Tema 3 (primera parte)

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Tema 3 (primera parte)

  1. 1. Tema 3. Derivadas UNIDAD 2: Funciones reales de una variable real. Tema 3.- Derivadas. (6 sesiones, 9 horas) Concepto de derivada e interpretación geométrica. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de la derivada: representación gráfica y optimización de funciones. Objetivos específicos : - Adquirir habilidad en el cálculo de derivadas de funciones de una variable. - Resolver problemas de optimización utilizando la derivada. Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  2. 2. Derivada de una función en un punto <ul><li>Sea f ( x ) una función continua en un entorno del punto x 0 . Se dice que f es derivable en x 0 , si existe el límite: </li></ul><ul><li>o, lo que es lo mismo: </li></ul><ul><li>Este límite recibe el nombre de derivada de f ( x ) en el punto x 0 y se denota por f ’( x 0 ). </li></ul><ul><li>Ejemplo: Sea f ( x ) = x 2 + 1. Calcular su derivada en el punto x 0 = 2. </li></ul>Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  3. 3. Interpretación geométrica <ul><li>Geométricamente, la derivada de una función f ( x ) en un punto x 0 representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) en el punto de coordenadas (x 0 , f ( x 0 )). </li></ul>Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito f ( x ) x 0 f ( x 0 )
  4. 4. Aplicaciones <ul><li>1. Ecuación de la recta tangente a una curva plana </li></ul>recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto ( x 0 , f ( x 0 )) Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Recta tangente f ( x ) x 0 f ( x 0 )
  5. 5. Aplicaciones <ul><li>2. Ecuación de la recta normal a una curva plana </li></ul>recta normal a la curva y = f ( x ) en el punto ( x 0 , f ( x 0 )) Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Recta normal f ( x ) x 0 f ( x 0 )
  6. 6. Aplicaciones <ul><li>3. Ángulo entre dos curvas </li></ul><ul><li>Se denomina ángulo  entre dos curvas que se cortan en el punto P al menor de los ángulos que forman sus respectivas tangentes en P. </li></ul>m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas tangentes Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  7. 7. Función derivada <ul><li>Se denomina función derivada de f ( x ) o primera derivada de f ( x ), y se denota por f ‘( x ), a la función que está definida en aquellos puntos en los que f ( x ) es derivable y asigna a cada punto en el que está definida el valor de la derivada de f ( x ) en dicho punto. </li></ul><ul><li>Ejemplo: f ( x ) = x 2 . f ( x ) = sen x . </li></ul><ul><li>Tabla de derivadas. </li></ul>Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  8. 8. Propiedades de la derivación <ul><li>1. Teorema </li></ul><ul><li>Si la función f ( x ) es derivable en el punto x 0 , entonces f ( x ) es continua en x 0 . </li></ul><ul><li>El teorema recíproco es falso. Ejemplo: f ( x ) = | x | es continua en x = 0, pero no es derivable en x = 0. </li></ul>Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  9. 9. Propiedades de la derivación <ul><li>2. Teorema </li></ul><ul><li>Si f ( x ) y g ( x ) son funciones derivables en el punto x 0 , y c es una constante, se verifican las siguientes propiedades: </li></ul>a) ( f ± g )( x ) es derivable en x 0 , y ( f ± g )’( x ) = f ‘(x) ± g ’( x ) b) ( c · f )( x ) es derivable en x 0 , y ( c · f )’( x ) = c · f ‘(x) c) ( f · g )( x ) es derivable en x 0 , y ( f · g )’( x ) = f ‘(x) · g ( x ) + f (x) · g ’( x ) d) ( f / g )( x ) es derivable en x 0 , y ( f / g )’( x ) = [ f ‘(x) · g ( x ) - f (x) · g ’( x )] / g 2 ( x ) (siempre que g ( x ) ≠ 0) Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  10. 10. Propiedades de la derivación <ul><li>3. Derivada de la función compuesta: regla de la cadena </li></ul><ul><li>Si y = f ( u ) es una función derivable de u y u = g ( x ) es una función derivable de x , entonces y = f [ g ( x )] = ( f ○ g )( x ) es una función derivable de x , con </li></ul>( f ○ g )( x ) = f ‘( u )· g ’( x ) = f [ g ( x )]· g ’( x ) Ejemplo: y = sen x 2 Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  11. 11. Derivadas de orden superior <ul><li>Sea f ( x ) una función derivable, es decir, existe f ‘( x ). Si f ‘( x ) es también una función derivable, la derivada de f ’( x ) recibe el nombre de derivada segunda de f ( x ) y se denota por f ‘’( x ). </li></ul><ul><li>Análogamente se puede pasar de la derivada segunda a la derivada tercera, etc… </li></ul><ul><li>En general, la derivada de orden n o derivada n-ésima de la función y = f ( x ) la denotaremos por y (n) = f (n) ( x ). </li></ul>Ejemplo: derivadas sucesivas de la función f ( x ) = 3 x 4 – 2 x 2 + 2 x -3 Ejemplo: derivada n-ésima de la función f ( x ) = ln (1 + x ) Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

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