documento

1. Introducción a las Ecuaciones
Diferenciales
Demetrio Ccesa Rayme

2. INTRODUCCIÓN
02  y
dx
dy
x
Los términos ecuaciones y diferenciales
nos hacen pensar en la solución de ciertos
tipos de ecuaciones que contienen
derivadas ó diferenciales.
0)12(  dyxyxdx
Ecuación con
derivadas
Ecuación con
diferenciales

3. ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación
que relaciona a una función desconocida y una o
más derivadas de esta función con respecto a una
o más variables independientes.
Si la función desconocida depende de una sola
variable, la ecuación diferencial se llama
ordinaria. Si por el contrario dependiese de más
de una variable, se llama parcial .
Definición

4. EDO y EDP
yyx
dx
dy
cos2

'''' 3
yyy 
yx
y
w
x
w





 2
EDO EDP

5. Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones
diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial
ordinaria es aquella que tiene a y como variable
dependiente y a x como variable independiente.
Se acostumbra expresar en la forma:
 
  0;...,;;;  n
yyyyxF
OBSERVACIÓN

6. El orden de una ecuación diferencial es igual al de
la derivada de más alto orden que aparece (de
manera no trivial) en la ecuación.
ORDEN
Ejemplos:
xy” + 5(y’)4 = 3x6y4 es de 2do orden.
exy’’’ - y’’/x + sen(xy) = 0 es de 3er orden.

7. EDO LINEAL
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es
lineal, si se puede escribir de la forma:
   
   
 1
1 0... ( )n n
n na x y a x y a x y g x
   
donde:
  0)(;,...0;  xankxa nk son funciones de x
Una ecuación diferencial ordinaria que no se
pueda expresar de esta forma es no-lineal.

8. SOLUCIÓN DE UNA EDO
Decimos que y =Ф(x) es una solución de la
ecuación diferencial:
en el intervalo I si:
para todo x є I.
 
  0;...;;;;  n
yyyyxF
 
  0;...,;;;  n
xF 

9. EJEMPLOS
Indique si las funciones dadas son soluciones
de las EDO en cierto intervalo I.
2/14
':EDO
16
1
:función xyyxy 
53':EDO2:función  xyxy
0':EDO
1
:función  yxy
x
y

10. USO DE CLASSPAD
Utilice su calculadora para comprobar si la
siguiente es una familia de soluciones de la
EDO.
xx
BxeAey 22
:función 
044:EDO 2
2
 y
dx
dy
dx
yd

11. INTERVALO DE VALIDEZ
x
xfy
1
)(  0 yyxes solución de:
Como función
 0 Rdomf
Como solución:
 ;0I
0;I

12. cx
y

 2
1
02 2
 xyyes solución de:
Como función:
 1;1 Rdomf
Como solución:
1;1I
Si y(0)=-1
1
1
2


x
y
INTERVALO DE VALIDEZ

13. SOLUCIÓN IMPLÍCITA
La relación G(x;y)=0 se llama
solución implícita de una EDO en
un intervalo I si existe alguna función
Ф que satisface tanto la relación como
la EDO en I.

14. EJEMPLOS
Indique si las relaciones dadas son
soluciones implícitas de las EDO en I.
y
x
yyx  ':EDO25:relación 22
  0'2:EDO01:relación 22
 
yyexyexy yy

15. FAMILIA DE SOLUCIONES
Algunas veces, a una solución de una ecuación
diferencial se le llama integral de la ecuación y a
su gráfica curva integral o curva solución. Como
la solución general de una ecuación diferencial
lineal de orden n tiene n constantes, se
acostumbra llamarla familia n-paramétrica de
soluciones y se denota por:
Esto quiere decir que una EDO tiene una cantidad
infinita de soluciones que corresponden a la
elección arbitraria de esos parámetros.
  0;...;;;; 21 ncccyxG

16. SOLUCIÓN GENERAL Y PARTICULAR
Si encontramos una familia n-paramétrica de
soluciones que contiene a TODAS las soluciones
de una EDO, llamaremos a esta familia solución
general de la EDO.
Dada una familia n-paramétrica de soluciones de
una EDO, una solución que se obtiene al dar
valores a los n parámetros se llama solución
particular.
Observación: Las EDO lineales siempre tienen
solución general.

17. EJEMPLOS
1) Verifique si la familia mostrada es
una familia uniparamétrica de
soluciones de la EDO:
2
)'(':EDO yxyy 
2
ccxy 
2) Verifique si las siguientes
funciones son soluciones de la
EDO y clasifíquelas como solución
particular y/o trivial.
93)  xya
0) yb
4/) 2
xyc 
3) Diga si la familia uniparamétrica
de 1) es o no solución general de
la EDO. ¿Por qué?

18. Un problema de valor inicial (o de Cauchy) consta
de una ecuación diferencial de orden n y de n
condiciones iniciales impuestas a la función
desconocida y a sus n-1 primeras derivadas en
un valor de la variable independiente.
Es decir:
 
 
     
1
1
0 0 0 1 0 1
; ; ;...
; ;...; ( )
n
n
n
n
n
d y
f x y y y
dx
y x y y x y y x y




  
PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

19. EJEMPLO
2)1(
32´


y
yxy

20. MODELACIÓN (Paracaídas)
dv
m mg kv
dt
 
mgkv
2
2
d y dv
F m m
dt dt
 
Por la 2da Ley de Newton:

21. EDO VARIABLE SEPARABLE
EDO LINEAL
EDO EXACTA
EDO HOMOGENEA
EDO de primer orden
Clasificación

22. ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN
Una EDO de la forma: )()()( 01 xgyxa
dx
dy
xa 
se llama ecuación lineal de primer orden (EDOL).
Realizando las operaciones adecuadas se
escribe en la forma estándar:
)()(' xqyxpy 

23. Un factor integrante
para una EDOL de
primer orden es:

dxxp
exu
)(
)(
FACTOR INTEGRANTE DE UNA EDOL

24. Definición: La forma diferencial
dyyxNdxyxM ),(),( 
es exacta en un rectángulo R, si existe una
función f (x,y) que cumple:
( , )
f
M x y
x



( , )
f
N x y
y



para todo (x,y) en R.
A f (x,y) se le llama Función Potencial.
(1)
FORMA DIFERENCIAL EXACTA

25. El diferencial de f satisface:
( , ) ( , )df M x y dx N x y dy 
Ejemplo: Verificar en la forma diferencial
dyyxdxyx )2()2( 
2
2
2
),(
22
y
xy
x
yxf 
¿Es f única o no?
NOTA

26. En (1) sean M, N y sus derivadas
parciales de primer orden continuas en R,
luego la condición necesaria y suficiente
para que la forma diferencial sea exacta
es:
x
N
y
M





CONDICIÓN

27. Definición: Una EDO de la forma
0),(),(  dyyxNdxyxM
se llama exacta si la forma diferencial (1) es
exacta.
0)2()2(  dyyxdxyxEjemplo:
es exacta.
EDO EXACTA

28. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA EDO
0),(),(  dyyxNdxyxM
1: Verificar si es exacta o no.
2: Si fuese exacta, hallar por integ. parcial:
  )(),(),( ygdxyxMyxf

29. 3: Como


 dxyxM
y
yxNyg ),(),()('
( , )
f
N x y
y



Derivando resolver
4: Hallar g integrando parcialmente la
expresión anterior.
cyxf ),(5: La solución es
MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA EDO
0),(),(  dyyxNdxyxM (continúa)

30. Definición: Una función f(x,y) se llama
homogénea de grado n si:
Ejemplo:
  2 2
,f x y x y xy  
   , ,n
f tx ty t f x y
FUNCIÓN HOMOGÉNEA

31. Definición: La EDO
se llama homogénea si M y N son ambas
homogéneas del mismo grado.
Con uno de los cambios siguientes y=ux
ó x=vy , podemos convertirla en una EDO
de variable separable.
(2)   , , 0M x y dx N x y dy 
EDO HOMOGÉNEA PRIMER ORDEN

32. Resolviendo:
 dyyxydx  2
022
 xycy
EJEMPLO:
)(2 yx
y
dx
dy


)(2 uxx
ux
dx
du
xu


)1(2 u
u
dx
du
xu


dx
du
xu
dx
dy

Hacemos: uxy 
EDO de Variable
Separable