Libro apuntes ampliación de cálculo (integrales)

AMPLIACIÓN DE
CÁLCULO.
INTEGRACIÓN
MÚLTIPLE.
RESUMEN DE UNIDADES
DIDÁCTICAS CON EJERCICIOS
NUEVOS Y CONSEJOS (ANEXOS).

TEMAS 12 A 16 DEL
PROGRAMA DE LA E.T.S.
DE INGENIEROS
INDUSTRIALES – UNED.
AUTOR: JOSÉ MANUEL GÓMEZ VEGA.

Notas importantes.

Sirva este resumen como complemento a las Unidades Didácticas de la UNED
de Ampliación de Cálculo en su plan antiguo (vigente en el año 2.001). Lamento los
errores, imprecisiones, erratas que pudieran existir que no han sido intencionados,
evidentemente.

He intentado resumir al máximo los conceptos pero este trabajo no es un cuadro
sinóptico, ni un resumen esquemático. Lo que se intenta es fundir la teoría con un
esfuerzo pedagógico en el que se logre sintetizar los conceptos, teoremas que aparecen.
Se ha intentado escribir nuevos ejercicios que permitan una mayor comprensión de los
mismos para el estudio. Los ejercicios están realizados “paso a paso”. Por otra parte he
ampliado algunos conceptos olvidados de primer curso como por ejemplo, la función
Beta, muy aplicable en resolución de funciones subintegrales trigonométricas y también
he dado una serie de aclaraciones a la integral de superficie, sobre todo a la orientación
de las superficies, desde enfoques consultados en bibliografía complementaria que
espero ayuden a comprender la orientación de los vectores normales. Por otra parte, he
aclarado también que las variables en coordenadas cilíndricas y esféricas tienen otra
escritura en otros cursos, como el de Campos y Ondas, para que el estudiante se
familiarice con todas las nomenclaturas que es lógico que encuentre al consultar libros
de otras asignaturas, con lo que pudiera incurrir en errores.

También debo de hacer constar mi entuasiasmo al usar el programa Scientific
Notebook el que me ha posibilitado hacer este trabajo sin mucho esfuerzo. Si alguien
quiere hacer cosas parecidas ya sabe que no precisa de los conocimientos de latex ni de
otros programas con comandos oscuros...por lo que se ahorra tiempo.

No existen más trabajos actualmente de este tema, por mi parte, pues es una
labor ardua pero plenamente satisfactoria.

Para aprender matemáticas, se necesita constancia y pasión en el aprendizaje.
Toda la biliografía que se pueda consultar es poca, dada la abstracción de la asignatura.

¡Bienvenido al fantástico mundo de Ampliación de Cálculo, el
cimiento en que se apoyarán tus conocimientos en materias
tecnológicas posteriores, ánimo!

Advertencia importantes:
1) me es imposible corregir las erratas que aparezcan, pues perdí
los ficheros fuente del disco duro; lo que sí puedo hacer es incluir
una Fe de Erratas. Para comunicármelas, puede escribir a
gomezvega@hotmail.com , o simplemente contándome que se
podría haber mejorado (para futuros trabajos en otras materias),
lo que agradeceré.
2) Páginas 60, 61, 62 no existen (error en numeración).

AMPLIACiÓN DE CÁLCULO.
CAPíTULO 12. lA INTEGRAL MÚlTIPLE DE RIEMANN.
1. INTRODUCCiÓN. lA INTEGRAL DOBLE.
DEFINICIONES.
Rectángulo: producto cartesiano en iR 2 de dos intervalos cerrados y acotados de iR

[a,b] x [c,d] { x E [a,b] ejemplo: (1,3) x (3,4)
y E [c,d]

•. , ., {Pl={a=XO,Xl, ... ,xn-l,xn=b}
Particlon P de A : colecclOn de puntos PIXP 2 , _ _ _
P2 - {e - YO,Yl, ... ,Yn-1,Yn - d}

{O= ~, ~ ,... , n ~ 1 , ~=1}
ejemplo: [O, 1] <=>
{ {-.l 2- }
O, 2' 4,1
son dos particiones del intervalo

Una partición determina una colección de subrectángulos {Qij} = [Xi-! ,Xi] X [Yt-byil de iR"xiR m
Sumas de Riemann
Área del subrectángulo:IQijl == (Xi-I,X¡)(yi-!,y¡)
. {Mij =
DefinlIDos
sup{f{x,y) : (x,y) E Qij} ==>
superior: S(f,P) = ¿MijlQijl
iJ
mij = inf{f{x,y) : (x,y) E Qij} inferior: s(f,P) = ¿mij'IQijl
------'===- ..... iJ
,---~~-"-"""-

ISe curi~: mIAI ~ sCf..P) ~__S(f,P) ~ A!JAU
-A J = sup{s(f,P)}
Integral inferior = J Integral superior = JPropiedades : =~
-A J = inf{S(f,P)}

12.1. DEFINICiÓN DE LA INTEGRAL DOBLE DE RIEMANN
EN UN RECTÁNGULO.
-A
f integrable <=> Jf = Jf (integral inferior = integral superior)
-A
en todo conjunto acotado de !Ji existen ambas (hay supremo e ínfimo)

interpretación geométrica:
J
Integral defen A = Lf=: Lj{x,y)dx-dy (doble) j{x,y) = 1 ==> área
{
j{x,y) "* 1 ==> volumen
--- --~

- - - - - - - - - - - - - - - - A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág. 1

-AMPLIACIÓN DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 12. La integral múltiple de Riemann.-

2. INTEGRAL MÚLTIPLE.

12.2. DEFINICiÓN DE INTEGRAL DE RIEMANN DE UNA
FUNCiÓN EN UN TRIÁNGULO.

Repetición genérica de lo estudiado en integral doble.
n
= 2, doble
IntegraldefenA=Lf=ff .. ·Lj{Xl,X2, ...xn)dx¡dx2 ... dxn _ .
{ n - 3, tnple, ...

12.3. EJEMPLOS.

1) Sirvan los ejemplos para contrastar entre las integrales dobles y triples y su sentido
geométrico.

2 fx2 dy, siendo j(x,y)
(integral doble de área): fo dx x = 1

(integral doble de volumen): f2-2 dyfy3 j(x,y)dx, siendoj(x,y) = x2y "* 1
2y

2 f]E. fx 2y
f2 f]E. = 3 - i
(integral triple de volumen): fody j2 dx 2xy dz = ody j2 j(x,y)dx, siendoj(x,y) = z {

(integral triple): f~ dof~ dp f~O,p)dz, siendoj{O,p) = z = Jpcos 3 0

1 si x Óy E Q (racionales)
2) Sea f(x,y)=
{ 2 si x, y E' (irracionales)

f{) no es mtegrable en nmgun rectángu o pues para cual " parhclOn {s(f,P) = ~]QI = ¡Al
x,y . . '1 T
qUler .,
S(f,P) = ¿21QI = 2jAI

-A f f= ¡Al
Y entonces f f"* f f -A
-A
=> no existe Lf
-A
f f= 2¡A1

12.4. CONDICiÓN DE INTEGRABILIDAD DE RIEMANN.

- - - - - - - - - - - - - - - - A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.2

---.José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

3. MEDIDA CERO Y CONTENIDO CERO.
12.5.
r DEFINICiÓN DE MEDIDA CERO.
e 9l" tiene medida O = VE > O 3 n:cubrim;en!:' numerable de rectángulos
(abiertos o cerrados) I L IQml < E
{Qm}J
, "'~-'- - - - -- ._-----'m=l , " ' "----~

Un conjunto no acotado no puede tener contenido O.
Numerable: se puede establecer una correspondencia de los elementos con los números naturales
mediante sucesiones.
Si P es una partición numerable, P = [! = O, ~ , ... , n~l ,~ = 1] en el intervalo [O, 1].

12.6. EJEMPLO.
La sucesión {Xm} de ~n tiene medida o.
12.7. PROPOSICiÓN.
[La,l!Tli6~'de,~~~~sión iH~'} de s,!_~~~~j~~ d~~~di,!,!,~~;~'ti~~"!.edid;;~~?J

12.8.
' DEFINICiÓN DE CONTENIDO CERO.
e ~ n tie~e conte~ido O <==> 'vE > O 3"reCUbri~iento finito de rectániulos {Qm}

r '''~~ '--- -
(abiertos o cerrados)

Finito: no se puede establecer una correspondencia mediante sucesiones.
9
Si P es una partición finita, P = [1, 10' ; , ; ,2] en el intervalo [1,2].
I
m=l
L IQml < E

~---," -

recubrimiento numerable: suma extendida a inf"mitos términos (00 )
Medida-contenido O: diferencias
{ recubrimiento finito: suma extendida a finitos ténninos (p )

12.9. EJEMPLOS.
medida o: sí (existen infInitos puntos)
1) semirrecta x ::::: O
{ contenido O: no (no exite recubrimiento fInito)

medida O: sí
2) sucesión {x m } de 1Jl'I
{ contenido O: no , pero si es suco convergente sí (por estar acotada).

medida O: sí (existen infInitos puntos)
3) [O, 1]E Q
{ contenido O: no

12.10. PROPOSICiÓN.
"" "'"' "'" " oJ
~
""'--'"'' ""~~

H cualquiera: H contenido O ===> H medida O
H compacto y medida O <=> H contenido O
{ H no compacto: H medida O::t:> H contenido O
------,.,._--------"._-----"---,,-._.._----_.._.._._-------_ .. ,.". - ."..... -_ ... _.,-~---_.""",-~---"~-_ .. " ",._-_.-


-AMPLIACIÓN DE CÁLCULO. 20 ETSII-UNED. Capítulo 12. La integral múltiple de Riemann.-

4. CARACTERIZACiÓN DE LAS FUNCIONES
INTEGRABLES.

12.11. DEFINICiÓN DE OSCILACiÓN DE UNA FUNCiÓN EN
UN PUNTO.

IOScil~~ión e~ u:punto: ~(f, a) = ~~n [M( ~,j, ~....~. m(a,j, ~].I
-sifcontínua en a <=> O(f,a) = O
-si O(f,a) 2: O yfdecreciente ~ siempre existe el límite

12.12. EJEMPLOS.

1) Hallar la oscilación de f(X,y)~{ ~ si
si
xóy
x, y
E

E
Q (racionales)
I (irracionales)
en un punto (a,b)

En cualquier bola B«a,b), ó) existen puntos en los que f vale 1 y f vale 2.
O(f, (a,b,c» = lim[M«a,b,c),j,O) - m«a,b,c),f, 0)] = 2 - 1 = 1
&-.0

2) Hallar la oscilación de f(X)={ x2+1
x+x3 -2
six
si x 2: O
~ O

M(O f, ó) = 1(0 + ó) = g + tS3 - 2
, , ~ O(f,O) = lim[M(O,¡; ó) - m(O,j,J)] = lim[J' + g3 - 2 - (t>2 +
{ m(OJ, ó) = 1(0 - ó) = (-O) 2 + 1 &-.0 &-.0



12.15. TEOREMA DE LEBESGUE (CARACTERIZACiÓN DE
LAS FUNCIONES INTEGRABLES).

- - - - - - - - - - - - - - - A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.4

--José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

12.16. EJEMPLO.
1 si x Óy E Q (racionales)
¿Es integrable I{x,y)= en algún rectángulo A de!Jl3?
{ 2 si x, y E I (irracionales)
N o, pues la función es discontinua en todos sus puntos y la medida de A no es O

5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL.
12.17. PROPOSICiÓN (PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INTEGRABLES).

1) LAj(x)dx = ALf{x)dx 2)
"--"
L(f(x) + g(x»dx = Lf{x)dx + Lg(x)dx -"

Lg(x)dx
-~--""---"~-"-"-"---""----"--"- ---~----"-"- ""-"--~------"----- ""--"~--"-"""-

3) si j(x) ::; g(x) => Lj(x)dx ::; 4) ILf{x)dx I::; LJf(x)-Idx - - -
--'-'----"-""""" -
JS&dx _ Lf{x )dx
5) Lflx)g(x)dx = Lflx)dx Lg(x)dx 6) f
A g(x) - Lg(x)dx
-"-"~-------~---"""-"-""---"--"--"----

- - - -" -----~

E f
Sea P partición de A. Se cumple: Aj(x)dx = L rJCx)dx para Q
--_.., _ . _ - - -... - - - " - - - - - - - - - ,.. _._,,--~~--- ',._--------,---."-"'-
f
---._._._~------,,-
E P
... __ .. _ - - - - - - - - -

12.19. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES.

Relaciones conjuntos de contenido, medida Ocon su frontera.
• Si M tiene contenido O => Fr(M) tiene contenido O.
• Si M tiene medida O '::t:> Fr(M) tiene medida o.
M medida O
Contrajemplo M = [0,1] E Q
{ Fr(M) es todo el intervalo (longitud 1)=> no tiene medida O

Un ejemplo de función no integrable Riemann: cualquier función no acotada.

Sea.f{) =
x ! si x
. '* O => no integrab l '
e Riemann (extenslOn a mtegraes '
., . l ImpropIas, SI,.
. :
{ 1 SIX =O

----~-----------AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.5

CAPíTULO 13. INTEGRACiÓN SOBRE CONJUNTOS
ACOTADOS.

1. CONJUNTOS MEDIBlES-JORDAN.

Función característica:

. { Int(M)
six E M cte =::) contmua en
Ext(M)
si x ~ M
no cte =::) discontinua en Fr(M)

13.1. DEFINICiÓN DE CONJUNTO MEDIBLE-JORDAN.
,-------~-- -- --~~---~~-

Macotado
SeaMc ~n
{ M e A (rectángulo)

M medible-Jordan si:3 LZM = IMI siendo IMI = contenido o medida-Jordan de M.

EJEMPLOS ACLARATORIOS.

• Un segmento de ~ tiene contenido 2-dimensional O en ~2, pues existen recubrimientos mediante
rectángulos tan pequeños como se quiera. Obsérvese que cualquier segmento de la recta y = mx posee
dos variables en su expresión y sin embargo su contenido es O en ~ 2 •

• El recinto definido por M = {(x ,y) E ~ 2 : O ::; x::; 1,::; 1 ::; Y ::; x 2 } está formado por gráficas

que tienen medida Jordan 2-dimensional cero en ~2 { X
y
= O, x = 1
= 1, Y = X2
= Fr(M), pero no en ~; el
interior de la intersección de las gráficas es la medida o contenido de M que no es nulo y su valor es un
número positivo que es igual al área interceptada, por lo que IMI = área. Ambos conceptos (medida y
contenido) son equivalentes pues M es un conjunto compacto.

• Una circunferencia tiene contenido 2-dimensional cero, pero sí tiene contenido l-dimensional, luego
no es cero en ~, mientras que el círculo no tiene contenido O en ~2 =::) tiene contenido distinto de O.

~----------------AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.6

---José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--
13.2. PROPOSICiÓN.
-:---------- ----------- - -

H acotado
Sea H e ~n Son equivalentes:
{ H e A (rectángulo)

a) H medible-Jordan y IHI = L XH = O
p
b) V E > O :3 colección finita subrectángulos {Q 1 ,... ,Qp} que recubre a H, tales que L- IQ I <
i E

" --------- _._._---------- " . , - - - - - - - -... " ......, - , - - - - - - .. ".., " - - - - - - - -
;=1 -----------

13.3. TEOREMA DE CARACTERIZACiÓN DE lOS
CONJUNTOS MEDIBlES-JORDAN.
--- . _ - - - ,._._------ ---- - -------- ._-----

Hacotado
SeaHc ~n
{ H e A (rectángulo)
H medible-Jordan <=> V E > O :3 partición P(A) / L-IQI - L- IQII
< E
QEL

L = colección subrectángulos de P /
en donde
{ L' = colección subrectángulos de P /

Relaciones conjuntos medlbles-Jordan, contenido O, medida O.
• Si L XM = O Y M medible-Jordan => Int(M) = 0
• Si M medible-Jordan => IFr(M) = 01

• Un subconjunto acotado de 9{n con frontera formada por nO finito de funciones integrables es
medible-Jordan (su frontera tiene medida cero).

• Si M es de medida O, LXM puede o no existir.
Demostración por contraejemplos:
cualquier segmento es de medida O en 9{ 2
:3 LX M en A = [O, 1 ]x[ l ,6Jc ~ 2 ,
{
Z m sólo discontinua en los segmentos
integrable por Th. de Lebesgue

~ LXM en A ~ [0,1lE Q{L XMdx ~ 1 , L xM<ix ~ O (no coinciden las inl. supo e inf.)

• M medida O y ZM integrable => LZM = O

• M contenido O => ZM integrable y fAZ M = O
- - - - - - - - - - - - - - - - - A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.7

-AMPLIACIÓN DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 13. Integración sobre conjuntos acotados.-
2. INTEGRACiÓN SOBRE CONJUNTOS ACOTADOS.
13.4. DEFINICiÓN DE INTEGRAL SOBRE UN CONJUNTO
ACOTADO.

Notación:
fui integral de la función!sobre el conjunto M
=

{ fA!XM = integral del producto de la función! por la función característica XM en el rectángulo A
r--------------------------------- -------------~

M acotado { !: M -+ 9{ integrable en M <::::} !XM integrable en A
&an M e 9{H
{
M e A (rectángulo) .
' es decrr,
J f f !XM=
!: A -+ 9{ acotada M' A
---~---------------------------- ------- ----- ------------ ----- --~-- ---------------

A

La integral sobre M independiente del rectángulo A

13.5. EJEMPLO.

M ={(x, y) E [1,3] x [3,6J : x,y irracionales}
Hallar f ItA f siendo
f(x,y) ={ 1
si x, y irracionales
2x+y en los demás casos

Osi (x,y) If M
SeaA (rectángulo) = [0,4] x [0,8] y ZM(X,y) (función característica) = 1
{ si (x,y) E M
donde evidentemente M e A y XM(X,y) es discontinua en todos los puntos de su frontera:

Fr(M) = X = 1, x = 3 cuya medida es I l '
. M = area = (3 - 1)( 6 - 3) = 6.
{ Y = 3, Y = 6
La función! es discontinua en todo A, excepto en los puntos que verifiquen 2x + Y = 1 ===> Y = 1- 2x ,
como por ejemplo ( i ,o)
y (0,1).
Sin embargo, la función producto
fiX,y)XM(X,y) = (1)(1) = 1 es continua en A por lo que
JM! = L!XM = JMdxdy = f~ dx J: dy = (Fubini) = J~ f: dydx = 6

Nótese que la integral es independiente del rectángulo A considerado y que la integral existe a pesar de
que en la frontera de XM no existe medida nula, pero sí en la función producto!XM.

----------------------AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág.8

--,José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--
13.6. TEOREMA DE LEBESGUE PARA CONJUNTOS
ACOTADOS.

Me 9{n
Sea acotado, medible-Jordan
{
f: M .... 9{ acotada
f es integrable sobre M ~ conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida O

Recinto o región de integración: es conjunto medible-Jordan.

13.7. NOTA.

Si no se cumple el anterior teorema, pueden ser integrables mediante series, no siendo medibles-Jordan y
las integrales no deben estar necesariamente acotadas (impropias).

3. RECINTOS DE INTEGRACiÓN. RECINTOS
PROYECTABLES.

13.8. DEFINICiÓN DE RECINTO DE INTEGRACiÓN.

[~_~ 91 n '(lcotado, es recint~ de integr~ción si e~~edible-J~~~an.1
Ejemplo de recinto de integración distinto del rectángulo es el recinto de ordenadas (siy ~ O).

13.9. PROPOSICiÓN.
,--------- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,

Q e 9{n

Sea acotado, mediable-Jordan Se define gráff = {(x,y) E 9l n : x E 0., Y = JCx)}
{
f: Q .... 91 integrable en o.
La gráfica de f tienen ntedida-Jordan (n + 1) - dimensional cero.
_. --------- -- ------------------ - ----------- -- ------- --



13.10. COROLARIO.

sea{ ~:a:~ mediable-Jordan H = {(x,y) E 9i n +1 : x E n, O::; Y ::;j{x)}
f: n --+ in no negativa e integrable en n
El recinto de ordenadas H es medible-Jordan.

r
13.11. RECINTOS PROYECTABLES PLANOS.

E 91 2 proyeetable respecto al eje-OX (ó ~e O Y)-si las rectas paralelas al eje O Y (ó eje OX) 1
1
que cortan... a M determinan un único segmento o un punto.
-~~~ .....
~-~ .._-~~ _~-~ .. _--~.~_. .~--. .... ~ ... _.-~ .. .....
~ _~~~ ... -

y y

x x
x
Proyectable sobre eje x Proyectable sobre eje y No proyectable sobre eje y

Regiones planas
~t_ip_~-_I-_:_=p-r_o_Y~-~=ta~bl_~~~J_·e_Q_~.Lt_ipo_··~-~.p-)i=o-y~~~~~ta~~b~le~s ~j-e-q-Y~Itip-o-_3-:=p_~~_~y-
... . .~~-_t_a-b_i_;-~-~e-O
. . __ __ z
13.12. RECINTOS PROYECTABLES EN EL ESPACIO.

~E 91 3 es recinto proyeeklhle si las rectas paralelas ~/ plan
que cortan a M determinan un único segmento o un punto.
-"~--~-'--'----'---'-~-~---~--------'------"'---'---,.~------,---
1
tipo 1: plano xy
tipo 2: plano xz
Regiones en in 3
tipo 3: plano yz
tipo 4: si son tipo 1,2,3

---------------~AMPLIACI6N DE CÁLCULO pág. 10

--.José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--

4. INTEGRAL REITERADA. TEOREMA DE FUBINI.

13.13. TEOREMA (INTEGRACiÓN REITERADA).

l. para rectángulos
Consideración del teorema
{ 2. para recintos de integración

1. rectángulo A [a, b ]x[ e, d]

{r
=

'/ x E [a,b] J(x,y)dx
f integrable en A si {
, :3 a => se cumple
'/ y E [c,dJ J:J(x,y)dy

J J(x,y)dxdy = fh dxfd j{x,y)dy = fd dyfh f(x,y)dx
A a e e a

-~--~-"---~------'" "-----,--~-,.,- _.,.-

2. recinto de integración M de tipol. M = (cx,y) E 9{Z : h1 (x) s: y s: hz(x), x E [a,bJ}

'/ x E [a,b] tJ(X,y)dx
f integrable en M si { '/ y ,:3 :2(X) d => se cumple
E [h 1(x),hz(x)] { fh¡(x)J(X,y) y
fMf(x,y)dxdy = f dx fh2W
b
h¡(x)f(x,y)dy
a

Análogamente sería para M de tipo 2: f
~~
ffx,y)dxdy = fd dyJ
e
g
2(Y) J(x,y)dx
g¡(v)
------~----~-_._-~-----.--------~----_._-~---------_.------------ -------------

El teorema de integración reiterada necesita que existan las dos integrales, pues no existe una puede
existir la integral reiterada, pero no la doble:

Lf(x,y)dx
Si :3 J ¡jCx,y)dxdy => :3 { fB.f(x,y)dy
Ax
cierto siempre

:ti Lx~x,y)dxdy integral doble no integrable
f f(x,y)dx
Si :3 sólo una de las dos Af =>
{ fB (Lf(x,y)dx )dy existe sólo una de las
ó B.f(x,y)dy
:3 { ó L(J~x,y)dy)dx integrales reiteradas



13.15. TEOREMA DE FUBINI.

Ay B rectángulos cerrados
Definimos gx : B -4- 9'l por
Sean AxB e 91 n x91 m
{ gx(y) = f(x,y) ,V X E A
f: AxB -4- 91 función integrable en AxB

f
F(x) = gx(y)dy = ff{x,y)dy
B B
L f(x,y)dxdy = LF(x)dx = L[!.f(x,y)dY Jdx
Si
G(x) = Jgx(y)dy = f .f(x,y)dy
-B -B
L f(x,y )dxdy = LG(x)dx = L[L.f(X,y )dy ] dx
Si gx integrable en B, V x E A :::::} F(x) = G(x) y se tiene:

l1xB,~~~~-=_);~~tá= f'~J~J x',y)dy J~J
¿C~_
-~~-_.~~---- ~~----~~- ----~~----------

13.16. NOTA.

Si consideramos gy : A -4- 91 por gy(x) = f(x,y) , las integrales quedarían:
LxBf(x,y)dxdy = JB[L,tCx,y)dx Jdy (en otro orden).
Aplicando repetidamente dicho teorema, reducimos el cálculo de la integral múltiple a n integrales
simples.
Se pueden expresar los límites de integración como regiones M de tipo 1,2,3.

Aclaraciones:
• Órdenes de integración en el plano:
{dx,dy} :::::} lOse integra en y , luego en x.
h h
La integral se escribe Jb dxJ 2(X).f(x,y)dy = fb (J 2(X).f(x,y)dY)dx
a h¡(x) a "¡(x)
{dy, dx} :::::} lOse integra en x , luego en y.
g
La integral se escribe Jd dyJ 2(Y) j(x,y)dx = fd(Jgz(y) j(x,y)dx)dY
e g¡ (y) e g¡ (y)

Esto no viene específicamente aclarado en las Unidades Didácticas, pero se puede corroborar con los
Ejercicios de Autocomprobación del capítulo, como por ejemplo en el ejercicio 8. Sin embargo, he
observado que otros autores se refieren a los órdenes de manera inversa; se debe tener esto en cuenta al
consultar bibliografia complementaria, pues puede inducir a errores en la resolución de ejercicios.
Análogamente se realizaría para los órdenes de integración en el espacio 9i 3 y únicamente se tendrían
mayor número de posibilidades de combinación de los órdenes, siempre teniendo en cuenta las
proyecciones en el plano de las dos primeras variables del orden.

• Obtención del recinto en otro orden:
Una vez que tenemos una integral o un recinto, invertir el orden de integración supone encontrar unas
relaciones a partir de las ecuaciones del recinto que permitan la resolución de la integral. A veces, puede
que en un orden aparezca una sóla integral y en otro orden dos, por ejemplo. Esto es debido a que el
recinto a integrar necesita descomponerse por no ser proyectable en un sólo recinto o bien los límites de
integración en un subrecinto varían según las rectas y curvas a considerar.
-----~----------.AMPLIACIÓN DE CÁLCULO pág. 12

CAPíTULO 14. CAMBIO DE VARIABLE Y
APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

1. CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL
MÚlTIPLE.

Fórmulas de transformación (cambio de variable)

integral simple: fg(b) j{x)d:x
g(a)
= r a
j{g(t»lg' (t)ldt, pues { x = g(t)
d:x = g' (t)dt
-_.""-~~._-- - _. --

integral doble: f fg(k)j{x,y)d:xdy f Lj{x(u, v),y(u, v»IJ(u, v) Idudv,
=

IJ( u, v) I = determinante de la matriz jacobiana
donde k intervalo [a,b] , g(k) intervalo [g(a),g(b)]
{
det J(u, v) *- O por ser cambio de variable (debe existir inversa)

14.1. TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE EN LA
INTEGRAL MÚLTIPLE.

abierto A e ~n , clase 1 en A
Sea (hipótesis cambio variable)
{ g :A ~ ~n, inyectiva, det g'(u) *" O
K compacto medible-Jordan
Si
{ f: g(K) ~ ~ integrable en g(k)
=>
.
ro g : K ~ ~ integrable en K y se cumple:

rt(A)j{-=)~-:-IT~~~(;~~J~
-- --------~ ,,-~------- _.,-----~-" ... _----~----,--,. __ ._--~~--,,- ..-.-

T= g(K)
Si
{ h = g
_
1
se escribe: f!<x)dx = ff h(
nf{g(u)ldetg'(u)ldu
- - _..- ... _.. _- . __. _ - - - -

Si g es diferenciable con continuidad, el conjunto de puntos en que det g' = O tiene medida O y se podría
suprimir la hipótesis det g' *- O en el teorema.

- - - - - - - - - - - - - - - A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág. 13

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSII-UNED. Capítulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.-
14.2. EJEMPLO.
Calcúlese la integral f M f(x, y)dxdy siendo f(x, y) =(x2+y2) 3 Y
NI la corona 1 ::::: X2+y2 ::::: 2
a) directamente.
b) mediante un cambio de variable.

a) Directamente.
El recinto T situado en el primer cuadrante de M representa ! del total:
T = {(x,y) E m2 : 1 ::::: x ::::: 2 : JI - x2 ::::: y ::::: J2 - x2 }

Entonces: fJ(x,y)ctrdy = 4 f;Cx,y)dxdy = 4 f~ (f~(X2 + y2)3 dy )ctr =
1 = 4 f~ [ ~ J (2 - X2) + "* J (2 - X2 ) x2 + -}} J (2 - X2 ) x 4 + -}} x 6 J (2 - x2) Jctr-
-4f~[ ~ J(1-X2) 3~ J(1-x 2 )X2 35 J(1-x 2 )x 4
8
j~x6J(1-X2) Jctr
Obsérvese como aunque las integrales anteriores no sean muy dificultosas, con cambios acertados,
existen muchas por lo que no se resuelve así por ser muy laboriosa.

b) Mediante un cambio de variable.
Cambio a coordenadas polares.
h(]) = {(P, e) E m2 : o : : : e::::: ~, 1 ::::: p::::: J2}
JE .ti
fU'/(x,y)dxdy = 4 f0x,y)ctrdy = 4 tCT)J(p,&)pdpde = 4 f02 deL p3 pdp =

=4 fo~ (J; p 4
dp )de = 2ff[ p; J I~ = 2; [( J2) 5 - 1] = ~ ffJ2 - ; ff
Y donde además cada integral iterada es directa pues los límites de integración son constantes.

2. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA
INTEGRAL.

14.3. ÁREA DE UN RECINTO PLANO.

[~a~:ll~-;~Cin~O~~~: ~_==TI~~!il
• Si M proyectable sobre OX limitado por dos gráficas, definidas en [a, b] Y Y2 (x) ~ y¡ (x)

=>~= J:~=j;)--=!,l ~~]~J(idem para M proyectable sobre aY) .

•

- - - - - - - - - - - - - - - - - . A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág. 14


14.4. EJEMPLO.
Calcúlese el área limitada por las curvas y = X2 e y = x entre x = O Y x = 1.

El área determinada por la intersección de las gráficas{ y = x2 en O:'S x :'S 1 es:
y=x

orden{tÚ,dy} : J~ dx J:2 dy = (Fubini) = J~U:2 dyJdx = J~(x -x 2)tÚ = !
orden{dy,dx} : J~ dy J; dx = (Fubini) = J~[f; dx Jdy = J~ (JY - y)dy = !
Obsérvese cómo para integrar respecto a y , y = x está por encima de y = x 2 , mientras que al integrar
respecto a x,x = JY está ahora más a la derecha que x = y por lo que ya no son los mismos límites de
integración.
De hecho para integrar, se debe de proceder sistemáticamente mediante los siguientes pasos:
Dibujar las gráficas (empezando con las proyecciones sobre planos según el orden para luego componer
el dibujo si es espacial), comprobar las intersecciones de las gráficas (para establecer los límites de
integración), observar si son recintos proyectables, apreciar en qué orden puede resultar más fácil la
integración, dividir los recintos, aplicar Fubini.

0.2 0.4 x 0.6 o.~

El área es el recinto interior que limitan las gráficas

ÁREA DE UNA SUPERFICIE.

Aparte de lo que se verá en el capítulo 16, se puede considerar lo siguiente:
Sea z = z(x,y) superficie definida en M (recinto acotado) del plano xy, y
, { x = x(y,z) en plano yz
análogamente
y = y(x,z) en plano xz
--_._ .. _~~----._--~------- ;-----;:==-:::..:;-- :;:"--=-=---;::----------_.---
"
Área de una superficie: S Jf JI + Z~2 + z~2 tÚdy (plano xy)
= M

Área de una superficie: S Jf J + x'J + z~2 dydz (plano yz)
1 = M
.._- -_.. -- - --- -

Área de una superficie: S = Jf JI + y'} + y? dxdz (plano xz)
M
-- -
siempre que existan las integrales, recordando la notación de derivadas parciales.
(por ejemplo: z~ = ~)

Nota: algunos autores consideran Zx == ~ sin necesidad del apóstrofe; quizás es la expresión más
correcta a emplear.

- - - - - - - - - - - - - - - - . A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág. 15

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSll-UNED. Capítulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.-

14.5. VOLUMEN DE UN CUERPO.

• Si M es recinto proyectable sobre plano xy, limitado por Z¡ (x,y) , Z2(X,y) definidas en M'
(proyección de M sobre xy) cumpliendo Z2(X,y) :::: Z¡ (x,y) y si M' está limitado por y¡ (X),Y2(X)
definidas en [a,b] cumpliendo Y2(X) :::: y¡ (x), entonces:
I Vol~~n: V = -fb dxfY2(X)[Z2(X,Y)-=;I(~,y)]dY-1
.-"0-"
a
____ ' 0 " _ _ _
YI (x) __.,,""""___ " ,,-"_._-

Se pueden obtener expresiones análogas para los otros planos proyectantes.

• Si Z¡ (x,y) = O =>~o lumen:- V =
. fb dxJY2(X) Z2(x,y)dy => ~tegral dobl~
a YI (x)
.,--,-----~_.,,----_ .. -,,-"- - _.._.- - ",,,,,.,,,. .----,..... _-

14.6. EJEMPLO.
Hállese el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide z = 3 - x2_y2 y el plano
z=1
a) en el orden {dx, dy, dz} (cartesianas).
b) en el orden {dz, dy, dx} (cartesianas).
c) úsese un cambio de variable.

a) orden {dx,dy,dz}
En estos casos siempre se realizan proyecciones en el plano correspondiente a las dos últimas variables
de integración (o a las dos primeras escritas en el orden).
x2 + y2 = 3
Las proyecciones en el plano xy son
{ z=o
Consideremos el recinto R = ¡ M ¡ del 1er cuadrante de la circunferencia.

Límites en y: X2 + y2 = 3 => y = J(3 - X2) (en el 1er cuadrante y:::: O). Entonces: O ::; Y ::; J(3 - x2 )
Límites en x: lo da el dominio de la anterior expresión 3 - x2 :::: O, cuya solución es - J3 ::; x ::; J3,
y por estar en el 1er cuadrante: O ::; x ::; J3
Entonces R = {(x,y,Z) E 9{3 : O :S x:s J3 ,O :S y::; J(3 - x 2 ), 1 :S Z :S 3 - x2 - y2}
2
V= f dV = JJf dxdydz = 4 fJfRdxdydz = 4 f:- dx Ji(3-X ) dy C-X2 _y2 dz
f:- (J~ (f~-X2_y2
MI MI

y aplicando Fubini: V = 4 dz )dy )dx = 4 J: J!(3-X 2) (2 -x2 - y2)dydx =

V= 4 f:-(J J
(3 - x2) - ; x2 (3 - X2) ) dx

X J3 cost
= { x = O => t = O
Efectuamos el cambio con f'}
{ dx = - J3 sin tdt x = ,,3 => t = ~


V = 4 J13 (j(3 - x2) - ; x2 j(3 - X2)
o ..!L
= 4 f [J(3 - 3 cos 2t) )tb: r
2(cos 2t) J(3 - 3 cos 2t) ]
0..!L
J3 sin t
= 12 f 02 [ J(1 - cos t) - 2(cos t) J(1 -
2 2
f
cos 2 t) ] sin tdt 12 02
= [sin 2t - 2(cos2 t) sin 2t ] dI
Vamos a efectuar las integrales aplicando la función Beta:
2f1' sin2p~ltcos2q-ltdt = fI(p q) = r(p)r(q)
o ' r(p + q)
recordando varias propiedades (ver detalle en libro Cálculo fufinitesimal I de Ingeniería Industrial Uned):

r(p) = (p -1)! -+Ej.: r( ~o ) = r(5) = 4! = 4 * 3 * 2
r ( 1-) = ( p ; 2 ) ( p ; 4 ) ... ( ~ ) ( i ) JJi -+ Ej.: r ( g) = (~ ) ( i ) JJi
r( i ) = JJi
V= l¡ -h = 12ft sin2tdt-24f! cos2tsin 2tdt
2p - 1 = 2, P = 1..-
Consideremos fo sin 2tdt. Como
..!L
2
{

2q - 1
2
= O, q = 2
1 =>

r(.1)r(l) (lJJi)JJi
f1' sin 2tdt = lp( .1 l ) =l 2 2 = l--=--.=2'----,---,-=-_ % Y /1 = 12 * %= 31í
o 2 2'2 2 1(.1+l) 2 1!
2 2
2p - l = 2 P = 1..-
Tengamos f2 cos2tsin 2tdt. Como
o
Il {
'
2q - 1 = O, q = ;
2 =>

J2 cos2tsin 2tdt = lp(.1 ' .1) = l2
Il r(.1)r(.1)
2 2 = l
(lJii) (lJii)
2 2 =JL
o 2 2 2 1(.1 + .1 ) 2 2! 16
2 2
Y 12 = 24 * JL
31í
2 16
=

Luego, finalmente: V = l¡ - h = 31í - 3z" = ; 1í
1- cos2t 2

Las integrales anteriores también pueden realizarse con las relaciones{ sin t = 2
2
cos t = 1 + cos2t
2
b) orden {dz,dy,dx}
Se debe proceder realizando cálculos con las ecuaciones del enunciado.

Las proyecciones en el plano zy son { : : ~ y2
x=o

H~~
..,
.

,
.,

Recinto M 2 Recinto T
Límites en z: Conocemos el límite inferior de z. La cota máxima de z es para y = O, pues el vértice de la
parábola está situado en dicho eje, que tiene simetría respecto al eje z.



También se puede plantear un cálculo del máximo en z considerándola como ordenada. a dicha variable.
~; = -2y = O ===> Y = O. De las dos maneras vemos que z = 3, por lo que 1 S z S 3.
Límites en y: Por encima está la parábola y por debajo la recta. Si z = 3 - y2 ===> Y = J (3 - z) donde
tomamos únicamente la solución positiva pues la simetría nos permite hacer una reducción en el recinto.
y = O es el límite inferior (obsérvese la gráfica). Por lo tanto: O S y S J(3 - z)
Límites en x: si z = 3 - x2 - y2 = 1 ===> x = J (2 - y2) límite superior y x = O límite inferior donde
nuevamente hemos tomado solamente las soluciones positivas. Entonces: O S x S J(2 - y2 )
Ahora consideramos el recinto T = 1 M2

T= {(x,y,z) E m3 : 1 SzS3,OSyS J(3-z),OSxS J(2_y2)}

V= f
M2
dV = JJf M2
dxdydz = 2 f Jf dxdydz = 2 f~ dz J~(3-Z) dy Ji(2-
T
y2
) dz
Y aplicando Fubini:

V= 2 J~ (f~(3-Z) (Jt 2 y2
- ) dx )dY)dz = ~ ff

c) cambio de coordenadas.
X = pcos8
Efectuando un cambio a coordenadas cilíndricas: y = psin 8 detV(p, 8, z) I = p
{
Z=Z

V= 4 Jl (J~ (J~-p2 pdz )dP )d8 = ~ ff
14.7. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCiÓN.

V( ) E M' medibl -Jordan{ [~= 2~I~.1'dxdy-,"_~j=OX, ;-~_?l
•
x,y "e E"--"---"-----"""""-"-"-- OY,
V = 2ff J,yIxdxdy, eje x ~ O
~-"""
--~_.,.,,_." .. _'"

• M' recinto de ordenadas de h(x) ~ O, O S Y S h(x), x E [a,b], I V = fff:~~~)2dx I
Se obtiene considerando la expresión anterior: V = 2ff J~(X) ydxdy e integrando para y.

• M' = {(x,y) E m2 : O S g(x) S y S h(x),x E [a,b]}, l~ = ffU:h_~~(~);-I~j

Si el volumen de revolución es sobre el eje OZ son adecuadas las coordenadas cilíndricas en el cambio
de variable.


14.8. DEFINICiÓN DE BARICENTRO.
,---- ------------ - - .--

medible-Jordan
Sea M Baricentro de M: es el punto b = (b ¡, b 2 , ... , b,,) siendo
{ IMI *- O (área o volumen)

~-= ~f~Xidxldx2 ..-.~
------ .. _._--~- .... _._----

14.9. TEOREMA DE GULDIN.
,----- ------- _.....• _----------_.
El volumen del cuerpo engendrado al girar M' alrededor del eje OX es igual al producto del área
MI medible-Jordan
multiplicada por la longitud recorrida por el baricentro: I V =_~Jl}'oIM'1 ] IM'I *- O (área)
{
yo = baricentro
- - _.--_._. _._-

3. APLICACIONES FíSICAS DE LA INTEGRAL.

CASO DISCRETO.
" o = origen de coordenadas
¿mJJl
OG = .:..:.k=...:.I _ __
G = punto centro de gravedad
Centro de gravedad.
"
¿mk
mk = masa k-ésima
k=1 Pk = puntos donde están mk
Coordenadas de P k : (XbYbZk), coordenadas de G : (a,b,c)
. 1" 1" 1" "
Siendo a = m ¿mkxb b = m ¿mlJih c = m ¿mkzh m = ¿mk (masa total)
k=1 k=1 k=1 k=1


CASO CONTINUO. Distribución de densidad mediante p = j{x,y,z).

Centro de gravedad. (a,b,c).
-- -""".~---,.,-_.,"-------,---- .. --"~

S ydm SM zdm
b = ~ SS JM yf(x,y,z)dxdydz <=> b = SM
M~
e = ~ J
S SM4(x,y,z)dxdydz <=> e =
l~
---~-------~------~-_. __ . -----------~----=- -------------~---

--------_._--- --
Momentos de inercia.
ox~
()Z-:~ Iz
Ix =

=
HJ~(y-2-+-i )/{x,y,z)rlxdydz
S f SM(X 2 ~ y2)j(x,y,z)dxdy :k
I OY :

origen: lo
- Jy ~ fJ L(x2+ z' )f(x,y,z)rIxdydz
= ff JM(x 2 + y2 ~z2}f(x,y,~)dxdydz
_." .. _ _ ~ __ " _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ""'."_, _ _ ~ _ _ _ ,._,,.,,___ ."."m'__ _. ____ ,, _ _ _ _ _ _ _ _ ,_, _ _ _ _ _ ~_

. p.rodu~tos
. d~inerci~·~Hx~---S JSMxyj(;~y~z)dxdyd;-
. - -_._. -_ .. _.",,--,-----,-- -, ..., , , . _ - - - - - - - - - - - , .•.. _ - - - - -

HMx4(x,y,z)dxdydz HSMy4(x,y,z)dxdydz
,-~--,.,,'-".~-

[ XZ : S YZ:
---~---- .. ,.,-- ------ " .. _,.- ." _.....,. __ ..-

_,o ___ ._ .________ --

Momento de inercia del sólido respecto
--------._--~---_.- _._-- .. _-------_._-----
a r. ~~

Ir - JSJ d(x,y,z) 2'j{x,y,z)dxdydz {
- r= recta -+
M d(x,y,z) =distancia dc(x,y,z) a r
---------,-, " .. ""---------

D "el d ed"

r~ JI ~_
-----~ .-.---.. ------~--------------------------- ---------

cen""geomét<ico~
en~I!'~_'a. Centroide. Centro de gravedad de un sólido de densidad constante.
D BariceIltro de la fi!l"'a geométrica (en Uf>a esfera seria su

Valor medio de V m de f en M.
- - _._------------

JJ
_ S Mj(X, y, z)dxdydz
Vm-~----'--"-~~~--

HJMdxdydz
-_.."-,,,-------

------- -----
I
:----~------- ~
Potencial Newtoniano. JSSM d(x,y,z)f(x,y,z)dxdydz
1
-.----""---------,,,-----------,-,. ,.-------~---,-,.,.,-,,-,,----~---,,- -------------,,- .,,--------- ------

resp~~toa_~_=(a,~r)_~ien~o d(x,!,z)~_l(x._~ a)2 + (y - fJ)2u~ (z- y)2


14.10. EJEMPLOS.
1) Sea el sólido de densidad «x, y, z) = 3xz definido en el recinto
M ={ (x, y, Z)E 1Jl3 : -1 ::; x ::; 1, -J5 - X2::; y::; J5 - X2 ,O ::; Z ::; J3x2+3y2 }
Hállese la masa, el centro de gravedad, el momento de inercia respecto al origen, la
densidad media yel valor medio.
masa.
La proyección en el plano xy es la circunferencia x2 + y2 = 5. Por simetría podemos considerar el
!
recinto T: T = M siendo T = {(x,y,z) E ~3 : O::; x::; 1,0::; y::; J5 -x 2 ,O::; z::; J3x 2 + 3y2 }
Realizamos el cambio a coordenadas cilíndricas siendo:
h( 1) = {(p, (), z) E ~ 3 : O ::; ()::; ;, O ::; p ::; 15, O ::; z ::; J3 p}
m = Jf JMf(x,y,z)dxdydz = 4 f f J~x,y,z)dxdydz = 4 ff LCT)f{p,(),z)pdzdpd() =
=4fl (f: (f:P3PCOSOzdz)dP)dO = 18Jl O: p3COS8dP)d() = 2;5 fl cos8dO= 2;5

centro gravedad (a,b,c).
a = ~ HJMxj(x,y,z)dxdydz = 2ª5 [4Jl (f: U:P3~cos20zdz )dP )d() ] =
= 1~5 4 2
[Jl U: p cos ()dp )d() ] = 4~ 2
[fl cos 0dOJ = 1{ Jf

b = ~ HJMy.f(x,y,z)dxdydz = 2ª5 [4Jl U: (J:P3~SinOCOSOzdz )dP )dO] =
6
= 125 [J l (f: p4 sin OcosOdp )dO J= l
4~ [f sin Ocos8dO J= 2~

Momento de inercia lo respecto al origen.
/0 = Jf f M(X 2 + y2 +z2)/(x,y,z)dxdydz = 4 Jl U: U:p(~ +z2)(3pcosOz)dz )dp )dO =
=4 fo; U: U:P(3 p3 cosOz+ 3pcos0z )dz )dP )dO = /1 +h =
3

4 fl U: U:P( 3p 3cosOz)dz )dP )d()+4 Jl U:S U:P(3PCOS0z
3
= )dz )dP )dO

/1 = 4f o; U: U:P(3P3COSOz)dz )dP )dO= 18Jo; U: p5cosOdp )dO=
6
= (límites integración constantes) =18 J; cos8dOfJ5 p 5dp = 18(1) P6 I J5 = 3 * 125 = 375
o o o
h = 4 f (J o (J o P(3pcos0z )dz ). ) dO = 27 J cos8dO fo p 5dp =
J5 13
02
JI.. dp 3 J5 02
JI.. 112
25

Por lo tanto: /0 = 375 + 11 25 =
2
18]5

- - - - - - - - - - - - - - - - . A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.21

Densidad media.
D= m
I I IMdxdydz

V = 4 Jo~
225
O; O:p dz )dP )dB = 413 Ji dBJ~ pdp = 5J[J3
D = --,2=--
5J[13
Valor medio.
En este caso coincide con la densidad media pues:
D = m _ Jf fMj(x,y,z)dxdydz _ V _ 1513

J
I IMdxdydz - f JfMdxdydz - m - 2¡¡;

2) Determínese el potencial newtoniano de la función
f(x, y, z) = 3J
(X 2+y2+Z2_2(x + 2y)-6z + 14)
en el punto P = (1,2,3) en la intersección del cono z =J2x2+2y2 con el paraboloide
z = 2 _x2_y2.

Intersección cono-paraboloide

z = J2x 2 + 2y 2
Proyecciones plano xy (z = O)
{ z = 2 x2 _y2
X2 + y2 = 2 (circunferencia de radio =J2 que no se dibuja por ser un recinto muy simple)
Considerando el recinto T en coordenadas cartesianas en el orden {dx, dy, dz}:
T= 1
M = {(x,y,z) E 9{3 : O -:::: x -:::: J2, O -:::: y -:::: J2 - x2 , J2x 2 + 2y 2 -:::: z -:::: 2 - x2 - y2}
Y realizando un cambio a coordenadas cilíndricas:
h(]) = {(p,B,z) E 91 3 : 0-:::: B -:::: ~,O -:::: p -:::: J2,2 - ~ -:::: z -:::: pJ2}
f
Potencial Newtoniano: I IM d( 1 )j{x,y,z)dxdydz
x,y,z
P = (1,2,3)
con ~--~------=------=
{ d(x,y,z) = J(x - 1)2 + (y - 2)2 + (z- 3)2 = J(x 2 + y2 +z2 -2(x + 2y) - 6z+ 14)

3J(x2 + y2 +z2 - 2(x + 2y) - 6z+ 14) III III
P N = III. dxdydz = 3 dxdydz = 12 pdpd{}dz
M J(x 2 +y2+ z 2-2(x+2y)-6z+14) M h(T)

= 12 f! f;: f;~ pdzdpdB = 12 f! f: p[pJ2 - (2 - p2) JdpdB =
12J:dilf: (pl+J2P'-2P)dP~6ffl~4 + J2/ -p'JI~ ~6"Il+ ~ -2J ~2ff
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.22

ANEXO CAPíTULO 14.
1. Resolución en coordenadas polares.
1a) Forma de hallar los ángulos (JI y (J2 para resolver la integración en
coordenadas polares.

Sea la curva p = cos21J. Se trata de hallar el área.

p = cos2& 11 trébol de 4 hojas"

El polo divide a la gráfica en cuatro mitades simétricas.
Haciendo p = O obtenemos los ángulos: p = cos20 => cos20 = O => 20 = ± ~ => O = ± ~

Por lo tanto, el recinto de integración M para un pétalo es:
M = {(p, fJ) E m2 : - K
4 < 0< K 0< P < cos20}
- - 4' - -

Como la integral del área es sobre 4 pétalos, introducimos dicho factor.
A = 4f f " {COS20 d¡xl& => A
-¡- o
= 8f f cos20d& = 8 sin 2& f = 4
o 2 o
I

1b) Coordenadas polares generalizadas.

X = pcoso y = psinO
Las coordenadas polares 1:. se pueden transformar en generalizadas si
detlJ(p, O) I = p tan O = x
{

desplazamos el origen de polos al lugar conveniente según el tipo de gráfica que manejemos.
X = Xo + apcos& . ,
En este caso . donde po = (XO,yo) suele ser el centro de la gráfica (desplazado del
{
y = Yo + bpSID fJ
origen) y (a,b) son constantes. De esta forma recintos elípticos o circulares se transforman en recintos
circulares.

En un cambio de variable nos puede facilitar el cálculo de la integral. Generalmente, si cambiamos a
coordenadas polares generalizadas, los límites de integración son más sencillos, aunque eso no quiere
decir siempre que la integral sea más fácil pues se puede incrementar la dificultad de manejo de la
función subintegral.

- - - - - - - - - - - - - - - - . A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.23

-AMP.DE CÁLCULO. 20 ETSII-UNED. Capítulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.-
Ejemplo de aplicaci6n:
Sea la ecuación implícita (x - 1 )2+(y + 1 )2= 1 que determina una variedad. Determinar
sus coordenadas polares generalizadas y hallar el área:
a) mediante coordenadas polares.
b) mediante coordenadas polares generalizadas.

La gráfica (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 es la de una circunferencia centrada en (1, -1)

N o se trata de una función pues si trazamos segmentos verticales paralelos al eje y resulta que existe
interceptación con la gráfica en más de un punto, por lo que es una variedad definida por 4 cartas.
X = 1 + pcos O
Las coordenadas polares generalizadas son donde (-1, 1) es el centro.
{ y=-I+psinO
El área de una circunferencia sabemos que es A = ffr2 por lo que vale K pues r = l.

Vamos a realizar el cálculo formal.

X = pcosO
a) coordenadas polares y = psin O
{
(x - 1)2 + (y + 1)2 = 1
(x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 => x2 + 1 - 2x + y2 + 1 + 2y = 1 =>
=> ~ + 2(sinO- cos9)p+ 1 = O, ecuación de 2° grado para p cuya solución es:

p = cosO- sin O± J(-2cosOsin O)

L a mtegral quedaría:
· JO K JCOS{}-sinO+Je-2cos(JSinD) ""'/V//1 d'fi il
JA<JA<U, lIC
d e reso1ver.
-2 cos {}-sin {}- Je cos (}sin D)
-2

X = 1 + pcosO
b) coordenadas polares generalizadas y = -1 + psin O
{
(x-l)2 +(y+ 1)2 = 1

(1 + pcosO- 1)2 + (-1 + psinO+ 1)2 = 1 => P = 1
El recinto ahora es: M' = {(p, O) E 91 2 : O ~ O ~ 2K, O ~ P ~ 1}
Por lo tanto: HMdxdy = JL,IJ(p,9)ldpdO = J~ff J~pdpdO = tí

Vemos finalmente cual es la misión del cambio de variable: transformar recintos de integrabibilidad
dificultosa en recintos geométricamente más fáciles de integrar.


---,José Manuel Gómez Vega. E.T.S. Ingenieros Industriales UNED 2000-2001--
1 c) Una integral con coordenadas polares más compleja.

, { p a(l + cosO) (cardioide)
=
Hallar el area que queda entre las curvas
p = acosO (circunferencia)

Aunque la línea verde intercepta a D 2 en más de un segmento, se toma la circunferencia centrada en
( 1, O) como límite inferior por lo que la integral está bien definida, como se verá.

De las ecuaciones de las coordenadas polares, tenemos:
p = Jx2 +y2
cosO = X
{ Jx2 +y2

p = acosO~Jx2 + y2 - a( x
JX2 + y2
) = x' + y' ~ ax <=> (x - ~ a)' + y' ~ a;
Se toman 2 dominios (DI y D2) :

DI = {(P,O) E 9i 2 : ~ ~ O ~ Jl , o ~ p ~ a(l + cosO)} sólo una curva
{ D2 = {(p, O) E 9i 2 : O ~ O~ ~ , acosO ~ p ~ a(l + cosO) } dos curvas

En este ejemplo se observa porqué en una el límite inferior para p es O (sólo una curva) y en la otra no.
Observamos nuevamente cómo los ángulos para O son los que corresponden a hacer p = O.

A = 2fJDdxdY = 2Jf, +D¡ 1-'".
D
rvlpdO =
2
2[Jf dOfa(l+COSO) I-'"P + ffff dOJaO+COSO) ~P ]
o acosO
nA
O
=

= 2[Jf Ja(I+COSO) pdpdO+ fff
O acosO JL
fa(l+coSO) pdpdO] = í a 2 Jl
O 4
2

- - - - - - - - - - - - - - - - , A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.25


2) Forma de saber analíticamente qué gráfica está por
encima de la otra según el orden de integración.
Sean y¡ (x) , Y2(X) dos gráficas de funciones medibles-Jordan (su frontera tiene medida O). Para saber
analíticamente cuál de las dos está por encima en el eje de ordenadas (eje y), se realiza la siguiente
operación para cualquier x perteneciente al intervalo de integración:
si se cumple V (x,y) E M==> y¡ (x) < Y2(X)
Y2(X) - Y¡ (x) > O ==>
{ si no se cumple V (x,y) E M==> Y2(X) < Y¡ (x)
Probando con un sólo valor de x que esté en el interior del intervalo, se demuestra analíticamente cuál
está por encima.
Gráficamente, esto se ve muy fácilmente siendo la que está por encima de la otra la que se sitúa como
límite de integración superior.
Esto mismo se realizaría para las gráficas X¡ (y) , X2(Y) sobre el eje x, aunque sería muy fácil ver cual
está más desplazada hacia la derecha en el sentido positivo de las x.

3) Establecimiento de los ángulos O y tp en
coordenadas esféricas.

Si tenemos una ecuación en un cambio de esféricas, como por ejemplo,
p3 = 3a sin &cos2&sin ~cos~
3 2

para calcular la variación angular de O y ~ :
a) igualamos p = o.
b) mantenemos una variable constante y calculamos la otra.

P=O . {Sin~=O==>~=O (2ffk ,k=O,±1,±2, ... )
~? 0= SIDqJCOSqJ
{ O=ete cos~=O==>~=±~ (±~+2ffk ,k=O,±I,±2, ... )

p= O . 2 { sin 2 0 = O ==> O = O (~= 2ffk ,k = 0,±1,±2, ... )
O? 0= SID &cos20
{ ~ = efe cos20= O ==> 0= ±: (±: +ffk ,k= O,±l,±2, ... )

- - - - - - - - - - - - - - - - , A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.26


4) Órdenes de integración.
Ejemplo con el orden {dx,dy,dz}.
Tenemos el recinto M:
M = {(x,y,z) E 9{3 : a S x S b,J1 (x) S y sh(x), gl(X,y) S Z S g2(X,y)}
Las dos primeras variables empezando por la izquierda son las que se proyectan en el plano para
integrar.
En el orden escrito, se dibujaría la proyección en el plano xy.

La integral sería:
b dxfh(X) dyf g2 (x,y) dz = fb [fh(X) [f g2 (X,Y) dzJdyJdx
f a .f¡ (x) g (x,y) a JI (x) gl (x,y)

donde observamos claramente como el anidamiento al aplicar el Th. de Fubini, permite llegar a un
resultado numérico al resolver las integrales simples pues la integral que se realiza va transformando las
variables en valores que posteriormente forman números o variables que se integran en la integral del
anidamiento exterior.
Para recordar el planteamiento del orden, al empezar a escribir el orden, la primera variable por la
izquierda toma valores constantes (a y b), la segunda sólo puede tomar valores constantes o variables de
la que está por la izquierda (o pertenece al anidamiento exterior a ella si aplicamos Fubini) y así
sucesivamente ...

En cuanto tenemos integrales con límites de valores constantes, se pueden resolver directamente sin
aplicar Fubini.

Como observación final, en el orden de escritura se comienza a integrar por la que está escrita más a la
derecha (obsérvese en el anidamiento como el orden dz está en el anidamiento más interior que
corresponde a la variable más a la derecha en {dx, dy, dz} ).



5) Uso de la función Gamma en la resolución de
integrales en que aparezcan senos y cosenos.
Ejemplo:

Calcular la integral f:/2 cos (Jd(J 4

ifl ilJ
1) con la relación cos (J = e + e-
2

Formas de integrar: 2) con relaciones trigonométricas: cos2 (J = l + c 0s2(J
2
nf2
3) función Beta: 2 J sin 2p-l (JCOS 2q- 1 (}d(J = jJ(p,q) = i(p )l(q)
O r(p + q)
Realizando el cálculo mediante las tres formas se concluye que la más corta es la 3 R •
2q - 1 = 4 4 q = 2
En este caso: 2
{ 2p - 1 = O P= 4 1(al no aparecer el seno, el exponente es O)
Por 10 tanto: Jnf2 cos4 (}df) = fJ( ~ ~) = 2 2
l(~)r(~) /ii[ l2 * ll(l) ]
2 2
o 2'2 r(i+~) 1(3)

l(i)=/ii
Recordando que: r (P) = (p - I)!

r(~) = (P;2)(p;4).··(~)(i)/ii

6) El valor de una integral indefinida no es el mismo,
por ejemplo, que el valor del área.
Ejemplo aclaratorio:
Calcular J: sin
ll
3
(}dO

a) como integral definida.
b) como área encerrada entre la curva y el eje X.

La respuesta para a) es O, mientras que para b) es ~
La función y = sin 3 O dibujada entre -J[ y J[ es:

Q5

y = sin 3 f)
- - - - - - - - - - - - - - - - - " A M P L I A C I Ó N DE CÁLCULO pág.28

-AMP.DE CÁLCULO. 2° ETSll-UNED. Capitulo 14. Cambio de variable y aplicaciones de la integral.-
Se puede observar que es impar, respecto al eje y (es antisimétrica), por 10 que el valor de la integral
definida entre esos límites será O. El área contenida entre la curva y los ejes tiene parte en el semieje
positivo x y el negativo.
Si aplicáramos la función Beta en esta integral definida, haciendo:
4 f;12 sin 3 {}dO resultaría ~ y esto es un error, pues su valor es O (no podemos realizar lo que hemos
hecho).

7) Realización de integración múltiple paso a paso.
Para realizar una integral múltiple lo primero es dibujar las proyecciones en los planos coordenados. Es
muy fácil: consideramos los planos xy,xz,yz. Con las ecuaciones dadas no tenemos en cuenta la variable
que no esté en el plano, percatándonos que, por ejemplo, el plano xy es equivalente al plano
z = O, donde z no está. Es fundamental tener esto presente por dos razones:
1a) a priori no sabemos si el recinto de integración es proyectable sobre los ejes, y por consiguiente, no
sabemos en cuántos recintos debemos dividir la integral.
2 a ) es más fácil construir el dibujo en el espacio, empezando a componer el puzzle en dos dimensiones.
Lo segundo es trabajar los puntos de corte entre las diferentes gráficas para hallar los límites de las
diferentes integrales. Se igualan ecuaciones y se determinan.
Lo tercero es fijarse en qué orden de integración resulta más fácil.
Lo cuarto si es necesario algún cambio de variable que facilite la integración. No todos los cambios la
facilitan. A veces cambios de variables oportunos pueden realizar transformaciones de recintos muy
difíciles en algunos geométricamente más fáciles e incluso se pueden hacer traslaciones del eje polar para
hacer más fácil la integración en los extremos, por ejemplo en la circunferencia X2 + y2 = 2x, centrada
en (l, O) podemos aplicar el cambio x = 1 + cos O, y = sin & consiguiendo una traslación de ejes
(coordenadas polares generalizadas). Es cuestión de práctica ver si el cambio es efectivo, pues puede
que la función subintegral haya incrementado su dificultad como contrapartida.
Ejemplo.
Ejercicio nO 7 de .. Ejercicios de Autocomprobación de unidades de Ampliación de
Cálculo-Uned' (pág. 252). Se plantea calcular el área intersección entre
X2+y2= 1
{ (x _1)2+y2= 1
Se resuelve mediante dos formas alternativas a las del libro. El recinto R de integración entre las dos
circunferencias está dibujado abajo junto con la reducción del mismo M.

0.2

RecintoR Recinto M
Podemos defrnir el recinto M para el orden {dx, dy} como
M = {(x,y) E m2 : i : ; x ::; 1, O ::; Y ::; JI - X2 }

yentonces A = 4J~l2dxf~l-x2 dy = (Fubini) = 4f~I2[J~I-x2 dy Jdx = 4J~12 Ji -x2 dx
que con un cambio trigonométrico fácil, (x = cost), llegamos fácilmente a la solución del libro.

Existe una fonna más fácil, además que permite un análisis de la integración para p y O más clara.
Consideramos el recinto M y el polo en el origen (O, O). Trazando radios vectores con el orden
{dO, dp} , vemos como la recta x = i
es la que permite contar a partir de ella la porción de integración a
barrer hacia adelante, por 10 que hacemos:
-.l = pcosO -+ p = 1
2 2cosO
El punto de ordenada máxima es ( i, IJ ) (ver desarrollo en el libro para los puntos de corte). Pero

en este punto p = 1 , puesto que es el radio de la circunferencia centrada en el origen. Para hallar el
valor de Oen ese punto hacemos:
J3 = 1 cos O -+ O = arccos J3 = ff
2 2 3
Ya tenemos los valores de p, O, por lo que la integral planteada será:
4 [6/3 1f
o l/(2 cos 8)
¡xl¡xlO = 2 [6/3 dO _ l [6/3 dO
o 2 o cos2 O
La la integral es inmediata y la 2 a mediante un oportuno cambio tan O = t (par en coseno), nos
conducen a una integral muy fácil de resolver, pues se simplifica:
A = 21(- -.l[6/3 dO = 21(- ...1[13 1 (f1+i2)2 dt = 21(- 13
3 2 o cos 2 0 3 2 o (1 + t2) 3 2

8) Una integral mediante cambio de variable difícil.
f(x,y) = 3x2_y2
Calcular f fT f(x, y)dxdy donde { { 2
T = (x, y) E iR : 1 ~ x +2y ~ 3
2 2 }

a) directamente.
b) mediante un cambio de variable.

a) Cálculo directo.

~~~~

~ ~

"o (U --~.
o..t 0.6 QlI 1 l2 lA u:; J.J!;

Recinto Recinto reducido

Orden {dx,dy}

' . O~ x =
1
L'·
{ x2 + 2y 2 = 3 ~ Y = ±...LJ(6 -
2
2x 2 )
L umtes en x: y = umtes en y :
{ x = J3 X2 + 2y 2 = 1 ~Y = ±~ J(2 - 2x 2 )
M = {(x,y) E iR 2 : 1 ~ x ~ J3, ~ J(2 - 2x2 ) ~ y ~ ~ J(6 - 2x2 ) }
~J(6-2x2)
f [ ;Cx,y)dxdy = 4 [ f Mf(x,y)dxdy =
13
4 [ 1 dx Jt J (2-2x2) (3x2 - y2 )dy = (Fubini) =
2 2
= 4[13 (f+ J(6-2X ) (3x2 _ 2)d)dx = 4[13 r+ J(6-2x ) (3x 2 - 2)d dx =
1 +J(2-2x 2 ) y ~ 1 tJ(2-2x2) y y


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