1. 7-1
4. lekcija Normālais varbūtību
Normālais varbūtību
sadalījums
sadalījums
Uldis Teibe
Fizikas katedra
Statistika
Statistika

2. NODAĻAS MĒRĶII
NODAĻAS MĒRĶ 7-2
IEPAZĪTIES AR NORMĀLĀ SADALĪJUMA
IEPAZĪTIES AR NORMĀLĀ SADALĪJUMA
ĪPAŠĪBĀM.
ĪPAŠĪBĀM.
DEFINĒT UN APRĒĶINĀT Z VĒRTĪBAS.
DEFINĒT UN APRĒĶINĀT Z VĒRTĪBAS.
APRĒĶINĀT VARBŪTĪBAS, KAS
APRĒĶINĀT VARBŪTĪBAS, KAS
SAISTĪTAS AR STANDARTA NORMĀLO
SAISTĪTAS AR STANDARTA NORMĀLO
SADALĪJUMU.
SADALĪJUMU.
NORMĀLIS SADALĪJUMS KĀ BINOMIĀLĀ
NORMĀLIS SADALĪJUMS KĀ BINOMIĀLĀ
SADALĪJUMA ROBEŽGADĪJUMS.
SADALĪJUMA ROBEŽGADĪJUMS.
100
80 East
60 West
40
North
20
0 3-D Column
1st 2nd 3rd 4th 4
Qtr Qtr Qtr Qtr

3. NORMĀLĀ VARBŪTĪBU SADALĪJUMA RAKSTURLIELUMI
NORMĀLĀ VARBŪTĪBU SADALĪJUMA RAKSTURLIELUMI
7-3
Normālsadalījuma līkne ir simetriska
- abas puses ir vienādas -
Aste Aste
Teorētiski tiecas uz Teorētiski tiecas uz
mīnus bezgalību Vidējais, mediāna plus bezgalību
un moda

4. NORMĀLĀ VARBŪTĪĪBUSADALĪĪJUMA 7-4
NORMĀLĀ VARBŪT BU SADAL JUMA
RAKSTURLIELUMI
RAKSTURLIELUMI
Normālsadalījuma līkne ir zvanveida līkne ar
Normālsadalījuma līkne ir zvanveida līkne ar
maksimumu sadalījuma centrā.
maksimumu sadalījuma centrā.
Sadalījuma aritmētiskais vidējais, mediāna un
Sadalījuma aritmētiskais vidējais, mediāna un
moda ir vienādi un atrodas sadalījuma centrā.
moda ir vienādi un atrodas sadalījuma centrā.
Puse no laukuma zem līknes ir no centrālā
Puse no laukuma zem līknes ir no centrālā
punkta pa labi un puse pa kreisi.
punkta pa labi un puse pa kreisi.

5. NORMĀLĀ VARBŪTĪĪBUSADALĪĪJUMA 7-5
NORMĀLĀ VARBŪT BU SADAL JUMA
RAKSTURLIELUMI
RAKSTURLIELUMI
Normālais varbūtību sadalījums ir simetrisks
Normālais varbūtību sadalījums ir simetrisks
attiecībā pret vidējo.
attiecībā pret vidējo.
Tas ir asimptotisks -- grafiks tuvojas x-asij, bet
Tas ir asimptotisks grafiks tuvojas x-asij, bet
nekad tai nepieskaras.
nekad tai nepieskaras.

6. Normālsadalījumi ar vienādiem vidējiem, bet
Normālsadalījumi ar vienādiem vidējiem, bet 7-6
dažādām standartnovirzēm
dažādām standartnovirzēm
σ = 3,1
σ = 3,1
σ = 3,9
σ = 3,9
σ = 5,0
σ = 5,0
µ = 20

7. PIEZĪĪME
PIEZ ME 7-7
 Normālsadalījuma grafikus ar dažādiem
 Normālsadalījuma grafikus ar dažādiem
raksturlielumiem var aplūkot grāmatās.
raksturlielumiem var aplūkot grāmatās.
Aplūkosim programmā Winfunktionen.
Aplūkosim programmā Winfunktionen.

8. 7-8
Normālsadalījumi ar atšķirīgiem vidējiem un standartnovirzēm
Normālsadalījumi ar atšķirīgiem vidējiem un standartnovirzēm
µ = 5, σ = 3
µ = 5, σ = 3
µ = 9, σ = 6
µ = 9, σ = 6
µ = 14, σ = 10
µ = 14, σ = 10

9. Standarta normālsadalīījums
Standarta normālsadal jums
7-9
Normālsadalījumu ar vidējo = 0 un
Normālsadalījumu ar vidējo = 0 un
standartnovirzi = 1 sauc par standarta normālo
standartnovirzi = 1 sauc par standarta normālo
sadalījumu.
sadalījumu.
zzvērtība: Attālums starp izvēlēto lielumu X un
 vērtība: Attālums starp izvēlēto lielumu X un
populācijas vidējo µ dalīts ar populācijas
populācijas vidējo µ dalīts ar populācijas
standartnovirzi σ.
standartnovirzi σ.
X−µ
Z= σ (7-1)
(7-1)

10. 1. piemērs
1. piemērs 7-10
Kādā lielā firmā darbinieku mēnešalga ir
Kādā lielā firmā darbinieku mēnešalga ir
normāli sadalīta ar vidējo vērtību of $ 2000 un
normāli sadalīta ar vidējo vērtību of $ 2000 un
standartnovirzi $ 200. Kāda ir zzvērtība
standartnovirzi $ 200. Kāda ir vērtība
mēnešalgai X $ 2200? $ 1700?
mēnešalgai X $ 2200? $ 1700?
Gadījumam X = $ 2200 pēc formulas
Gadījumam X = $ 2200 pēc formulas
zz= (X --µ)/σ, aprēķinam
 = (X µ)/σ, aprēķinam
zz= (2200 --2000)/200 = 1.
= (2200 2000)/200 = 1.

11. 1. PIEM Ē RS (turpin ā jums)
1. PIEM Ē RS (turpin ā jums) 7-11
Gadījumam X = $ 1700 iegūstam, ka
Gadījumam X = $ 1700 iegūstam, ka
zz= (1700 --2000)/200 = -1,5.
= (1700 2000)/200 = -1,5.
zzvērtība 1 parāda, ka lielums $ 2200 ir 1
 vērtība 1 parāda, ka lielums $ 2200 ir 1
standartnovirzi virs vidējā $ 2000.
standartnovirzi virs vidējā $ 2000.
zzvērtība -1,5 parāda, ka $ 1700 ir 1,5
 vērtība -1,5 parāda, ka $ 1700 ir 1,5
standartnovirzes zem vidējā $ 2000.
standartnovirzes zem vidējā $ 2000.

12. LAUKUMI ZEM NORMĀLSADALĪJUMA LĪKNES 7-12
LAUKUMI ZEM NORMĀLSADALĪJUMA LĪKNES
Apmēram 68 % no laukuma zem
Apmēram 68 % no laukuma zem
normālsadalījuma līknes ir starp plus un mīnus
normālsadalījuma līknes ir starp plus un mīnus
vienu standartnovirzi no vidējā. To var
vienu standartnovirzi no vidējā. To var
uzrakstīt µ ± 1σ.
uzrakstīt µ ± 1σ.
Apmēram 95 % no laukuma zem
Apmēram 95 % no laukuma zem
normālsadalījuma līknes ir starp plus un mīnus
normālsadalījuma līknes ir starp plus un mīnus
divas standartnovirzes no vidējā. To var
divas standartnovirzes no vidējā. To var
uzrakstīt µ ± 2σ.
uzrakstīt µ ± 2σ.
Praktiski viss (99,97 %) no laukuma zem
Praktiski viss (99,97 %) no laukuma zem
normālsadalījuma līknes ir starp plus un mīnus
normālsadalījuma līknes ir starp plus un mīnus
trīs standartnovirzes no vidējā. To var uzrakstīt
trīs standartnovirzes no vidējā. To var uzrakstīt
µ ± 3σ.
µ ± 3σ.

13. 7-13
Starp:
Starp:
1. 68,26%
1. 68,26%
2. 95,44%
2. 95,44%
3. 99,97%
3. 99,97%
µ+3 µ−2σ µ−1σ µ µ+1σ µ+2σ µ+3σ
σ

14. 2. PIEM Ē RS
2. PIEM Ē RS 7-14
Ūdens patēriņš pilsētā pakļaujas normālajam
Ūdens patēriņš pilsētā pakļaujas normālajam
sadalījumam un viena persona vidēji dienā
sadalījumam un viena persona vidēji dienā
patērē 200 litrus ar standartnovirzi 50 litri.
patērē 200 litrus ar standartnovirzi 50 litri.
Aptuveni 68% no dienas ūdens patēriņa uz
Aptuveni 68% no dienas ūdens patēriņa uz
vienu cilvēku ir robežās?
vienu cilvēku ir robežās?
µ ± 1σ = 200 ± 1×50. Tas ir aptuveni 68%
µ ± 1σ = 200 ± 1×50. Tas ir aptuveni 68%
no dienas ūdens patēriņa ir starp 150 litriem un
no dienas ūdens patēriņa ir starp 150 litriem un
250 litriem.
250 litriem.
Līdzīgi 95% un 99% intervālu robežas ir no
Līdzīgi 95% un 99% intervālu robežas ir no
100 litriem līdz 300 litriem un 50 litriem līdz 350
100 litriem līdz 300 litriem un 50 litriem līdz 350
litriem.
litriem.

15. 3. PIEMĒRS
3. PIEMĒRS 7-15
Ūdens patēriņš pilsētā pakļaujas normālajam
Ūdens patēriņš pilsētā pakļaujas normālajam
sadalījumam un viena persona vidēji dienā
sadalījumam un viena persona vidēji dienā
patērē 200 litrus ar standartnovirzi 50 litri.
patērē 200 litrus ar standartnovirzi 50 litri.
X ir ūdens patēriņš dienā litros.
X ir ūdens patēriņš dienā litros.
Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēta persona,
Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēta persona,
patērēs ūdeni mazāk par 200 litriem dienā.
patērēs ūdeni mazāk par 200 litriem dienā.
zzvērtība ir zz= (200 --200)/5 = 0.
 vērtība ir = (200 200)/5 = 0.
Tātad, P(X < 200) = P(z < 0) = 0,5.
Tātad, P(X < 200) = P(z < 0) = 0,5.
Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēta persona,
Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēta persona,
patērēs ūdeni vairāk par 200 litriem dienā.
patērēs ūdeni vairāk par 200 litriem dienā.

16. 3. Piem ē rs (turpin ā jums)
3. Piem ē rs (turpin ā jums) 7-16
zzvērtība ir zz= (200 --200)/50 = 0. Tātad,
 vērtība ir = (200 200)/50 = 0. Tātad,
P(X > 200) = P(z > 0) = 0,5.
P(X > 200) = P(z > 0) = 0,5.
Kāds procents lieto starp 200 un 240 litriem?
Kāds procents lieto starp 200 un 240 litriem?
zzvērtība X = 200 ir zz= 0 un X = 240, zz= (240 --
 vērtība X = 200 ir = 0 un X = 240, = (240
200)/50 = 0,8. Tad P(200 < X < 240) = P(0 < zz<
200)/50 = 0,8. Tad P(200 < X < 240) = P(0 < <
0,8) = 0,2881 (no tabulām) jeb 28,81%.
0,8) = 0,2881 (no tabulām) jeb 28,81%.
Kāds procents lieto starp 160 un 200 litriem?
Kāds procents lieto starp 160 un 200 litriem?
zzvērtība X = 160 ir zz= (160 --200)/50 = -0,8, un
 vērtība X = 160 ir = (160 200)/50 = -0,8, un
X = 200, zz= 0. Tad P(160 < X < 200) = P(-0,8 <
X = 200, = 0. Tad P(160 < X < 200) = P(-0,8 <
zz< 0) = P(0 < zz< 0,8) (Kāpēc?) = 0,2881 =
< 0) = P(0 < < 0,8) (Kāpēc?) = 0,2881 =
28,81%.
28,81%.

17. 7-17
P(0 < zz< 0,8)
P(0 < < 0,8)
= 0,2881
= 0,2881
0,8
0,8

18. 3. Piem ē rs (turpin ā jums)
3. Piem ē rs (turpin ā jums) 7-18
Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēta persona,
Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēta persona,
patērēs ūdeni vairāk par 280 litriem dienā?
patērēs ūdeni vairāk par 280 litriem dienā?
zzvērtība X = 280 ir zz= (280 --200)/50 = 1,6.
 vērtība X = 280 ir = (280 200)/50 = 1,6.
Tātad P(X > 280) = P(z > 1,6) = 0,5 --0,4452 =
Tātad P(X > 280) = P(z > 1,6) = 0,5 0,4452 =
0,0548.
0,0548.

19. 7-19
P(z > 1,6) =
P(z > 1,6) =
0,5 --0,4452 =
0,5 0,4452 =
0,0548
0,0548
Laukums
Laukums
= 0,4452
= 0,4452
1, z
6

20. 3. piem ē rs (turpin ā jums)
3. piem ē rs (turpin ā jums) 7-20
Kāds % izmanto no 180 līdz 260 litriem?
Kāds % izmanto no 180 līdz 260 litriem?
zz vērtība X = 180 ir zz = (180 --200)/50 = -0,4,
 vērtība X = 180 ir = (180 200)/50 = -0,4,
un X = 260, zz= (260 --200)/50 = 1,2.
un X = 260, = (260 200)/50 = 1,2.
Tātad P(180 < X < 260) = P(-0,4 < zz < 1,2) =
Tātad P(180 < X < 260) = P(-0,4 < < 1,2) =
0,1554 + 0,3849 = 0,5403.
0,1554 + 0,3849 = 0,5403.

21. 7-21
Kopējais laukums =
Kopējais laukums =
0,1554 + 0,3849 =
0,1554 + 0,3849 =
0,5403.
0,5403.
Laukums
= 0,1554 Laukums=
Laukums=
0,3849
0,3849
−0 ,4 z
1,2

22. 3. piem ē rs (turpin ā jums)
3. piem ē rs (turpin ā jums) 7-22
Cik daudz litru vai vairāk lieto 10% no
Cik daudz litru vai vairāk lieto 10% no
populācijas?
populācijas?
X ir mazākais skaits. Tad jāatrod X ,,kam ir
X ir mazākais skaits. Tad jāatrod X kam ir
P(X ≥ X) = 0,1. Lai atrastu atbilstošo zzvērtību,
P(X ≥ X) = 0,1. Lai atrastu atbilstošo vērtību,
tabulās meklējam (0,5 --0,1) = 0,4. Atbilstošā zz
tabulās meklējam (0,5 0,1) = 0,4. Atbilstošā
vērtība ir 1,28 (aptuveni). Iegūstam, ka
vērtība ir 1,28 (aptuveni). Iegūstam, ka
(X --200)/50 = 1,28, no kurienes X = 264. Tātad,
(X 200)/50 = 1,28, no kurienes X = 264. Tātad,
10% no populācijas izlieto dienā vismaz 264
10% no populācijas izlieto dienā vismaz 264
litrus ūdens.
litrus ūdens.

23. 7-23
0,4
0,4
0,1
0,1
1,28
1,28 z

24. 4. PIEMĒRS
4. PIEMĒRS 7-24
Profesors konstatēja, ka statistikas testā ballu
Profesors konstatēja, ka statistikas testā ballu
skaits sadalās normāli ar vidējo vērtību 72 un
skaits sadalās normāli ar vidējo vērtību 72 un
standartnovirzi 5. No darbiem var teikt, ka
standartnovirzi 5. No darbiem var teikt, ka
15% studentiem varētu dot augstāko vērtējumu
15% studentiem varētu dot augstāko vērtējumu
A. Cik balles ir jāiegūst studentam, lai saņemtu
A. Cik balles ir jāiegūst studentam, lai saņemtu
vērtējumu A?
vērtējumu A?
X zemākā balle testā. Jāatrod X, kas atbilst
X zemākā balle testā. Jāatrod X, kas atbilst
P(X ≥ X) = 0,15. Atbilstošā zzvērtība ir 1,04
P(X ≥ X) = 0,15. Atbilstošā vērtība ir 1,04
(tuvināti). Iegūstam (X --72)/5 = 1,04, no
(tuvināti). Iegūstam (X 72)/5 = 1,04, no
kurienes X = 77,2 balles.
kurienes X = 77,2 balles.

25. 7-25
0,35
0,35
0,15
0,15
z
1,04
1,04

26. 5. PIEMĒRS
5. PIEMĒRS 7-26
Docents konstatēja, ka fizikas testā ballu skaits
Docents konstatēja, ka fizikas testā ballu skaits
sadalās normāli ar vidējo vērtību 80 punkti un
sadalās normāli ar vidējo vērtību 80 punkti un
standartnovirzi 10 punkti. Slikta atbilde ir ja
standartnovirzi 10 punkti. Slikta atbilde ir ja
testā iegūti mazāk par 65 punktiem. Balstoties
testā iegūti mazāk par 65 punktiem. Balstoties
uz teoriju, kāda ir varbūtība, ka atbilde būs
uz teoriju, kāda ir varbūtība, ka atbilde būs
slikta?
slikta?
X punktu skaits. zzvērtība, kas atbilst X = 65 ir
X punktu skaits. vērtība, kas atbilst X = 65 ir
zz= (65 -80)/10 = -1,5. Tātad
= (65 -80)/10 = -1,5. Tātad
P(X < 65) = P(z < -1,5) = 0,5 --0,4332 = 0,0668.
P(X < 65) = P(z < -1,5) = 0,5 0,4332 = 0,0668.

27. 7-27
Laukums =
Laukums =
0,5 --0,4332 =
0,5 0,4332 =
0,0668.
0,0668.
Laukums
Laukums
= 0,4332
= 0,4332
z
--1,5
1,5

28. BINOMI Ā L Ā SADAL ĪĪJUMA
BINOMI Ā L Ā SADAL JUMA 7-28
TUVIN Ā JUMS NORM Ā LAJAM
TUVIN Ā JUMS NORM Ā LAJAM
Normālā sadalījuma (nepārtraukta) lietošana
Normālā sadalījuma (nepārtraukta) lietošana
binomiālā (diskrēta) sadalījuma vietā liela
binomiālā (diskrēta) sadalījuma vietā liela
apjoma n izlasēm ir likumsakarīga, jo
apjoma n izlasēm ir likumsakarīga, jo
palielinoties n, binomiālais sadalījums tiecas uz
palielinoties n, binomiālais sadalījums tiecas uz
normālo sadalījumu.
normālo sadalījumu.
Kad lietot normālo tuvinājumu?
Kad lietot normālo tuvinājumu?
Pietiekami labs tuvinājums ir gadījumā, ja np
Pietiekami labs tuvinājums ir gadījumā, ja np
un n(1 -- p) abi ir lielāki par 5.
un n(1 p) abi ir lielāki par 5.

29. Binomiālais sadalījums n = 33un pp= 0,5.
Binomiālais sadalījums n = un = 0,5. 7-29
P(r)
0,5
0,4
0,3
0,25
r
0 1 2

30. Binomiālais sadalījums n = 55un pp= 0,5
Binomiālais sadalījums n = un = 0,5 7-30
P(r)
r

31. Binomiālais sadalījums n = 20 and pp= 0,5.
Binomiālais sadalījums n = 20 and = 0,5. 7-31
P(r)
Atgādina
Atgādina
normālā
normālā
sadalījuma
sadalījuma
līkni
līkni
r

32. NORMĀLAIS TUVINĀJUMS
NORMĀLAIS TUVINĀJUMS 7-32
(turpinājums)
(turpinājums)
 Atceramies binomiālo eksperimentu:
 Atceramies binomiālo eksperimentu:
1- Katrā izmēģinājumā ir tikai divi iznākumi
1- Katrā izmēģinājumā ir tikai divi iznākumi
(labvēlīgais vai nelabvēlīgais).
(labvēlīgais vai nelabvēlīgais).
2- Binomiālais sadalījums ir atkarīgs no
2- Binomiālais sadalījums ir atkarīgs no
izmēģinājumu skaita.
izmēģinājumu skaita.
3- Katrs mēģinājums ir neatkarīgs.
3- Katrs mēģinājums ir neatkarīgs.
4- Varbūtība p ir fiksēta (noteikta) un arī
4- Varbūtība p ir fiksēta (noteikta) un arī
izmēģinājumu skaits n ir fiksēts.
izmēģinājumu skaits n ir fiksēts.

33. NEPĀRTRAUKTĪĪBASKOREKCIJAS
NEPĀRTRAUKTBAS KOREKCIJAS 7-33
FAKTORS
FAKTORS
Lielumu 0,5 atņem vai pieskaita atkarībā no
Lielumu 0,5 atņem vai pieskaita atkarībā no
uzdevuma, ja binomiālo (diskrēto) sadalījumu
uzdevuma, ja binomiālo (diskrēto) sadalījumu
aprēķinos tuvināti aizstāj ar normālo
aprēķinos tuvināti aizstāj ar normālo
(nepārtraukto) sadalījumu.
(nepārtraukto) sadalījumu.

34. 7-34
PEZĪMES KOREKCIJAS
PEZĪMES KOREKCIJAS
FAKTORAM
FAKTORAM
• X<? atskaita 0,5 no X vērtības.
• X>= ? atskaita 0,5 no X vērtības.
• X>? pieskaita 0,5 X vērtībai.
• X<= ? pieskaita 0,5 X vērtībai.
• X= tieši ar skaitli, skat. nākošo slaidu.

35. PIEZĪMES KOREKCIJAS
PIEZĪMES KOREKCIJAS 7-35
FAKTORAM (turpinājums)
FAKTORAM (turpinājums)
Citiem vārdiem
Vērtības Korekcija
<= X<= -0,5 un +0,5
<X< +0,5 un -0,5
X= -0,5 un +0,5

36. 6. PIEM Ē RS
6. PIEM Ē RS 7-36
Studējot tirgus pieprasījumu konstatēja, ka
Studējot tirgus pieprasījumu konstatēja, ka
15% ģimeņu ir mājās videomagnetofoni, lai
15% ģimeņu ir mājās videomagnetofoni, lai
varētu ierakstīt TV programmas. Izveidoja
varētu ierakstīt TV programmas. Izveidoja
izlasi no 200 mājām. (X māju skaits).
izlasi no 200 mājām. (X māju skaits).
Kāda ir varbūtība, ka šai izlasē no 200 mājām
Kāda ir varbūtība, ka šai izlasē no 200 mājām
būs ierakstošais videomagnetofons?
būs ierakstošais videomagnetofons?
µ = np (0,15)(200) = 30. [Arī n(1 --p) = 170].
µ = np (0,15)(200) = 30. [Arī n(1 p) = 170].
Kāda ir dispersija?
Kāda ir dispersija?
σ 2 2= np(1 --p) = (30)(1- 0,15) = 25,5.
σ = np(1 p) = (30)(1- 0,15) = 25,5.

37. 6. PIEM Ē RS (turpin ā jums)
6. PIEM Ē RS (turpin ā jums) 7-37
Kāda ir standartnovirze?
Kāda ir standartnovirze?
σ = √(25,5) = 5,0498.
σ = √(25,5) = 5,0498.
Kāda ir varbūtība, ka mazāk kā 40 mājās šajā
Kāda ir varbūtība, ka mazāk kā 40 mājās šajā
izlasē ir videomagnetofons?
izlasē ir videomagnetofons?
Jāaprēķina P(X < 40) = P(X ≤ 39). Lietojot
Jāaprēķina P(X < 40) = P(X ≤ 39). Lietojot
normālo tuvinājumu, P(X ≤ 39,5) ≈
normālo tuvinājumu, P(X ≤ 39,5) ≈
P[z ≤ (39,5 --30)/5,0498] = P(z ≤ 1,8812)
P[z ≤ (39,5 30)/5,0498] = P(z ≤ 1,8812)
≈≈ P(z ≤ 1,88) = 0,5 + 0,4699 = 0,9699.
P(z ≤ 1,88) = 0,5 + 0,4699 = 0,9699.

38. 6. PIEM Ē RS (turpin ā jums)
6. PIEM Ē RS (turpin ā jums) 7-38
Kāda ir varbūtība, ka vairāk kā 24 mājās šajā
Kāda ir varbūtība, ka vairāk kā 24 mājās šajā
izlasē ir videomagnetofons?
izlasē ir videomagnetofons?
P(X > 24) = P(X ≥ 25) ≈ P[z ≥ (24,5 --
P(X > 24) = P(X ≥ 25) ≈ P[z ≥ (24,5
30)/5,0498] = P(z ≥ -1,0892) ≈ P(z ≥ -1,09) = 0,5
30)/5,0498] = P(z ≥ -1,0892) ≈ P(z ≥ -1,09) = 0,5
+ 0,3621
+ 0,3621 = 0,8621.
= 0,8621.

39. 7-39
P(z ≤ 1,88) =
P(z ≤ 1,88) =
0,5 + 0,4699 =
0,5 + 0,4699 =
0,9699.
0,9699.
0,5
0,5 0,4699
0,4699
1,88
1,88
z

40. 7-40
P(z ≥ -1,09) =
P(z ≥ -1,09) =
0,5 + 0,3621 =
0,5 + 0,3621 =
0,8621.
0,8621.
0,3621 0,5
0,5
0,3621
z
-1,09
-1,09

41. 6. PIEMĒRS (turpinājums) 7-41
6. PIEMĒRS (turpinājums)
Kāda ir varbūtība, ka tieši 40 mājās šajā izlasē
Kāda ir varbūtība, ka tieši 40 mājās šajā izlasē
ir videomagnetofons?
ir videomagnetofons?
P(X = 40) = P(39,5 ≤ X ≤ 40,5) = P(1,8812≤ z
P(X = 40) = P(39,5 ≤ X ≤ 40,5) = P(1,8812≤ z
≤ 2,0793) ≈ P(1,88≤ z ≤ 2,08) = 0,4812 –
≤ 2,0793) ≈ P(1,88≤ z ≤ 2,08) = 0,4812 –
0,4699 = 0,0113.
0,4699 = 0,0113.

42. 7-42
P(1,88 ≤ zz
P(1,88 ≤
≤ 2,08) = 0,4812 --
≤ 2,08) = 0,4812
Beigas
Beigas
0,4699 = 0,0113.
0,4699 = 0,0113.
1,88
1,88
2,08
2,08
0,4699
0,4812
z