Ejercicios razonados sobre conjuntos

2. DIAGRAMA DE VENN DE UNA DIFERENCIA DE CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, su DIFERENCIA estará representada por el área rellenada de color claro: LA DIFERENCIA A - B Gráficamente esta área cubre la superficie que: pertenece al conjunto “A” ,pero no pertenece el conjunto “B”.

3. Mientras que: LA DIFERENCIA (B – A) Nuevamente el área de color claro , que esta a la derecha, representar la diferencia que no es mas que los elementos que: pertenecen al conjunto “ B ” ,pero no pertenece el conjunto “ A ”.

4. PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

5. 1.- A - A  A Estapropiedad se basa en lo siguiente. A – A =  Considerando que el conjunto vacio es subconjunto de todo conjunto se tiene   A EXPLICACION: Si a cualquierconjunto se lo retira (restatodossuselementos), dacomoresultado un conjuntovacio. A

6. 2.- A - B  B = Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4 } A – B = { 1, 3, 5 } y cuando busco interseccion con B se tiene resultado conjunto vacio, por que entre los dos no hay ningun elemento comun EXPLICACION: Entre los sectores café y amarillo no hay elementoscomunes, por lo tantosuintersecciones el conjuntovacio

7. 3.- (A - B )  ( B  C ) =  Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 1, 3, 5 } C = { 1, 5} A – B = { 2, 4 } ( B  C ) = { 1, 5 } Al buscar la interseccion entre estos dos resultados no hay ningun elemento comun , resultado final conjunto vacio

8. 4.- A  B = ( A - B )  ( A  B )  ( B – A ) Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 1, 3, 5, 8, 9 } A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9} A – B = { 2, 4, 6, 7 } ( A  B ) = { 1, 3, 5 } B – A = { 8, 9 } (A – B) ( A  B )  (B – A) ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 } Al unirestosultimostresresultados se tienenuevamente el resultado de la union de los dos conjuntos

9. 5.- A -  = A Sea: A = { 2, 4, 6, 7, 10, 12 } A –  = { 2, 4, 6, 7, 10, 12 } EXPLICACION: Si a cualquierconjunto no se lo retiraninguno de suselementos, dacomoresultado el mismoconjunto.

10. 6.-  - A =  Sea:  = { } A = { 3, 6, 8, 10 }  - A =  EXPLICACION: Si a un conjuntovacio , que no tieneelementos se le pretenderetiraralgun o algunoselementos no esposibleporque el primer conjunto no tieneelementos, entoncesdaresultado el conjuntovacio.

11. 7.- Si A BEntonces A- B = A Sea: A = { a, b, c, d, e, f } B = { b, e, f, g, h } Operandotengo: A  B = { b, e, f } A -B = { a, c, d }

12. Ejercicio 4.- Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,} A = { 1, 2, 3, 4} B = { 1, 4, 13, 14} C = { 2, 8} D = { 10, 11, 12} Hallar: A  B A  C B  D d) D  C A c f) A c  B A c  Bc h) (A B )c A c B c ( A  B ) c ( A  C ) c l) ( A  B ) - D (A  B ) - D ( A  B )  ( B  A ) ( A  B) - ( A  B ) o) (A – B )  ( B – A )

13. SOLUCION: a) A  B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 } A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 1, 4, 13, 14 } Utilizando el diagrama de Venn se tiene

14. b) A  C= { 1, 2, 3, 4, 8 } A = { 1, 2, 3, 4 } C = { 2, 8 } Utilizando el diagrama de Venn se tiene

15. c) B  D= { 1, 4, 10, 11, 12, 13, 14 } B = { 1, 4, 13, 14 } D = { 10, 11, 12 } Utilizando el diagrama de Venn se tiene

16. d) D  C = { 2, 8, 10, 11, 12 } D = { 10, 11, 12 } C = { 2, 8 } Utilizando el diagrama de Venn se tiene

17. e) A c = { 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } A = { 1, 2, 3, 4 } Utilizando el diagrama de Venn se tiene

18. f) A c  B= { 1, 4, 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } B = { 1, 4, 13,14} Utilizando el diagrama de Venn se tiene

19. g) A c  Bc= { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } Utilizando el diagrama de Venn se tiene

20. h) ( A  B ) c= { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } A  B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 } Entonces : ( A  B ) c Sera igual U – (A  B = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

21. i) A c B c= { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 } A c= { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 }

22. j) ( A  B ) c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 } Si : A  B = { 1, 4 } ( A  B ) c = U – ( A  B ) = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 }

23. k) ( A  C ) c = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14 } Si : A  C = { 1, 2, 3, 4, 8 } ( A  C ) c = U - ( A  C ) = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14 }

24. l) ( A  B ) – D = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 } Si : A  B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 } D = { 10, 11, 12 }

25. l l) (A  B ) - D = { 1, 4 } Si : A  B = { 1, 4 } D = { 10, 11, 12 }

26. m) (A - B )  ( B – A ) = { 2, 3, 13, 14 } Si : A -B = { 2, 3 } B – A = { 13, 14 } Cuandoconsideramos 2 conjuntos, y se tiene la diferencia de estos en los dos sentidos, en forma de union se dalugar a un resultadoque se lo conoce con el nombre de DiferenciaSimetrica

27. n) ( A  B) - ( A  B ) = { 2, 3, 13, 14 } Si : A  B = { 1, 2, 3,4, 13, 14 } A  B = { 1, 4 }

28. ( A - B)  ( B - A ) = { } Conjunto Vacio Donde: A -B = { 2, 3 } B - A = { 13, 14 }

29. De los 180 Profesores que tiene una Universidad, 135 tienen su Doctorado, 145 son Investigadores, de los Doctores 114 son Investigadores, entonces cual de los siguientes enunciados son verdaderos A = {x/x son Doctores} B = {x/x son Investigadores} Para desarrollartomemos los sectoresque se representa con letrasminusculas a + b = 135 son doctores b +c = 145 son Investigadres b = 114 son doct. e Invest d = ? No son doctoresTampocoInvestigadores

30. SOLUCION: En primer lugarpartimos del total de profesores, tenemos un numero de Doctores (135), otro de investigadores (145), y un grupoque son a la vezdoctores e investigadores (114), a partir de este ultimo dato: se tendra el numero de solo doctores y solo investigadores, mientrasque al sumartantodoctorescomoinvestigadores y restando del Universo se tiene el numero de profesoresque no son Investigadoresnidoctores. A = 135 (Doctores) A = a + b pero: b = 114 a = A – b a = 135 – 114 = 21 Entonces se dice quea = 21corresponde a profesoressolo doctores(sector amarillo) B = 145 (Investigadores) B = b + c pero: b = 114 c = B – b c = 145 – 114 = 31 Entonces se dice quec = 31corresponde a profesoressolo Investigadores(sector verde)

31. Al sumar los sectores ( a + b + c ) = 21 + 114 + 31 = 166 Corresponde a profesores con preparacion a nivel de doctores e investigadores. Aplicando algebra de conjuntostenemos: ( A – B )  ( A  B )  ( B - A ) = 21 + 114 + 31 = 166 Para determinar el numero de profesores que no son: ni Doctores pero tampoco estan en investigacionsera: U – ( A  B ) = 180 – 166 = 14 ( solo profesores) = d Si: 180 = a + b + c + d, entonces d = 180 - (a + b + c) Tambien se tiene que: d = (A B )c = U - (A B ) = 14 profesores ( sector lila)

32. Unavezrealizado los calculos se tiene la siguientesolucion con el Diagrama de Venn a = solo doctores b = doctores e investigadores c= solo Investigadores d = Profesores, no doctores, tampocoInvestigadores