社内論文輪読会での資料です

1. 論文輪読会
AMulti-levelTrend-RenewalProcessforModelingSystems
withRecurrenceData
早川 敦士

2. 生存時間解析の基礎的な話

3. 生存時間分析
生存時間分析(survival analysis)は、イベント(event)が起きるまでの時間とイベ
ントとの間の関係に焦点を当てる分析方法である。生存時間分析は、工学分野
においては機械システムや製品の故障などを、医学分野においては疾患の病気
の再発や死亡などを対象とした研究分野である。このような故障、破壊、倒産、
再発、死亡などのイベントの生起のことを広義で死亡と呼ぶことにする。
https://www1.doshisha.ac.jp/~mjin/R/36/36.html より引用
3/38

4. 打ち切り
左図は
https://www1.doshisha.ac.jp
/~mjin/R/36/36.html より引用
データを集める時に、全機械が故障するまで待っていると非常に時間がかか
る。
壊れる前に観測が終了した機械→打ち切り
·
·
4/38

5. 生存時間解析の登場人物たち
両者の関係
生存関数: 故障するまでの時間が を超える確率
ハザード関数: 時点まで生存したなかで、次の時点に死亡する、瞬間死亡率
を表している
· t
- S(t) = Pr(T > t) = f(t)dt∫
∞
t
· t
-
h(t) = limΔt→0+
Pr(t≤T<t+Δt|T≥t)
Δt
· S(t) = exp{− h(u)du}∫
∞
0
·
h(t) = −
(t)S
′
S(t) 5/38

6. 寿命分布に利用されるワイブル分布
http://excelshogikan.com/qc/qc03
/weibulldist.html より引用
·
f(t) = exp{− }m
η ( )t
η
m−1
( )t
η
m
6/38

7. なぜワイブル分布が便利？
形状パラメータ によって、問題解決の方法が異なる
紹介する論文のケースでは が1.3ぐらい
m
: 初期故障, 製造段階における問題
: 偶発故障, 指数分布と同じになる
: 摩耗故障, 疲労の蓄積による故障
· m < 1
製造過程の見直しで故障を減らせる-
· m = 1
故障予測する意味なし-
· m > 1
故障予測する意味がある
素材や機械的な構造によって が変わる
-
- m
m 7/38

8. 打ち切りを含む場合の尤度関数
について
· L = f(∏n
i=1 ti)δi
[1 − F( )]ti
1−δi
·
L = ∏n
i=1 { exp{− }}m
η ( )t
η
m−1
( )t
η
m δi
⋅ {exp[− ]}( )t
η
m 1−δ
δ
なら故障
なら打ち切り
· δ = 1
· δ = 0
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9. 寿命分布における時間の考え方
寿命分布を考える際には、大きく2種類の時間の考え方がある
複数の累積使用量を考慮したものを時間と考えることもある
·
現実時間で何日間動いていたか
累積値でどれぐらい使用されたか
-
-
例: 車の場合(10km, 20km, 30km,…)
この累積値を対数変換した値を時間とする場合もある
-
-
·
例:- log( (t)) + log( (t))β1 x1 β2 x2
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10. A Multi-level Trend-Renewal
Process for Modeling Systems
with Recurrence Data

11. やりたいこと
市場での故障よる交換eventを予測したい
サブシステムとコンポーネントの再発事象をモデリングする
·
·
11/38

12. 概要
システム(機械)は、複数のサブシステムを持っていて、サブシステムは複数の
コンポーネントで構成されている
修理可能なシステムは、長期に渡って様々なeventが起きる
·
システム: トラック
サブシステム: トラックのエンジン
コンポーネント: オイルポンプ
-
-
-
·
車なら、オイルポンプを修理したり、交換したり
複合機なら、紙詰まりをしたり、トナー切れをしたり、定着装置が壊れた
り
-
-
12/38

13. 概要
サブシステムとコンポーネントの修理eventについて考える
サブシステムは交換によって修理すると考える(subsystem event)
コンポーネントは交換によって修理すると考える(component envet)
·
·
·
13/38

14. データの外観
14/38

15. 2 Repairable System Models

16. 2.1 Existing Models
event intensity for the counting process
は の期間に起きるeventの数
は時点 までのevent history
cumulative event intensity function
·
λ(t| ) =Ft− limΔt→0
Pr{N(t)+Δt)−N(t)=1| }Ft−
Δt
· N(t) (0, t]
· Ft− t
·
- Λ(t) = λ(u| )∫
t
0 Ft−1
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17. 2.1 Existing Models
RP(renewal process)
と表す
完全な修理を示す.(ユニット毎の交換など)
event time間の差は互いに独立で同一の分布に従う
はハザード関数
· RF(F)
·
·
累積分布関数は- F
- − FTi+1 Ti ∼iid
· h(z)
は時点t以前の最後のevent time
- λ(t| ) = h[t − ]Ft− TN( )t−
- TN( )t− 17/38

18. 2.1 Existing Models
NHPP(non homogeneous Poisson process, 非定常ポアソン過程)
最小限の修理(大きなユニットにおける小さな部品の調整や交換)
intensity function
は定常ポアソン過程(HPP)で平均は1
·
· λ(t| ) = λ(t)Ft−
event historyに依らない-
· Λ( )Ti
· Λ( ) − Λ( ) exp(1)Ti+1 Ti ∼iid
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19. 2.1 Existing Models
TRP(trend newal process)
TRPにNHPPとRPが含まれる·
· Λ( ) − Λ( ) FTi+1 Ti ∼iid
transformed event timeのgapはRP(F)にiid-
· λ(t| ) = h {Λ(t) − Λ[ ]} λ(t)Ft− TN( )t−
はtrend function- λ(t)
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20. 2.2 Notation for Data
観測期間 ,
は時点 までの交換イベント回数の累計
· (0, ]τi i = 1, . . . n
· (t) = (t) + (t)Ni Nis Nic t
: 時点 までのsubsystem eventの回数
: 時点 までのcomponent eventの回数
- (t)Nis t
subsystemのevent time-
- 0 < <. . . < <ts
i1 ts
i, ( )Nis τi
τi
- (t)Nic t
- 0 < <. . . < <ts
i1 ts
i, ( )Nic τi
τi
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21. 2.2 Notation for Data
は時間依存共変量(time-dependent covariate, 例：累積使用量)
共変量過程 は時点 に記録されている
時点 までのreplace envet history
時点 までのsubsystem eventのhistory
· (t)Xi
· (t)Xi tik
, は観測時点の数- k = 1, . . . , mi mi
· t
- = { (u), (u), (u) : 0 < u ≤ t}Ft Nic Nis Xi
· t
- = { (u), (u) : 0 < u ≤ t}F s
t Nis Xi
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22. 2.3 The Proposed Multi-level Trend-renewal
Process
2段階の修復可能なシステム について、 subsystemとcomponentのeventに
対するintensity functionを次のようにモデリングする
i
Subsystem level
Component level
·
-
(t| ; ) = { (t) − [ ] ; } (t; )λs∗
i Ft− θs
hs∗
Λ∗
i Λ∗
i ts
i,Nis(t−)
θs
λ∗
i θs
·
-
(t| ; ) = { (t| ) − [ | ] ; }λc
i Ft− θs
hc
Λs
i Ft− Λs
i ti,Ni(t−)
Ft−
i,Ni(t−)
θc
λs
i
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23. (1)について
subsystem level eventsのモデル
TRPモデル
, random effectはなし
パラメータ
はsubsystem replacement eventのモデルに使われる関数を表す
: subsystem-event processのrenewal distribution
はハザード関数
·
·
· TRP( , )F s∗
λ∗
i
· θs
· ∗
· F s∗
· (hs∗
)˙
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24. (1)について
· (t) = (u; )duΛ∗
i ∫
t
0 λ∗
i θs
はbaseline intensity function
はtransformed functionの係数
とする
- (u; ) = exp{κg [ (t)]}λ∗
i θs
λ∗
b Xi
- λ∗
b
- κ
- g[ (t)] = log[ (t)]Xi Xi
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25. (2)について
MTRPモデル(TRPモデルの拡張),· MTRP( , , )F c
F s
λi
· (t| ; ) = { (t) − [ ]} (t; )λs
i F s
t− θc
hs
Λi Λi ts
i,Nis( )t−
λi θc
は次元 の未知パラメータ- θc p
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26. (2)について
はcomponent eventsのintensityに影響をうけるsubsysytem
eventsの効果
はcomponent intensify functionにおける共変量と未知の要員
の効果
· (hs
)˙
· (t; )λi θc
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27. (2)について
component eventsに対するintensity functionをシミュレーションで描いたも
の
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28. (2)について
random effectを入れると
· (t; ) = (t) exp{γ log[ (t)]}λi θc
λb Xi
はreplace eventsが起きていない時のベースラインのintensity
trend function
- (t)λb
·
- (t; ) = (t) exp{γ log[ (t)] + }λi θc
λb Xi wi
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29. 補足:
ノンパラメトリックな寿命分布が使われることもある
この論文の中では、ワイブル分布を仮定している。
(t)λb
カプラン・マイアー法
累積ハザード法
·
·
29/38

30. 補足: カプラン・マイアー法
「21世紀の統計科学」 より引用
信頼度関数R(t) = 1 − F(t) 30/38

31. 補足: 累積ハザード法
「21世紀の統計科学」 より引用
31/38

32. 3 Parameter Estimation

33. 3.1 The Likelihood Function
MCMCで推定
33/38

34. 3.2 Estimation Procedure
Metropolis-within-Gibbs algorithm で推定する
MTRPモデルのfull joint distributionは
MTRPモデルにランダム効果を入れたものをHMTRPとして、推定方法の議論を
する。
P( , w, v|F) ∝ L( |F, w)P(w|v)P(v)θc
θc
はrandom effect,
は平均0, 分散共分散行列 _rの多変量正規分布
· v v ∼ Gamma( , )α1 α2
· w ∼ N(0, = I/v)∑r
· P(w|v) ∑
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35. 3.2 Estimation Procedure
参考
A Compendium of Conjugate Priors http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/projetos:mci:tabelasprioris.pdf 2.9.2のUnknown Precision
Parameter
はrandom effects の時のシステム の条件付き尤度
·
| , v ∝ ( | , ) exp(− )wi θc
Li θc
Fτi
wi v1/2 vw2
i
2
·
v|w, ∝ Gamma ( + , + )θc n
2
a1
ww′
2
a2
· |w, v ∝ L( |F, w)θc θc
· v = 1/σ2
r
· ( | , )Li θc
Fτi
wi wi i
35/38

36. 3.2 Estimation Procedure
36/38

37. 3.2 Estimation Procedure
37/38

38. まとめ
発表時間の都合で、後半を省略します。
TRP, RP, NHPPモデルを含む一般的な再発プロセスのモデルとして、MTPR
モデル及びHMTPRを提案した。
A Metropolis-within-Gibbs algorithmでパラメータの推定をした
·
·
38/38