Θεωρίες πεδίου ανώτερων διαστάσεων.

1. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
.
Παρουσίαση Διπλωματικής
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
.
ΘΕΩΡΙΕΣ ΠΕΔΙΟΥ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Γιάννης Παπαδημητρίου
Ε.Α.Π.
2 Σεπτεμβρίου 2012

2. Περιεχόμενα.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
.
1
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
.
2
ΠΡΟΤΥΠΑ Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
.
3
Πενταδιάστατη θεωρία Βαρύτητας και Βαθμωτών Πεδίων.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.

3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων στον τετραδιάστατο χωροχρόνο δεν
είναι μια καινούργια ιδέα, αλλά μια ιδέα που ξεκίνησε στη Φυσική εδώ
και σχεδόν 100 χρόνια.

4. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων στον τετραδιάστατο χωροχρόνο δεν
είναι μια καινούργια ιδέα, αλλά μια ιδέα που ξεκίνησε στη Φυσική εδώ
και σχεδόν 100 χρόνια.
.
1914
.
Η ιδέα για τη χρησιμοποίηση έξτρα χωρικών διαστάσεων
ξεκίνησε το 1914 από το Nordstrӧm, που πρότεινε μια
πενταδιάστατη διανυσματική θεωρία για τη ταυτόχρονη
περιγραφή του Ηλεκτρομαγνητισμού και μιας βαθμωτής
εκδοχής της βαρύτητας.
Πάντως ο Nordström δούλευε πάνω σε μια βαθμωτή
θεωρία της βαρύτητας, και όχι σε μία θεωρία τανυστών
όπως η γενική θεωρία της σχετικότητας, που ακόμη δεν
είχε δημοσιευθεί. Όταν ο Einstein δημοσίευσε τη γενική
θεωρία της σχετικότητας, ο Nordström εγκατέλειψε τη
θεωρία του.
.
.
Gunnar
Nordstrӧm
.
.

5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων στον τετραδιάστατο χωροχρόνο δεν
είναι μια καινούργια ιδέα, αλλά μια ιδέα που ξεκίνησε στη Φυσική εδώ
και σχεδόν 100 χρόνια.
.
.
1914
Gunnar
.
Η ιδέα για τη χρησιμοποίηση έξτρα χωρικών διαστάσεων Nordstrӧm
.
ξεκίνησε το 1914 από το Nordstrӧm, που πρότεινε μια
πενταδιάστατη διανυσματική θεωρία για τη ταυτόχρονη
περιγραφή του Ηλεκτρομαγνητισμού και μιας βαθμωτής
εκδοχής της βαρύτητας.
Πάντως ο Nordström δούλευε πάνω σε μια βαθμωτή
θεωρία της βαρύτητας, και όχι σε μία θεωρία τανυστών
όπως η γενική θεωρία της σχετικότητας, που ακόμη δεν
.
είχε δημοσιευθεί. Όταν ο Einstein δημοσίευσε τη γενική
θεωρία της σχετικότητας, ο Nordström εγκατέλειψε τη
θεωρία του.
.
Η ιδέα όμως των έξτρα διαστάσεων είχε μπει στο παιχνίδι.

6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Το μοντέρνο ρεύμα στη θεωρητική φυσική είναι η εξερεύνηση για μια
θεωρία που θα μας δίνει τη δυνατότητα της ενοποίησης της Βαρύτητας
με τις υπόλοιπες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της φύσης.
.

7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
.
Το μοντέρνο ρεύμα στη θεωρητική φυσική είναι η εξερεύνηση για μια
θεωρία που θα μας δίνει τη δυνατότητα της ενοποίησης της Βαρύτητας
με τις υπόλοιπες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της φύσης.
.
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Μια από τις πρώτες πιθανές ενοποιήσεις των γνωστών τότε
αλληλεπιδράσεων, δηλαδή της βαρύτητας και του ηλεκτρομαγνητισμού,
προτάθηκε από τους Kaluza και Klein. Βαρύτητα και
ηλεκτρομαγνητισμός είναι όμοιες σε πολλά πράγματα, αλλά η
συσχέτιση τους δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται από το γεγονός ότι και
οι δύο στην κλασσική φυσική περιγράφονται από το νόμο του
αντιστρόφου του τετραγώνου της απόστασης.
.

8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
.
Το μοντέρνο ρεύμα στη θεωρητική φυσική είναι η εξερεύνηση για μια
θεωρία που θα μας δίνει τη δυνατότητα της ενοποίησης της Βαρύτητας
με τις υπόλοιπες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της φύσης.
.
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Μια από τις πρώτες πιθανές ενοποιήσεις των γνωστών τότε
αλληλεπιδράσεων, δηλαδή της βαρύτητας και του ηλεκτρομαγνητισμού,
προτάθηκε από τους Kaluza και Klein. Βαρύτητα και
ηλεκτρομαγνητισμός είναι όμοιες σε πολλά πράγματα, αλλά η
συσχέτιση τους δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται από το γεγονός ότι και
οι δύο στην κλασσική φυσική περιγράφονται από το νόμο του
αντιστρόφου του τετραγώνου της απόστασης.
.
.
m
Fw = G m12 2
r
.

9. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
.
Το μοντέρνο ρεύμα στη θεωρητική φυσική είναι η εξερεύνηση για μια
θεωρία που θα μας δίνει τη δυνατότητα της ενοποίησης της Βαρύτητας
με τις υπόλοιπες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της φύσης.
.
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Μια από τις πρώτες πιθανές ενοποιήσεις των γνωστών τότε
αλληλεπιδράσεων, δηλαδή της βαρύτητας και του ηλεκτρομαγνητισμού,
προτάθηκε από τους Kaluza και Klein. Βαρύτητα και
ηλεκτρομαγνητισμός είναι όμοιες σε πολλά πράγματα, αλλά η
συσχέτιση τους δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται από το γεγονός ότι και
οι δύο στην κλασσική φυσική περιγράφονται από το νόμο του
αντιστρόφου του τετραγώνου της απόστασης.
.
.
m
Fw = G m12 2
r
.
.
|q1 q2 |
F
. c = kc r2

10. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σχετικιστικά, για παράδειγμα,
οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του
Maxwell, είναι γραμμικές,

11. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σχετικιστικά, για παράδειγμα,
οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του
Maxwell, είναι γραμμικές,
ενώ οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου, οι εξισώσεις του Einstein,
είναι μη γραμμικές.

12. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σχετικιστικά, για παράδειγμα,
οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του
Maxwell, είναι γραμμικές,
ενώ οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου, οι εξισώσεις του Einstein,
είναι μη γραμμικές.
Φανερά είναι πολύ δύσκολο να φέρουμε αυτές τις δύο
αλληλεπιδράσεις κάτω από την ίδια στέγη, χωρίς την εισαγωγή
μιας εξωτικής ιδέας.

13. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σχετικιστικά, για παράδειγμα,
οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του
Maxwell, είναι γραμμικές,
ενώ οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου, οι εξισώσεις του Einstein,
είναι μη γραμμικές.
Φανερά είναι πολύ δύσκολο να φέρουμε αυτές τις δύο
αλληλεπιδράσεις κάτω από την ίδια στέγη, χωρίς την εισαγωγή
μιας εξωτικής ιδέας.

14. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σχετικιστικά, για παράδειγμα,
οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του
Maxwell, είναι γραμμικές,
ενώ οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου, οι εξισώσεις του Einstein,
είναι μη γραμμικές.
Φανερά είναι πολύ δύσκολο να φέρουμε αυτές τις δύο
αλληλεπιδράσεις κάτω από την ίδια στέγη, χωρίς την εισαγωγή
μιας εξωτικής ιδέας.
.
Οι Kaluza και Klein έδειξαν ότι με την εισαγωγή μιας πέμπτης
διάστασης στην γενική θεωρία της σχετικότητας του Einstein,
μπορούμε να χειριστούμε τις δύο θεωρίες με την ίδια λογική, όταν και οι
δύο περιγράφονται ως μέρη της 5-διάστατης μετρικής του χώρου.
.

15. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
1921
.
Μετά την ανακάλυψη της Γενικής θεωρίας της
Σχετικότητας, το 1919 ο Kaluza παρατήρησε ότι μια
5–διάστατη γενίκευση της θεωρίας του Einstein μπορεί
να κάνει ταυτόχρονη περιγραφή της βαρυτικής και
ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης.
Η θεωρία του Kaluza το 1921, είναι μια πρώτη
προσπάθεια ενοποίησης της βαρύτητας με τον
ηλεκτρομαγνητισμό μέσω μιας θεωρίας της γεωμετρίας
του 5–διάστατου χωροχρόνου.
.
.
Theodor
Kaluza
.
.

16. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
1921
.
Μετά την ανακάλυψη της Γενικής θεωρίας της
Σχετικότητας, το 1919 ο Kaluza παρατήρησε ότι μια
5–διάστατη γενίκευση της θεωρίας του Einstein μπορεί
να κάνει ταυτόχρονη περιγραφή της βαρυτικής και
ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης.
Η θεωρία του Kaluza το 1921, είναι μια πρώτη
προσπάθεια ενοποίησης της βαρύτητας με τον
ηλεκτρομαγνητισμό μέσω μιας θεωρίας της γεωμετρίας
του 5–διάστατου χωροχρόνου.
.
.
Theodor
Kaluza
.
.
.
Η θεωρία αυτή αγνοήθηκε σε πολύ μεγάλο βαθμό παρά την επιτυχημένη
προσπάθεια της παραγωγής της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας του
Maxwell από τη γενική θεωρία της σχετικότητας για έναν
πενταδιάστατο χωροχρονικό συνεχές.
.

17. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Οι περισσότεροι νέοι επιστήμονες είναι γνώριμοι με την θεωρία του
Kaluza μόνο μέσα από την συσχέτισή της με την δουλειά του Oscar
Klein, ονομάζοντας τη θεωρία μοντέλο Kaluza-Klein για τον
χωρόχρονο. Ελάχιστα είναι γνωστή η αρχική θεωρία του Kaluza.
.

18. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
.
Οι περισσότεροι νέοι επιστήμονες είναι γνώριμοι με την θεωρία του
Kaluza μόνο μέσα από την συσχέτισή της με την δουλειά του Oscar
Klein, ονομάζοντας τη θεωρία μοντέλο Kaluza-Klein για τον
χωρόχρονο. Ελάχιστα είναι γνωστή η αρχική θεωρία του Kaluza.
.
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στη θεωρία του ξεκινώντας από το 5–διάστατο μήκος:
dˆ2 = GMN (xµ , y)dˆM dˆN
s
x x
όπου y = x5 η πρόσθετη χωρική συντεταγμένη.
(1)

19. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
.
Οι περισσότεροι νέοι επιστήμονες είναι γνώριμοι με την θεωρία του
Kaluza μόνο μέσα από την συσχέτισή της με την δουλειά του Oscar
Klein, ονομάζοντας τη θεωρία μοντέλο Kaluza-Klein για τον
χωρόχρονο. Ελάχιστα είναι γνωστή η αρχική θεωρία του Kaluza.
.
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στη θεωρία του ξεκινώντας από το 5–διάστατο μήκος:
dˆ2 = GMN (xµ , y)dˆM dˆN
s
x x
(1)
όπου y = x5 η πρόσθετη χωρική συντεταγμένη.
Κάνει την υπόθεση ∂5 GMN = ∂5 GMN = 0, που ονομάστηκε ”cylindrical
condition”, δηλαδή υποθέτει ότι οι μεταβολές των μεγεθών ως προς την
νέα παράμετρο είναι πολύ μικρής συνεισφοράς.

20. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
.
Οι περισσότεροι νέοι επιστήμονες είναι γνώριμοι με την θεωρία του
Kaluza μόνο μέσα από την συσχέτισή της με την δουλειά του Oscar
Klein, ονομάζοντας τη θεωρία μοντέλο Kaluza-Klein για τον
χωρόχρονο. Ελάχιστα είναι γνωστή η αρχική θεωρία του Kaluza.
.
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στη θεωρία του ξεκινώντας από το 5–διάστατο μήκος:
dˆ2 = GMN (xµ , y)dˆM dˆN
s
x x
(1)
όπου y = x5 η πρόσθετη χωρική συντεταγμένη.
Κάνει την υπόθεση ∂5 GMN = ∂5 GMN = 0, που ονομάστηκε ”cylindrical
condition”, δηλαδή υποθέτει ότι οι μεταβολές των μεγεθών ως προς την
νέα παράμετρο είναι πολύ μικρής συνεισφοράς.
Για τη μετρική του χώρου επιλέγει τη μορφή:
(
)
gµν (x) 2αAµ (x)
GMN =
(2)
2αAν (x)
2ϕ(x)

21. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
Χρησιμοποιώντας την συνθήκη ”cylindrical condition” τα σύμβολα
Cristoffel πρώτου είδους είναι:
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Γλµν =
Oscar klein
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
,40 εξισώσεις στην 4D GR
(3)
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
)
1 (
∂λ gµν + ∂µ gνλ − ∂ν gλµ
2
Γλµ5
Γ5µν
Γ55ν
Γ5µ5
Γ555
1
=
2
1
=
2
1
=
2
1
=
2
=0
(
,16 εξισώσεις
(4)
,10 εξισώσεις
(5)
(−∂ν g55 )
,4 εξισώσεις
(6)
(∂µ g55 )
,4 εξισώσεις
(7)
,1 εξίσωση
(8)
(
∂λ gµ5 + ∂µ g5λ
)
∂µ g5ν − ∂ν g5µ
)

22. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
Χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θεωρώντας τώρα
μικρές μεταβολές γύρω από την μετρική Minkowski ˆMN , ως
n
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
GMN = ˆMN + ˆMN ,
n
h
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
με |ˆMN | << 1
h
(9)

23. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
Χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θεωρώντας τώρα
μικρές μεταβολές γύρω από την μετρική Minkowski ˆMN , ως
n
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
GMN = ˆMN + ˆMN ,
n
h
(9)
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
με |ˆMN | << 1
h
επίσης υπολογίζουμε σε προσέγγιση πρώτης τάξης,
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
GMN = ˆMN − ˆMN
n
h
(10)

24. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
Χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θεωρώντας τώρα
μικρές μεταβολές γύρω από την μετρική Minkowski ˆMN , ως
n
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
GMN = ˆMN + ˆMN ,
n
h
(9)
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
με |ˆMN | << 1
h
επίσης υπολογίζουμε σε προσέγγιση πρώτης τάξης,
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
GMN = ˆMN − ˆMN
n
h
(10)
Δουλεύοντας κάτω από την προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θα έχουμε:
ΓΛ = GKΛ ΓMNK ≃ η KΛ ΓMNK = η ΛΛ ΓMNΛ
ˆ
ˆ
MN
(11)

25. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
Χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θεωρώντας τώρα
μικρές μεταβολές γύρω από την μετρική Minkowski ˆMN , ως
n
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
GMN = ˆMN + ˆMN ,
n
h
(9)
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
με |ˆMN | << 1
h
επίσης υπολογίζουμε σε προσέγγιση πρώτης τάξης,
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
GMN = ˆMN − ˆMN
n
h
(10)
Δουλεύοντας κάτω από την προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θα έχουμε:
ΓΛ = GKΛ ΓMNK ≃ η KΛ ΓMNK = η ΛΛ ΓMNΛ
ˆ
ˆ
MN
με η KΛ = diag (−1, 1, 1, 1, 1)
ˆ
(11)

26. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Έχοντας λοιπόν μια μετρική , όπως και στην 4-διάσταση γενική θεωρία
της σχετικότητας υπολογίζουμε τα σύμβολα Cristoffel ΓM , τον τανυστή
NP
Riemann RM , τον τανυστή Ricci RMN , και την βαθμωτή καμπυλότητα
NPΣ
Ricci R = RA = GAM RAM , οπότε θα καταλήξουμε στις εξισώσεις πεδίου.
A
.

27. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Έχοντας λοιπόν μια μετρική , όπως και στην 4-διάσταση γενική θεωρία
της σχετικότητας υπολογίζουμε τα σύμβολα Cristoffel ΓM , τον τανυστή
NP
Riemann RM , τον τανυστή Ricci RMN , και την βαθμωτή καμπυλότητα
NPΣ
Ricci R = RA = GAM RAM , οπότε θα καταλήξουμε στις εξισώσεις πεδίου.
A
.
Για τη Βαρύτητα:
οι εξισώσεις πεδίου για τη βαρύτητα θα είναι:
1
Rµν = κ(Tµν − gµν T)
2
απ’ όπου μπορούμε να πάρουμε όλη τη γενική θεωρία της
σχετικότητας για τον 4-διάστατο χωροχρόνο.
(12)

28. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Έχοντας λοιπόν μια μετρική , όπως και στην 4-διάσταση γενική θεωρία
της σχετικότητας υπολογίζουμε τα σύμβολα Cristoffel ΓM , τον τανυστή
NP
Riemann RM , τον τανυστή Ricci RMN , και την βαθμωτή καμπυλότητα
NPΣ
Ricci R = RA = GAM RAM , οπότε θα καταλήξουμε στις εξισώσεις πεδίου.
A
.
Για τη Βαρύτητα:
οι εξισώσεις πεδίου για τη βαρύτητα θα είναι:
1
Rµν = κ(Tµν − gµν T)
2
(12)
απ’ όπου μπορούμε να πάρουμε όλη τη γενική θεωρία της
σχετικότητας για τον 4-διάστατο χωροχρόνο.
Για τον Ηλεκτρομαγνητισμό:
R5µ = −κT5µ
(13)

29. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
θα πάρουμε για το ειδικό φορτίο τη σχέση:
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
ρ0
= 2 α u5
µ0
(14)

30. Theodor Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
θα πάρουμε για το ειδικό φορτίο τη σχέση:
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
ρ0
= 2 α u5
µ0
(14)
Αυτή η εξίσωση ερμηνεύει το ηλεκτρικό φορτίο ως την πέμπτη
συνιστώσα του τανυστή ενέργειας - ορμής της ύλης που κινείται κατά
μήκος της πέμπτης διάστασης x5 = y.

31. Παρατηρήσεις στη θεωρία Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Αλλά τα παρακάτω προβλήματα παρουσιάστηκαν στη θεωρία του Kaluza:
Δεν υπήρχε κάποια ιδέα για τη φύση της πέμπτης διάστασης.

32. Παρατηρήσεις στη θεωρία Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Αλλά τα παρακάτω προβλήματα παρουσιάστηκαν στη θεωρία του Kaluza:
Δεν υπήρχε κάποια ιδέα για τη φύση της πέμπτης διάστασης.
Δεν υπήρχε κάποια εξήγηση για την ad hoc υπόθεση του Kaluza,
ότι κανένα από τα πεδία δεν θα έπρεπε να εξαρτάται από την έξτρα
διάσταση (cylindrical condition).

33. Παρατηρήσεις στη θεωρία Kaluza
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Αλλά τα παρακάτω προβλήματα παρουσιάστηκαν στη θεωρία του Kaluza:
Δεν υπήρχε κάποια ιδέα για τη φύση της πέμπτης διάστασης.
Δεν υπήρχε κάποια εξήγηση για την ad hoc υπόθεση του Kaluza,
ότι κανένα από τα πεδία δεν θα έπρεπε να εξαρτάται από την έξτρα
διάσταση (cylindrical condition).
Αυτή η θεωρία μπορεί να ενώσει βαρύτητα και ηλεκτρομαγνητισμό
μόνο για μικρές ταχύτητες. Σύμφωνα με τον Kaluza, το ηλεκτρικό
φορτίο ενός σωματιδίου σχετίζεται με την πέμπτη συνιστώσα της
ταχύτητας u5 . Για το ηλεκτρόνιο και το πρωτόνιο το ειδικό φορτίο
ρ0
δεν είναι καθόλου μικρό και άρα θα έπρεπε η u5 να είναι
µ0
σχετικά μεγάλη. Αυτό σημαίνει ότι κάτω από την προσέγγιση
μικρών ταχυτήτων, μπορεί να εξηγήσει μακροσκοπικά φαινόμενα
αλλά ένα θεμελιώδες πρόβλημα εμφανίζεται όταν θα πρέπει να
εφαρμοσθεί σε στοιχειώδη σωματίδια.

34. Oscar Klein
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
1926
.
Η επακόλουθη αφομοίωση της θεωρίας από τον
Klein ήταν μια προσπάθεια ενσωμάτωσης της
κβαντικής θεωρίας μέσα στην γεωμετρία του
χωρόχρονου. Η θεωρία όμως του Kaluza μπορεί
να σταθεί από μόνη της, με τα δικά της
πλεονεκτήματα, χωρίς την ανάγκη της
εκτεταμένης παρουσίασης από τον Klein στα
πλαίσια της Κβαντομηχανικής. Η αρχική θεωρία
του Kaluza τίποτα δεν έχει να κάνει με την
κβαντομηχανική.
.
.
Oscar Klein
.
.

35. Oscar Klein
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ο Oscar Klein το 1926, έφτιαξε μια εξήγηση για την πέμπτη διάσταση
της θεωρίας του Kaluza, καθώς πρότεινε για αυτήν να έχει μια κυκλική
τοπολογία, έτσι ώστε η έξτρα συντεταγμένη y = x5 να έχει
περιοδικότητα, δηλαδή 0 ≤ y ≤ 2πa, όπου R η ακτίνα ενός κύκλου S1 .
Με αυτό τον τρόπο ο υπερχώρος (bulk) έχει την τοπολογία R4 × S1 .

36. Oscar Klein
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ο Oscar Klein το 1926, έφτιαξε μια εξήγηση για την πέμπτη διάσταση
της θεωρίας του Kaluza, καθώς πρότεινε για αυτήν να έχει μια κυκλική
τοπολογία, έτσι ώστε η έξτρα συντεταγμένη y = x5 να έχει
περιοδικότητα, δηλαδή 0 ≤ y ≤ 2πa, όπου R η ακτίνα ενός κύκλου S1 .
Με αυτό τον τρόπο ο υπερχώρος (bulk) έχει την τοπολογία R4 × S1 .

37. Oscar Klein
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ο Oscar Klein το 1926, έφτιαξε μια εξήγηση για την πέμπτη διάσταση
της θεωρίας του Kaluza, καθώς πρότεινε για αυτήν να έχει μια κυκλική
τοπολογία, έτσι ώστε η έξτρα συντεταγμένη y = x5 να έχει
περιοδικότητα, δηλαδή 0 ≤ y ≤ 2πa, όπου R η ακτίνα ενός κύκλου S1 .
Με αυτό τον τρόπο ο υπερχώρος (bulk) έχει την τοπολογία R4 × S1 .

38. Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ο Klein πρότεινε δηλαδή ότι σε κάθε σημείο του τετραδιάστατου
χωροχρόνου υπάρχει και ένας μικρός κύκλος. Αυτή είναι η βασική
ιδέα της συμπαγοποίησης (compactification) των έξτρα
διαστάσεων στο μοντέλο Kaluza - Klein.

39. Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ο Klein πρότεινε δηλαδή ότι σε κάθε σημείο του τετραδιάστατου
χωροχρόνου υπάρχει και ένας μικρός κύκλος. Αυτή είναι η βασική
ιδέα της συμπαγοποίησης (compactification) των έξτρα
διαστάσεων στο μοντέλο Kaluza - Klein.
Το αποτέλεσμα της συμπαγοποίησης των έξτρα διαστάσεων είναι
ότι σε όλα τα πειράματα θα βλέπουμε γεγονότα μόνο των
τεσσάρων διαστάσεων. Έτσι ο Klein έκανε την πέμπτη διάσταση
του Kaluza λιγότερο τεχνητή, προτείνοντας την συμπαγοποίηση
της έξτρα διάστασης, οπότε έγινε πιο φυσική η εισαγωγή της.

40. Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ο Klein πρότεινε δηλαδή ότι σε κάθε σημείο του τετραδιάστατου
χωροχρόνου υπάρχει και ένας μικρός κύκλος. Αυτή είναι η βασική
ιδέα της συμπαγοποίησης (compactification) των έξτρα
διαστάσεων στο μοντέλο Kaluza - Klein.
Το αποτέλεσμα της συμπαγοποίησης των έξτρα διαστάσεων είναι
ότι σε όλα τα πειράματα θα βλέπουμε γεγονότα μόνο των
τεσσάρων διαστάσεων. Έτσι ο Klein έκανε την πέμπτη διάσταση
του Kaluza λιγότερο τεχνητή, προτείνοντας την συμπαγοποίηση
της έξτρα διάστασης, οπότε έγινε πιο φυσική η εισαγωγή της.
Μια θεωρία βαρύτητας με έξτρα διαστάσεις σε έναν υπερχώρο με
συμπαγοποιημένες διαστάσεις λέγεται θεωρία Kaluza - Klein.

41. Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ο Klein πρότεινε δηλαδή ότι σε κάθε σημείο του τετραδιάστατου
χωροχρόνου υπάρχει και ένας μικρός κύκλος. Αυτή είναι η βασική
ιδέα της συμπαγοποίησης (compactification) των έξτρα
διαστάσεων στο μοντέλο Kaluza - Klein.
Το αποτέλεσμα της συμπαγοποίησης των έξτρα διαστάσεων είναι
ότι σε όλα τα πειράματα θα βλέπουμε γεγονότα μόνο των
τεσσάρων διαστάσεων. Έτσι ο Klein έκανε την πέμπτη διάσταση
του Kaluza λιγότερο τεχνητή, προτείνοντας την συμπαγοποίηση
της έξτρα διάστασης, οπότε έγινε πιο φυσική η εισαγωγή της.
Μια θεωρία βαρύτητας με έξτρα διαστάσεις σε έναν υπερχώρο με
συμπαγοποιημένες διαστάσεις λέγεται θεωρία Kaluza - Klein.
Η συνεισφορά του Klein στη θεωρία φαίνεται να είναι αρχικά μόνο
η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης, αλλά ο πραγματικός λόγος
ήταν η προσπάθεια κβαντισμού του ηλεκτρικού φορτίου. Μέσα
από την συμπαγοποίηση της πέμπτης διάστασης κατάφερε να πάρει
διακριτές λύσεις για το ηλεκτρικό φορτίο.

42. Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
(Particle Data Group)

43. Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
(Particle Data Group)
Ο μεγάλος ακροβάτης αισθάνεται μία διάσταση,

44. Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
(Particle Data Group)
Ο μεγάλος ακροβάτης αισθάνεται μία διάσταση,
ενώ ο μικρός ψύλλος μπορεί να κινηθεί και περιμετρικά στο σχοινί
οπότε μπορεί να εξερευνήσει δύο διαστάσεις.

45. Γιατί επιπλέον διαστάσεις;
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως
αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις
τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις.
. Ηλεκτρομαγνητική,
1

46. Γιατί επιπλέον διαστάσεις;
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως
αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις
τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις.
. Ηλεκτρομαγνητική,
1
. Ασθενής Πυρηνική,
2

47. Γιατί επιπλέον διαστάσεις;
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως
αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις
τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις.
. Ηλεκτρομαγνητική,
1
. Ασθενής Πυρηνική,
2
. Ισχυρή Πυρηνική,
3

48. Γιατί επιπλέον διαστάσεις;
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως
αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις
τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις.
. Ηλεκτρομαγνητική,
1
. Ασθενής Πυρηνική,
2
. Ισχυρή Πυρηνική,
3
. Βαρυτική.
4

49. Γιατί επιπλέον διαστάσεις;
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως
αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις
τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις.
. Ηλεκτρομαγνητική,
1
. Ασθενής Πυρηνική,
2
. Ισχυρή Πυρηνική,
3
. Βαρυτική.
4
σε μια «ενιαία θεωρία που να περιγράφει τα πάντα» (Θ.τ.Π.) (T.o.E.).

50. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem)
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Οι θεωρίες των έξτρα διαστάσεων μέχρι αυτή τη στιγμή υποφέρουν από
το πρόβλημα των μικρών έξτρα διαστάσεων.
.

51. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem)
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
.
Οι θεωρίες των έξτρα διαστάσεων μέχρι αυτή τη στιγμή υποφέρουν από
το πρόβλημα των μικρών έξτρα διαστάσεων.
.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Μετά την εισαγωγή των βρανών όμως οι ερευνητές ξεκίνησαν να
κινούνται προς διαφορετική κατεύθυνση όταν οι Arkani-Hamed,
Δημόπουλος και Dvali, συζήτησαν ένα πιθανό πλεονέκτημα να έχουμε
μεγάλης κλίμακας έξτρα διαστάσεις, και έθεσαν το ερώτημα του πόσο
φαινομενολογικά μεγάλες τέτοιες διαστάσεις επιτρέπεται να είναι.

52. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem)
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
.
Οι θεωρίες των έξτρα διαστάσεων μέχρι αυτή τη στιγμή υποφέρουν από
το πρόβλημα των μικρών έξτρα διαστάσεων.
.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Μετά την εισαγωγή των βρανών όμως οι ερευνητές ξεκίνησαν να
κινούνται προς διαφορετική κατεύθυνση όταν οι Arkani-Hamed,
Δημόπουλος και Dvali, συζήτησαν ένα πιθανό πλεονέκτημα να έχουμε
μεγάλης κλίμακας έξτρα διαστάσεις, και έθεσαν το ερώτημα του πόσο
φαινομενολογικά μεγάλες τέτοιες διαστάσεις επιτρέπεται να είναι.
Στην προσπάθεια τους να λύσουν το πρόβλημα της ιεραρχίας, δηλαδή
γιατί να υπάρχει τόσο μεγάλη διαφορά στην ισχύ των δυνάμεων μεταξύ
ηλεκτρασθενούς (EW) και βαρυτικής πρότειναν ότι ζούμε σε έναν (4+n)
πολυδιάστατο κόσμο, στον οποίο υπάρχουν n επιπλέον χωρικές
διαστάσεις, η κάθε μία από τις οποίες παραμένει συμπαγοποιημένη,
αλλά με μια ακτίνα R που πλέον δεν είναι απαραίτητα πολύ μικρή.

53. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem),
ADD
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σε έναν τέτοιο κόσμο η (4+n)–διαστάσεων βαρύτητα θα πρέπει να
ελέγχεται από την κλίμακα της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης παρά
από την κλίμακα Planck (έτσι ώστε να γίνει ενοποίηση των δύο
αλληλεπιδράσεων στο υψηλότερο επίπεδο διαστάσεων),

54. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem),
ADD
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σε έναν τέτοιο κόσμο η (4+n)–διαστάσεων βαρύτητα θα πρέπει να
ελέγχεται από την κλίμακα της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης παρά
από την κλίμακα Planck (έτσι ώστε να γίνει ενοποίηση των δύο
αλληλεπιδράσεων στο υψηλότερο επίπεδο διαστάσεων),
με τη δυνατότητα περιορισμού ροής των δυναμικών γραμμών της
βαρύτητας γύρω από τον 4–διάστατο κόσμο μας και στη συνέχεια
m1 m2
μετατροπή του βαρυτικού δυναμικού V(r) = (n+2)
, ανάμεσα σε
MEW rn+1
δύο στατικές μάζες m1 και m2 στον υπερχώρο M(3 + n, 1)

55. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem),
ADD
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σε έναν τέτοιο κόσμο η (4+n)–διαστάσεων βαρύτητα θα πρέπει να
ελέγχεται από την κλίμακα της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης παρά
από την κλίμακα Planck (έτσι ώστε να γίνει ενοποίηση των δύο
αλληλεπιδράσεων στο υψηλότερο επίπεδο διαστάσεων),
με τη δυνατότητα περιορισμού ροής των δυναμικών γραμμών της
βαρύτητας γύρω από τον 4–διάστατο κόσμο μας και στη συνέχεια
m1 m2
μετατροπή του βαρυτικού δυναμικού V(r) = (n+2)
, ανάμεσα σε
MEW rn+1
δύο στατικές μάζες m1 και m2 στον υπερχώρο M(3 + n, 1)
m1 m2
σε ένα με V(r) = (n+2)
, για M(3, 1) × Sn ,
MEW Rn r

56. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem),
AADD
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
που οδηγεί σε μία ενεργή 4–διάστατη βαρυτική σύζευξη που θα δίνεται
από τη σχέση,
(n+2)
M2 = MEW Rn
eff
αντί για τη θεμελιώδη M2 .
PL

57. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem),
AADD
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
που οδηγεί σε μία ενεργή 4–διάστατη βαρυτική σύζευξη που θα δίνεται
από τη σχέση,
(n+2)
M2 = MEW Rn
eff
αντί για τη θεμελιώδη M2 .
PL
Για να μην διαφωνεί με την τωρινή βαρυτική φαινομενολογία (στην
οποία Meff ∼ 1019 GeV), μια τιμή για n = 1 θα πρέπει να αποκλειστεί,
ενώ για n = 2 μας οδηγεί σε ένα R της τάξης του χιλιοστού του μέτρου
(milimeters).

58. Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem),
AADD
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
που οδηγεί σε μία ενεργή 4–διάστατη βαρυτική σύζευξη που θα δίνεται
από τη σχέση,
(n+2)
M2 = MEW Rn
eff
αντί για τη θεμελιώδη M2 .
PL
Για να μην διαφωνεί με την τωρινή βαρυτική φαινομενολογία (στην
οποία Meff ∼ 1019 GeV), μια τιμή για n = 1 θα πρέπει να αποκλειστεί,
ενώ για n = 2 μας οδηγεί σε ένα R της τάξης του χιλιοστού του μέτρου
(milimeters).
.
Εάν και μέχρι αυτή τη στιγμή κανένα σημάδι χιλιοστού του μέτρου δεν
έχει παρατηρηθεί στις μετρήσεις, από τη κλασική Νευτώνεια βαρύτητα,
αυτό δεν σημαίνει ότι η δουλειά των Arkani-Hamed, Δημόπουλος και
Dvali πήγε χαμένη, αλλά άνοιξε την πιθανότητα οι έξτρα διαστάσεις να
μην είναι μικροσκοπικές, και έδειξε ότι τουλάχιστον σε επίπεδο αρχών
υπάρχει η πιθανότητα διερεύνησης πειραματικά αυτών των έξτρα
διαστάσεων σε κανονικές κλίμακες ενέργειας και απόστασης.
.

59. Το μοντέλο Randall - Sundrum.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Μετά τις εργασίες των Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali, οι
Randall και Sundrum (1999), βρήκαν έναν εναλλακτικό τρόπο για την
αντιμετώπιση του προβλήματος της ιεραρχίας, που βασίζεται σε τρία
συστατικά τα οποία όχι μόνο επιτρέπουν την κατασκευή ενός
φαινομενολογικά βιώσιμου μοντέλου με μία μόνο έξτρα διάσταση
μεγάλης κλίμακας, αλλά επίσης αποδείχθηκε καταλυτικό για ολόκληρο
το πρόγραμμα μελέτης των επιπλέον διατάσεων.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Πρώτα, συμπαγοποίησαν αυτή την μία έξτρα διάσταση με μία
πρόσθετη Z2 orbifold συμμετρία, στην οποία τα αντίθετα σημεία
στη συμπαγοποιημένη πέμπτη διάσταση θα πρέπει να ταυτίζονται.

60. Το μοντέλο Randall - Sundrum.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Μετά τις εργασίες των Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali, οι
Randall και Sundrum (1999), βρήκαν έναν εναλλακτικό τρόπο για την
αντιμετώπιση του προβλήματος της ιεραρχίας, που βασίζεται σε τρία
συστατικά τα οποία όχι μόνο επιτρέπουν την κατασκευή ενός
φαινομενολογικά βιώσιμου μοντέλου με μία μόνο έξτρα διάσταση
μεγάλης κλίμακας, αλλά επίσης αποδείχθηκε καταλυτικό για ολόκληρο
το πρόγραμμα μελέτης των επιπλέον διατάσεων.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Πρώτα, συμπαγοποίησαν αυτή την μία έξτρα διάσταση με μία
πρόσθετη Z2 orbifold συμμετρία, στην οποία τα αντίθετα σημεία
στη συμπαγοποιημένη πέμπτη διάσταση θα πρέπει να ταυτίζονται.
Δεύτερο, τοποθέτησαν από μία 3–βράνη σε κάθε ένα από τα δύο
σταθερά σημεία, δηλαδή στα δύο σημεία στο τέλος της διαμέτρου
ενός κύκλου που αυτοπροσδιορίζονται όταν τα σημεία στις δύο
αντίθετες πλευρές της διαμέτρου ταυτίζονται μεταξύ τους.

61. Το μοντέλο Randall - Sundrum.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Μετά τις εργασίες των Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali, οι
Randall και Sundrum (1999), βρήκαν έναν εναλλακτικό τρόπο για την
αντιμετώπιση του προβλήματος της ιεραρχίας, που βασίζεται σε τρία
συστατικά τα οποία όχι μόνο επιτρέπουν την κατασκευή ενός
φαινομενολογικά βιώσιμου μοντέλου με μία μόνο έξτρα διάσταση
μεγάλης κλίμακας, αλλά επίσης αποδείχθηκε καταλυτικό για ολόκληρο
το πρόγραμμα μελέτης των επιπλέον διατάσεων.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Πρώτα, συμπαγοποίησαν αυτή την μία έξτρα διάσταση με μία
πρόσθετη Z2 orbifold συμμετρία, στην οποία τα αντίθετα σημεία
στη συμπαγοποιημένη πέμπτη διάσταση θα πρέπει να ταυτίζονται.
Δεύτερο, τοποθέτησαν από μία 3–βράνη σε κάθε ένα από τα δύο
σταθερά σημεία, δηλαδή στα δύο σημεία στο τέλος της διαμέτρου
ενός κύκλου που αυτοπροσδιορίζονται όταν τα σημεία στις δύο
αντίθετες πλευρές της διαμέτρου ταυτίζονται μεταξύ τους.
Και τρίτον, το αποφασιστικό βήμα, πήραν τη γεωμετρία του
υπερχώρου (bulk) να μην είναι πια επίπεδη, αλλά αντ ’αυτού να
είναι μία 5–διάστατη αντί-de Sitter (AdS5 ) γεωμετρία.

62. Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε:
. Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = 4 + 1 = 5
1

63. Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε:
. Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = 4 + 1 = 5
1
. H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold
2
συμμετία S1 /Z2 ακτίνας R.

64. Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε:
. Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = 4 + 1 = 5
1
. H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold
2
συμμετία S1 /Z2 ακτίνας R.
. Στα σταθερά σημεία της Orbifold είναι τοποθετημένες δυο βράνες,
3
η μια με θετική τάση (Planck Brane) και μια με αρνητική τάση (SM
Brane).

65. Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε:
. Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = 4 + 1 = 5
1
. H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold
2
συμμετία S1 /Z2 ακτίνας R.
. Στα σταθερά σημεία της Orbifold είναι τοποθετημένες δυο βράνες,
3
η μια με θετική τάση (Planck Brane) και μια με αρνητική τάση (SM
Brane).
. Η συνηθισμένη ύλη (SM-Particles) είναι καρφωμένη πάνω στην
4
βράνη με αρνητική τάση (SM Brane).

66. Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε:
. Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = 4 + 1 = 5
1
. H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold
2
συμμετία S1 /Z2 ακτίνας R.
. Στα σταθερά σημεία της Orbifold είναι τοποθετημένες δυο βράνες,
3
η μια με θετική τάση (Planck Brane) και μια με αρνητική τάση (SM
Brane).
. Η συνηθισμένη ύλη (SM-Particles) είναι καρφωμένη πάνω στην
4
βράνη με αρνητική τάση (SM Brane).
. Μόνο τα βαρυτόνια «βλέπουν» την επιπλέον διάσταση, και άρα
5
είναι τα μόνα σωματίδια που επιδέχονται διεγέρσεις Kaluza-Klein.

67. Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε:
. Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = 4 + 1 = 5
1
. H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold
2
συμμετία S1 /Z2 ακτίνας R.
. Στα σταθερά σημεία της Orbifold είναι τοποθετημένες δυο βράνες,
3
η μια με θετική τάση (Planck Brane) και μια με αρνητική τάση (SM
Brane).
. Η συνηθισμένη ύλη (SM-Particles) είναι καρφωμένη πάνω στην
4
βράνη με αρνητική τάση (SM Brane).
. Μόνο τα βαρυτόνια «βλέπουν» την επιπλέον διάσταση, και άρα
5
είναι τα μόνα σωματίδια που επιδέχονται διεγέρσεις Kaluza-Klein.
. Η γεωμετρία του χώρου περιγράφεται από μια μετρική (AdS5 ).
6

68. RS-1 bulk.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Κατά αναλογία με τις
μεμβράνες που περικλείουν
έναν όγκο, αυτοί οι κόσμοι
με 3+1 διαστάσεις
περικλείουν έναν
5–διάστατο υπερχώρο
(bulk) θα αποκαλούνται
3–βράνες (3–branes). Η
τελική εικόνα αποτελείται
από δύο βράνες, σε
απόσταση L μεταξύ τους,
που περικλείουν έναν
5–διάστατο υπερχώρο (σαν
ένα σάντουιτς).

69. ΜΕΤΡΙΚΗ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Παρατηρούμε τελικά ότι η μετρική του μοντέλου Randall–Sundrum θα
πρέπει να δίνεται από την εξίσωση:
ds2 = e−2k|y| ηµν dxµ dxν + dy2
(15)
με −L ≤ y ≤ L.
Εάν στο σύστημα υπάρχουν n έξτρα συμπαγοποιημένες διαστάσεις, τότε
η τάξη της μάζας Planck συνδέεται με την n–διάστατη μάζα από τη
σχέση:
M2 = M2+n Vn
Pl
4+n
όπου Vn ο όγκος των έξτρα διαστάσεων. Δηλαδή υπολογίζοντας θα
έχουμε:
∫ L
]
M3 [
(16)
M2 = 2M3
dy e−2ky = 5 1 − e−2kL
Pl
5
k
0

70. Το πρόβλημα της ιεραρχίας.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.

71. Το πρόβλημα της ιεραρχίας.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Τελικά σε μια θεωρία που οι τιμές των απογυμνωμένων παραμέτρων
(M, Λ, λ1 , υ), καθορίζονται από την τάξη μεγέθους της μάζας Planck,
μια εκθετική ιεραρχία μπορεί φυσικά να κατασκευασθεί ανάμεσα στην
τάξη μεγέθους της ασθενής αλληλεπίδρασης και της βαρυτικής.

72. Το πρόβλημα της ιεραρχίας.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Τελικά σε μια θεωρία που οι τιμές των απογυμνωμένων παραμέτρων
(M, Λ, λ1 , υ), καθορίζονται από την τάξη μεγέθους της μάζας Planck,
μια εκθετική ιεραρχία μπορεί φυσικά να κατασκευασθεί ανάμεσα στην
τάξη μεγέθους της ασθενής αλληλεπίδρασης και της βαρυτικής.
.
Δηλαδή το μοντέλο Randall–Sundrum μας δίνει μια πρωτότυπη λύση
στο πρόβλημα της ιεραρχίας των αλληλεπιδράσεων.
.

73. Μοντέλο RS-2 με μία βράνη.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στην εξίσωση (16), παρατηρούμε ότι μπορούμε να έχουμε μια καλά
ορισμένη τιμή της μάζας Planck, ακόμη και αν L → ∞.

74. Μοντέλο RS-2 με μία βράνη.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στην εξίσωση (16), παρατηρούμε ότι μπορούμε να έχουμε μια καλά
ορισμένη τιμή της μάζας Planck, ακόμη και αν L → ∞.
Αυτό μας δείχνει ότι μπορούμε να πάρουμε μια ενεργή 4–διάστατη
θεωρία, με τον συνήθη νόμο για την Νευτώνεια δύναμη, ακόμη και στο
όριο της άπειρης ακτίνας για την συμπαγοποιημένη διάσταση. Στο
σύστημα δεν θα υπάρχει πρόβλημα να μετακινήσουμε στη μία βράνη
(”regulator”) στο άπειρο, δηλαδή να την μετακινήσουμε τελείως από το
σύστημα.

75. Μοντέλο RS-2 με μία βράνη.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στην εξίσωση (16), παρατηρούμε ότι μπορούμε να έχουμε μια καλά
ορισμένη τιμή της μάζας Planck, ακόμη και αν L → ∞.
Αυτό μας δείχνει ότι μπορούμε να πάρουμε μια ενεργή 4–διάστατη
θεωρία, με τον συνήθη νόμο για την Νευτώνεια δύναμη, ακόμη και στο
όριο της άπειρης ακτίνας για την συμπαγοποιημένη διάσταση. Στο
σύστημα δεν θα υπάρχει πρόβλημα να μετακινήσουμε στη μία βράνη
(”regulator”) στο άπειρο, δηλαδή να την μετακινήσουμε τελείως από το
σύστημα.
.
Αυτή η περίπτωση όπου υπάρχει μόνο μία βράνη είναι γνωστή ως το
μοντέλο Randall–Sundrum II (RS2). Το γεγονός ότι μπορεί να
υπάρχει μια έξτρα άπειρη διάσταση και ακόμη η 4–διάσταση βαρύτητα
που βιώνουμε καθημερινά μπορεί να προκύπτει από τον περιορισμό της
βαρύτητας γύρω από την βράνη στο y = 0, θα πρέπει να κινήσει το
ενδιαφέρον μας από εδώ και πέρα.
.

76. RS-2 και το πρόβλημα της ιεραρχίας.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Το πρότυπο Randall–Sundrum II (RS-2) δεν προσπαθεί να λύσει το
πρόβλημα της ιεραρχίας έτσι όπως έγινε με το πρότυπο RS-1,

77. RS-2 και το πρόβλημα της ιεραρχίας.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Το πρότυπο Randall–Sundrum II (RS-2) δεν προσπαθεί να λύσει το
πρόβλημα της ιεραρχίας έτσι όπως έγινε με το πρότυπο RS-1,
προσπαθεί όμως να κατασκευάσει ρεαλιστικά κοσμολογικά μοντέλα
συμβατά με την πραγματικότητα.

78. RS-2 και το πρόβλημα της ιεραρχίας.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Το πρότυπο Randall–Sundrum II (RS-2) δεν προσπαθεί να λύσει το
πρόβλημα της ιεραρχίας έτσι όπως έγινε με το πρότυπο RS-1,
προσπαθεί όμως να κατασκευάσει ρεαλιστικά κοσμολογικά μοντέλα
συμβατά με την πραγματικότητα.
Το δεύτερο πρότυπο βασίζεται στο πρώτο με τη διαφορά ότι τώρα οι
δύο βράνες έχουν άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Ουσιαστικά αυτό το
πρότυπο έχει μόνο μία βράνη με θετική τάση την οποία τοποθετούμε
στον 5–διάστατο AdS χωροχρόνο στη θέση y = 0. Η βράνη με την
αρνητική τάση έχει μεταφερθεί στο άπειρο και ουσιαστικά δεν
συμμετέχει στο πρότυπο αυτό.

79. ΜΕΤΡΙΚΗ.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η μετρική είναι ίδια με αυτή στο μοντέλο RS-1.

80. ΜΕΤΡΙΚΗ.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Η μετρική είναι ίδια με αυτή στο μοντέλο RS-1.
Η δράση είναι η ίδια με πριν, απλά άλλαξαν θέση η ορατή βράνη με την
κρυμμένη (hidden).
S = Sgravity + Sbrane
(17)

81. ΜΕΤΡΙΚΗ.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Η μετρική είναι ίδια με αυτή στο μοντέλο RS-1.
Η δράση είναι η ίδια με πριν, απλά άλλαξαν θέση η ορατή βράνη με την
κρυμμένη (hidden).
S = Sgravity + Sbrane
(17)
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
∫
Sgravity =
∫
d4 x
dy
(
√
−g M3
5
∫
Sbrane =
d4 x dy
√
−g
(
4
(5)
ˆ
R − Λ5 + 5 LM
)
ˆ
LM − λ0 δ(y)
)
(18)
(19)

82. Ο εντοπισμός της βαρύτητας στη βράνη.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Έχοντας την αναγωγή κατά Kaluza–Klein, και τις καταστάσεις των
βαρυτονίων, θα πάρουμε τη μορφή του βαρυτικού δυναμικού μεταξύ
δύο σωματιδίων με μάζες m1 και m2 η οποία είναι:

83. Ο εντοπισμός της βαρύτητας στη βράνη.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Έχοντας την αναγωγή κατά Kaluza–Klein, και τις καταστάσεις των
βαρυτονίων, θα πάρουμε τη μορφή του βαρυτικού δυναμικού μεταξύ
δύο σωματιδίων με μάζες m1 και m2 η οποία είναι:
.
(
)
m1 m2
1
V(r) ∼ GN
1+ 2 2
(20)
r
k r
.

84. Ο εντοπισμός της βαρύτητας στη βράνη.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Έχοντας την αναγωγή κατά Kaluza–Klein, και τις καταστάσεις των
βαρυτονίων, θα πάρουμε τη μορφή του βαρυτικού δυναμικού μεταξύ
δύο σωματιδίων με μάζες m1 και m2 η οποία είναι:
.
(
)
m1 m2
1
V(r) ∼ GN
1+ 2 2
(20)
r
k r
.
Αυτός είναι ο λόγος που το πρότυπο RS2 παράγει μια ενεργή
4–διάστατη θεωρία της βαρύτητας.

85. Ο εντοπισμός της βαρύτητας στη βράνη.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Έχοντας την αναγωγή κατά Kaluza–Klein, και τις καταστάσεις των
βαρυτονίων, θα πάρουμε τη μορφή του βαρυτικού δυναμικού μεταξύ
δύο σωματιδίων με μάζες m1 και m2 η οποία είναι:
.
(
)
m1 m2
1
V(r) ∼ GN
1+ 2 2
(20)
r
k r
.
Αυτός είναι ο λόγος που το πρότυπο RS2 παράγει μια ενεργή
4–διάστατη θεωρία της βαρύτητας.
Ο βασικός όρος μας δίνει το κλασικό Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό,
ενώ οι συνεχείς καταστάσεις από την αναγωγή Kaluza–Klein μας δίνουν
έναν διορθωτικό όρο.

86. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Αναμένεται η τιμή του k να είναι της τάξης της κλίμακας του Planck ενώ
η τιμή του r να είναι της τάξης του χιλιοστού του μέτρου (mm), το οποίο
είναι το ανώτερο επιτρεπόμενο όριο που προκύπτει από τα πειράματα
βαρύτητας. Ουσιαστικά η γεωμετρία της μετρικής με τον στρεβλό
(warped) παράγοντα για τον υπερχώρο (bulk) και το γεγονός ότι ζούμε
σε μία βράνη με θετική τάση, είναι τα στοιχεία που καταστέλλουν τις
βαρυτικές διακυμάνσεις όταν απομακρυνόμαστε από τη βράνη, έτσι
ώστε η βαρύτητα να είναι εντοπισμένη στην ορατή βράνη.

87. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Αναμένεται η τιμή του k να είναι της τάξης της κλίμακας του Planck ενώ
η τιμή του r να είναι της τάξης του χιλιοστού του μέτρου (mm), το οποίο
είναι το ανώτερο επιτρεπόμενο όριο που προκύπτει από τα πειράματα
βαρύτητας. Ουσιαστικά η γεωμετρία της μετρικής με τον στρεβλό
(warped) παράγοντα για τον υπερχώρο (bulk) και το γεγονός ότι ζούμε
σε μία βράνη με θετική τάση, είναι τα στοιχεία που καταστέλλουν τις
βαρυτικές διακυμάνσεις όταν απομακρυνόμαστε από τη βράνη, έτσι
ώστε η βαρύτητα να είναι εντοπισμένη στην ορατή βράνη.
Στην περίπτωση του μοντέλου RS2, δεν έχουμε τη δυνατότητα επίλυσης
του προβλήματος της ιεραρχίας.

88. Το μοντέλο.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στα επόμενα μέρη της εργασίας γίνεται η μελέτη μιας
πολυδιάστατης θεωρίας πεδίου, στην οποία η βράνη που αποτελεί
το σύμπαν μας γίνεται προσπάθεια να εξομοιωθεί μέσω της
εισαγωγής ενός βαθμωτού πεδίου στον υπερχώρο.

89. Το μοντέλο.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στα επόμενα μέρη της εργασίας γίνεται η μελέτη μιας
πολυδιάστατης θεωρίας πεδίου, στην οποία η βράνη που αποτελεί
το σύμπαν μας γίνεται προσπάθεια να εξομοιωθεί μέσω της
εισαγωγής ενός βαθμωτού πεδίου στον υπερχώρο.
Μια τοπολογική ατέλεια οδηγεί στη δημιουργία της βράνης που
βρίσκεται ο κόσμος μας. Το μοντέλο χρησιμοποιεί μια έξτρα
διάσταση που δεν είναι συμπαγοποιημένη. Η βαρύτητα εντοπίζεται
στην περιοχή που βρίσκεται το σύμπαν μας.

90. Το μοντέλο.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στα επόμενα μέρη της εργασίας γίνεται η μελέτη μιας
πολυδιάστατης θεωρίας πεδίου, στην οποία η βράνη που αποτελεί
το σύμπαν μας γίνεται προσπάθεια να εξομοιωθεί μέσω της
εισαγωγής ενός βαθμωτού πεδίου στον υπερχώρο.
Μια τοπολογική ατέλεια οδηγεί στη δημιουργία της βράνης που
βρίσκεται ο κόσμος μας. Το μοντέλο χρησιμοποιεί μια έξτρα
διάσταση που δεν είναι συμπαγοποιημένη. Η βαρύτητα εντοπίζεται
στην περιοχή που βρίσκεται το σύμπαν μας.
Το μοντέλο αυτό σε μεγάλες αποστάσεις από την τοπολογική
ατέλεια του υπερχώρου, που είναι το σύμπαν μας καταλήγει σε μια
μετρική παρόμοια με αυτής της βράνης στο μοντέλο
Randall-Sundrum.

91. Η δράση και οι εξισώσεις κίνησης.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ξεκινώντας θα θεωρήσουμε τη δράση του 5–διάστατου χωροχρόνου,
όπου περιέχεται εκτός από τον όρο Einstein–Hilbert και ένας όρος που
αναφέρεται στο βαθμωτό πεδίο ϕ:
∫
∫
√
1
4
S = d x dy −G{M3 (5) R − GMN (∂M ϕ(y))(∂N ϕ(y)) − V(ϕ)}
(5)
2
(21)
όπου ϕ(y) βαθμωτό πεδίο που εξαρτάται μόνο από την έξτρα διάσταση.

92. Η δράση και οι εξισώσεις κίνησης.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ξεκινώντας θα θεωρήσουμε τη δράση του 5–διάστατου χωροχρόνου,
όπου περιέχεται εκτός από τον όρο Einstein–Hilbert και ένας όρος που
αναφέρεται στο βαθμωτό πεδίο ϕ:
∫
∫
√
1
4
S = d x dy −G{M3 (5) R − GMN (∂M ϕ(y))(∂N ϕ(y)) − V(ϕ)}
(5)
2
(21)
όπου ϕ(y) βαθμωτό πεδίο που εξαρτάται μόνο από την έξτρα διάσταση.
Καταλήγουμε στις εξισώσεις κίνησης:
1
1
RMN − GMN (5) R =
2
2 M3
5
(
[
])
1
2
(∂M ϕ) (∂N ϕ) − GMN (∂ϕ) + V(ϕ)
2
(22)

93. Η δράση και οι εξισώσεις κίνησης.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Ξεκινώντας θα θεωρήσουμε τη δράση του 5–διάστατου χωροχρόνου,
όπου περιέχεται εκτός από τον όρο Einstein–Hilbert και ένας όρος που
αναφέρεται στο βαθμωτό πεδίο ϕ:
∫
∫
√
1
4
S = d x dy −G{M3 (5) R − GMN (∂M ϕ(y))(∂N ϕ(y)) − V(ϕ)}
(5)
2
(21)
όπου ϕ(y) βαθμωτό πεδίο που εξαρτάται μόνο από την έξτρα διάσταση.
Καταλήγουμε στις εξισώσεις κίνησης:
1
1
RMN − GMN (5) R =
2
2 M3
5
(
[
])
1
2
(∂M ϕ) (∂N ϕ) − GMN (∂ϕ) + V(ϕ)
2
(22)
(√
) ∂V
1
√
∂M
−G GMN ∂N ϕ =
∂ϕ
−G
(23)

94. Το βαθμωτό πεδίο και ο παράγοντας στρέβλωσης
της μετρικής.
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
.
.
ϕB (y) = a tanh(k y) (24)
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
.
ϕ′ =
B
ak
cosh2 (ky)
(25)
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
.
Για τον παράγοντα στρέβλωσης της μετρικής,
β
A(y)
e
−β ln(cosh2 (ky))− β tanh2 (ky)
2
=e
e− 2 tanh (ky)
=
cosh2β (ky)
2
η συμπεριφορά καθώς απομακρυνόμαστε από την υπερεπιφάνεια (χώρος
που ζούμε), είναι εκθετική μείωση όπως φαίνεται από την εξίσωση.

95. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Στη μετρική ο παράγοντας στρέβλωσης (warp factor,) μας δείχνει ότι σε
μεγάλες αποστάσεις από την υπερεπιφάνεια (βράνη) του κόσμου μας
μέσα στον υπερχώρο, καταλήγουμε σε μια μετρική παρόμοια με αυτή
που έχουμε στο μοντέλο Randall–Sundrum II με μία βράνη. Παίρνοντας
το όριο για y → ∞, θα έχουμε:
β
A(y)
e
=
e− 2 tanh
2β
2
(ky)
cosh (ky)
y→∞
− − e2kβ |y| .
−→
(26)

96. ΤΕΛΟΣ παρουσίασης
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
Γιάννης
Παπαδημητρίου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Theodor Kaluza
Oscar klein
ΠΡΟΤΥΠΑ
Randall - Sundrum.
Το πρότυπο RS-1.
Το πρότυπο RS-2.
Πενταδιάστατη
θεωρία Βαρύτητας
και Βαθμωτών
Πεδίων.
Σας ευχαριστώ πολύ για την υπομονή σας.