Este documento resume los conceptos fundamentales de los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, clasificación, notación matricial, teoremas para su resolución como el de Rouché-Fröbenius, y métodos como el de Gauss-Jordan, Cramer y la matriz inversa. Explica cómo transformar sistemas equivalentes y aplicar la regla de Cramer a sistemas compatibles pero no cuadrados.

1. UNIDAD 2: Álgebra lineal.
Tema 7. Sistemas de ecuaciones lineales.
Definición y clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales. Discusión y
resolución de sistemas utilizando cálculo matricial.
Definiciones.
Sistema de ecuaciones.
Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de expresiones
algebraicas de la forma:
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2  
 (1)
················································· 
a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm  
donde las xj (j = 1,2,...,n) son las incógnitas, los aij (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n) son los coeficientes y
los bi (i = 1,2,...,m) los términos independientes.
Los coeficientes y los términos independientes son números reales.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar valores para las incógnitas que satis-
fagan todas las ecuaciones del sistema a la vez. Cada conjunto de valores reales que satisface todas
ellas se llama una solución del sistema. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solu-
ción del primero es solución del segundo y viceversa.
Tipos de sistemas.
La clasificación de los sistemas se hace atendiendo a la existencia de las soluciones:
 Incompatible: no tiene solución.
 Compatible: tiene solución.
 Compatible determinado: solución única.
 Compatible indeterminado: infinitas soluciones.
Notación matricial.
Dado un sistema de ecuaciones lineales como el (1), se llama matriz de coeficientes y matriz
ampliada, respectivamente, a las matrices:
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2.  a11 a12  a1n   a11 a12  a1n b1 
   
a a 22  a 2 n   a 21 a 22  a 2 n b2 
A   21 A  ( A B)  
         
 
a a m 2  a mn  a a m 2  a mn bm 
 m1   m1 
 x1   b1 
   
 x2  b 
Si llamamos X    y B   2  , el sistema (1) se puede escribir en forma matricial: A·X = B.
 
   
x  b 
 n  m
Discusión de sistemas. Teorema de Rouché-Fröbenius.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución
es que la matriz de coeficientes y la matriz ampliada tengan igual rango: rg(A) = rg( A ) = h.
a) Si el rango es igual al número de incógnitas, la solución es única:
h = n  sistema compatible determinado
b) Si el rango es menor que el número de incógnitas, hay infinitas soluciones:
h < n  sistema compatible indeterminado
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Teorema fundamental de equivalencia.
Decimos que una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones de un sistema si se obtiene
como resultado de sumar las ecuaciones del mismo previamente multiplicadas por un número real.
Teorema: Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima por una
combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema, siempre que el coeficien-
te que multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero, el sistema resultante es equivalente al
primero.
Corolario: Si en un sistema de ecuaciones se suprime una ecuación que es combinación lineal
de las restantes, el sistema obtenido es equivalente al dado.
Esto permite ir transformando un sistema en otros equivalentes cuyas soluciones puedan obte-
nerse con más facilidad.
Método de eliminación de Gauss-Jordan.
Este método, basado en el teorema y corolario anteriores, consiste en llegar a un sistema “es-
calonado” transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas (triangular supe-
rior).
Regla de Cramer.
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si tiene el mismo
número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de
cero.
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3. m  n
Sistema de Cramer  
A 0
Teorema: Todo sistema de Cramer tiene solución única y el valor de cada incógnita se obtiene
dividiendo por el determinante de la matriz de los coeficientes el determinante que resulta al susti-
tuir en dicha matriz la columna correspondiente a los coeficientes de esa incógnita por la que for-
man los términos independientes.
Esto es, si tenemos el sistema de Cramer:
a11x + a12y + a13z + a14t = b1
a21x + a22y + a23z + a24t = b2
a31x + a32y + a33z + a34t = b3
a41x + a42y + a43z + a44t = b4
del cual sabemos que el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo:
 a11 a12 a13 a14  a11 a12 a13 a14
 
a a 22 a 23 a 24  a 21 a 22 a 23 a 24
A   21 A 0
a a 32 a33 a34  a31 a 32 a33 a34
 31 
a a 44 
 41 a 42 a 43  a 41 a 42 a 43 a 44
la solución será:
b1 a12 a13 a14 a11 b1 a13 a14
b2 a 22 a 23 a 24 a 21 b2 a 23 a 24
b3 a32 a33 a34 a31 b3 a33 a34
b4 a 42 a 43 a 44 Ax a 41 b4 a 43 a 44 Ay
x  y 
A A A A
a11 a12 b1 a14 a11 a12 a13 b1
a 21 a 22 b2 a 24 a 21 a 22 a 23 b2
a31 a32 b3 a 34 a31 a32 a33 b3
a 41 a 42 b4 a 44 Az a 41 a 42 a 43 b4 At
z  t 
A A A A
Método de la matriz inversa.
Si tenemos un sistema de Cramer A·X = B, como A  0 existe su inversa y, por lo tanto, po-
demos hacer: A 1  A  X  A 1  B . Entonces, la solución también se puede encontrar de la siguiente
forma:
X  A 1  B
Aplicación de la regla de Cramer a cualquier sistema compatible.
La regla de Cramer, que se ha presentado válida solamente para sistemas cuadrados que cum-
plen |A|  0, se puede aplicar, sin embargo, a cualquier sistema de ecuaciones compatible.
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4. Tenemos un sistema de m ecuaciones y n incógnitas, compatible. Supongamos que rg(A) =
r( A ) = h y que h < n. Esto significa que la matriz de los coeficientes tiene un menor de orden h dis-
tinto de 0. Para simplificar supondremos que ese menor está en la esquina izquierda de la matriz A,
es decir, está formado por la intersección de las h primeras filas y las h primeras columnas:
a11 x1    a1h x h  a1h 1 x h 1    a1n x n  b1
..............................................................................
a h1 x1    a hh x h  a hh 1 x h 1    a hn x n  bh
a h 11 x1    a h 1h x h  a h 1h 1 x h 1    a h 1n x n  bh 1
..............................................................................
a m1 x1    a mh x h  a mh 1 x h 1    a mn x n  bm
(Hemos destacado en negrita el menor de orden h distinto de cero). Las ecuaciones situadas
bajo el menor no nulo de orden h dependen linealmente de las anteriores: se pueden suprimir.
El sistema es equivalente a este otro:
a11 x1    a1h x h  b1  a1h 1 x h 1    a1n x n
......................................................................
a h1 x1    a hh x h  bh  a hh 1 x h 1    a hn x n
al cual ya se le puede aplicar la regla de Cramer. Los determinantes A x1 , A x2 , ..., A xh dependen
de las incógnitas x h 1 ,..., x n . Por tanto, la solución depende de n  h parámetros, es decir, tiene un
grado de indeterminación n  h .
Si h = m todas las ecuaciones son útiles.
Si h < m sobran varias ecuaciones pero, al suprimirlas, queda un sistema de Cramer de n ecua-
ciones y n incógnitas, determinado.
Sistemas homogéneos.
Se llama sistema homogéneo a un sistema de ecuaciones lineales en el que los términos inde-
pendientes son todos nulos.
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  0 
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  0  

·················································
a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  0  
En los sistemas homogéneos siempre rg(A) = rg( A ) y, por tanto, siempre son compatibles.
En efecto, todo sistema homogéneo admite por lo menos la solución llamada trivial:
x1  x 2  ...  x n  0 .
Teorema: Es condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga solución
distinta de la trivial que el rango de la matriz de coeficientes sea menor que el número de incógni-
tas.
Corolario: La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo con igual
número de ecuaciones que de incógnitas tenga solución distinta de la trivial es que el determinante
de la matriz de coeficientes sea nulo.
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