1. 1. Análisis de los Sistemas Discretos
1. Análisis de los Sistemas Discretos____________________________________ 1
1.1. Introducción ________________________________________________________ 2
1.2. Estabilidad __________________________________________________________ 2
1.2.1. Estabilidad de Sistemas Lineales ________________________________________ 2
1.2.2. Estabilidad de Sistemas con Entrada y Salida Acotadas(BIBO) __________________ 3
1.2.3. Cómputo de la Estabilidad _____________________________________________ 4
1.3. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad _______________________ 11
1.3.1. Controlabilidad y Alcanzabilidad _______________________________________ 11
1.4. Observabilidad _____________________________________________________ 14
1.5. Descomposición de Kalman ___________________________________________ 16
1.6. Pérdida de Alcanzabilidad y Observabilidad debido al muestreo ___________ 17
1.7. Un Controlador Simple ______________________________________________ 18
1.7.1. Estado Estacionario_________________________________________________ 18
1.8. Simulación _________________________________________________________ 19
1.9. Control de un Doble Integrador _______________________________________ 19
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2. 1.1. Introducción
Los sistemas a estudiar son
 xk +1 = Φxk + Γuk
 [1.1]
 yk = Cxk
A ( q) y k = B (q ) u k [1.2]
A ( q ) = q na + a1q na −1 + L + ana
[1.3]
B ( q ) = b0q nb + b1q nb −1 + L + bnb
1.2. Estabilidad
Dada unas secuencia
xk +1 = f ( x k , k ) [1.4]
sean dos secuencias xk y x 0k soluciones de [1.4]
Se dice que la secuencia x 0k es estable si dado
xk0 − x 0k0 < δ [1.5]
se cumple
xk − x 0k < ε ∀k ≥ k0 [1.6]
0
Se dice que la secuencia x k es asintóticamente estable si se cumple
xk − x 0k → 0 k → ∞ [1.7]
1.2.1. Estabilidad de Sistemas Lineales
Sea el sistema
x 0k +1 = Φ x 0k [1.8]
con
x 00 = a0 [1.9]
se cambia el valor inicial
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3. x0 = a [1.10]
resultando
xk +1 = Φxk [1.11]
La diferencia entre ambas soluciones es
xk +1 = x k +1 − x 0k +1 = Φ xk [1.12]
con
x0 = a − a 0 [1.13]
esto implica que si x 0 es estable, toda otra solución será también estable.
Se deduce que la estabilidad es una característica del sistema y no de una solución
determinada.
La solución de
xk = Φ k x0 [1.14]
Si la matriz Φ se puede diagonalizar, la solución es una combinación lineal de los
autovalores.
Si la matriz Φ no se puede diagonalizar, la solución es una combinación lineal del
producto de polinomios por los autovalores.
Pero en ambos casos, para que la solución tienda a cero los autovalores deberán ser
menor que 1.
Teorema 1. Un sistemas discreto, lineal, invariante en el tiempo es asintóticamente
estable si todos los autovalores de Φ están dentro del círculo unidad.
1.2.2. Estabilidad de Sistemas con Entrada y Salida Acotadas(BIBO)
Un sistema cuya entrada es acotada, es estable si su salida también lo es.
La estabilidad asintótica es más restrictiva.
Ejemplo 1.1. Oscilador Armónico
 cos (ω T ) sen (ω T )  1 − cos (ω T ) 
xk +1 =   xk +   uk
− sen (ω T ) cos (ω T )   sen (ω T )  [1.15]
yk = [1 0] xk
Los autovalores son 1.
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4. Si la entrada es nula, el sistema es estable porque xk = x0
Pero si la entrada es una onda cuadrada de frecuencia ω la salida es
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0 5 10 15 20 25 30
El sistema es estable pero no es estable en el sentido de entrada y salida acotada
1.2.3. Cómputo de la Estabilidad
- Cómputo directo de los autovalores
- lugar de las raíces
- criterio de Nyquist
- método de Lyapunov
- Cálculo directo:
cálculo de las raíces de
A ( q ) = qna + a1qna −1 + L + ana [1.16]
no es adecuado para calcularlo manualmente en sistemas de alto orden
- Criterio de Jury (Routh-Hurwitz)
Se forma la siguiente tabla
a0 a1 L an−1 an
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5. an an−1 L a1 a0 an
αn =
a0
a n−10 a n−11 L a n−1n −1
a n−1n −1 a n−1n− 2 L a n−10 a n−1n
α n −1 =
a n −10
M
a 00
con
aik −1 = aik − α k ak −i
k
k [1.17]
ak
αk = k
a0
Teorema 2. Si a0 > 0 , el sistema es estable si todos los a0 son positivos. Si ningún a0 , la
k k
k
cantidad de a0 negativos es igual al número de raíces fuera del círculo unidad.
Ejemplo 1.2. Sistema
A ( q ) = q 2 + a1q + a2 = 0 [1.18]
1 a1 a2
a2 a1 1 a2
α2 =
1
a1 = a 0 − α 2 a2 = 1 − a2 a2 = 1 − ( a2 )
0
2 2 2
a1 = a 1 − α 2a12 = a1 − a2a1 = a1 (1 − a2 )
1 2
a1 (1 − a2 ) 1 − ( a2 ) a1 a1 (1 − a2 )
2 1
a1
α1 = = 2 =
a0 1 − ( a2 )
1
1 + a2
0 1 1 1
( 2 
)
a 
a0 = a0 − α1a0 = a0 (1 − α1 ) = 1 − (a2 )  1 − 1 
 1 + a2 
Todas las raíces están dentro del círculo unidad si:
a1 = 1 − ( a2 ) > 0
2
0 [1.19]
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6. ( )
2  a 
a0 = 1 − ( a2 )  1 − 1  > 0
0
 1 + a2 
[1.20]
esto implica
a2 < 1 [1.21]
 a1   1 + a2 − a1 
1 − = >0
 1 + a2   1 + a2 
a1 < 1 + a2 [1.22]
a1 > −1 − a2
a2
1
a1
1 2
-1
- Criterio de Nyquist
Es el equivalente al de los sistemas continuos
Sea el sistema
rk uk yk
+
G(z)
+
-1
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7. Y ( z) G ( z)
H (z) = = [1.23]
U ( z ) 1+ G ( z)
La ecuación característica es
1+ G ( z ) = 0 [1.24]
Plano Z Im
G
1
Re
inf
Ejemplo 1.3. Sistema de Segundo Orden
0,25k
G(z) = [1.25]
( z − 1) ( z − 0,5)
0,25k 1,5 (1 − cos ω ) − 2 sen2ω − jsenω ( 2cosω − 1, 5 ) 
G ( e jω ) =   [1.26]
( 2 − 2cos ω )(1,25 + cos ω )
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8. Im Plano Z
G
-1 Re
inf
el camino cruza el eje real negativo en ω = −0,5
el sistema es estable en lazo cerrado para k < 2
- Robustez
Tolerancia a variaciones
Teorema 3. Sea G 0 ( z ) el valor real y G ( z ) el valor nominal
G0 ( z )
H (z) =
0
[1.27]
1 + G0 ( z )
G ( z)
H (z) = [1.28]
1 + G( z)
- si H ( z ) es estable
- si G 0 ( z ) y G ( z ) tienen la misma cantidad de polos fuera del círculo unidad y
si se cumple que para z = 1 G ( z ) − G ( z ) < 1 + G ( z )
0
-
entonces H 0 ( z ) es estable
Cuando la ganancia del sistema es alta, es fácil de cumplir la condición.
Se necesita mayor precisión en los lugares donde G ( z ) ; 1
Otra forma de verlo: la función en lazo cerrado es
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9. 1
H 0 (z) = [1.29]
1
1+
G0 ( z)
los polos en lazo cerrado están en
1 1  1 1 
f ( z) = 1+ = 1+ + 0 −  [1.30]
G ( z)
0
G ( z ) G ( z ) G ( z) 
en esta forma vale el nuevo teorema:
Teorema
Sea G 0 ( z ) el valor real y G ( z ) el valor nominal
- si H ( z ) es estable
- si G 0 ( z ) y G ( z ) tienen la misma cantidad de ceros fuera del círculo unidad y
1 1 1
- si se cumple que para z = 1 − < 1+
G 0
(z) G( z) G ( z)
entonces H 0 ( z ) es estable
Reglas a tener en cuenta:
- es importante saber la cantidad de polos y ceros inestables
- no es necesario tener gran precisión en el modelo para frecuencias en la que el sistema
tiene alta ganancia
- para aquellas frecuencias en las que no se conoce el modelo con exactitud hay que
reducir la ganancia
- hay que tener un modelo preciso para frecuencias en donde G ( z ) ; 1
- Segundo Método de Lyapunov
Función de Lyapunov:
Sea el sistema
xk +1 = f ( xk ) f ( 0) = 0 [1.31]
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10. V ( x ) es una función de Lyapunov si
- V ( x ) es continua en x y V ( 0 ) = 0
- V ( x ) es definida positiva y
- ∆V ( x ) = V ( f ( x ) ) − V ( x ) es definida negativa
X2
Xk
Xk+1
X1
V(x k)
Las curvas de nivel de V ( x ) son cerradas alrededor del origen
La tercera condición dice que la dinámica del sistema es tal que partiendo de un
estado, el siguiente llevará a un valor de V ( x ) menor o más cerca del origen.
Teorema 4. Estabilidad
La solución xk = 0 es asintóticamente estable si existe una función de Lyapunov
para el sistema
Si además existe
0 < ϕ ( x ) < V ( x) [1.32]
y se cumple
ϕ ( x ) → ∞ cuando x → ∞ [1.33]
entonces, la solución es asintóticamente estable para cualquier condición inicial.
- El principal problema es encontrar la función de Lyapunov
- Para sistemas lineales, una función candidata es
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11. V ( x ) = xT Px [1.34]
donde
∆V ( x ) = V ( Φx ) − V ( x ) = xT Φ T PΦx − xT Px
[1.35]
= xT Φ T PΦ − P  x = − xT Qx
 
Para que V ( x ) se una función de Lyapunov, debe existir una matriz P, que cumpla
ΦT PΦ − P = −Q [1.36]
con Q definida positiva
Esta es la ecuación de Lyapunov
La una matriz P es definida positiva si Q definida positiva
1.3. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad
1.3.1. Controlabilidad y Alcanzabilidad
Sea el sistema
xn = Φ n x0 + Φ n−1 Γu0 +L + Γun −1
[1.37]
= Φ n x0 + WcU
con
Wc = Γ ΦΓ L Φ n−1Γ 
  [1.38]
U = uT n−1 L uT 0 
T
  [1.39]
si Wc tiene rango n se pueden encontrar n valores de u para llevar al sistema a un
valor deseado xn .
Si hay más de una entrada la solución no es única.
- Definición de Controlabilidad:
Un sistema es controlable si se puede llevar desde cualquier punto al origen en
tiempo finito.
- Definición de Alcanzabilidad:
Un sistema es alcanzable si se puede llevar desde cualquier punto a otro cualquiera
en tiempo finito
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12. Controlabilidad no implica alcanzabilidad.
Por ejemplo si ya está en el origen, es controlable pero no necesariamente
alcanzable.
Teorema
Un sistema es alcanzable si y solo si Wc es de rango n.
Wc se llama matriz de controlabilidad.
Ejemplo
 1 0 1
xk +1 =   xk +   uk [1.40]
 0 1 1
no es alcanzable porque
1 1
Wc =   [1.41]
1 1
si tuviera dos entrada con una matriz Γ no singular, el sistema sería alcanzable.
Ejemplo
dado
 1 1  1 
xk +1 =   xk +  −0,5 uk
−0,25 0  
[1.42]
2 
x0 =  
2 
−0,5 
¿es posible encontrar una ley de control tal que x2 =  ?
 1 
La ecuación dice
x2 = Φ2 x0 +ΦΓu0 + Γu1 [1.43]
o sea
 −0,5  3,5  1 
 =  +  [ 0,5u0 + u1 ] [1.44]
 1   −1  −0,5
0,5u0 + u1 = −4 [1.45]
tiene solución.
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13.  −3
Si se parte del origen y se quiere llegar a x2 =  
2
 −3  1 
 2  =  −0,5 [ 0,5u0 + u1 ] [1.46]
   
no tiene solución
El sistema no es alcanzable ya que
 1 0,5 
Wc =   [1.47]
−0,5 0,25 
Partiendo del origen solo se pueden alcanzar los puntos que pertenecen al
 1 
subespacio  
 −0,5
La característica de alcanzabilidad es independiente de transformaciones.
% % %% % %
Wc = Γ ΦΓ L Φ n −1Γ 
 
= T Γ T ΦT − T Γ L T Φ n −1T −1T Γ 

1
 [1.48]
= TWc
De ahí el porque del nombre de la forma canónica controlable
Ejemplo
Sistema en forma canónica controlable
 −a1 −a2 −a3   1
xk +1 =  1 0 0  x +  0 u [1.49]
  k   k
 0
 1 0   0
 
1 −a1 a2 − a2 
1
 
Wc = Γ ΦΓ Φ Γ  = 0 1

2
 − a1  [1.50]
0 0 1 
 
la inversa es
1 a1 a2 
W c
=1
= 0
 1 − a1 
 [1.51]
0
 0 1  
generalizando
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14. 1 a1 a2 L an −2 an −1 
0 1 a L an−3 an −2 
 1 
Wc=1 = M M M O M M  [1.52]
 
0 0 0 L 1 a1 
0 0 0
 L 0 1  
- Seguimiento de Trayectorias
Si la matriz Γ es de rango n, es posible llegar a un estado en, a lo sumo, n pasos.
Es necesario pero no suficiente tener n entradas.
Si el sistema es SISO es fácil hacer seguir una trayectoria rk .
Se hace
B ( q)
yk = uk = rk [1.53]
A ( q)
la acción de control es
A ( q)
uk = rk [1.54]
B ( q)
Si hay d muestras de retardo, la generación de la actuación es causal
Recordar cociente de polinomios en q: Solo tiene solución si u parte de estado
inicial cero.
Tiene que tener inversa estable.
1.4. Observabilidad
Definición: El estado x0 ≠ 0 es no observable si existe un número finito
k1 ≥ n − 1 en donde yk = 0 ∀ 0 ≤ k ≤ k1 resultando x0 = x0 y uk = 0 ∀ 0 ≤ k ≤ k1 .
El sistema es observable si, conociendo k entradas y k salidas es suficiente para
conocer el estado inicial.
En un sistema tal como el [1.1] es calculable el efecto de la entrada y no se pierde
generalidad si se hace uk = 0 .
Se suponen conocidas las salidas y0 , y1 ,L, yn −1
Con esto se puede plantear
Control Digital 5.doc 14

15. y0 = Cx0
y1 = Cx1 = C Φx0
[1.55]
M
yn−1 = Cxn −1 = C Φ n −1 x0
vectorialmente
 C   y0 
 CΦ   y 
 x = 1  [1.56]
 M  0  M 
 n −1   
C Φ   yn−1 
 
el estado inicial se puede reconstruir si la matriz de observabilidad
 C 
 CΦ 
Wo =   [1.57]
 M 
 n −1 
C Φ 
tiene rango n.
Teorema
El sistema 5.1 es observable sii la matriz de observabilidad tiene rango n.
Ejemplo
Sea el sistema
1,1 −0,3
xk +1 = 
0 
xk
1  [1.58]
yk = [1 0,5] xk
la matriz de observabilidad es
 C   1 −0,5
Wo =   =   [1.59]
C Φ   0,6 −0,3
tiene rango 1.
En la figura siguiente se muestra la respuesta del sistema para diferentes estados
iniciales. Se observa que para todos los estados que están en una recta paralela a [ 0,5 1]
dan la misma salida. (b y d)
Control Digital 5.doc 15

16. -17
x 10
6 1.4
1.2
5
1
4
0.8
3
0.6
2
0.4
1
0.2
0 0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
2.5 1.4
1.2
2
1
1.5
0.8
0.6
1
0.4
0.5
0.2
0 0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
1.5. Descomposición de Kalman
Un sistema puede tener solo una parte observable y otra alcanzable.
Estas partes son subespacios del espacio de estado independientes de las
coordenadas de estado.
Se puede demostrar que existe una transformación tal que el sistema se particiona de
la forma:
Φ11 Φ12 0 0   Γ1 
 0 Φ 0 0   
xk +1 = 
22  x +  0 u
Φ31 Φ32 Φ33 Φ34 
k
 Γ3  k [1.60]
   
 0 Φ 43
 0 Φ 44 
 0
yk = [ C1 C2 0 0] xk
en donde hay cuatro partes
- S oa observable y alcanzable
- S oa observable pero no alcanzable
- S oa no observable pero alcanzable
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17. - S oa ni observable ni alcanzable
La función de transferencia es única y se puede expresar como
G ( q ) = C1 ( qI − Φ11 ) Γ1
−1
[1.61]
C-noO
u
y
C-O
noC-O
noC-noO
1.6. Pérdida de Alcanzabilidad y Observabilidad debido al muestreo
Las matrices del sistema muestreado dependen del período de muestreo.
Para que el sistema muestreado sea alcanzable, el continuo lo debe ser. Pero esta se
puede perder al muestrear.
La no observabilidad de los sistemas muestreados se presenta en las llamadas
oscilaciones oculta en donde un sistema continuo es observable y el discreto deja de serlo.
Ejemplo: Oscilador armónico.
 cos (ωT ) sen (ωT )  1 − cos (ωT ) 
xk +1 =   xk +   uk
 sen ( ωT ) cos (ωT )   sen (ωT )  [1.62]
yk = [1 0 ] xk
el determinante de las matrices de controlabilidad y observabilidad es
det Wc = − sen (ω T ) (1 − cos (ω T ) )
[1.63]
det Wo = sen ( ωT )
Ambas se pierden para ωT = nπ a pesar de que el sistema continuo es observable y
controlable.
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18. 1.7. Un Controlador Simple
Ventajas de la realimentación (tanto continua como discreta):
- Mejoras en el transitorio
- Disminuye la sensibilidad a cambios de parámetros del sistema
- Corrige errores en régimen permanente
1.7.1. Estado Estacionario
Sea un lazo simple de realimentación.
El error será
1
ek = rk [1.64]
1 + R (q ) G ( q )
Si la entrada es un escalón, aplicando el teorema del valor final, se puede calcular el
error en régimen estacionario haciendo q = 1 en [1.64].
El número de integradores en lazo abierto determina el tipo de referencia para la
cual el sistema no tiene error estacionario.
Si en lazo abierto hay p integradores, el sistema no tendrá error estacionario para
referencias polinómicas en k de orden menor a p.
Ejemplo
Sea el sistema
q − 0,5
yk = G ( q ) uk = u [1.65]
( q − 0,8) ( q − 1) k
realimentando resulta
ek =
( q − 0,8)( q − 1) r [1.66]
( q − 0,8)( q − 1) + q − 0,5 k
Si la referencia es un escalón el error final es cero (haciendo q = 1 )
Otra forma de verlo es observando el integrador que posee el sistema en lazo
abierto.
Si la referencia es una rampa se debe calcular
( z − 0,8) ( z − 1) z (1 − z )
−1
lim ek = lim = 0,4 [1.67]
z →1 ( z − 0,8 )( z − 1) + z − 0,5
( z − 1)
k →∞ 2
Control Digital 5.doc 18

19. En la literatura es frecuente representar la referencia o perturbación como generada
por un impulso aplicado a cierto sistema:
rk = H r ( q ) δ k [1.68]
rk ek=uk yk
Hr(q) G(q)
+ +
-1
Si se quiere representar un escalón
q
Hr ( q ) = [1.69]
q −1
o una rampa
q
Hr ( q ) = [1.70]
( q − 1)
2
es más fácil aplicar el teorema del valor final.
1.8. Simulación
Es importante pero
No olvidar que debe ir acompañada del análisis.
Nunca se pueden simular los infinitos casos
1.9. Control de un Doble Integrador
0,5 ( q + 1)
G (q) = [1.71]
( q − 1)
2
Objetivo: seguir una trayectoria
Tipo de control: digital, proporcional
uk = K p [ rk − yk ] = K p ek [1.72]
la ecuación característica es
( q − 1) + 0,5K p ( q + 1) = 0
2
[1.73]
Control Digital 5.doc 19

20. el sistema es inestable independiente de la ganancia
Plano Z
1
Otro Control:
uk = K p [ ek − Td yk ]
& [1.74]
se muestrea también la velocidad
u dy/dt y
r
u*
Computador
CAD CDA 1/s 1/s
H(z)
Para calcular la relación entrada salida se observa que en el sistema continuo
&
dy
u (t ) = [1.75]
dt
como u es constante durante el muestreo,
& &
yk +1 − yk = uk [1.76]
o
1
&
yk = uk [1.77]
q −1
reemplazando resulta
0,5 K p ( q + 1)
yk = rk
( q − 1) ( q − 1 + Td K p ) + 0,5K p ( q + 1)
[1.78]
Es un sistema de segundo orden con dos parámetros (las ganancias) para ajustar.
Control Digital 5.doc 20

21. El sistema es estable para K p > 0;Td > 0,5; K pTd < 2
Root locus para Td = 1,5
Plano Z
1
- Respuesta al escalón
Para K p = 1 el sistema llega al valor final en dos muestras, es el llamado control de
tiempo finito.
Para ganancias superiores hay un polo real negativo que da el carácter oscilante de
la respuesta
El límite es K p = 4 3
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0 0
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
Control Digital 5.doc 21

22. 1
0.9 1.4
0.8 1.2
0.7
1
0.6
0.5 0.8
0.4 0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0 0
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
Cuidado!!!
Si el sistema se representa como
yk = 2 yk −1 − yk − 2 + 0,5uk − 1 + 0,5uk − 2 [1.79]
Se intenta seguir un referencia.
Una opción es hacer
rk = 2 yk −1 − yk − 2 + 0,5uk − 1 + 0,5uk − 2 [1.80]
y despejar u
rk +1 = 2 yk − yk + 0,5uk + 0,5uk −1
1
uk ( q + 1) = qrk − ( 2q −1) yk [1.81]
2
2q 2 ( 2q − 1)
uk = rk − y
( q + 1) ( q + 1) k
la salida en lazo cerrado es
yk = rk −1 [1.82]
Parece igual que el anterior pero la respuesta del último es la de la figura
Control Digital 5.doc 22

23. 5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0 2 4 6 8 10
Hay una oscilación oculta
Algo se puede ver analizando el sistema discreto que en lazo cerrado tiene una
transferencia
q ( q + 1)
yk = rk
( q + 1)  q − 2q + 1 − ( −2q + 1)

2

[1.83]
q ( q + 1)
= 2 rk = rk −1
q ( q + 1)
El sistema es de tercer orden.
Hay una cancelación de polos y ceros
Lo que pasa es que se pierde la observabilidad debido a la elección del controlador.
- Oscilaciones Ocultas
Son oscilaciones del sistema continuo no observadas por el sistema discreto
(también llamadas intersample ripple).
Se pueden ver con simulación o con z-modificada
Se deben, básicamente, a que el sistema está en lazo abierto entre muestras
Se distinguen dos tipos
- Oscilaciones debidas al sistema continuo
- Oscilaciones debidas al controlador
El primer caso se puede deber a pérdida de observabilidad debida al muestreo.
Control Digital 5.doc 23

24. En la función de transferencia se cancelan polos y ceros.
Estas oscilaciones ocurren para ciertos valores de muestreo
Se puede cambiar el período de muestreo y analizar observabilidad
El segundo tipo ocurre con ceros poco amortiguados que son cancelados por el
controlador.
Son independiente del período de muestreo (caso doble integrador)
Resumen:
No existen oscilaciones ocultas si el sistema continuo no tiene modos no
observables oscilantes y si los ceros inestables o cercanos a la inestabilidad no son
cancelados.
Ejemplo:
1 π
G ( s) = + [1.84]
s + 1 ( s + 0,02 ) 2 + π 2
con T = 2 su FT discreta es
1− a
G (z) = [1.85]
z−a
−2
con a = e
el sistema discreto es de primer orden y el continuo es de tercero.
Esto indica que existirán oscilaciones ocultas.
La figura muestra la respuesta al escalón del sistema continuo y sus muestras
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10
Control Digital 5.doc 24