ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
POLITÉCNICA
LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ELECTROMAGNÉTICA

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Primer Tema (30%):
Un capacitor de placas planas paralelas de área=S, tiene una placa aterrizada. La placa
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Segundo Tema (35%):
El espacio entre dos cascarones conductores esféricos concéntricos, de radios a y b ,
donde b  a , es...
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TE1-PE-2013-2S

  1. 1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL POLITÉCNICA LITORAL TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I ELECTROMAGNÉTICA ING. JORGE FLORES MACÍAS ( ING. ALBERTO TAMA FRANCO (  ) ING. FERNANDO VÁSQUEZ VERA ( PRIMERA EVALUACIÓN PRIMER Alumno: ) ) Fecha: mart 03 de diciembre del 2013 martes d embre 20 ________________________________________________________________________________ Resumen de Calificaciones Estudiante Examen Deberes Lecciones Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL FIEC ESPOL – 2013 – 2S 13 Total Primera Evaluación
  2. 2. Primer Tema (30%): Un capacitor de placas planas paralelas de área=S, tiene una placa aterrizada. La placa no aterrizada tiene una carga Q , cuyo valor se desconoce. Si de las condiciones iniciales de potencial y distancia, se aleja la placa no aterrizada una distancia d , se observa un incremento en la diferencia de potencial de V . Calcular: a) el valor de la carga eléctrica Q ; y, b) el campo eléctrico E antes y después de alejar la placa no aterrizada. Vamos a definir, aunque se desconocen dichos valores, lo siguiente: y Q? S d  distancia entre placas V  diferencia de potencial entre placas C1  capacitancia en condiciones iniciales C2  capacitancia en condiciones finales 0S Q  d V  Q 0S Q  d  d V  d  Q C1  0 C2  x  0 SV d  0 S V  d  d  d  0 SV  0 S V  V   d d  d V V  V  d d  d  V  d  d   V  V  d Vd  V d  Vd  Vd En virtud de que Q    d  V  V    d   d   S  0 SV V ; entonces: Q  0 V   , obteniéndose que: Q   0 S d d d  d  En condiciones iniciales; es decir antes de alejar la placa no aterrizada, se tendría que:  d  V   V  d  E1   d d  E1  V d En condiciones finales; es decir después de alejar la placa no aterrizada, se tendría que:  d  V    V V  V  d  E2   d  d d  d  E2  Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S V d
  3. 3. Segundo Tema (35%): El espacio entre dos cascarones conductores esféricos concéntricos, de radios a y b , donde b  a , está lleno con una carga distribuida volumétricamente de densidad   A / r 2 C / m3  para a  r  b , donde A es una constante. El cascarón interior se   encuentra a un potencial V0 y el cascarón exterior está puesto a tierra. Calcular:: a) La función de potencial en la región a  r  b . b) El campo eléctrico en la región a  r  b . c) La carga total que se encuentra en el cascarón interior. b E  a  r b  r dl V0 a  A r2  2   2   1   2   1     1  2 r  2  sen  2   r sen 2  2 r 2 r  r  r sen    , donde   f (r ) , constante con respecto a  y  . Por lo cual:  1   2   A r  2 2 r r  r   0r r2  A  rB r 0    a  r  b    (r  a )  V0 ;  (r  b)  0   2   A r  r  r  0  A B   r  0r r 2 A B lnr   C 0 r  A B  V0   lna   C  0 a   0   A lnb  B  C  0 b  Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S
  4. 4. V0   A B A B lna   lnb+ 0 a 0 b  ba A b B   ln    V0  ab   0  a   V0  A b 1 1 ln    B    0  a  a b  A b  ab  ln    V0   a  B  0 ba  A b  a  ln    V0   a   A lnb C  0 ba 0  A b   A b  ab  ln    V0  a  ln    V0   a A   0  a    A lnb   a  r  b    lnr   0 0 ba 0 b  a  r  A b  a  ln    V0   a A b   b  1   a  r  b   ln     0   0  r  ba r      1   1   r     r r  rsen    1  1   E   r      r  rsen    r  y E    E a  r  b     A b  ab  ln    V0     a  A  E a  r  b     0  r 2 b  a  r  0r      D  a  r  b  0 E  a  r  b    b ab  Aln     0V0    A a  D a  r  b      r 2 b  a  r r      Dsale  Dhinca   libre   libre r a  Dsale r a Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S   a  r  b  r r
  5. 5.  libre r  a  D  a  r  b  r  a  libre r  a   b ab  Aln     0V0  A a     2 a b  a  a Q  r  a    libre r  a A  r  a    b ab  Aln     0V0  A a  4 a 2 Q  r  a   4 a 2   2 a b  a  a   b 4 ab  Aln     0V0  a   Q  r  a   4 aA  b  a  Q r  a  4 ab  b  a  b  A b  Aln  a    0V0  ba     Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S
  6. 6. Tercer Tema (35%): Un cable coaxial tiene dos capas de dieléctricos, tal como se muestra en la figura. Los datos de la permitividad y la rigidez dieléctrica de cada dieléctrico se encuentran especificados en la tabla que se muestra a continuación. Si el campo eléctrico máximo que soporta cada dieléctrico no puede ser mayor al 50% de su rigidez dielétrica, ¿Cuál es el voltaje máximo al que debe conectarse este cable? Tomando, en primer lugar, una superficie gaussiana que cumpla con la condición de que a  r  b , se tiene que: D2  b c  r D1 (a  r  b)  dS = QNETA a  r b   Q  r  a   c | D1 ( a  r  b ) | 2 rl  Q ( r  a ) b 2 1 | D1 (a  r  b) | a Q(r  a) 2 rl De la misma manera y tomando una superficie gaussiana que cumpla con la condición de que b  r  c , se tendría que: D1  a  r  b  | D2 (b  r  c) | Q(r  a ) 2 rl Dieléctrico 1 2 Permitividad  4 0 2 0  F / m Rigidez dieléctrica 10 12  MV / m a  3  cm b  5  cm c  7  cm A partir de los cuales, se obtendrían las respectivas intensidades de campo eléctrico en cada dieléctrico, es decir: E1 (a  r  b)  Q(r  a) 21rl  E1 (a  r  b)  Q(r  a ) r 21rl E2 (b  r  c)  Q(r  a ) 2 2 rl  E2 (b  r  c)  Q(r  a ) r 2 2 rl A continuación, procederemos a determinar la relación de la diferencia de potencial entre las placas; por lo cual se tendría lo siguiente:          E  dl  b a V0   a  c    E 2  b  r  c   dl   E1  a  r  b   dl c b Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S
  7. 7. b a V0    E 2  b  r  c   dr  cos 180 o c   E1  a  r  b   dr  cos 180o b b a V0    E2  b  r  c  dr   E1  a  r  b  dr c b b a Q(r  a) Q (r  a ) Q (r  a )  c  Q (r  a )  b  dr   dr  ln    ln   2 2 rl 21rl 2 2l 21l b a c b V0    b a Q(r  a) Q (r  a ) Q (r  a )  c  Q (r  a )  b  V0    dr   dr  ln    ln   2 2 rl 21rl 2 2l 21l b a c b Q(r  a)  E1 (a  r  b)  E 2 (b  r  c)  V0  c  b   ln  b  ln  a   21rl        21l   2 2l     V0  c  b   ln  b  ln  a   2 2 rl        21l   2 2l     V0 c b ln   ln   b  a 2 2l 21l  E1 ( a  r  b)   E 2 (b  r  a )  V0  c  b   ln  b  ln  a    r1        r  r1   r2     V0  c  b   ln  b  ln  a   r2        r  r1   r2     Según el enunciado del problema, se tendrían las siguientes condiciones: E1 (a  r  b) máx  0.50 K1 E2 (b  r  c) máx  0.50 K 2 Las intensidades de campo eléctrico máximas, en los dieléctricos 1 y 2, ocurren en r  a y r  b , respectivamente. Por lo cual, para cada material dieléctrico, se debería cumplir lo siguiente: V0  c  b   ln  b  ln  a    r1        a  r1   r2      0.50 K1   c  b   ln  b  ln  a   V0  0.50 K1 r1a         r1   r2     Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S
  8. 8. V0  c  b   ln  b  ln  a   r2        b  r1   r2      0.50 K 2   c  b   ln  b  ln  a   V0  0.50 K 2 r 2b         r1   r2     Al reemplazar los valores proporcionados en el enunciado del presente problema, se tendría entonces que:  7  5   ln  5  ln  3   Para el dieléctrico 1: V0  0.50 10  4   3 102         4   2      7  5   ln  5  ln  3   Para el dieléctrico 2 : V0  0.50 12  2   5 102         4   2     Al efectuar la evaluación, para ambos materiales dieléctricos se obtiene la siguiente relación: V0  0.1776  MV  De lo cual se concluye, que para cumplir con las restricciones del problema, el voltaje máximo, a que debe ser conectado dicho conductor, debe ser de 177.6  kV  . Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S

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