Funciones elementales

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ES una presentación resumida de las caracerísticas de todas la funciones elementales que se explican en 1º Bachillerato.

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Funciones elementales

  1. 1. FUNCIONES ELEMENTALES
  2. 2. ESTUDIO DE FUNCIONES ELEMENTALES <ul><li>Funciones lineales </li></ul><ul><li>Funciones afines </li></ul><ul><li>Funciones cuadráticas </li></ul><ul><li>Funciones de proporcionalidad inversa </li></ul><ul><li>Funciones exponenciales </li></ul><ul><li>Funciones logarítmicas </li></ul><ul><li>Funciones con radicales </li></ul><ul><li>Función valor absoluto </li></ul><ul><li>Funciones trigonométricas </li></ul>
  3. 3. 1.- Funciones lineales <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = mx <ul><li>Su representación gráfica es una recta </li></ul><ul><li>La función pasa siempre por el origen de coordenadas (0,0) </li></ul><ul><li>m=pendiente de la recta (se obtiene de la forma m=y/x) </li></ul><ul><ul><li>si m>0 la función es creciente </li></ul></ul><ul><ul><li>si m<0 la función es decreciente </li></ul></ul><ul><li>m ≠ 0 siempre </li></ul>
  4. 4. 1.- Funciones lineales. Representación gráfica
  5. 5. 2.- Funciones afines <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = mx+n <ul><li>Su representación gráfica es una recta </li></ul><ul><li>La función pasa siempre por el punto (0,n) </li></ul><ul><li>m=pendiente de la recta. Se obtiene a partir de dos puntos (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) de la forma m=(y 2 -y 1 /x 2 -x 1 ) </li></ul><ul><ul><li>si m>0 la función es creciente </li></ul></ul><ul><ul><li>si m<0 la función es decreciente </li></ul></ul><ul><li>m,n ≠ 0 siempre </li></ul><ul><li>n=ordenada en el origen (punto de corte de la función con el eje de ordenadas) </li></ul>
  6. 6. 2.- Funciones afines Representación gráfica y=-3x+2
  7. 7. 3.- Funciones cuadráticas <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = ax 2 +bx+c <ul><li>Su representación gráfica es una parábola </li></ul><ul><li>a≠0 siempre. Si no sería una función lineal. </li></ul><ul><li>Coordenadas del vértice ->(-b/2a, f(-b/2a)) </li></ul><ul><li>Valores de los parámetros de la ecuación </li></ul><ul><ul><li>Si a>0 -> función cóncava (ramas hacia arriba). El vértice es un mínimo absoluto </li></ul></ul><ul><ul><li>Si a<0 -> función convexa (ramas hacia abajo). El vértice es un máximo absoluto. </li></ul></ul><ul><ul><li>El parámetro c indica el único punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas (0,c) </li></ul></ul>
  8. 8. 3.- Funciones cuadráticas. Representación gráfica
  9. 9. 4.- Funciones de proporcionalidad inversa <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = k/x <ul><li>Su representación gráfica es una hipérbola </li></ul><ul><li>K es un número real y k≠0 siempre </li></ul><ul><li>Valores de los parámetros de la ecuación </li></ul><ul><ul><li>Si k>0 -> función decreciente. </li></ul></ul><ul><ul><li>Si k<0 -> función creciente. </li></ul></ul>
  10. 10. 4.- Funciones de proporcionalidad inversa. Estudio de la función <ul><li>Dominio: Dom(f)= R- {0} </li></ul><ul><li>Recorrido: Im(f)= R- {0} </li></ul><ul><li>No tiene puntos de corte con los ejes </li></ul><ul><li>Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función </li></ul><ul><li>Es contínua en todo el dominio </li></ul><ul><li>No tiene ni máximos ni mínimos </li></ul><ul><li>Tiene simetría impar (con respecto al origen). f(-x)=- f(x) </li></ul>
  11. 11. 4.- Funciones de proporcionalidad inversa. Representación gráfica k>0. Decreciente k<0. Creciente
  12. 12. 5.- Funciones exponenciales <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = a x <ul><li>Primer caso. a>1 </li></ul><ul><ul><li>Dominio: Dom(f)= R </li></ul></ul><ul><ul><li>Imagen: Im(f)= (0,∞). Son positivas en todo el dominio </li></ul></ul><ul><ul><li>No tiene puntos de corte con el eje x </li></ul></ul><ul><ul><li>Punto de corte con el eje de ordenadas: (0,1) </li></ul></ul><ul><ul><li>Siempre pasa por el punto (1,a) </li></ul></ul><ul><ul><li>Son contínuas y crecientes en todo el dominio. </li></ul></ul><ul><ul><li>No tiene ni máximos ni mínimos </li></ul></ul><ul><ul><li>Cuando x->∞, la función también tiende a ∞ </li></ul></ul><ul><ul><li>Cuando x->-∞, la función tiende a 0 </li></ul></ul>
  13. 13. 5.- Funciones exponenciales (a>1) . Representación gráfica
  14. 14. 5.- Funciones exponenciales (a>1) . Representación gráfica
  15. 15. 5.- Funciones exponenciales <ul><li>Segundo caso 0<a<1 </li></ul><ul><ul><li>Dominio: Dom(f)= R </li></ul></ul><ul><ul><li>Imagen: Im(f)= (0,∞). Son positivas en todo el dominio </li></ul></ul><ul><ul><li>No tiene puntos de corte con el eje x </li></ul></ul><ul><ul><li>Punto de corte con el eje de ordenadas: (0,1) </li></ul></ul><ul><ul><li>Siempre pasa por el punto (1,a) </li></ul></ul><ul><ul><li>Son contínuas y decrecientes en todo el dominio. </li></ul></ul><ul><ul><li>No tiene ni máximos ni mínimos </li></ul></ul><ul><ul><li>Cuando x->∞, la función tiende a 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>Cuando x->-∞, la función tiende a ∞ </li></ul></ul>
  16. 16. 5.- Funciones exponenciales (0<a<1) . Representación gráfica
  17. 17. 5.- Funciones exponenciales (0<a<1) . Representación gráfica
  18. 18. 6.- Funciones logarítmicas <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = log a x <ul><li>Primer caso. a>1 </li></ul><ul><ul><li>Dominio: Dom(f)=(0,∞) </li></ul></ul><ul><ul><li>Imagen: Im(f)= R . </li></ul></ul><ul><ul><li>No cortan al eje de ordenadas (eje Y) </li></ul></ul><ul><ul><li>Cortan al eje de abcisas en el punto (1,0) </li></ul></ul><ul><ul><li>Siempre pasan por el punto (a,1) </li></ul></ul><ul><ul><li>Son contínuas y crecientes en todo su dominio </li></ul></ul><ul><ul><li>No tiene ni máximos ni mínimos </li></ul></ul><ul><ul><li>Cuando x->∞, la función también tiende a ∞ </li></ul></ul><ul><ul><li>Cuando x->0, la función tiende a - ∞ </li></ul></ul>
  19. 19. 5.- Funciones logarítmicas (a>1) . Representación gráfica
  20. 20. 5.- Función y=ln x. Representación gráfica
  21. 21. 6.- Funciones logarítmicas <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = log a x <ul><li>Primer caso. 0<a<1 </li></ul><ul><ul><li>Dominio: Dom(f)=(0,∞) </li></ul></ul><ul><ul><li>Imagen: Im(f)= R . </li></ul></ul><ul><ul><li>No cortan al eje de ordenadas (eje Y) </li></ul></ul><ul><ul><li>Cortan al eje de abcisas en el punto (1,0) </li></ul></ul><ul><ul><li>Siempre pasan por el punto (a,1) </li></ul></ul><ul><ul><li>Son contínuas y decrecientes en todo su dominio </li></ul></ul><ul><ul><li>No tiene ni máximos ni mínimos </li></ul></ul><ul><ul><li>Cuando x->∞, la función también tiende a - ∞ </li></ul></ul><ul><ul><li>Cuando x->0, la función tiende a ∞ </li></ul></ul>
  22. 22. 5.- Funciones logarítmicas (0<a<1) . Representación gráfica
  23. 23. 5.- Funciones logarítmicas Representación gráfica Las funciones logarítmicas son recíprocas con sus respectivas funciones exponenciales.
  24. 24. 7.- Funciones con radicales <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = n √x m <ul><li>En este caso se tiene que cumplir que: </li></ul><ul><ul><li>m,n sean números naturales </li></ul></ul><ul><ul><li>n ≥2 </li></ul></ul><ul><li>Las características de estas funciones van a depender de la paridad de los valores de m y n. </li></ul><ul><li>Se estudiarán los cuatro casos posibles: </li></ul><ul><ul><li>n par, m par </li></ul></ul><ul><ul><li>n par, m impar </li></ul></ul><ul><ul><li>n impar, m par </li></ul></ul><ul><ul><li>n impar, m impar </li></ul></ul>
  25. 25. 7.- Funciones con radicales. n par, m par <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = n √x m <ul><li>Dominio: Dom(f) = R . </li></ul><ul><li>Tienen simetría par: f(x) = f(- x) </li></ul><ul><li>El punto de corte con los ejes es el (0,0) </li></ul><ul><li>Tienen en común el punto (1,1) </li></ul><ul><li>Son positivas y contínuas en todo su dominio </li></ul><ul><li>No tienen ni máximos ni mínimos </li></ul><ul><li>Son siempre convexas </li></ul><ul><li>Son decrecientes de (-∞,0) y crecientes de (0,∞) </li></ul>
  26. 26. 7.- Funciones con radicales. n par, m par. Representación gráfica
  27. 27. 7.- Funciones con radicales. n impar, m par <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = n √x m <ul><li>Dominio: Dom(f) = R . </li></ul><ul><li>Tienen simetría par: f(x) = f(- x) </li></ul><ul><li>El punto de corte con los ejes es el (0,0) </li></ul><ul><li>Tienen en común el punto (1,1) </li></ul><ul><li>Son positivas y contínuas en todo su dominio </li></ul><ul><li>No tienen ni máximos ni mínimos </li></ul><ul><li>Son siempre convexas </li></ul><ul><li>Son decrecientes de (-∞,0) y crecientes de (0,∞) </li></ul>
  28. 28. 7.- Funciones con radicales. n impar, m par. Representación gráfica
  29. 29. 7.- Funciones con radicales. n par, m impar <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = n √x m <ul><li>Dominio: Dom(f) = [0, ∞] </li></ul><ul><li>No tienen simetría </li></ul><ul><li>El punto de corte con los ejes es el (0,0) </li></ul><ul><li>Tienen en común el punto (1,1) </li></ul><ul><li>Son contínuas y crecientes en todo el dominio </li></ul><ul><li>No tienen máximos ni mínimos </li></ul><ul><li>Son siempre positivas </li></ul><ul><li>Son cóncavas en todo su dominio </li></ul>
  30. 30. 7.- Funciones con radicales. n par, m impar. Representación gráfica
  31. 31. 7.- Funciones con radicales. n impar, m impar <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = n √x m <ul><li>Dominio: Dom(f) = [0, ∞] </li></ul><ul><li>Presenta simetría impar f(- x)=- f(x) </li></ul><ul><li>El punto de corte con los ejes es el (0,0) </li></ul><ul><li>Tienen en común los puntos (1,1) y (-1,-1) </li></ul><ul><li>Son contínuas y crecientes en todo el dominio </li></ul><ul><li>No tienen máximos ni mínimos </li></ul><ul><li>Tienen un punto de inflexión en el (0,0) </li></ul><ul><li>Son cóncavas de (-∞,0) y convexas de (0,∞) </li></ul>
  32. 32. 7.- Funciones con radicales. n impar, m impar. Representación gráfica
  33. 33. 8.- Función valor absoluto <ul><li>Ecuación general </li></ul>y = |x| <ul><li>Se pueden reescribir de la siguiente forma </li></ul><ul><li>Dominio: Dom(f)= R . </li></ul><ul><li>Recorrido: Im(f)=[0, ∞) </li></ul><ul><li>El punto de corte con los ejes es el (0,0) </li></ul><ul><li>Contínua y positiva en todo su dominio </li></ul><ul><li>Decreciente de (-∞,0) y creciente de (0,∞) </li></ul>
  34. 34. 8.- Función valor absoluto <ul><li>Presenta simetría par: f(x) = f(- x) </li></ul><ul><li>Tiene un mínimo absoluto en (0,0) </li></ul>
  35. 35. 8.- Función valor absoluto. Representación gráfica
  36. 36. 9.- Funciones trigonométricas <ul><li>Son aquellas que asocian a cada valor de x , en radianes , alguna de sus razones trigonométricas. </li></ul><ul><li>Las funciones trigonométricas principales que estudiaremos serán sen x, cos x y tg x. </li></ul><ul><li>Recordemos algunos valores importantes de estas funciones </li></ul>
  37. 37. 9.- Funciones trigonométricas <ul><li>Circunferencia goniométrica. Es una circunferencia centrada en el origen de coordanadas del plano cartesiano y de radio unidad. </li></ul>
  38. 38. 9.1.- Funcion seno <ul><li>Dominio: Dom(f)= R; Recorrido: Im(f)=[-1,1] </li></ul><ul><li>Función periódica de periodo 2π; sen x=sen(x+2π) </li></ul><ul><li>Es una función impar (simétrica respecto al origen) </li></ul><ul><li>Creciente en (0,π/2)U(3π/2,2π) y decreciente en (π/2, 3π/2) </li></ul><ul><li>Máximo en (π/2,1) y mínimo en (3π/2,-1) </li></ul>
  39. 39. 9.1.- Funcion seno <ul><li>El periodo de la función f(x)=sen 2x es la mitad (π) </li></ul><ul><li>El periodo de la función f(x)=sen x/2 es el doble (4π) </li></ul>
  40. 40. 9.2.- Funcion coseno <ul><li>Dominio: Dom(f)= R; Recorrido: Im(f)=[-1,1] </li></ul><ul><li>Función periódica de periodo 2π; cos x=cos(x+2π) </li></ul><ul><li>Es una función par (simétrica respecto al eje de ordenadas) </li></ul><ul><li>Creciente en (π,2π) y decreciente en (0,π) </li></ul><ul><li>Máximo en (0,1) y mínimo en (π,-1) </li></ul>
  41. 41. 9.2.- Funcion coseno <ul><li>Diferentes variaciones de la función coseno </li></ul>
  42. 42. 9.3.-Comparación de las funciones seno y coseno
  43. 43. 9.4.- Funcion tangente
  44. 44. 9.4.- Funcion tangente <ul><li>Dominio: Dom(f)= R -{π/2+kπ} </li></ul><ul><li>Recorrido: Im(f)= R </li></ul><ul><li>Función periódica de periodo π; tg x=tg (x+π) </li></ul><ul><li>Es una función impar (simétrica respecto al eje de ordenadas) </li></ul><ul><li>Es siempre creciente y no tiene puntos extremos </li></ul><ul><li>Presenta una discontinuidad de salto infinito en (π/2+Kπ) </li></ul>

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