Signals

1. ©‫זילביגר‬ ‫לאבי‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬
‫מעבדה‬–‫ומערכות‬ ‫אותות‬

2. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬2 | Signals & Systems Lab
‫פרקים‬7-8‫המעבדה‬ ‫בחוברת‬
1

3. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬3 | Signals & Systems Lab
‫למשל‬ ‫אם‬:
‫דיפרנציאלית‬ ‫למשוואה‬ ‫התמסורת‬ ‫פונקצית‬ ‫את‬ ‫להעביר‬ ‫אפשר‬ ‫אז‬:
S‫הגזירה‬ ‫אופרטור‬ ‫הוא‬
‫לומר‬ ‫גם‬ ‫נכון‬:
∫
∞
∞−
−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(
‫בזמן‬ ‫משתנה‬ ‫לא‬ ‫לינארית‬ ‫מערכת‬ ‫של‬ ‫תמסורת‬ ‫פונקצית‬
Transfer Function of a Linear Time Invariant System (LTI)
‫ליציאה‬ ‫הכניסה‬ ‫בין‬ ‫הקשר‬ ‫את‬ ‫נותנת‬ ‫תמסורת‬ ‫פונקצית‬
x(t) y(t)
h(t)
‫הזמן‬ ‫במישור‬:
h(t)‫להלם‬ ‫התגובה‬ ‫היא‬
1
1
)(
)(
+
=
ssX
sY
τ
)()()(' txtyty =+τ
)()]([ sHthL =
X(s) Y(s)
H(s)
)(
)(
)(
sH
sX
sY
=
‫לפלס‬ ‫במישור‬:

4. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬4 | Signals & Systems Lab
‫פקודות‬Matlab
‫הפקודה‬H=tf([ ], [ ])‫מסוג‬ ‫אוביקט‬ ‫מגדירה‬transfer function
‫הפקודה‬impulse(H)‫להלם‬ ‫התגובה‬ ‫את‬ ‫נותנת‬(impulse response)–‫כאשר‬x(t)=δ(t).
‫גם‬ ‫זוהי‬h(t)
‫הפקודה‬step(H)‫ל‬ ‫התגובה‬ ‫את‬ ‫נותנת‬-x(t)=µ(t)(step response)
‫כגון‬ ‫לציור‬ ‫המבוקשים‬ ‫הזמן‬ ‫גבולות‬ ‫את‬ ‫המציינים‬ ‫פרמטרים‬ ‫להוסיף‬ ‫אפשר‬ ‫הפקודות‬ ‫בשתי‬:
Step(H,t_final),step(H,t_vector)
‫הפקודה‬pole(H)‫של‬ ‫הקטבים‬ ‫מיקום‬ ‫את‬ ‫נותנת‬H
‫הפקודה‬zero(H)‫של‬ ‫האפסים‬ ‫מיקום‬ ‫את‬ ‫נותנת‬H
‫הפקודה‬pzmap(H)‫הקומפלקסי‬ ‫במישור‬ ‫והאפסים‬ ‫הקטבים‬ ‫את‬ ‫מציירת‬

5. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬5 | Signals & Systems Lab
‫הקומפלקסי‬ ‫במישור‬ ‫הקטבים‬ ‫מיקום‬ ‫משמעות‬)1/2(
‫שמאלה‬ ‫יותר‬ ‫זז‬ ‫שהקוטב‬ ‫ככל‬←‫מהירה‬ ‫יותר‬ ‫המערכת‬
‫הוא‬ ‫הקוטב‬ ‫מיקום‬1/τ
‫יותר‬ ‫קטן‬ ‫זמן‬ ‫קבוע‬
X Re
Im
‫מדומים‬ ‫קטבים‬
‫התנודות‬ ‫תדר‬ ‫את‬ ‫קובע‬ ‫המדומה‬ ‫הציר‬ ‫על‬ ‫מיקום‬
‫דעיכה‬ ‫אין‬
‫קומפלקסי‬ ‫קוטב‬
‫הדעיכה‬ ‫מידת‬ ‫את‬ ‫קובע‬ ‫הממשי‬ ‫הציר‬ ‫על‬ ‫הקוטב‬ ‫מיקום‬
‫התנודות‬ ‫תדר‬ ‫את‬ ‫קובע‬ ‫המדומה‬ ‫הציר‬ ‫על‬ ‫הקוטב‬ ‫מיקום‬
0 10 20 30 40 50 60
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
ImpulseResponse
Time(sec)
Amplitude
X
Re
Im
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
ImpulseResponse
Time(sec)
Amplitude
X
0 20 40 60 80 100 120 140
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
ImpulseResponse
Time(sec)
Amplitude
X
Re
Im
X
‫בלבד‬ ‫סיבתיות‬ ‫במערכות‬ ‫דנים‬ ‫אנו‬

6. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬6 | Signals & Systems Lab
‫הקומפלקסי‬ ‫במישור‬ ‫הקטבים‬ ‫מיקום‬ ‫משמעות‬)2/2(
‫ימין‬ ‫בצד‬ ‫קוטב‬=‫יציבה‬ ‫לא‬ ‫מערכת‬
X Re
Im
‫בלבד‬ ‫סיבתיות‬ ‫במערכות‬ ‫דנים‬ ‫אנו‬
‫דומיננטי‬ ‫קוטב‬
‫לראשית‬ ‫ביותר‬ ‫הקרוב‬ ‫הקוטב‬
‫המערכת‬ ‫של‬ ‫התגובה‬ ‫זמן‬ ‫את‬ ‫שקובע‬ ‫זה‬ ‫הוא‬
X Re
Im
X

7. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬7 | Signals & Systems Lab
‫בודה‬ ‫דיאגרמת‬(Bode Plot)
‫התמסורת‬ ‫פונקצית‬ ‫של‬ ‫התדר‬ ‫תגובת‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫לנו‬ ‫מאפשרת‬ ‫בודה‬ ‫דיאגרמת‬
‫מציבים‬s=jω‫פזה‬ ‫והסחת‬ ‫הגבר‬ ‫ומחשבים‬
‫תמסורת‬ ‫פונקצית‬ ‫עם‬ ‫למערכת‬ ‫נכניס‬ ‫אם‬H(s)‫טהור‬ ‫סינוסי‬ ‫אות‬sin(ωt)‫בודה‬ ‫דיאגרמת‬
‫ההגבר‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫נותנת‬(magnitude)‫הפזה‬ ‫והסחת‬(phase)‫ביציאה‬ ‫הסינוס‬ ‫של‬‫במצב‬
‫מתמיד‬
‫התדר‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫האופקי‬ ‫הציר‬ ‫על‬)‫לוגריתמי‬(
‫ב‬ ‫ההגבר‬ ‫את‬ ‫האנכי‬ ‫הציר‬ ‫על‬-dB
-40
-30
-20
-10
0
Magnitude(dB)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-90
-45
0
Phase(deg)
BodeDiagram
Frequency (rad/sec)
‫לדוגמא‬:
‫הקוטב‬ ‫מיקום‬–-0.1rad/sec
110
1
)(
+
=
s
sH
-40
-30
-20
-10
0
System: H
Frequency (rad/sec): 0.0997
Magnitude(dB): -3
Magnitude(dB)
BodeDiagram
Frequency (rad/sec)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-90
-45
0
System: H
Frequency (rad/sec): 0.1
Phase(deg): -45
Phase(deg)
‫מיקום‬ ‫היכן‬ ‫להסיק‬ ‫אפשר‬ ‫הדיאגרמה‬ ‫מתוך‬
‫הקוטב‬
‫בלבד‬ ‫סיבתיות‬ ‫במערכות‬ ‫דנים‬ ‫אנו‬

8. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬8 | Signals & Systems Lab
‫התחלתי‬ ‫וערך‬ ‫הסופי‬ ‫ערך‬
‫הסופי‬ ‫הערך‬ ‫משפט‬–Final Value Theorem
‫לב‬ ‫שימו‬:‫יציבה‬ ‫המערכת‬ ‫אם‬ ‫רק‬ ‫זה‬ ‫במשפט‬ ‫להשתמש‬ ‫מותר‬!!!
)(lim)(lim
0
ssXtx
st →∞→
=
‫ההתחלתי‬ ‫הערך‬ ‫משפט‬–Initial Value Theorem)(lim)0( ssXx
s ∞→
+
=

9. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬9 | Signals & Systems Lab
‫למדרגה‬ ‫תגובה‬–Step Response
‫מערכת‬ ‫נתונה‬ ‫אם‬G(s)‫באינסוף‬ ‫תהיה‬ ‫למדרגה‬ ‫התגובה‬ ‫אז‬:
‫והמכנה‬ ‫המונה‬ ‫של‬ ‫החופשיים‬ ‫האיברים‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫יהיה‬ ‫הסופי‬ ‫הערך‬ ‫כלומר‬
)(lim)(
1
lim)(lim
00
sGsG
s
sty
ss
step
t →→∞→
==
‫מערכת‬ ‫נתונה‬ ‫אם‬G(s)‫ברגע‬ ‫תהיה‬ ‫למדרגה‬ ‫התגובה‬ ‫אז‬0+:
‫כלומר‬:
‫המכנה‬ ‫לדרגת‬ ‫שווה‬ ‫המונה‬ ‫דרגת‬ ‫אם‬,‫הדרגה‬ ‫מקדמי‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫יהיה‬ ‫ההתחלתי‬ ‫הערך‬
‫של‬ ‫ביותר‬ ‫הגבוהה‬s‫ובמכנה‬ ‫במונה‬
‫המכנה‬ ‫מדרגת‬ ‫קטנה‬ ‫המונה‬ ‫דרגת‬ ‫אם‬,‫אפס‬ ‫יהיה‬ ‫ההתחלתי‬ ‫הערך‬
)(lim)(
1
lim)0( sGsG
s
sy
ss
step
∞→∞→
+
==
‫למדרגה‬ ‫תגובה‬ ‫של‬ ‫סופי‬ ‫ערך‬)‫יציבה‬ ‫במערכת‬(
‫למדרגה‬ ‫תגובה‬ ‫של‬ ‫התחלתי‬ ‫ערך‬
S
1

10. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬10 | Signals & Systems Lab
‫דוגמא‬
‫התחלתי‬ ‫ערך‬:1
‫סופי‬ ‫ערך‬:1/2
2
1
)(
+
+
=
s
s
sG
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
StepResponse
Time(sec)
Amplitude ‫יציבה‬ ‫מערכת‬–‫שמאל‬ ‫בצד‬ ‫היחיד‬ ‫הקוטב‬

11. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬11 | Signals & Systems Lab
‫משוב‬)Feedback(
)()(1
)(
)(
)(
)(
)()())()(1)((
)())()()(()(
)()()(
)()()(
)()()(
sGsH
sG
sV
sV
sT
sGsVsGsHsV
sGsHsVsVsV
sHsVsB
sBsVsA
sGsAsV
in
out
inout
outinout
out
in
out
+
==
=+
−=
=
−=
=
A(s)
B(s)
T(s)

12. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬12 | Signals & Systems Lab
‫פזה‬ ‫מינימום‬ ‫לא‬ ‫מערכות‬

13. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬13 | Signals & Systems Lab
‫פזה‬ ‫מינימום‬ ‫מערכת‬(minimum phase)‫פזה‬ ‫מינימום‬ ‫לא‬ ‫ומערכת‬
‫פזה‬ ‫מינימום‬ ‫לא‬ ‫מערכת‬(non-minimum phase)‫בעלת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬‫אפס‬‫ימין‬ ‫בצד‬
‫לפחות‬ ‫אחד‬ ‫שלילי‬ ‫חלק‬ ‫תכלול‬ ‫תמיד‬ ‫למדרגה‬ ‫התגובה‬ ‫פזה‬ ‫מינימום‬ ‫לא‬ ‫במערכת‬
‫ע‬ ‫למדרגה‬ ‫התגובה‬ ‫של‬ ‫ההתחלתי‬ ‫הכיוון‬ ‫את‬ ‫לבחון‬ ‫אפשר‬"‫הערך‬ ‫בדיקת‬ ‫י‬
‫ההתחלתי‬ ‫הכיוון‬ ‫את‬ ‫קובע‬ ‫זה‬ ‫ערך‬ ‫של‬ ‫הסימן‬
+←‫חיובית‬ ‫הינה‬ ‫למדרגה‬ ‫התגובה‬ ‫של‬ ‫הנגזרת‬
-←‫שלילית‬ ‫הינה‬ ‫למדרגה‬ ‫התגובה‬ ‫של‬ ‫הנגזרת‬
)(lim ssG
s ∞→

14. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬14 | Signals & Systems Lab
‫לפרק‬ ‫בית‬ ‫תרגיל‬8)‫בחוברת‬ ‫השאלות‬ ‫במקום‬(

15. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬15 | Signals & Systems Lab
‫בית‬ ‫תרגיל‬)‫בפרק‬ ‫בחוברת‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫במקום‬8(
‫הבאות‬ ‫התמסורת‬ ‫פונקציות‬ ‫עבור‬,‫למדרגה‬ ‫התגובה‬ ‫את‬ ‫צייר‬
24269
244824
)4)(3)(2(
)1(24
)(3
65
66
)3)(2(
)1(6
)(2
65
66
)3)(2(
)1)(1(6
)(1
23
22
2
2
2
+++
+−
=
+++
−
=
++
+−
=
++
−
=
++
+−
=
++
+−
=
sss
ss
sss
s
sG
ss
s
ss
s
sG
ss
s
ss
ss
sG
‫הסבר‬‫ב‬-5‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫שורות‬‫הצפויה‬ ‫התגובה‬ ‫זוהי‬ ‫מדוע‬

16. ©‫ל‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫זילביגר‬ ‫אבי‬16 | Signals & Systems Lab
‫סוף‬