Este documento describe el método de "exhaución" desarrollado por Eudoxo para calcular el área de un círculo y la longitud de una circunferencia aproximándolos mediante polígonos regulares inscritos y circunscritos. Explica cómo obtener las fórmulas para el lado, apotema, área y perímetro de un polígono regular, y analiza cómo la sucesión de valores de estas magnitudes para polígonos con más lados se aproxima a π.

1. El inconmensurable y el
método de «exhaución»
Alumnado investigador:
Álvaro Blanca Hoyos, Abdeslam Bounaaja Najdi,
Juan Manuel del Valle Blanco, María Díaz Expósito
Profesor coordinador:
Nicolás Guillén Escalona
Mayo-2014

2. ÍNDICE
›Introducción.
›Contexto histórico.
›Método de ‹‹exhaución››.
›Obtención de vértices de un polígono regular.
›Lado y apotema de un polígono regular.
›Área y perímetro de un polígono regular.
›Análisis de la sucesión .
›Conclusión final.

3. INTRODUCCIÓN
Basándonos en las ideas y trabajos de Eudoxo, Euclides y
Arquímedes y usando herramientas actuales tales como la
notación algebraica, la trigonometría, etc...
Hemos conseguido hallar la famosa expresión que permite
calcular el área de un círculo y la longitud de una circunferencia.

4. CONTEXTO HISTÓRICO
›Los pitagóricos descubrieron los
números irracionales o
inconmensurables (p.e. la diagonal
de un cuadrado) y esto creó una
crisis ya que se creía que todo era
medible.
›Eudoxo de Cnido, pupilo de Platón
ideó el método de ‹‹exhaución››
basándo en que “toda magnitud
finita puede ser agotada mediante la
sustracción de una cantidad
determinada”.
EUDOXO

5. CONTEXTO HISTÓRICO
Posteriormente, Arquímedes de Siracusa
utiliza la idea de Eudoxo y los Elementos de
Geometría de Euclides para realizar una muy
buena aproximación del número
inscribiendo y circunscribiendo polígonos
regulares aumentando el número de lados de
estos.
ARQUÍMEDES

6. MÉTODO DE «EXHAUCIÓN»
›Si queremos conocer la longitud de una circunferencia,
o el área de un círculo, podemos aproximarnos «tanto
como queramos» a dichas magnitudes a partir de
polígonos regulares inscritos, o circunscritos, a la
circunferencia.

7. OBTENCIÓN DE VÉRTICES DE UN POLÍGONO
Para obtener los vértices
del polígono usamos los
números complejos.

8. LADO Y APOTEMA DE UN PÓLIGONO REGULAR
Para la obtención del lado d
hemos utilizado el teorema
del coseno en el triángulo:
El apotema a se obtiene
usando el teorema de
Pitágoras en el triángulo
rectángulo:
d

9. ÁREA Y PERÍMETRO DE UN POLÍGONO REGULAR
Lado: Apotema:
Por lo tanto el perímetro y el área de un polígono regular de n lados es:

10. ANÁLISIS DE LA SUCESIÓN
¿Se acercan los valores de la sucesión a algún valor?

11. Los valores se van aproximando al número ≈ 3.1415…
ANÁLISIS DE LA SUCESIÓN

12. A medida que
aumenta el número de
lados los valores se
acercan cada vez más
al valor real de
¿Qué diferencia hay
entre el valor de y
el obtenido conforme
aumenta el número de
lados?
ANÁLISIS DE LA SUCESIÓN

13. ANÁLISIS DE LA SUCESIÓN

14. CONCLUSIÓN FINAL
Tras obtener :
deducimos que:
¿Os suenan de algo estas fórmulas?

15. ¡GRACIAS POR VUESTRA
ATENCIÓN!
NUESTRA
MASCOTA
IRRACIONAL
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