Funciones elementales

FUNCIONES ELEMENTALES

ESTUDIO DE FUNCIONES ELEMENTALES
Funciones lineales
Funciones afines
Funciones cuadráticas
Funciones de proporcionalidad inversa
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones con radicales
Función valor absoluto
Funciones trigonométricas

1.- Funciones lineales
Ecuación general
y = mx
Su representación gráfica es una recta
La función pasa siempre por el origen de coordenadas (0,0)
m=pendiente de la recta (se obtiene de la forma m=y/x)
si m>0 la función es creciente
si m<0 la función es decreciente
m ≠ 0 siempre

1.- Funciones lineales. Representación gráfica

2.- Funciones afines
Ecuación general
y = mx+n
Su representación gráfica es una recta
La función pasa siempre por el punto (0,n)
m=pendiente de la recta. Se obtiene a partir de dos puntos (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) de la forma m=(y 2 -y 1 /x 2 -x 1 )
si m>0 la función es creciente
si m<0 la función es decreciente
m,n ≠ 0 siempre
n=ordenada en el origen (punto de corte de la función con el eje de ordenadas)

2.- Funciones afines Representación gráfica y=-3x+2

3.- Funciones cuadráticas
Ecuación general
y = ax 2 +bx+c
Su representación gráfica es una parábola
a≠0 siempre. Si no sería una función lineal.
Coordenadas del vértice ->(-b/2a, f(-b/2a))
Valores de los parámetros de la ecuación
Si a>0 -> función cóncava (ramas hacia arriba). El vértice es un mínimo absoluto
Si a<0 -> función convexa (ramas hacia abajo). El vértice es un máximo absoluto.
El parámetro c indica el único punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas (0,c)

3.- Funciones cuadráticas. Representación gráfica

4.- Funciones de proporcionalidad inversa
Ecuación general
y = k/x
Su representación gráfica es una hipérbola
K es un número real y k≠0 siempre
Valores de los parámetros de la ecuación
Si k>0 -> función decreciente.
Si k<0 -> función creciente.

4.- Funciones de proporcionalidad inversa. Estudio de la función
Dominio: Dom(f)= R- {0}
Recorrido: Im(f)= R- {0}
No tiene puntos de corte con los ejes
Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función
Es contínua en todo el dominio
No tiene ni máximos ni mínimos
Tiene simetría impar (con respecto al origen). f(-x)=- f(x)

4.- Funciones de proporcionalidad inversa. Representación gráfica k>0. Decreciente k<0. Creciente

5.- Funciones exponenciales
Ecuación general
y = a x
Primer caso. a>1
Dominio: Dom(f)= R
Imagen: Im(f)= (0,∞). Son positivas en todo el dominio
No tiene puntos de corte con el eje x
Punto de corte con el eje de ordenadas: (0,1)
Siempre pasa por el punto (1,a)
Son contínuas y crecientes en todo el dominio.
Cuando x->∞, la función también tiende a ∞
Cuando x->-∞, la función tiende a 0

5.- Funciones exponenciales (a>1) . Representación gráfica

5.- Funciones exponenciales
Segundo caso 0<a<1
Dominio: Dom(f)= R
Imagen: Im(f)= (0,∞). Son positivas en todo el dominio
No tiene puntos de corte con el eje x
Punto de corte con el eje de ordenadas: (0,1)
Siempre pasa por el punto (1,a)
Son contínuas y decrecientes en todo el dominio.
Cuando x->∞, la función tiende a 0
Cuando x->-∞, la función tiende a ∞

5.- Funciones exponenciales (0<a<1) . Representación gráfica

6.- Funciones logarítmicas
Ecuación general
y = log a x
Primer caso. a>1
Dominio: Dom(f)=(0,∞)
Imagen: Im(f)= R .
No cortan al eje de ordenadas (eje Y)
Cortan al eje de abcisas en el punto (1,0)
Siempre pasan por el punto (a,1)
Son contínuas y crecientes en todo su dominio
Cuando x->∞, la función también tiende a ∞
Cuando x->0, la función tiende a - ∞

5.- Funciones logarítmicas (a>1) . Representación gráfica

5.- Función y=ln x. Representación gráfica

6.- Funciones logarítmicas
Ecuación general
y = log a x
Primer caso. 0<a<1
Dominio: Dom(f)=(0,∞)
Imagen: Im(f)= R .
No cortan al eje de ordenadas (eje Y)
Cortan al eje de abcisas en el punto (1,0)
Siempre pasan por el punto (a,1)
Son contínuas y decrecientes en todo su dominio
Cuando x->∞, la función también tiende a - ∞
Cuando x->0, la función tiende a ∞

5.- Funciones logarítmicas (0<a<1) . Representación gráfica

5.- Funciones logarítmicas Representación gráfica Las funciones logarítmicas son recíprocas con sus respectivas funciones exponenciales.

7.- Funciones con radicales
Ecuación general
y = n √x m
En este caso se tiene que cumplir que:
m,n sean números naturales
n ≥2
Las características de estas funciones van a depender de la paridad de los valores de m y n.
Se estudiarán los cuatro casos posibles:
n par, m par
n par, m impar
n impar, m par
n impar, m impar

7.- Funciones con radicales. n par, m par
Ecuación general
y = n √x m
Dominio: Dom(f) = R .
Tienen simetría par: f(x) = f(- x)
El punto de corte con los ejes es el (0,0)
Tienen en común el punto (1,1)
Son positivas y contínuas en todo su dominio
No tienen ni máximos ni mínimos
Son siempre convexas
Son decrecientes de (-∞,0) y crecientes de (0,∞)

7.- Funciones con radicales. n par, m par. Representación gráfica

7.- Funciones con radicales. n impar, m par
Ecuación general
y = n √x m
Dominio: Dom(f) = R .
Tienen simetría par: f(x) = f(- x)
Son positivas y contínuas en todo su dominio
No tienen ni máximos ni mínimos
Son siempre convexas
Son decrecientes de (-∞,0) y crecientes de (0,∞)

7.- Funciones con radicales. n impar, m par. Representación gráfica

7.- Funciones con radicales. n par, m impar
Ecuación general
y = n √x m
Dominio: Dom(f) = [0, ∞]
No tienen simetría
Son contínuas y crecientes en todo el dominio
No tienen máximos ni mínimos
Son siempre positivas
Son cóncavas en todo su dominio

7.- Funciones con radicales. n par, m impar. Representación gráfica

7.- Funciones con radicales. n impar, m impar
Ecuación general
y = n √x m
Dominio: Dom(f) = [0, ∞]
Presenta simetría impar f(- x)=- f(x)
Tienen en común los puntos (1,1) y (-1,-1)
Son contínuas y crecientes en todo el dominio
No tienen máximos ni mínimos
Tienen un punto de inflexión en el (0,0)
Son cóncavas de (-∞,0) y convexas de (0,∞)

7.- Funciones con radicales. n impar, m impar. Representación gráfica

8.- Función valor absoluto
Ecuación general
y = |x|
Se pueden reescribir de la siguiente forma
Dominio: Dom(f)= R .
Recorrido: Im(f)=[0, ∞)
Contínua y positiva en todo su dominio
Decreciente de (-∞,0) y creciente de (0,∞)

8.- Función valor absoluto
Presenta simetría par: f(x) = f(- x)
Tiene un mínimo absoluto en (0,0)

8.- Función valor absoluto. Representación gráfica

9.- Funciones trigonométricas
Son aquellas que asocian a cada valor de x , en radianes , alguna de sus razones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas principales que estudiaremos serán sen x, cos x y tg x.
Recordemos algunos valores importantes de estas funciones

9.- Funciones trigonométricas
Circunferencia goniométrica. Es una circunferencia centrada en el origen de coordanadas del plano cartesiano y de radio unidad.

9.1.- Funcion seno
Dominio: Dom(f)= R; Recorrido: Im(f)=[-1,1]
Función periódica de periodo 2π; sen x=sen(x+2π)
Es una función impar (simétrica respecto al origen)
Creciente en (0,π/2)U(3π/2,2π) y decreciente en (π/2, 3π/2)
Máximo en (π/2,1) y mínimo en (3π/2,-1)

9.1.- Funcion seno
El periodo de la función f(x)=sen 2x es la mitad (π)
El periodo de la función f(x)=sen x/2 es el doble (4π)

9.2.- Funcion coseno
Dominio: Dom(f)= R; Recorrido: Im(f)=[-1,1]
Función periódica de periodo 2π; cos x=cos(x+2π)
Es una función par (simétrica respecto al eje de ordenadas)
Creciente en (π,2π) y decreciente en (0,π)
Máximo en (0,1) y mínimo en (π,-1)

9.2.- Funcion coseno
Diferentes variaciones de la función coseno

9.3.-Comparación de las funciones seno y coseno

9.4.- Funcion tangente

9.4.- Funcion tangente
Dominio: Dom(f)= R -{π/2+kπ}
Recorrido: Im(f)= R
Función periódica de periodo π; tg x=tg (x+π)
Es una función impar (simétrica respecto al eje de ordenadas)
Es siempre creciente y no tiene puntos extremos
Presenta una discontinuidad de salto infinito en (π/2+Kπ)

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Funciones elementales

by marisol_cole on May 15, 2011

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