1. UNIDAD 4: Geometría analítica.
Tema 8. Espacios afines.
Conceptos de espacio y subespacio afín. Plano afín: diferentes formas de expresar la
ecuación de una recta, posición relativa de dos rectas, problemas métricos. Espacio
afín: diferentes formas de expresar la ecuación de una recta y de un plano, posición
relativa de rectas, de planos o de rectas y planos, problemas métricos.
Introducción.
La geometría es la rama de las matemáticas que estudia la forma y el tamaño de las figuras, así
como las transformaciones que sobre ellas se ejercen.
La antigua civilización griega ya poseía amplios conocimientos sobre geometría. Estos cono-
cimientos fueron recopilados por Euclides en una obra, ”Los Elementos”, que fue la base del estu-
dio de la geometría hasta finales del s. XIX. Los Elementos están basados en un sistema de verda-
des evidentes, denominados axiomas, a partir de los cuales se deducen las propiedades de las figu-
ras mediante razonamientos lógicos.
En el s. XVII, el filósofo y matemático francés R. Descartes introdujo la noción de coordena-
da de un punto. Los trabajos de los matemáticos durante los dos siglos siguientes mostraron que las
propiedades geométricas de las figuras pueden demostrarse más fácilmente utilizando el sistema de
representación mediante coordenadas cartesianas. Esta forma de estudiar la geometría se denomina
Geometría Analítica.
La Geometría Analítica sustituyó a la de Los Elementos de Euclides a finales del s. XIX y ac-
tualmente es la forma más extendida de estudiar la geometría.
En la geometría elemental se parte de unas nociones primarias que no se definen. La primera
de ellas es la noción de punto (del espacio ordinario se dice sólo que está formado por puntos) y a
ésta siguen las de recta y plano. Designaremos el espacio ordinario por A.
Dos puntos dados, A y B, del espacio A determinan una recta, AB, y un segmento, AB . Lla-
maremos vector fijo a un segmento cuyos extremos se dan en un cierto orden. Así pues, el par (A,B)
determina un vector fijo que representaremos por AB y el par (B,A) el vector fijo BA . Dado el vec-
tor fijo AB , diremos que A es el origen del vector y B es el extremo. Para distinguir gráficamente
este último se acostumbra a representarlo con una punta de flecha. Si los puntos A y B coinciden,
diremos que determinan un vector fijo nulo.
Dos vectores fijos no nulos, AB y CD , tienen la misma dirección cuando las rectas AB y CD
son paralelas, es decir, no tienen ningun punto en común o coinciden.
Dos vectores fijos no nulos, AB y CD , no pertenecientes a la misma recta, tienen el mismo
sentido cuando tienen la misma dirección y los extremos B y D pertenecen al mismo semiplano de
los dos que determina la recta AC sobre el plano que determinan las rectas AB y CD.
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2. Se llama módulo de un vector fijo AB a la longitud del segmento AB .
Sea V3 el conjunto de los vectores fijos del espacio. Se dice que dos vectores fijos no nulos,
AB y CD , son equipolentes, y se escribe AB  CD , cuando tienen el mismo módulo, dirección y
sentido. Por definición, todos los vectores fijos nulos se consideran equipolentes.
Se llama vector libre al subconjunto de V3 formado por todos los vectores fijos equipolentes a
uno dado. El vector libre determinado por AB se denotará por [ AB] o bien por una letra minúscula
con una flecha encima, [ AB]  x . Denotaremos por V el conjunto de los vectores libres del espacio.
Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre al módulo, dirección y sentido de
cualquiera de sus representantes.
En definitiva, en el espacio ordinario que conocemos intuitivamente, coexisten un conjunto de
puntos que representamos por A, y un conjunto de vectores que representamos por V. Esta coexis-
tencia no es independiente ya que existe una correspondencia de A × A en V de manera que a cada
par ordenado de puntos (A,B) se le puede hacer corresponder el vector [ AB ] .
Espacio afín y euclídeo.
Definición de espacio afín.
Un espacio afín es un conjunto no vacío A, a cuyos elementos se les llama puntos, junto con
un espacio vectorial V, a cuyos elementos se les llama vectores, y una aplicación  :A × A  V que
a cada par de puntos A, B  A le hace corresponder un vector de V,  (A,B), que denotaremos por
AB , y que verifica las siguientes condiciones:
(i) Dado un punto A  A y un vector v  V, existe un único punto B  A tal que  (A,B) = v ,
o lo que es lo mismo AB = v .
(ii) Dados tres puntos A,B,C  A, se cumple  (A,B) +  (B,C) =  (A,C), o lo que es lo mis-
mo AB  BC  AC (relación de Chasles).
Ejemplo. Consideremos A = IR2, V = IR2 y  :IR2 × IR2  IR2 tal que, si A = (a1,a2) y B =
(b1,b2),  (A,B) = (b1-a1,b2-a2). Veremos que se cumplen las condiciones (i) y (ii) de la definición
anterior.
(i) Dados A = (a1,a2) y v =(v1,v2), el punto B = (a1+v1,a2+v2)  A verifica que
 (A,B) = (a1+v1-a1,a2+v2-a2) = v
(ii) Dados los puntos A = (a1,a2), B = (b1,b2) y C = (c1,c2), se tiene
 (A,B) = (b1-a1,b2-a2)
 (B,C) = (c1-b1,c2-b2)
y
 (A,C) = (c1-a1,c2-a2)
por lo que se cumple la relación de Chasles.
Así pues, este conjunto es un espacio afín al que llamaremos plano afín cartesiano.
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3. Ejemplo. Consideremos A = IR3, V = IR3 y  :IR3 × IR3  IR3 tal que, si A = (a1,a2,a3) y B =
(b1,b2,b3),  (A,B) = (b1-a1,b2-a2,b3-a3).
Del mismo modo que en el ejemplo anterior se puede demostrar que este conjunto es un espa-
cio afín y le daremos el nombre de espacio afín cartesiano.
Definición de espacio afín euclídeo.
Tanto en el espacio vectorial IR2 como en IR3, se puede definir el producto escalar de dos vecto-
res. Cuando consideramos el plano (espacio) afín cartesiano dotado del producto escalar de IR2
(IR3), se le da el nombre de plano (espacio) afín euclídeo.
Definición de producto escalar.
Sean u  (u1 , u 2 ) y v  (v1 , v 2 ) dos vectores de IR2. El producto escalar de u y v es el núme-
ro real
u  v  u1v1  u 2 v 2
Sean u  (u1 , u 2 , u 3 ) y v  (v1 , v 2 , v3 ) dos vectores de IR3. El producto escalar de u y v es el
número real
u  v  u1v1  u 2 v 2  u 3 v3
Puesto que lo que veremos a continuación es válido tanto para el producto escalar de IR2 como
para el de IR3, denotaremos por V a cualquiera de dichos espacios vectoriales.
Propiedades del producto escalar.
(i) Simétrica: u  v  v  u para todo u, v  V.
(ii) Distributiva: u  (v  w)  u  v  u  w para todo u , v, w  V.
 
(iii)  u  v   u  v para todo u, v  V y todo   IR.
(iv) u  u  0 para todo u  V, u  0 .
(v) u  u  0 si, y sólo si, u  0 .
Se dice que dos vectores de V son ortogonales cuando su producto escalar es nulo.
Definición y propiedades de la norma.
Sea v  V. Llamaremos norma del vector v al número real no negativo
v  vv
Un vector se dice que es unitario si su norma vale 1.
La norma verifica las siguientes propiedades:
(i) v  0 si, y sólo si, v  0 .
(ii)  v   v para todo v  V y todo   IR.
(iii) u  v  u v para todo u, v  V.
(iv) u  v  u  v para todo u, v  V.
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4. Ángulo formado por dos vectores.
Dados u y v vectores no nulos de V, se define el ángulo entre ambos vectores como el núme-
ro real 0 ≤  ≤  que verifica
u v
cos  
uv
De esta expresión se deduce que el producto escalar de dos vectores es el producto de sus
normas por el coseno del ángulo que forman
u  v  u v cos 
Distancia entre dos puntos.
Dados dos puntos A, B  A, se define la distancia entre A y B como la norma del vector AB ,
es decir
d ( A, B )  AB
Propiedades de la distancia:
(i) d(A,B) = 0 si, y sólo si, A = B.
(ii) d(A,B) = d(B,A) para todo A, B  A.
(iii) d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) para todo A, B, C  A.
Subespacios afines.
En un espacio afín A, asociado a un espacio vectorial V, se dice que B, B  A, es un subespa-
cio afín de A cuando W = { v = AB / A, B  B } sea un subespacio vectorial de V. Es decir, el sub-
conjunto B, de A, se dice que es un subespacio afín suyo si hay un subespacio vectorial W de V tal
que:
(i) Para cualesquiera que sean los puntos A y B de B, el vector v = AB pertenece a W.
(ii) Para cualquiera que sea el punto A  B y para todo v  W, el punto B = A + v es un pun-
to de B.
A los subespacios afines se les llama también variedades lineales afines o, más abreviadamen-
te, variedades lineales; suele, sin embargo, reservarse estas denominaciones para los casos en que W
es de dimensión finita. Una variedad lineal de dimensión cero está constituida por un único punto.
Las variedades lineales de dimensión uno reciben el nombre de rectas y las de dimensión dos se
llaman planos.
Sistemas de referencia y coordenadas de un punto.
Sistemas de referencia y coordenadas de un punto.
Sea un punto arbitrario O del espacio y { u 1 , u 2 , u 3 } una base de V3. El conjunto
{O; u 1 , u 2 , u 3 } se llama sistema de referencia y O origen de coordenadas.
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5. Dado un sistema de referencia y un punto P del espacio, OP se halla unívocamente determi-
nado y, por ser { u 1 , u 2 , u 3 } una base de V3, existirá una terna de números reales (x1,x2,x3) que serán
las coordenadas del vector OP , es decir:
P3
OP  x1 u 1  x 2 u 2  x3 u 3
P
u3
OP P2
u2
u1
O
P1
El vector OP se llama vector de posición del punto P, y los números (x1,x2,x3) se llaman co-
ordenadas de P respecto del sistema de referencia dado, y se escribe P(x1,x2,x3).
Ejemplo
En el dibujo anterior: OP  OP 1  OP 2  OP 3 , por tanto:
OP  3u 1  u 2  2u 3
y las coordenadas del punto P son (3,1,2) respecto de ese sistema.
Resulta así que, fijado un sistema de referencia {O; u 1 , u 2 , u 3 }, existe una correspondencia bi-
unívoca entre los puntos del espacio y los elementos de IR3, de manera que a cada punto P del espa-
cio le asociamos sus coordenadas (x1,x2,x3) y a cada terna (x1,x2,x3) de números reales le asociamos
un punto P del espacio.
Sistema de referencia ortonormal.
Llamamos sistema de referencia ortonormal a aquel en el que los vectores de la base tienen de
módulo uno y son mutuamente perpendiculares.
 e1  e 2  e 3  1

{O; e1 , e 2 , e 3 } es un sistema de referencia ortonormal     
(e1 , e 2 )  (e 2 , e 3 )  (e 3 , e1 )  90º

Obsérvese que cuando el sistema de referencia es ortonormal, las coordenadas de un punto P
se identifican con la longitud de los segmentos OP1 , OP2 , OP3 .
P3
P
e3
e2
e1
O P2
P1
A partir de ahora, si no se dice lo contrario, utilizaremos siempre un sistema de referencia or-
tonormal.
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6. Cambio de sistema de referencia.
Consideremos dos sistemas de referencia cualesquiera en el espacio:
S = {O; u 1 , u 2 , u 3 } y S’ = {O’; v 1 , v 2 , v 3 }
Un punto cualquiera P tendrá diferentes coordenadas referidas a ambos sistemas. Se trata de
hallar una relación que nos permita, conocidas las coordenadas del punto en uno de los sistemas,
calcular las coordenadas de dicho punto en el otro.
Sean  x1 , x 2 , x3  las coordenadas del punto P respecto a S; x1' , x 2 , x3  sus coordenadas en S’ y
' '
(a1,a2,a3) las coordenadas de O en S’.
v3
O’ v 2
P
v1
u3
u1
O
u2
Al ser { u 1 , u 2 , u 3 } y { v 1 , v 2 , v 3 } bases de V3, existen números reales aij (i = 1,2,3; j = 1,2,3)
tales que:
u 1  a11 v 1  a12 v 2  a13 v 3
u 2  a 21 v 1  a 22 v 2  a 23 v 3
u 3  a31 v 1  a32 v 2  a33 v 3
En la figura vemos que O' P  O' O  OP , de donde:
  
x1' v 1  x 2 v 2  x3 v 3  a1 v 1  a 2 v 2  a3 v 3  x1 u 1  x 2 u 2  x3 u 3
' '
x1' v 1  x 2 v 2  x3 v 3  a1  a11 x1  a 21 x 2  a31 x3 v 1  a 2  a12 x1  a 22 x 2  a32 x3 v 2 
' '
a3  a13 x1  a 23 x2  a33 x3 v 3
Por tanto
 1   1 0 0 0  1 
x1'  a1  a11 x1  a 21 x 2  a31 x3   x '   a a a a  x 

x 2  a 2  a12 x1  a 22 x 2  a32 x3    '    a 1 a11 a 21 a 31  x 1 
1
'
 x2 
 x '   a a a a  x3 
x3  a3  a13 x1  a 23 x 2  a33 x3 
2
2 12 22 32
'
  3   3 13 23 33  
Estas ecuaciones nos permiten pasar del sistema de referencia S al S’ y recíprocamente.
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7. Geometría del plano afín euclídeo.
Ecuación de la recta en el plano.
Dado un punto P del plano afín y un vector no nulo v  IR2, se llama recta que pasa por P y
tiene la dirección de v al conjunto formado por los puntos X del plano tales que PX   v para  
IR. La ecuación
PX   v (1)
se llama ecuación vectorial de la recta, v es el vector director y P es el punto de paso.
Si P(p1,p2), X(x,y) y v = (v1,v2), la ecuación (1) se convierte en
(x - p1,y - p2) = (v1,v2)
o, lo que es lo mismo,
(x,y) = (p1,p2) + (v1,v2) (2)
En la ecuación vectorial de una recta, se puede sustituir el vector director v por uno cualquie-
ra de los vectores  v ,   0, obteniéndose una nueva ecuación vectorial que corresponde a la mis-
ma recta.
Por otra parte, se puede elegir como punto de paso cualquier punto de la recta. La nueva ecua-
ción vectorial corresponde a la misma recta.
Si en la ecuación (2) igualamos componente a componente se obtiene un par de ecuaciones
sobre IR a las que se les da el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta:
x  p1  v1 
(3)

y  p 2  v 2 
Si multiplicamos la primera ecuación de (3) por v2, la segunda por v1 y restamos las ecuacio-
nes que obtengamos, se tiene
ax + by + c = 0 (4)
con a = v2, b = -v1 y c = p2v1 – p1v2. La ecuación (4) se llama ecuación implícita de la recta.
Cualquier ecuación de la forma
ax + by + c = 0
con (a,b)  (0,0), es la ecuación de una recta del plano cuya dirección es ortogonal al vector (a,b).
c
Además, esta ecuación corresponde a la recta que pasa por el punto   ,0  y tiene como vector
a
director (-b,a).
Por otra parte, es fácil comprobar que el vector director de esta recta, v  (b, a ) , es ortogonal
al vector (a, b) .
Si b  0, se puede despejar y en (4) y se obtiene la llamada ecuación explícita de la recta:
a c
y x (5)
b b
Si v1  0 y v2  0, podemos despejar e igualar  en las dos ecuaciones de (3) y se obtiene la
ecuación
x  p1 y  p 2
 (6)
v1 v2
llamada ecuación continua de la recta.
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8. Por dos puntos distintos del plano, P(p1,p2) y Q(q1,q2), pasa una única recta, cuya ecuación
vectorial es
x, y    p1 , p 2    q1  p1 , q 2  p 2 
Una recta cualquiera del plano queda definida si se conoce un punto P de ella y un vector no
nulo a  IR2 ortogonal a su dirección. En función de P y a , la ecuación de la recta es
a  PX  0 (7)
Ésta es la llamada ecuación euclídea de la recta.
Posiciones relativas de dos rectas en el plano.
Dadas dos rectas en el plano, r1 y r2, las distintas posiciones relativas de ambas rectas se ob-
tienen estudiando la existencia de solución, mediante el Teorema de Rouché-Frobenius, del sistema
formado por las ecuaciones implícitas de ambas rectas:
r1  a1 x  b1 y  c1  0 
r2  a 2 x  b2 y  c 2  0

Se pueden dar los siguientes casos:
Posición de las rectas Clasificación del sistema Teorema de Rouché-Frobenius
 a b1  c1 
 a b1 
rg  1   rg  1
a b  c   2
Se cortan en un punto Compatible determinado a b  
2 2 2 2
2
 a1 b1  c1 
 a b1 
rg  1
 a b   rg  a b  c 

Rectas paralelas Incompatible  
2 2 2 2
2
 c1 
a b1  a b1
rg  1   rg  1 2
Rectas coincidentes Compatible indeterminado a  a  c2 
2 b2  2 
b2
Problemas métricos en el plano.
Se define la distancia de un punto P a una recta r como la menor de las distancias del punto P
a los puntos de la recta r.
La distancia de un punto P(xo,yo) a una recta r de ecuación ax + by + c = 0 viene dada por
ax o  by o  c
d ( P, r )  (8)
a2  b2
Dadas dos rectas paralelas r1 y r2, la distancia desde cualquier punto de r1 a la recta r2 es
siempre la misma. Se define la distancia entre dos rectas paralelas como la distancia de un punto de
una de las dos a la otra.
Llamaremos ángulo formado por dos rectas al ángulo agudo o recto determinado por dos vec-
tores directores de las rectas. Si las rectas r y s tienen como vectores directores u  (u1 , u 2 ) y
v  (v1 , v 2 ) , respectivamente, entonces
u v u1v1  u 2 v 2
cos(r , s )  cos(u , v)  
u12  u 2 v12  v 2
2 2
uv
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9. Geometría del espacio afín euclídeo.
Ecuación de la recta en el espacio.
Dado un punto P del espacio afín y un vector no nulo v  IR3, se llama recta que pasa por P y
tiene la dirección de v al conjunto formado por los puntos X del espacio tales que PX   v para 
 IR. La ecuación
PX   v (9)
se llama ecuación vectorial de la recta, v es el vector director y P es el punto de paso.
Si P(p1,p2,p3), X(x,y,z) y v = (v1,v2,v3), la ecuación (9) se convierte en
(x - p1,y - p2,z – p3) = (v1,v2,v3)
o, lo que es lo mismo,
(x,y,z) = (p1,p2,p3) + (v1,v2,v3) (10)
Del mismo modo que para el plano afín, se puede demostrar que la ecuación vectorial de una
recta del espacio afín cartesiano es independiente del vector director y del punto de paso que elija-
mos.
Si en la ecuación (10) igualamos componente a componente se obtienen tres ecuaciones sobre
IR a las que se les da el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta:
x  p1  v1 

y  p 2  v 2  (11)
z  p3  v3  
Si v1  0, v2  0 y v3  0 podemos despejar e igualar  en las tres ecuaciones de (11) y se ob-
tiene la ecuación
x  p1 y  p 2 z  p 3
  (12)
v1 v2 v3
llamada ecuación continua de la recta.
Por dos puntos distintos del espacio, P(p1,p2,p3) y Q(q1,q2,q3), pasa una única recta, cuya
ecuación vectorial es
Una recta cualquiera del plano queda definida si se conoce un punto P de ella y un vector no
nulo a  IR2 ortogonal a su dirección. En función de P y a , la ecuación de la recta es
a  PX  0 (13)
Ésta es la llamada ecuación euclídea de la recta.
x, y, z    p1 , p2 , p3    q1  p1 , q 2  p2 , q3  p3 
Ecuación del plano en el espacio.
Dado un punto P del espacio afín y dos vectores u, v  IR3 linealmente independientes, se
llama plano que pasa por P y tiene a u y v como vectores directores al conjunto formado por los
puntos X del espacio tales que PX   u   v para ,   IR. La ecuación
PX   u   v (14)
se llama ecuación vectorial del plano.
Si P = (p1,p2,p3), X = (x,y,z), u = (u1,u2,u3) y v = (v1,v2,v3), la ecuación (14) se convierte en
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10. (x - p1,y - p2,z – p3) = (u1,u2,u3) + (v1,v2,v3)
o, lo que es lo mismo,
(x,y,z) = (p1,p2,p3) + (u1,u2,u3) + (v1,v2,v3) (15)
Se puede demostrar que la ecuación vectorial de un plano del espacio afín cartesiano es inde-
pendiente de los vectores directores y del punto de paso que elijamos.
Si en la ecuación (15) igualamos componente a componente se obtienen tres ecuaciones sobre
IR a las que se les da el nombre de ecuaciones paramétricas del plano:
x  p1  u1  v1 

y  p 2   u 2  v 2  (16)

z  p 3   u 3  v 3 
Si en (16) eliminamos los parámetros  y , se obtiene la ecuación implícita del plano
ax  by  cz  d  0 (17)
Cualquier ecuación de la forma
ax  by  cz  d  0
con (a,b,c)  (0,0,0), es la ecuación de un plano del espacio cuyos vectores directores son ortogona-
les al vector (a,b,c). Además, esta ecuación es la ecuación implícita del plano que pasa por el punto
d 
  ,0,0  y tiene como vectores directores (-b,a,0) y (-c,0,a).
a 
Por otra parte, es fácil comprobar que los vectores directores de este plano, u  (b, a,0) y
v  (c,0, a ) , son ortogonales al vector (a, b, c) .
Por tres puntos distintos del espacio, P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3) y R(r1,r2,r3), que no estén alinea-
dos, pasa un único plano, cuya ecuación vectorial es
x, y, z    p1 , p 2 , p3    q1  p1 , q 2  p 2 , q3  p3    r1  p1 , r2  p 2 , r3  p3 
Posiciones relativas de dos planos en el espacio.
Dados dos planos en el espacio, 1 y 2, las distintas posiciones relativas de ambos planos se
obtienen estudiando la existencia de solución, mediante el Teorema de Rouché-Frobenius, del sis-
tema formado por las ecuaciones implícitas de ambos planos:
1  a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 
 2  a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2  0

Se pueden dar los siguientes casos:
Posición de los planos Clasificación del sistema Teorema de Rouché-Frobenius
 a b c  d1 
a b c 
rg  1 1 1   rg  1 1 1 2
Se cortan en una recta Compatible indeterminado
 a 2 b2 c 2  d 2 
 a 2 b2 c 2 
 a b c  d1 
a b c 
rg  1 1 1   rg  1 1 1 
Planos paralelos Incompatible
 a 2 b2 c 2  d 2 
 a 2 b2 c 2 
 a1 b1 c1  d1 
 a1 b1 c1 
Compatible indeterminado rg  a b c   rg  a b c  d   1
Planos coincidentes
 2 2 2 2 2 2 2
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11. Otra forma de expresar la ecuación de una recta en el espacio.
Toda recta del espacio afín es intersección de dos planos distintos y por ello está representada
por un sistema de ecuaciones del tipo:
a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2  0

a b c 
donde el rango de la matriz de coeficientes  1 1 1  es 2.
 a 2 b2 c 2 
Posiciones relativas de tres planos en el espacio.
Dados tres planos en el espacio, 1, 2 y 3, cuyas ecuaciones implícitas son
1  a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 

 2  a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2  0
 3  a3 x  b3 y  c3 z  d 3  0 

si denotamos por A la matriz del sistema formado por las tres ecuaciones y A la matriz ampliada de
dicho sistema, se pueden dar los siguientes casos:
Posición de los planos Teorema de Rouché-Frobenius
Se cortan en un punto rg(A) = rg( A ) = 3
Se cortan en una recta rg(A) = rg( A ) = 2
Planos coincidentes rg(A) = rg( A ) = 1
Planos paralelos rg( A ) = 2
rg(A) = 1
No se cortan y no son paralelos rg( A ) = 3
rg(A) = 2
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio.
Dadas dos rectas en el espacio, r1 y r2, cuyas ecuaciones son
 a x  b1 y  c1 z  d1  0   x  1 y   1 z   1  0
r1   1 r2   1
y
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2  0  2 x   2 y   2 z   2  0

   
a b c 
con rg  1 1 1   2 y rg  1 1 1   2 , si denotamos
  2 2  2 
 a 2 b2 c 2 
 d1 
 a1 b1 c1   a1 b1 c1
a b c  a  d2 
b2 c2
A 2 2 2 A 2 
y
  1 1  1   1 1 1  1 
      2 
2 2
 2 2 2 2 
se pueden dar los siguientes casos:
Posición de las rectas Teorema de Rouché-Frobenius
Se cruzan rg( A ) = 4
Se cortan en un punto rg(A) = rg( A ) = 3
Rectas paralelas rg( A ) = 3
rg(A) = 2
Rectas coincidentes rg(A) = rg( A ) = 2
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12. Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio.
Dada una recta en el espacio, r, cuya ecuación es
 a x  b1 y  c1 z  d1  0
r 1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2  0
a b c 
con rg  1 1 1   2 , y un plano, , de ecuación x   y  z    0 , si denotamos
 a 2 b2 c 2 
 a1 b1 c1  d1 
 a1 b1 c1 
A   a 2 b2 c 2  A   a 2 b2 c 2  d 2 
y
   
        
se pueden dar los siguientes casos:
Posición de la recta y el plano Teorema de Rouché-Frobenius
Se cortan en un punto rg(A) = rg( A ) = 3
Recta paralela al plano rg( A ) = 3
rg(A) = 2
Recta incluida en el plano rg(A) = rg( A ) = 2
Problemas métricos en el espacio.
Se define la distancia de un punto P a un plano  como la menor de las distancias del punto P
a los puntos del plano .
La distancia de un punto P(xo,yo,zo) a un plano  de ecuación ax + by + cz + d = 0 viene dada
por
axo  by o  cz o  d
d ( P, )  (18)
a2  b2  c2
Llamaremos ángulo formado por dos rectas al ángulo agudo o recto determinado por dos vec-
tores directores de las rectas.
Si las rectas r y s tienen como vectores directores u  (u1 , u 2 , u 3 ) y v  (v1 , v 2 , v3 ) , respecti-
vamente, entonces
u v u1v1  u 2 v 2  u 3 v3
cos(r , s )  cos(u , v)  
u12  u 2  u 3 v12  v 2  v3
2 2 2 2
uv
El ángulo diedro que forman dos planos del espacio será el ángulo agudo determinado por sus
vectores característicos o normales. Así, si los planos  y ’ tienen como vectores característicos
a  (a1 , a 2 , a3 ) y a'  (a1' , a 2 , a3 ) , respectivamente, entonces
' '
a b
cos(, ' )  cos(a, b) 
ab
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