Gradivo prvih razreda srednjih škola

1. Kod korištenja ovog teksta i zadataka preporučam da se slijede sve navedene upute kao i slijed
zadataka bez ikakvog preskakanja jer često nam se dogodi da mislimo da nešto znamo, no znamo li
uistinu? U slučaju da je odgovor potvrdan, naše znanje ponavljanjem demo samo utvrditi.
Kada rješavamo algebarske razlomke vrlo često dolazimo do izraza koji se ponavljaju, zbog tog
ponavljanja, a i zato da skratimo vrijeme rješavanja, uvedene su formule koje nam uvelike olakšavaju
posao. Sve potrebne formule sa svojim nazivima i primjerima su niže navedene.
KVADRATI
KVADRAT ZBROJA
Primjeri:
Zadatci za vježbu:
KVADRAT RAZLIKE
Primjeri:
Zadatci za vježbu:
RAZLIKA KVADRATA
Primjeri:
Zadatci za vježbu:
FORMULA ZA SUMU KVADRATA NE POSTOJI!!! ne raspisujemo!!!

2. KUBOVI
ZBROJ KUBOVA
Primjeri:
Zadatci za vježbu:
RAZLIKA KUBOVA
Primjeri:
Zadatci za vježbu:
KUB ZBROJA
Primjeri:
Zadatci za vježbu:
KUB RAZLIKE
Primjeri:
Zadatci za vježbu:

3. SVE FORMULE
KVADRAT ZBROJA
KVADRAT RAZLIKE
RAZLIKA KVADRATA
ZBROJ KUBOVA
RAZLIKA KUBOVA
KUB ZBROJA
KUB RAZLIKE
Sada kada smo svladali formule i uvrštavanje brojeva u njih važno je naglasiti da u svim tim
formulama a i b ne moraju zamjenjivati samo brojeve, oni mogu zamjenjivati i zagrade te čitave
zadatke. Na primjer je razlika kvadrata gdje je sada čitava prva zagrada naš a,
a čitava druga zagrada naš b iz formule. Raspisujemo:
Kao što vidimo, najnormalnije smo uvrstili i prvu i drugu zagradu u formulu, sada to samo treba malo
riješiti pazedi naravno na činjenicu da MINUS ispred zagrade mijenja predznake svakome u zagradi
kada ju mičemo.
Zadatci za vježbu:
Postoji još jedna jako bitna stvar koja nam treba za rješavanje algebarskih razlomaka, ta stvar se
naziva IZLUČIVANJE.
Izlučivanje je obično dijeljenje pa ga se nemamo razloga bojati. Jednostavno gledamo da li brojeve
koje imamo možemo podijeliti sa nekim istim brojem ili slovom.
Na primjer je zagrada sa dva člana u njoj. Da li postoji neki broj sa kojime možemo podijeliti
i 2x i 4? Postoji, taj broj je dva. Broj sa kojim dijelimo stavimo ispred zagrade i njime tu zagradu
množimo, a u zagradi ostaju rezultati našeg dijeljenja pa to sada izgleda ovako: jer kada
smo dijelili 2x sa 2 rezultat je x, a kada smo dijelili 4 sa 2, rezultat je 2.
Prođi pažljivo kroz ove dodatne primjere izlučivanja:

4. Probaj sada sam/sama riješiti ova izlučivanja:
Jesmo li sada konačno spremni za rješavanje algebarskih razlomaka? Nismo još. Treba još samo
ponoviti računanje sa običnim razlomcima, kako se oni zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele.
ZBRAJANJE I ODUZIMANJE RAZLOMAKA
Razlomke zbrajamo i oduzimamo tako da ih prvo svedemo na zajednički nazivnik. Što je zajednički
nazivnik? Sjedate se višekratnika? Višekratnici broja 2 na primjer su 4,6,8 itd. odnosno svi brojevi
djeljivi sa 2. Višekratnici broja 5 su 15,20 i drugi. Najmanji zajednički višekratnik brojeva 2 i 5 je onaj
broj s kojime možemo i 2 i 5 podijeliti, to je broj 10. Koji je najmanji zajednički višekratnik brojeva 3xy
i 2y? To je broj 6xy jer njega možemo podijeliti i sa 3xy i sa 2y.
Sada kada znamo da je najmanji zajednički nazivnik u stvari najmanji zajednički višekratnik nazivnika
koje imamo, krenimo riješiti jedno zbrajanje razlomaka:
Ovdje sada treba nadi najmanji zajednički nazivnik od nazivnika 2x i 6, to je 6x jer njega možemo
podijeliti i sa 2x i sa 6. Njega demo sada napisati kao nazivnik.
Ovo „nešto“ demo riješiti na slijededi način. Nazivnik dijelimo sa prvim nazivnikom (plava strelica), a
rezultat tog dijeljenja množimo sa brojnikom (crvena strelica). Rezultat pišemo u brojnik našeg
rješenja. Isto ponovimo sa drugim razlomkom.
množimo
dijelimo
Kada 6x podijelimo sa 2x rezultat je 3, taj rezultat množimo sa brojnikom koji je 3 i dobivamo 3*3=9.
Isto ponovimo za slijededi razlomak, 6x podijelimo sa 6 i dobijemo x, a kada taj x množimo sa y u
brojniku dobijemo xy.
Postupak je identičan za oduzimanje razlomaka, samo treba paziti na minus. Na primjer:

5. ovdje je sada zajednički nazivnik od 5y i 3x, 15xy jer njega možemo podijeliti i sa
jednim i sa drugim našim nazivnikom. 15xy dijelimo sa 5y, rezultat je 3x, tad rezultat množimo sa
brojnikom koji je x i dobivamo 3x*x da je 3x2. Isto ponovimo sa drugim razlomkom, 15xy dijelimo sa
3x i dobijemo 5y što množimo sa -4y i dobijemo -20y2. Taj minus je vrlo korisno smatrati predznakom
brojnika nego računskom operacijom jer je tada postupak identičan postupku zbrajanja, samo treba
paziti da li imamo pozitivni ili negativni broj.
MNOŽENJE RAZLOMAKA
Kod množenja razlomaka važno je uvijek znati da se množi VODORAVNO, a krati UNAKRSNO (u koso).
Kradenje je obično dijeljenje. Pogledajmo primjer:
ovdje smo prvo kratili unakrsno 2x2 i 4x sa 2x pa nam je u prvom brojniku
ostao samo x jer je 2x2:2x=x, a u drugom nazivniku samo 2 jer je 4x:2x=2. Drugo kradenje je bilo
kradenje 3y i 27y sa 3y, pa nam je u prvom nazivniku ostalo samo 1 jer je 3y:3y=1, a u drugom
brojniku 9 jer je 27y:3y=9. Kada smo sve skratili i zapisali skradeno onda možemo množiti i to, kao što
smo ved i rekli, množimo vodoravno pa imamo x*9=9x što nam je u brojniku i 1*2=2 što nam je u
nazivniku.
DIJELJENJE RAZLOMAKA
Ako znamo razlomke množiti, znamo ih i dijeliti. Evo u čemu je trik, drugi razlomak okrenemo i tada
imamo množenje. Takav okrenuti razlomak se naziva recipročna vrijednost, znači, prvi razlomak
množimo recipročnom vrijednošdu drugoga. Evo primjera:
drugi razlomak smo samo okrenuli i sada imamo množenje koje znamo:
ovdje smo također prvo kratili, pokratili smo 7xy i 21x2 sa 7x i tako dobili
y i 3x, a onda smo pokratili i 5 i 15 sa 5 pa dobili 1 i 3. Tako pokradene razlomke množimo vodoravno
odnosno brojnik sa brojnikom i nazivnik sa nazivnikom. Kada smo dobili moramo te trojke još
pokratiti pa tek onda imamo konačno rješenje. Takvo kradenje okomito je dozvoljeno kod svakog
razlomka zasebno.
Jesmo li sada spremni za algebarske razlomke? Da, sada smo konačno spremni jer smo naučili sve što
nam treba za njihovo rješavanje. Algebarski razlomci su razlomci pri čijem rješavanju nam treba
znanje zbrajanja,oduzimanja, množenja i dijeljenja razlomaka, izlučivanje i formule koje smo ranije
obradili, sve to sada samo treba međusobno povezati. Pogledajte primjer i prođite pažljivo kroz
njega, a nakon toga ste spremni za samostalno rješavanje.
Primjer:

6. Sada možete otvoriti bilo koju knjigu ili zbirku zadataka u kojoj su algebarski razlomci i hrabro
pristupiti njihovom rješavanju. Sretno!