: Número de salidas<br />
  3. 3. Representación matricial<br />Sistema dinámico:<br />(Sistema autónomo)<br />Salida del sistema:<br />
  4. 4. Linealización<br />Resultado de representar las funciones <br />no lineales como series de Taylor<br />Matrices resultantes<br />Matriz de estado <br />o planta<br />Matriz de entrada <br />o control<br />Matriz de salida<br />Matriz de transmisión <br />directa<br />
  5. 5. Representación en el espacio de estados<br />Fuentes de inestabilidad<br />
  6. 6. Una estrategia de control<br />El control no tiene una influencia directa en la salida<br />Se puede definir la ley de control<br />La salida resulta<br />
  7. 7. Forma canónica controlable<br />Representación en el espacio de estados de un sistema<br />Se redefinen los estados de la forma<br />Equivale a la representación matricial<br />
  8. 8. Forma canónica controlable (II)<br />Sistemas equivalentes<br />
  9. 9. Ejemplo de Control<br />Linealización por realimentación<br />Ley de control<br />Modelo de referencia<br />
  10. 10. Ejemplo: Sistema masa-resorte<br />Ley de Newton de movimiento<br />fuerza = masa*aceleración<br />Ecuación de segundo orden, <br />un grado de libertad, diferencial lineal <br />con coeficientes constantes:<br />donde:<br />m: Masa del bloque<br />b: Coeficiente de fricción<br />k: Rigidez del resorte<br />
  11. 11. Representación en el espacio de estados<br />Se definen los estados:<br />Resulta:<br />En forma matricial:<br />Ejemplo: Sistema masa-resorte<br />
  12. 12. Ejemplo: Ecuación de error<br />Ecuación de error<br />Representación en el espacio de estados<br />Se definen los estados:<br />Resulta:<br />En forma matricial:<br />
  13. 13. Ejemplo: Ecuación de error (II)<br />Representación en el espacio de estados<br />Matriz Jacobiana<br />
  14. 14. Sistema de Duffing<br />Sistema caótico no autónomo<br />Para las condiciones:<br />x1=2; x2=2<br />u(t)=0<br />t=[0, 60]<br />
  15. 15. Sistemas de segundo orden<br />Sistema masa-resorte<br />Transformada de Laplace<br />Función de transferencia<br />Ecuación característica<br />
  16. 16. Sistemas de segundo orden (I)<br />Solución de la Ecuación característica<br />
  17. 17. Sistemas de segundo orden (II)<br />Respuesta del sistema en lazo abierto<br />u=0 <br />
  18. 18. Sistemas de segundo orden (III)<br />Respuesta sobreamortiguada<br />
  19. 19. Sistemas de segundo orden (IV)<br />Respuesta subamortiguada<br />
  20. 20. Sistemas de segundo orden (V)<br />Respuesta críticamente amortiguada<br />Generalmente<br />más deseada<br />en sistemas <br />de control<br />
  21. 21. Sistemas de segundo orden (VI)<br />Error de seguimiento de modelo de referencia<br />Sistema masa-resorte<br />Ecuación característica:<br />Ecuación característica:<br />Solución:<br />Solución:<br />Respuesta <br />críticamente <br />amortiguada<br />
  22. 22. Sistemas de segundo orden (VII)<br />Error de seguimiento<br />Representación en el <br />espacio de estados<br />
  23. 23. Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov<br />Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo<br />Un punto de equilibrio cumple<br />; Si<br />El sistema linealizado cumple<br />J=Jacobiano<br />
  24. 24. Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (II)<br />Si se cumple que la matriz <br />posee autovalores en la parte real negativa<br />El sistema<br />es asintóticamente estable en el punto de equilibrio<br />
  25. 25. Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (III)<br />Ejemplo: Sea el sistema<br />Las derivadas cumplen<br />de lo que resulta<br />Autovalores<br />&gt;&gt; eig([-6 2; 2 -6])<br />ans = -8; -4<br />El sistema es asintóticamente estable en x=0<br />
  26. 26. Estabilidad local o Método de linealización de Lyapunov (IV)<br />Algunos comportamientos de sistemas dinámicos<br />Gráficos: pphase7<br />
  27. 27. Puntos de equilibrio a y=0<br />Sistema dinámico<br />Posee puntos de equilibrio<br />;<br />1.- Se define nueva variable de estado<br />2.- Se sustituye en <br />3.- Se crea un nuevo sistema <br />Analizar la estabilidad en sobre <br />equivale a sobre <br />
  28. 28. Puntos de equilibrio a y=0 (II)<br />Ejemplo: Sistema de Murray<br />(1)<br />Posee puntos de equilibrio<br />Para analizar el punto de equilibrio en el origen se definen<br />(2)<br />De sustituir (2) en (1) <br />
  29. 29. Puntos de equilibrio a y=0 (III)<br />Sistema original<br />Sistema equivalente<br />
  30. 30. Estabilidad basada en Lyapunov<br />Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo<br />Un punto de equilibrio cumple<br />1.- Se selecciona un conjunto O1 que incluya a xe<br />2.- Debe existir un conjunto O2 que para un estado<br /> inicial xi,no se cruce la frontera que define a <br />O1<br />3.- No tiene por qué converger a xe<br />x(t)<br />xi<br />O2<br />O1<br />
  31. 31. Estabilidad basada en Lyapunov (II)<br />Representación de conjuntos como norma euclídea<br />x(t)<br />xi<br />
  32. 32. Estabilidad basada en Lyapunov (III)<br />Estabilidad asintótica<br />1.- El punto de equilibrio xe es estable según Lyapunov<br />2.- <br />Punto de equilibrio <br />exponencialmente estable<br />x(t)<br />Para m y  positivos, se cumple:<br />xi<br />
  33. 33. Estabilidad basada en Lyapunov (IV)<br />Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo<br />El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio<br />
  34. 34. Estabilidad basada en Lyapunov (V)<br />Ejemplo<br />Función candidata<br />El sistema es estable en el punto de equilibrio<br />
  35. 35. Estabilidad basada en Lyapunov (VI)<br />Sistemas lineales<br />Si para una matriz definida positiva:<br />Existe una matriz definida positiva:<br />Que es solución a la siguiente ecuación:<br />Entonces para una función candidata de Lyapunov:<br />Su diferencial cumple:<br />
  36. 36. Estabilidad basada en Lyapunov (VII)<br />Demostración<br />Función candidata de Lyapunov:<br />
  37. 37. Estabilidad basada en Lyapunov (VIII)<br />Ejemplo: Ecuación de error<br />Se define la matriz Q (definida positiva):<br />Por ejemplo:<br />Debe encontrarse la matriz P definida positiva solución de:<br />&gt;&gt; P=lyap([0 1;-9 -6]&apos;,[1 0;0 1])<br />P =<br /> 1.1667 0.0556<br /> 0.0556 0.0926<br />&gt;&gt; eig(P)<br /> 0.0897<br /> 1.1695<br />Como existe la matriz P definida positiva, <br />el sistema es global y asintóticamente estable <br />en el punto cero de equilibrio<br />
  38. 38. Estabilidad basada en Lyapunov (IX)<br />Sistema masa-resorte<br />Se desea diseñar un controlador estable de la forma:<br />Sistema equivalente en lazo cerrado:<br />Se supone la matriz A:<br />Respuesta <br />críticamente <br />amortiguada<br />¿Otra opción?<br />
  39. 39. Estabilidad basada en Lyapunov (X)<br />Sistema masa-resorte<br />Se define la matriz Q (definida positiva):<br />Solución de matriz P definida positiva:<br />&gt;&gt; P=lyap([0 1;-4 -5]&apos;,[1 0;0 1])<br />P =<br /> 1.1250 0.1250<br /> 0.1250 0.1250<br />&gt;&gt; eig(P)<br /> 0.1096<br /> 1.1404<br />Coeficientes del controlador solución de:<br />
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