1. ‫הסתברותיות‬ ‫שיטות‬
‫מס‬ ‫תרגול‬'9.
10.06.2007
version 1.
‫סיכו‬ ‫תרגילי‬
1.‫תרגיל‬:
‫באקראי‬ ‫מפזרי‬)‫אחיד‬ ‫באופ‬(сm‫ו‬ ‫לבני‬ ‫כדורי‬-cm‫כדורי‬
‫ל‬ ‫שחורי‬-2
m‫תאי‬.‫ומלמ‬ ‫מלמעלה‬ ‫הער‬‫טה‬‫את‬‫הסתברות‬‫מאורע‬ ‫של‬
A–‫יהי‬‫אחד‬ ‫וכדור‬ ‫לב‬ ‫אחד‬ ‫כדור‬ ‫ע‬ ‫אחד‬ ‫כד‬ ‫לפחות‬‫שחור‬.
)‫כאשר‬1<c.(
‫פתרו‬:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
..1
2
22
11
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
222
1
1
2
1..1
11 1
21
)Pr(
1
111
1
)1|(
)1Pr(
1
)1Pr(
1
)Pr(
1
1
1
1
1
11
1
11
)1Pr(
)1Pr(
1
)Pr()Pr(
)1|(
)1Pr(
)
)Pr()Pr()Pr()Pr()
...Pr)Pr(
2
2
2
2
22
2
2
2
22 2
2
cA
c
c
c
c
ec
e
c
EX
e
m
c
m
XXE
X
c
m
cm
X
m
A
e
m
c
e
m
cm
mm
cm
mm
m
cm
m
m
cmcm
X
X
m
AA
XXE
X
b
AAAAAa
AAAA
m
c
m
c
m
c
m
c
m
c
m
mi i
i
m
m
c
m
cm
cm
cm
m
i
i
mi i
i
m
i
i
m
i ji
ji
j
i
m
≤≤
+
+
→
+
=
+






≥
=
=
=













≤=







≤






→





−
→





−





−
=
=
−





 −
=
−











==
=







=≤≤
=
=
≤≤−
∪∪∪=
−
−
−
=
−
∞→
−
−
==
== <=
∑
∑∑
∑∑ ∑∑

2. 2.‫תרגיל‬:
n-‫בתור‬ ‫באקראי‬ ‫עומדי‬ ‫אנשי‬.‫יהי‬X‫מ‬"‫בתור‬ ‫אבי‬ ‫למיקו‬ ‫השווה‬ ‫מ‬.
‫תוחלת‬ ‫חשב‬X.
i.‫א‬ ‫דר‬':X‫מ‬"‫מ‬‫אוניפורצי‬:),1(~ nUX‫ולכ‬
2
1+
=
n
EX.
ii.‫ב‬ ‫דר‬':X‫לכמות‬ ‫שווה‬‫אבי‬ ‫לפני‬ ‫העומדי‬ ‫אנשי‬+1.
‫מ‬ ‫סדרה‬ ‫נגדיר‬"‫אד‬ ‫ב‬ ‫הא‬ ‫הבודק‬ ‫אינדיקאטור‬ ‫מ‬‫ה‬i‫י‬‫לפני‬ ‫עומד‬
‫אבי‬.
‫אזי‬:
( )
2
1
1
2
)1(
1... 121
+
=+
−
=
++++= −
nn
EX
XXXX n
3.‫תרגיל‬:
‫גמר‬ ‫ממבח‬ ‫שאלה‬2005‫א‬ ‫מועד‬'.
‫יהי‬π‫פרמוט‬‫כל‬ ‫בי‬ ‫אחיד‬ ‫אקראי‬ ‫באופ‬ ‫הנבחרת‬ ‫אקראית‬ ‫ציה‬
‫התמורות‬‫על‬n‫איברי‬.
‫נסמ‬‫ב‬-)(iπ‫ה‬ ‫במקו‬ ‫שעומד‬ ‫איבר‬-i‫בתמורה‬π.
i.‫חשב‬:)),...,max(|Pr( 211 in πππππ >>
11
1
1
)),...,max(Pr(
)),,...,max(Pr(
)),...,max(|Pr(
21
21
211
+
=+=
>
>
=>>
i
i
i
i
i
ni
in
πππ
ππππ
πππππ
ii.‫חשב‬:)),...,max(|( 211 iE ππππ >
‫ל‬ ‫דומה‬ ‫ברעיו‬ ‫נשתמש‬‫מ‬ ‫רעיו‬‫תרגיל‬2.
‫מ‬ ‫של‬ ‫סדרה‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬


 ≥
=
else
if
X
XX
i
i
n
0
1
,...,
1
1
ππ
‫אזי‬:
1
1
1
1
1
)(
1
*1
)),...,max(|()),...,max(|()),...,max(|(
)),...,max(|()),...,max(|(
1
21
1
21
1
21
1
21
1
211
1
1
+
+
=
+
−++
=
+
−+=
+
+
=>+>=>=
=>=>
=
∑
∑∑∑
∑
∑
+=
+===
=
=
i
n
i
i
ini
i
i
i
ini
i
i
i
XEXEXE
XEE
X
n
it
it
n
it
it
i
t
it
n
t
i
n
t
ti
n
i
i
πππππππππ
πππππππ
π

3. 4.‫תרגיל‬:
‫קבע‬ ‫ביתו‬ ‫את‬ ‫המוכר‬ ‫איש‬n‫פוטנציאליי‬ ‫קוני‬ ‫ע‬ ‫פגישות‬.‫כאשר‬
‫אקראי‬ ‫בסדר‬ ‫באי‬ ‫הקוני‬–‫אחיד‬.
‫המוכר‬ ‫ועל‬ ‫סכו‬ ‫מציע‬ ‫קונה‬ ‫כל‬‫מיד‬‫אותו‬ ‫לדחות‬ ‫או‬ ‫לקבל‬
)‫שכר‬ ‫אי‬-‫מכר‬.(
‫המרבית‬ ‫הצעה‬ ‫את‬ ‫לקבל‬ ‫היא‬ ‫המוכר‬ ‫מטרת‬.
‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ ‫ההצעות‬ ‫כל‬ ‫כי‬ ‫מניחי‬ ‫אנו‬.
‫כזה‬ ‫הינו‬ ‫המוכר‬ ‫של‬ ‫התכסיס‬:‫מספר‬ ‫קובע‬ ‫הוא‬nk ≤≤1,‫את‬ ‫דוחה‬
k‫הראשונות‬ ‫ההצעות‬,‫ומקבל‬ ‫המרבית‬ ‫ההצעה‬ ‫את‬ ‫זוכר‬ ‫הוא‬ ‫כאשר‬
‫ראשונה‬ ‫ההצעה‬ ‫את‬)‫מבי‬nk ,...,1+(‫הזאת‬ ‫ההצעה‬ ‫על‬ ‫העולה‬.
‫א‬(‫ה‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬‫א‬ ‫הצלחה‬1−= nk
‫ב‬(‫א‬ ‫ההצלחה‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬1=k
‫ג‬(‫א‬ ‫ההצלחה‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬
2
n
k =
‫ד‬(‫ה‬ ‫מהו‬-k‫האופטימאלי‬.‫ה‬ ‫עבור‬ ‫ההצלחה‬ ‫הסתברות‬ ‫מהי‬-k‫הזה‬.
‫פתרו‬:
‫א‬(
n
‫הצעהה‬‫האחרונה‬‫היא‬‫מרבית‬PAP
1
)()( ==‫מדוע‬?
‫ב‬(‫מ‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬X‫המרבית‬ ‫ההצעה‬ ‫ע‬ ‫הקונה‬ ‫למספר‬ ‫שווה‬ ‫להיות‬.‫אזי‬:
nn
n
H
ninn
iXBP
iXPiXBPiXPiXBPBP
n
n
i
n
i
n
i
n
i
1)1ln(1
1
111
)|(
)()|()()|()(
1
22
21
>
−
≈=
−
===
=======
−
==
==
∑∑
∑∑
‫ג‬(‫מ‬ ‫נגדיר‬"‫מ‬Y‫המרבית‬ ‫ההצעה‬ ‫ע‬ ‫הקונה‬ ‫למספר‬ ‫שווה‬ ‫להיות‬
‫השנייה‬.‫אזי‬:
4
12
1
2)
2
()
2
|
2
()
22
()( ≥
−
=≤≤>=>∩≤≥
n
n
n
n
n
YP
n
Y
n
XP
n
X
n
YPCP

4. ‫ד‬(‫ב‬ ‫נסמ‬-kA‫מאורע‬:‫עב‬ ‫ביתו‬ ‫את‬ ‫ימכור‬ ‫המוכר‬‫מרבית‬ ‫הצעה‬ ‫ור‬
‫ידחה‬ ‫הוא‬ ‫כאשר‬k‫ראשוני‬ ‫קוני‬.
‫המטרה‬:‫למצוא‬
)(maxarg
)(max
k
k
AP
AP
‫השלמה‬ ‫הסתברות‬ ‫נוסחת‬ ‫לפי‬:
∑∑ +=+=
=
−
==>=>==>
−
=>
>>=>>+≤≤=
n
ki
k
n
ki
kk
kkkk
kn
iXAPkXiXPkXiXAPkXAP
n
kn
kXP
kXPkXAPkXPkXAPkXPkXAPAP
11
1
)|()|(),|()|(
)(
)()|()()|()()|()(
)
1
1
(ln)
1
1
(ln)(
))1ln()1(ln(
)(
1
1
)|(
1
11
11
−
−
=
−
−
−
−
≈
−−−
−
≈
≈−
−
=
−−
==
−
= −−
+=+=
∑∑
k
n
n
k
k
n
kn
k
n
kn
AP
kn
kn
k
HH
kn
k
i
k
kn
iXAP
kn
k
kn
n
ki
n
ki
k
‫למצוא‬ ‫מנת‬ ‫על‬
)(maxarg
)(max
k
k
AP
AP
‫לגזור‬ ‫יש‬)( kAP‫נקבל‬ ‫ואז‬:
∞→→=
∞→→
n
e
AP
n
e
n
AP
k
k
37.0
1
)(max
)(maxarg