Una exploración entre las relación de las matemáticas y las aplicaciones espaciales

2. Aplicación de las
matemáticas a la
ingeniería espacial
@karlozduarte
Agencia Espacial Mexicana
11 de octubre de 2016
2

3. Objetivo de la charla
Mostrar la importancia de las matemáticas en el
desarrollo espacial
Revisar algunos conceptos relacionados con
misiones espaciales, diseño de naves espaciales y
aplicaciones y explorar su relación con las
matemáticas

4. Agenda
Introducción
Misiones espaciales
Diseño de naves espaciales
GNSS: ejemplo de una aplicación espacial
Reflexiones finales

5. Las
matemáticas y
el espacio
están
íntimamente
ligados
5

6. En muchas
ocasiones ha sido
el espacio el que
ha inspirado la
creación de
nuevas áreas de
las matemáticas y
la física
6

7. Leyes de Kepler
(T1/T2)2 = (R1/R2)3

8. Lo anterior llevó a Isaac Newton a
formular:
empuje

9. Diseño de misiones espaciales

10. Una de las
primeras
decisiones que se
tiene que tomar al
diseñar una misión
es escoger la
órbita de la nave

12. Ejemplo de órbita LEO
Circular
Altura
500 Km
Inclinación
45o

13. Traza terrestre

14. Órbita geoestacionaria (GEO)
Altura
35788.1 Km
Periodo
86170.5 seg
Inclinación
0o
Posición orbital
-114.9o

15. El Cinturón GEO

16. Órbita heliosíncrona
Traslación
de la tierra
•La órbita del satélite tiene una precesión de 360° en un año
• Mantiene la misma iluminación ecuatorial todo el tiempo
–~10:30 AM en este ejemplo
Ángulo de
iluminación
ecuatorial

17. Órbita heliosíncrona
Inclinación
97.049o
Altura
400 Km
Paso por el
Nodo
descendente10
:30am

18. Traza sobre la tierra de órbita
heliosíncrona

19. Molniya
Período 12 h
Altura del
apogeo:
39850.5 Km
Altura del
perigeo: 500
Km
Inclinación
63.3959o

20. Traza sobre la tierra de la órbita Molniya

21. Órbitas para viajes
interplanetarios

22. Trayectoria de transferencia de Hohmann

23. En el espacio la línea recta no es lo más
conveniente

24. Duración de un viaje de ida y vuelta a
Marte

25. En el espacio la línea recta no es la más
conveniente
25

26. Elementos de un satélite o nave espacial

27. Elementos de un satélite o nave
espacial

28. Subsistema de control de
orientación(ADCS).

29. Subsistema de control de
orientación(ADCS).
Básicamente, se trata de describir un sistema coordenado respecto de un marco inercial de
referencia, en donde se obtienen los parámetros de rotación de los ángulos en roll, pitch y yaw,
conforme a las relaciones siguientes:
De manera combinada se tiene:

30. Subsistema de control de
orientación(ADCS).
Imagen obtenida de Introduction to Spacecraft Design, Sandhoo & Hernández.

31. Control térmico

32. Subsistema de control térmico
(TCS).
Transferencia de calor.
La transferencia de calor en los sistemas espaciales se
presenta en dos tipos:
• Conducción, modelada a partir de la ecuación de
Fourier.
• Radiación, basada en la ecuación de Stefan-
Boltzman.

33. Comunicaciones
33

34. Sistemas de propulsión espacial

35. Sistemas de propulsión espacial.
La medición de desempeño de un cohete se realiza mediante
las ecuaciones de un cohete:

36. Ejemplo de aplicación de un
sistema espacial

37. Sistemas Globales de
navegación por satélite (GNSS)
• Los sistemas GNSS
consisten de 3
subsistemas
principales:
• Segmento espacial
• Segmento de control
• Segmento de usuario
*37
Segmento espacial
Segmento de control Segmento de usuario

38. Sistemas de posicionamiento y navegación

39. Constelación GPS 6 planos
orbitales
Inclinación
55o
4 satélites
por plano
Altura
20,200 Km
Periodo
12 h

40. Traza terrestre

41. Estructura de las señales GPS
Los satélites GPS transmiten ondas electromagnéticas
La ondas portadoras transportan
• Códigos para estimar la distancia entre el receptor y el satélite
• Mensaje de navegación con la posición del satélite

42. Estructura de las señales GPS
Portadora
L1: 1575.42 MHz
PRN: código C/A
Longitud: 1,023 chips
Frecuencia: 1.023 Mchips por segundo
Periodo de repetición: 1 ms
Mensaje de navegación
Frecuencia de transmisión: 50 Hz
Duración de un 1 bit: 20 ms
Información trasmitida
Portadora con modulación BPSK

43. Determinación de la distancia al satélite
c= 299,792,458 m/
d= tp*c
El receptor mide el tiempo que
tarda en llegar la señal desde
cada satélite.
La exactitud en la
medición del tiempo es
crucial
.
1 microsegundo= 300
m
1 ns= 30 cm

44. Cálculo de la posición del receptor
El receptor conoce la posición del satélite en el
momento que envió la señal, a través del mensaje
de navegación.
P1(x1,y1,z1)
P2(x2,y2,z2)
P3(x3,y3,z3)
d1
d2
d3

45. Cálculo de la posición del receptor
Si consideramos que el
reloj tiene un error con
respecto al tiempo de
los satélites,
agregamos una
incógnita más, por lo
que necesitamos una
observación adicional
Con la información de 4 satélites, el receptor puede calcular
su posición

46. Conclusiones
Las matemáticas y el espacio no pueden separarse
En cada rama de la ingeniería espacial y las ciencias
espaciales se requiere de las matemáticas para
describir fenómenos, diseñar sistemas y optimizar
su funcionamiento, entre muchas cosas.
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47. Los avances de la ingeniería espacial dependen en
gran manera del conocimiento de matemáticas
avanzadas y en muchos casos se han tenido que
crear nuevos conceptos matemáticos para
desarrollar nuevas aplicaciones.

48. Visita nuestro portal educativo
educacionespacial.aem.gob.mx

49. ¡Muchas gracias!
duarte.carlos@aem.gob.mx
@KarlozDuarte
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