O documento apresenta as Leis de Newton da mecânica clássica. A primeira lei estabelece que um corpo permanece em repouso ou movimento uniforme a menos que uma força atue sobre ele. A segunda lei relaciona a força aplicada a um corpo com a variação do seu momento linear. A terceira lei estabelece que as forças exercidas entre dois corpos são iguais em magnitude e opostas em direção. O texto discute os significados dessas leis e como elas permitem definir conceitos fundamentais como massa e for

1. C A P ´I T U L O
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
2
ˆ
MECANICA NEWTONIANA –
PART´ ´
ICULA UNICA
2.1 ¸˜
INTRODUCAO
A ciˆncia da mecˆnica busca fornecer uma descri¸˜o precisa e consistente da dinˆmica de part´
e a ca a ıculas
e sistemas de part´ ıculas, isto ´, um grupo de leis f´
e ısicas descrevem matematicamente os movimentos
dos corpos e agregados de corpos. Para isto, necessitamos de alguns conceitos fundamentais como
distˆncia e tempo que permitem definir a velocidade e acelera¸˜o da part´
a ca ıcula. O terceiro
conceito fundamental, massa, exige alguma elabora¸˜o, que forneceremos quando discutirmos as
ca
Leis de Newton.
As Leis F´ ısicas devem ser baseadas num fato experimental. N˜o podemos esperar a priori
a
que a atra¸˜o gravitacional entre dois corpos deve variar exatamente com o inverso do quadrado
ca
da distˆncia entre eles. Mas experimentos indicam que isso ´ assim. Uma vez que os dados de um
a e
grupo de experimentos tenham sido correlacionados e um postulado tenha sido formulado relativo
ao fenˆmeno a que se referem os dados, ent˜o v´rias implica¸˜es podem ser obtidas. Se essas
o a a co
implica¸˜es forem todas verificadas experimentalmente, podemos acreditar que o postulado ´ ge-
co e
ralmente verdadeiro. O postulado ent˜o assume o status de uma lei f´
a ısica. Se alguns experimentos
discordam com as previs˜es da lei, a teoria deve ser modificada para ser consistente com os fatos.
o
Newton nos forneceu as leis fundamentais da mecˆnica. Declaramos aqui estas leis em termos
a
modernos, discutindo seus significados, ent˜o derivando as implica¸˜es das leis em v´rias situa¸˜es.∗
a co a co
Mas a estrutura l´gica da ciˆncia da mecˆnica n˜o ´ t˜o clara. Nossa linha de racioc´
o e a a e a ınio na
interpreta¸˜o das leis de Newton n˜o ´ a unica poss´ † N˜o discutiremos os detalhes filos´ficos da
ca a e ´ ıvel. a o
mecˆnica mas somente forneceremos a elabora¸˜o das leis de Newton que nos permitem continuar
a ca
com a discuss˜o da dinˆmica cl´ssica. Dedicaremos nossa aten¸˜o neste cap´
a a a ca ıtulo para o movimento
de uma unica part´
´ ıcula, deixando sistemas de part´ ıculas para serem discutidos nos Cap´ ıtulos 9 e
11–13.
∗ Truesdell (Tr68) mostra que Leonhard Euler (1707-1783) esclareceu e desenvolveu os conceitos Newtonianos.
Euler “colocou muito da mecˆnica na sua forma moderna” e “tornou a mecˆnica simples e f´cil” (p. 106).
a a a
† Ernest Mach (1838-1916) expressou seu ponto de vista em seu famoso livro publicado em 1883; E. Mach, Die
Mechanica in Ihrer Entwicklung historisch-Kritisch dargestellt[A ciˆncia da mecˆnica](Praga, 1883). Uma tradu¸˜o
e a ca
da ultima edi¸˜o ´ dispon´
´ ca e ıvel (Ma60). Discuss˜es interessantes tamb´m s˜o proporcionadas por R. B. Lindsay e H.
o e a
Margeneau (Li36) e N. Feather (Fe59).
47

2. 48 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
2.2 LEIS DE NEWTON
Come¸amos simplesmente enunciando na forma convencional as Leis de Newton da mecˆnica∗ :
c a
I. Um corpo permanece em repouso ou em movimento uniforme a menos que atue sobre ele
uma for¸a.
c
II. Um corpo move-se sobre a¸˜o de uma for¸a de tal maneira que a taxa de varia¸˜o temporal
ca c ca
do momento ´ igual a for¸a.
e c
III. Se dois corpos exercem for¸as um sobre o outro, essas for¸as s˜o iguais em magnitude e de
c c a
dire¸˜es opostas.
co
Essas leis s˜o deste modo familiares que algumas vezes tendemos a n˜o perceber os verdadeiros
a a
significados (ou falta deles) como lei f´ ısica. A Primeira Lei, por exemplo, ´ sem sentido sem
e
o conceito de “for¸a”, uma palavra usada por Newton em todas as trˆs leis. De fato, sozinha, a
c e
Primeira Lei conduz a um significado preciso somente se a for¸a for nula; isto ´, o corpo permanece
c e
em repouso ou em movimento uniforme (isto ´, n˜o acelerado e retil´
e a ınio) sem estar sujeito a qualquer
for¸a que seja. O corpo movendo-se dessa maneira ´ denominado como corpo livre (ou part´
c e ıcula
livre). A quest˜o sobre o sistema de referˆncia com respeito ao qual o “movimento uniforme” ´
a e e
medido ser´ discutido na se¸˜o seguinte.
a ca
Destacando a falta deste conte´do na Primeira Lei de Newton, Senhor Arthur Eddington†
u
observou, de certa forma alegremente, o que realmente a lei diz ´ que “todas part´
e ıculas continua em
seu estado de repouso ou em movimento uniforme retil´ ıneo exceto quando for¸ado externamente”.
c
Isto ´ fortemente poss´ para Newton, quem pensou alguma coisa muito clara para seu enunciado.
e ıvel
Mas isso enfatiza que a Primeira Lei a qual por si s´ provanos com a unica no¸˜o qualitativa sobre
o ´ ca
“for¸a”.
c
A segunda Lei fornece um enunciado expl´ ıcito: a For¸a est´ relacionada com a taxa de varia¸˜o
c a ca
temporal do momento. Newton apropriadamente definiu momento (entretanto ele usou o termo
quantidade de movimento) como o produto da massa pela velocidade, tal que
p ≡ mv (2.1)
Portanto, a Segunda Lei de Newton pode ser expressada como
dp d
F= = (mv) (2.2)
dt dt
A defini¸˜o de for¸a torna-se completa e precisa somente quando “massa” ´ definida. Assim a
ca c e
Primeira e a Segunda Leis n˜o s˜o realmente “leis” no senso usual; mais precisamente, elas podem
a a
ser consideradas defini¸˜es. Como o comprimento, tempo e a massa s˜o conceitos j´ entendidos,
co a a
n´s usamos a Primeira e a Segunda Leis de Newton como a defini¸˜o operacional de for¸a. A
o ca c
terceira Lei de Newton, entretanto, ´ realmente uma lei. Ela ´ um enunciado a respeito do mundo
e e
real f´ ısica nas leis de movimento de Newton.‡
ısico (natural) e cont´m toda a f´
e
Devemos adicionar, entretanto, que a Terceira Lei n˜o ´ uma lei geral da natureza. A lei
a e
´ aplicada quando exerce-se uma for¸a em um objeto (pontual) sobre outro objeto (pontual) ´
e c e
∗ Enunciada em 1687 por Sr. Isaac Newton (1642-1727) em Philosophiae naturalis principia mathama-
tica[Principios matem´tica de filosofia natural, normalmente chamada de Principia](Londres, 1687). Anteriormente,
a
Galileo (1564-1642) generalizou os resultados dos seus pr´prios experimentos matem´ticos com suposi¸˜es equiva-
o a co
lentes a Primeira e Segunda Leis de Newton. Mas Galileu n˜o forneceu uma descri¸˜o completa da dinˆmica porque
a ca a
ele n˜o conhecia o significado da terceira Lei de Newton - e portanto faltou determinar preciamente o significado de
a
for¸a
c
† Senhor Arthur Eddington (Ed30, p. 124).
‡ O presente racioc´
ınio aqui, a saber, a Primeira e Segunda Leis s˜o realmente defini¸˜es e a Terceira Lei cont´m
a co e
a F´ısica, esta n˜o ´ a unica interpreta¸˜o poss´
a e ´ ca ıvel. Lindsay and Margenau (Li36), por exemplo, apresentam que as
duas primeira Leis s˜o Leis F´
a ˜
ısicas e entAo derivam a Terceira Lei como uma conseq¨ˆncia.
ue
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3. 2.2. LEIS DE NEWTON --- 49
direcionada ao longo de uma linha que une os objetos. Tais for¸as s˜o chamadas for¸as centrais;
c a c
a Terceira Lei ´ aplicada se a for¸a central ´ atrativa ou repulsiva. As for¸as gravitacional e ele-
e c e c
trost´tica s˜o for¸as centrais, assim as Leis de Newton podem ser usadas em problemas envolvendo
a a c
esses tipos de for¸as. As vezes for¸as el´sticas (as quais s˜o realmente manifesta¸˜es macrosc´picas
c c a a co o
de for¸as eletrost´ticas microsc´picas) s˜o centrais. Por exemplo, dois objetos pontuais conectados
c a o a
diretamente por uma mola ou corda el´tica s˜o sujeitos a for¸as que obedecem a Terceira Lei.
a a c
Alguma for¸a que depende da velocidade de intera¸˜o entre os corpos ´ n˜o central, e a Terceira
c ca e a
Lei n˜o pode ser aplicada. For¸as dependentes da velocidade s˜o cracter´
a c a ısticas de intera¸˜es que
co
se propagam com velocidades finitas. Assim a for¸a entre cargas em movimento n˜o obedece a
c a
Terceira Lei, porque a for¸a se propaga com a velocidade da luz. At´ mesmo a for¸a gravitacio-
c e c
nal entre corpos em movimento ´ dependente da velocidade, mas o efeito ´ pequeno e de dif´
e e ıcil
detec¸˜o. O unico efeito observado ´ a precess˜o do peri´lio dos planetas mais internos (visto na
ca ´ e a e
se¸˜o 8.9). Retornaremos a discuss˜o da Terceira Lei de Newton no Cap´
ca a ıtulo 9.
Para demonstrar o significado da Terceira Lei de Newton, vamos parafrase´-lo da seguinte
a
maneira, o qual incorpora a defini¸˜o apropriada de massa:
ca
III’. Se dois corpos constituiem um sistema ideal e isolado, ent˜o as acelera¸˜es destes corpos s˜o
a co a
sempre em dire¸˜es opostas, e a raz˜o da magnitude das acelera¸˜es ´ constante. Esta raz˜o
co a co e a
constante ´ o inverso da raz˜o das massas dos corpos.
e a
Com esse procedimento, podemos dar a defini¸˜o pr´tica de massa e dessa forma fornecer um signi-
ca a
ficado preciso para as equa¸˜es que resumem a dinˆmica Newtoniana. Para dois corpos isolados,
co a
1 e 2, a Terceira Lei diz que
F1 = −F2 (2.3)
Usando a defini¸˜o de for¸a como apresentado pela Segunda Lei, temos
ca c
dp1 dp2
=− (2.4a)
dt dt
ou, com massas constantes,
dv1 dv2
m1 = m2 − (2.4b)
dt dt
e, como a acelera¸˜o ´ derivada temporal da velocidade,
ca e
m1 (a1 ) = m2 (− a2 ) (2.4c)
Portanto,
m2 a1
=− (2.5)
m1 a2
onde o sinal negativo indica somente que os vetores acelera¸˜o est˜o em dire¸˜es opostas. A massa
ca a co
´ considerada uma grandeza positiva.
e
Sempre podemos selecionar, digamos, m1 como unidade de massa. Ent˜o, comparando a
a
rela¸˜o das acelera¸˜es onde m1 ´ permitido interagir com qualquer outro corpo, podemos deter-
ca co e
minar a massa do outro corpo. Para medir as acelera¸˜es, devemos ter rel´gios e r´guas apropria-
co o e
das; tamb´m, devemos escolher um sistema de coordenadas ou sistema de referˆncia adequado. A
e e
quest˜o de um “sistema de referˆncias adequado” ´ discutido na pr´xima se¸˜o.
a e e o ca
Um dos mais comuns m´todos de determina¸˜o de massa de um objeto ´ pela pesagem – por
e ca e
exemplo pela compara¸˜o de seu peso a de um padr˜o por meio de uma balan¸a de contra peso.
ca a c
Esse procedimento faz uso do fato que em um campo gravitacional o peso de um corpo ´ apenas
e
a for¸a gravitacional agindo no corpo; isto ´, a equa¸˜o de Newton F = ma se torna W = mg,
c e ca
onde g ´ acelera¸˜o devido a gravidade. A validade do uso desse procedimento apoia-se em uma
e ca
hip´tese fundamental: que a massa m que aparece na equa¸˜o de Newton ´ definida de acordo
o ca e
com enunciado III ´ igual a massa m que aparece na equa¸˜o da for¸a gravitacional. Essas duas
e ca c
massas s˜o chamadas de massa inercial e massa gravitacional, respectivamente. As defini¸˜es
a co
podem ser enunciadas como segue:
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4. 50 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
Massa Inercial: ´ a massa que determina a acelera¸˜o de um corpo sob a a¸˜o de uma dada
e ca ca
for¸a.
c
Massa Gravitacional: ´ a massa que determina as for¸as gravitacionais entre um corpo e
e c
outros corpos.
Galileu foi o primeiro a testar a equivalˆncia de massa inercial e massa gravitacional em
e
seu (possivelmente falso) experimento com quedas de objetos na Torre de Pisa. Newton tamb´m e
considereou o problema e mediu os per´ ıodos de pˆndulos de comprimento iguais mas com materiais
e
diferentes. Nem Newton nem Galileu encontraram qualquer diferen¸a mas os m´todos foram tanto
c e
rudimentares.∗ Em 1890 E¨tv¨s† inventou um m´todo engenhoso para testar a equivalˆncia das
o o e e
massas inerciais e gravitacionais. Usando dois ojetos feitos com materiais diferentes, ele comparou
o efeito da for¸a gravitacional da Terra (isto ´, o peso) com o efeito da for¸a inercial causada
c e c
pela rota¸˜o da terra. O experimento envolveu um m´todo de efeito nulo usando uma balan¸a de
ca e c
tor¸˜o sens´ e por essa raz˜o foi altamente preciso. Experiemntos mais recentes (notavelmente
ca ıvel a
os de Dicke ‡ ), usando essencialmente o mesmo m´todo teve melhor precis˜o, e sabemos agora que
e a
a massa inercial e a massa gravitacional s˜o idˆnticas dentro de algumas partes em 101 2. Esse
a e
resultado ´ consideravelmente importante na teoria geral da relatividade § . A afirma¸˜o da exata
e ca
igualadade da massa gravitacional ´ expressa com principio de equivalˆncia.
e e
A terceira lei de Newton ´ declarada em termos de dois corpos que consistem um sistema
e
´
isolado. E imposs´ ıvel alcan¸ar tal condi¸˜o ideal; cada corpo no universo interage com todos os
c ca
outros corpos, embora a for¸a de intera¸˜o possa ser muito fraca para ser de qualquer importˆncia
c ca a
pr´tica se grandes distˆncias s˜o envolvidas. Newton evitou a quest˜o de como distinguir o efeito
a a a a
desejado de todos os outros efeitos estranhos. Mas esta pr´tica dificilmente enfatizar´ sozinha a
a a
ca ´
enormidade da afirma¸˜o de Newton na Terceira Lei. E um tributo ` profundidade da percep¸˜o
a ca
dele e a perspic´cia f´
a ısica das conclus˜es baseando-se em observa¸˜es limitadas, prosperamente
o co
sustentou o teste de experimento por 300 anos. Apenas neste s´culo houve medidas com detal-
e
hes suficientemente relevantes contendo discrepˆncias com as predi¸˜es da teoria de Newton. A
a co
persegui¸˜o desses detalhes conduziu ao desenvolviemnto da teoria da relatividade e da mecˆnica
ca a
quˆntica¶ . Outra interpreta¸˜o da Terceira Lei de Newton ´ baseada no conceito de momento
a ca e
arranjando a Equa¸˜o 2.4a fornece
ca
d
(p1 + p2 ) = 0
dt
ou
p1 + p2 = constante (2.6)
A declara¸˜o que momento ´ conservado na intera¸˜o isolada de duas part´
ca e ca ıculas ´ um caso especial
e
de uma declara¸˜o mais geral conserva¸˜o de momento linear. F´
ca ca ısicos apreciam leis de con-
serva¸˜o gerais, e a conserva¸˜o de momento linear acredita-se ser sempre obedecida, mais tarde
ca ca
modificaremos nossas defini¸˜es de momento da Equa¸˜o ?? para altas velocidades aproximando-se
co ca
a velocidade da luz.
2.3 ˆ
SISTEMAS DE REFERENCIAS
Newton percebeu que, para as leis de movimento terem significado, o movimento dos corpos devem
ser medidos relativos ao mesmo sistema de refˆncia. O sistema de refˆncia ´ chamado de referˆncia
e e e e
inercial se as leis de Newton s˜o validas realmente neste sistema; que ´, se um corpo n˜o est´
a e a a
∗ Noexperimento de Newton, ele pode ter detectado uma diferen¸a de somente uma parte em 103 .
c
† Roland Van E¨tv¨s (1848- 1919) um conde H´ ngaro, sua pesquisa em problemas gravitacionais conduziram ao
o o u
desenvolvimento de um gravitˆmetro, o qual foi usado em estudos geol´gicos.
o o
‡ P. G. Roll, R. Krotkov e R. H. Dicke, Ann. Phys. (n.Y.) 26, 442 (1964) Ver tamb´m BraginsKy e Pavov, Sov.
e
Phys. - JETP 34, 463 (1972).
§ Ver, por exemplo, as discurss˜es feitas por P. G. Bergmann (Be96) eJ. Weber (We61). Olivro de Weber tamb´m
o e
fornece uma an´lise do experimento de E¨tv¨s.
a o o
¶ Ver tamb´m a Se¸˜o 2.8.
e ca
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a a (UNIFRA–2004)

5. ˆ
2.3. SISTEMAS DE REFERENCIAS --- 51
sujeito a for¸as externas move-se em uma linha reta com velocidade constante (ou se mant´m
c e
em repouso), ent˜o o sistema de coordenadas que estabelece este fato ´ um sistema de referˆncia
a e e
inercial. Esta ´ uma defini¸˜o operacional clara e um que tamb´m segue da teoria da relatividade
e ca e
geral.
Se as leis de Newton s˜o v´lidas em um sistema de referˆncia, ent˜o elas tamb´m s˜o v´lidas
a a e a e a a
em qualquer sistema de referˆncia em movimento uniforme (isto ´, n˜o acelerado) com respeito
e e a
ao primeiro sistema.∗ Este ´ um resultado do fato que a equa¸˜o F =m¨ envolve uma derivada
e ca r
segunda de r: Uma mudan¸a de coordenadas envolvendo uma velocidade constante n˜o influˆncia
c a e
a equa¸˜o. Este resultado ´ chamado de invariˆncia de Galileu ou princ´
ca e a ıpio da relatividade
Newtoniana.
A teoria da relatividade tem mostrado que os conceitos de repouso absolutos e um sistema de
referˆncia descrito inercial absoluto n˜o tem sentido. Ent˜o mesmo que adotemos um sistema de
e a a
referˆncia descrito com respeito `s estrelas “fixas” – e realmente tais sistemas as equa¸˜es Newto-
e a co
nianas s˜o v´lidas com um alto grau de precis˜o – tal sistema n˜o ´ na realidade um referˆncial
a a a a e e
inercial absoluto. Todavia podemos considerar as estrelas “fixas” para definir um sistema de re-
ferˆncia que se aproxima de um referˆncia inercial “absoluta” para que at´ certos pontos satisfa¸am
e e e c
ao nosso prop´sito.
o
Embora o sistema de referˆncia das estrelas-fixas seja um sistema convencionalmente defin´
e ıvel
e conveniente para muitos prop´sitos, devemos enfatizar que as defini¸˜es fundamentais de um
o co
referˆncial inercial n˜o fazem men¸˜es as estrelas fixas ou vice-versa. Se um corpo n˜o est´ sujeito
e a co a a
a for¸as e movimenta-se com velocidade constante em um certo referˆncial, este sistema ´, por
c e e
defini¸˜o um sistema de referˆncia inercial. Como a descri¸˜o precisa de movimento de um objeto
ca e ca
f´
ısico real no mundo f´ ısico real ´ normalmente dificil, usaremos idealiza¸˜es e aproxima¸˜es de
a co co
graus variados; isto ´: desprezaremos as for¸as mais fracas sobre o corpo se estas for¸as n˜o afetam
e c c a
significativamente o corpo.
Se desejarmos descrever o movimento de, digamos, de uma part´ ıcula livre e se escolhermos
para esse prop´sito algum sistema de coordenadas num referˆncial inercial, ent˜o requeremos que
o e a
a equa¸˜o (vetorial) do movimento da part´
ca ıcula seja independente da posi¸˜o da origem do sis-
ca
tema coordenado e independente de sua orienta¸˜o no espa¸o. Al´m disso iremos requerer que
ca c e
o tempo seja homogˆneo; isto ´, uma part´
e e ıcula livre movendo-se com velocidade constante no
sistema coordenado durante um certo intervalo de tempo que n˜o deve ser durante um intervalo
a
de tempo posterior, seja encotrado movendo-se com velocidade diferente.
Podemos ilustrar a importˆncia dessas propriedades pelo seguinte exemplo. Considere como
a
na Figura 2-1, uma part´ ıcula livre movendo-se ao longo de uma trajet´ria AC. Para descrever o
o
movimento da part´ ıcula, vamos escolher um sistema de coordenadas retangulares no qual a origem
de move em um c´ ırculo, como mostrado. Para simplificar, vamos formar a orienta¸˜o dos eixos fixo
ca
no espa¸o. A part´
c ıcula move-se com uma velocidade relativa vp relativo a um referencial inercial.
Se o sistema de coordenadas move-se com uma velocidade linear vc quando passa no ponto B, e
se vc = vp , ent˜o para um observador no sistema de coordenadas m´vel a part´
a o ıcula (em A) parece
estar em repouso. Algum tempo depois, no entanto, quando a part´ ıcula est´ em C e o sistema
a
de coordenadas em D, a part´ ıcula parecer´ estar acelerada em rela¸˜o ao observador. Devemos,
a ca
portanto, concluir que o sitema de coordenadas em rota¸˜o n˜o pode ser considerado um referencial
ca a
inercial.
Estas observa¸˜es n˜o s˜o suficientes para decidir se o tempo ´ homogˆneo. Para alcan¸ar
co a a e e c
semelhantes conclus˜es, repetidas medidas devem ser feitas em situa¸˜es idˆnticas em diversos
o co e
instantes de tempo; idˆnticos resultados indicar˜o a homogeneidade do tempo.
e a
As equa¸˜es de Newton n˜o descrevem o movimento dos corpos em sistemas de referˆncia n˜o-
co a e a
inercial. Podemos desenvolver um m´todo para descrever o movimento de uma part´
e ıcula para um
sistema de coordenadas em rota¸˜o, mas, como ser´ visto no Cap´
ca a ıtulo 10, as equa¸˜es resultantes
co
∗ No Cap´ıtulo 10, discutiremos as modifica¸˜es que devem ser feitas nas equa¸˜es de Newton se desejamos
co co
descrever o movimento de um corpo em rela¸˜o a um sistema de referˆncia n˜o inercial, isto ´, um referˆncia que
ca e a e e
est´ acelerado em rela¸˜o a um referˆncia inercial.
a ca e
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6. 52 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
FIGURA 2-1
contˆm v´rios termos que n˜o aparecem na simples equa¸˜o Newtoniana F = ma. Para o momento,
e a a ca
ent˜o, restringimos nossa aten¸˜o para os sistemas de referˆncia inercial para descrever a dinˆmica
a ca e a
de part´ıculas.
2.4 A EQUACAO DO MOVIMENTO PARA UMA PART´
¸˜ ICULA
A equa¸˜o newtoniana F = dp/dt podem expressar alternativamente como
ca
d dv
F= (mv) = m = m¨
r (2.7)
dt dt
se adotarmos que a massa m n˜o varia com o tempo. Esta ´ uma equa¸˜o diferencial de segunda
a e ca
ordem que pode ser integrada para encontrar r = r(t) se a fun¸˜o F ´ conhecida.
ca e
Especificando os valores iniciais de r e r = v obtemos as duas constantes arbrit´rias da
˙ a
integra¸˜o. Ent˜o determinamos o movimento da part´
ca a ıcula pela fun¸˜o da for¸a F e os valores
ca c
iniciais para a posi¸˜o r e a velocidade v.
ca
A for¸a F pode ser uma fun¸˜o de alguma combina¸˜o da posi¸˜o, velocidade e tempo, e
c ca ca ca
´ geralmente denotada como F(r, v, t). Para um certo sistema dinˆmico, normalmente queremos
e a
saber r e v como uma fun¸˜o do tempo. Isto ´ obtido resolvendo a Equa¸˜o 2.7 em ¨. A aplica¸˜o
ca e ca r ca
da Equa¸˜o 2.7 para situa¸˜es f´
ca co ısicas ´ uma importante parte da mecˆmica.
e a
Neste cap´ ıtulo, estudaremos v´rios exemplos no qual a fun¸˜o for¸a ´ conhecida. Iniciaremos
a ca c e
usando fun¸˜es for¸a mais simples (constante ou dependente somente de r, ou v ou t) em uma
co c
dimens˜o espacial somente, como uma revis˜o das disciplinas b´sicas de f´
a a a ısica. Isso ´ importante
e
a ca ˜
para formar bons h´bitos na resolu¸˜o de problemas. Abaixo sAo apresentadas algumas t´cnicas e
uteis para resolver problemas.
´
1. Fazer um esbo¸o (esquema gr´fico – desenho) do problema, indicando as for¸as, velocidade
c a c
e assim por diante.
2. Escreva as grandezas e seus valores fornecidos.
3. Escreva as equa¸˜es que ser˜o utilizadas e o que ´ para ser determinanado.
co a e
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7. 2.4. A EQUACAO DO MOVIMENTO PARA UMA PART´
¸˜ ICULA --- 53
4. As equa¸˜es que descrevem o problema normalmente devem ser manipuladas a fim de achar
co
a grandeza procurada. Manipula¸˜es alg´bricas bem como a diferencia¸˜o ou integra¸˜o s˜o
co e ca ca a
usualmente exigidas. Algumas vezes c´lculos num´ricos usando o computador s˜o mais f´ceis,
a e a a
se for o unico m´todo para a solu¸˜o.
´ e ca
5. Finalmente, coloque os valores reais fornecidos, para obter os valores das vari´veis das gran-
a
dezas procuradas.
Vamos considerar o problema do bloco deslizando no plano inclinado. O ˆngulo do plano inclinado
a
´ θ e a massa do bloco ser´ 100 g. O esquema do problema ´ mostrado na Figura 2-2a.
e a e
E X E M P L O 2.1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
Se um bloco desliza sem atrito sob um plano inclinado fixo, θ = 30o , qual ´ a acelera¸˜o
e ca
deste?
FIGURA 2-2
Solu¸˜o: Duas for¸as atuam no bloco (ver Figura 2-2a): a for¸a gravitacional Fg e a for¸a normal
ca c c c
do plano N empurrando para cima no bloco (sem atrito neste exemplo). O bloco ´ pressionado
e
para ficar sobre o plano, e a unica dire¸˜o que ele pode se mover ´ na dire¸˜o x, subindo e descendo
´ ca e ca
o plano. N´s tomamos a dire¸˜o + x para descer o plano. A for¸a resultante F ´ constante; a
o ca c e
Equa¸˜o 2.7 se torna
ca
F = Fg + N
e porque F ´ a for¸a resultante do sistema que atua no bloco,
e c
F = m¨
r
ou
Fg + N = m¨
r (2.8)
Este vetor deve ser aplicado em duas dire¸˜es: x e y (perpendicular a x). A componente da
co
for¸a na dire¸˜o y ´ zero, porque n˜o ocorre acelera¸˜o nesta dire¸˜o. A for¸a Fg est´ dividida
c ca e a ca ca c a
vetorialmente dentro de suas componentes x e y (linhas na Figura ??a). A Equa¸˜o 2.8 se torna
ca
dire¸˜o y
ca
−Fg cos θ + N = 0 (2.9)
dire¸˜o x
ca
Fg sin θ = m¨
x (2.10)
Projeto AIUTA – Mecˆnica Cl´ssica I
a a (UNIFRA–2004)

8. 54 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
com o resultado adquirido
Fg mg sin θ
x=
¨ sin θ = = g sin θ
m m
g
x = g sin (30◦ ) = = 4.9m/s2
¨ (2.11)
2
Portanto, a acelera¸˜o do bloco ´ constante.
ca e
Podemos encontrar a velocidade do bloco ap´s este se mover do repouso uma distˆncia x0
o a
descendo o plano pela multiplica¸˜o da Equa¸˜o 2.11 por 2x e integrando
ca ca ˙
2x¨ = 2xg sin θ
˙x ˙
d 2 dx
(x ) = 2g sin θ
˙
dt dt
2
v0 x0
d(x2 ) = 2g sin θ
˙ dx
0 0
Para t = 0, ambos x = x = 0, e, para t = tf inal , x = x0 , e a velocidade x = v0 .
˙ ˙
2
v0 = 2g sin θx0
v0 = 2g sin θx0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
E X E M P L O 2.2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Se o coeficiente de atrito est´tico entre o bloco e o plano previsto do exemplo anterior
a
´ µs = 0.4, em que ˆngulo θ o bloco come¸ar´ a deslizar se estiver inicialmente em
e a c a
repouso?
Solu¸˜o: Necessitamos de uma for¸a de atrito adicional f (veja Figura 2.2b). A for¸a de atrito
ca c c
est´tica tem o valor m´ximo aproximado
a a
fmax = µs N (2.12)
e a Equa¸˜o 2.7 torna-se, na forma de suas componentes,
ca
dire¸˜o y
ca
−Fg cos θ + N = 0 (2.13)
dire¸˜o x
ca
−fs + Fg sin θ = m¨
x (2.14)
A for¸a de atrito est´tica fs ter´ algum valor entre fs ≤ fmax para manter x = 0 – para manter o
c a a ¨
bloco em repouso. Entretanto, o ˆngulo θ do plano aumenta, logo a for¸a de atrito est´tica ser´
a c a a
incapaz de manter o bloco no repouso. Nesse ˆngulo θ , fs torna-se
a
fs (θ = θ ) = fmax = µs N = µs Fg cos θ
e
m¨ = Fg sin θ − fmax
x
m¨ = Fg sin θ − µs Fg cos θ
x
x = g(sin θ − µs cos θ)
¨ (2.15)
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9. 2.4. A EQUACAO DO MOVIMENTO PARA UMA PART´
¸˜ ICULA --- 55
Imediatamente antes do bloco come¸ar deslizar, a acelera¸˜o ´ x = 0, assim
c ca e ¨
sin θ − µs cos θ = 0
tan θ = µs = 0.4
θ = tan−1 (0.4) = 22◦
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
E X E M P L O 2.3 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Depois que o bloco do exemplo anterior come¸a a deslizar, o coeficiente da fric¸˜o
c ca
cin´tica (do movimento) torna-se µk = 0.3. Encontre a acelera¸˜o para o ˆngulo de
e ca a
θ = 30o .
Solu¸˜o: Similarmente ao Exemplo 2.2, a fric¸˜o cin´tica torna-se (aproximadamente)
ca ca e
fk = µk N = µk Fg cos θ (2.16)
e
m¨ = Fg sin θ − fk = mg(sin θ − µk cos θ)
x (2.17)
x = g(sin θ − µk cos θ) = 0.24g
¨ (2.18)
Geralmente, a for¸a de fric¸˜o est´tica (fmax = µs N ) ´ maior que aquela da fric¸˜o cin´tica
c ca a e ca e
(fk = µk N ). Isto pode ser observado em uma experiˆncia simples. Se diminuirmos o ˆngulo θ
e a
abaixo de 16.7o , encontramos que x < 0, e o bloco permanece parado. Se levantarmos o apoio do
¨
bloco acima de θ = 16.7o , encontramos que o bloco n˜o inicia o movimento novamente at´ que
a e
θ ≥ 22o . A fric¸˜o est´tica determina quando o movimento tem in´ novamente. N˜o h´ uma
ca a ıcio a a
acelera¸˜o descontinua enquanto o bloco come¸a se mover devido a diferen¸a entre µs e µk . Para
ca c c
velocidades pequenas, o coeficiente de fric¸˜o muda rapidamente de µs a µk .
ca
O assunto da fric¸˜o ´ ainda uma ´rea de pesquisa interessante e importante. H´ sempre
ca e a a
algumas surpresas. Por exemplo, mesmo que calcul´ssemos o valor absoluto da for¸a de fric¸˜o
a c ca
como f = µN , a pesquisa mostrou que a for¸a de fric¸˜o ´ diretamente proporcional, n˜o `
c ca e a a
carga, mas ` ´rea de contato microsc´pica entre os dois objetos (ao contr´rio da ´rea de contato
aa o a a
aparente). N´s usamos o µN como uma aproxima¸˜o porque, enquanto N aumenta, ”faz assim a
o ca
a
´rea de contato real em um n´ microsc´pico”. Por centenas de anos antes dos 1940s, aceitou-se
ıvel o
que a carga – e n˜o a ´rea – eram respons´veis diretamente. Acreditamos tamb´m que a for¸a de
a a a e c
fric¸˜o est´tica ´ maior que aquela de fric¸˜o cin´tica porque a liga¸˜o dos ´tomos entre os dois
ca a e ca e ca a
objetos n˜o tem como se desenvolver por muito tempo no movimento cin´tico.
a e
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
EFEITO DAS FORCAS DE RETARDAMENTO
¸
Devemos enfatizar que a for¸a F na Equa¸˜o 2.7 n˜o ´ necessariamente constante, e de fato, ela
c ca a e
pode consistir de v´rias partes distintas, como vimos nos exemplos anteriores. Por exemplo, se
a
uma part´ıcula cai num campo gravitacional constante, a for¸a gravitacional ´ Fg = mg, onde g ´
c e e
a acelera¸˜o da gravidade. Se conjuntamente, existe uma for¸a de retardamento Fr e que ´ uma
ca c e
fun¸˜o da velocidade instantˆnea, ent˜o a for¸a total ´
ca a a c e
F = Fg + Fr
= mg + Fr (v) (2.19)
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10. 56 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
Geralmente ´ suficiente considerar que Fr (v) ´ simplesmente proporcional a alguma potˆncia da
e e e
velocidade. Em geral, as for¸as de retardamento reais s˜o mais complicadas, mas a aproxima¸˜o
c a ca
pela lei das potˆncias ´ util em muitas ocasi˜es na qual a velocidade n˜o tem grandes varia¸˜es.
e e ´ o a co
Neste caso, se Fr ∝ v n , ent˜o a equa¸˜o de movimento pode geralmente ser integrada diretamente
a ca
ao passo que, se a real dependˆncia da velocidade for usada, provavelmente ser´ necess´rio uma
e a a
integra¸˜o num´rica. Com a aproxima¸˜o da lei da potˆncia, podemos escrever
ca e ca e
v
F = mg − mkv n (2.20)
v
onde k ´ uma constante positiva que especifica o poder da for¸a de retardamento e v/v ´ um vetor
e c e
unit´rio na dire¸˜o de v. Experimentalmente, encontramos que, para um objeto relativamente
a ca
pequeno movendo-se no ar, n ∼ 1 para velocidades menores que aproximadamente 24 m/s (∼ 80
=
ft/s). Para altas velocidades mas com valores abaixo da velocidade do som (∼ 330 m/s ou 1.100
ft/s), a for¸a de retardamento ´ aproximadamente proporcional ao quadrado da velocidade.∗ Para
c e
simplificar, a dependˆncia de v 2 quase sempre ´ usada para velocidades acima da velocidade do
e e
som.
O efeito da resistˆncia do ar ´ importante, por exemplo, para um jogo de ping-pong, uma bola
e e
leve movendo-se velozmente desvia sua trajet´ria e, para um proj´til de morteiro lan¸ado contra um
o e c
inimigo. Extensa tabelas foram constru´ ıdas para proj´teis bal´
e ısticos militares de diferentes tipos
com a velocidade em fun¸˜o do tempo de vˆo. Existem v´rias for¸as atuando sobre um proj´til
ca o a c e
em vˆo. A resistˆncia do ar ´ chamada de for¸a de arraste W e ´ oposta a velocidade do proj´til,
o e e c e e
como mostra a Figura 2-3a. A velocidade v n˜o ´ normalmente paralela ao eixo de simetria do
a e
proj´til. O componente da for¸a atuando perpendicularmente a for¸a de arraste ´ conhecida, como
e c c e
for¸a de ascens˜o La . Deve haver tamb´m outras for¸as devido a rota¸˜o e oscila¸˜o do proj´til, e
c a e c ca ca e
um c´lculo da trajet´ria bal´
a o ıstica do projeto ´ extremamente complexo. A express˜o de Prandtl
e a
para resistˆncia do ar†´
e e
1
W = cW ρAv 2 (2.21)
2
onde cW ´ o coeficiente de arraste adimensional, ρ ´ a densidade do ar, v ´ a velocidade e A
e e e
´ a ´rea da sec¸˜o reta do objeto (proj´til) medida perpendicularmente com a velocidade. Nas
e a ca e
Figuras 2-3b, plotamos alguns valores t´ıpicos para cW , e nas Figuras 2-3c e d podemos calcular a
resistˆncia W usada na Equa¸˜o 2.21 para um proj´til de diˆmetro 10 cm e usando os valores de cW
e ca e a
apresentados. A resistˆncia do ar aumenta drasticamente pr´ximo ` velocidade do som (n´mero de
e o a u
Mach M = velocidade/velocidade do som). Abaixo das velocidades de aproximadamente 400 m/s
´ evidente que uma equa¸˜o de pelo menos segundo grau ´ necess´ria para descrever a for¸a de
e ca e a c
resistˆncia. Para altas velocidades, o retardamento da for¸a varia aproximadamente linearmente
e c
com a velocidade.
V´rios exemplos de movimento de uma part´
a ıcula sujeita a v´rias for¸as s˜o descritas a se-
a c a
guir. Esses exemplos s˜o particularmente bons para a inicia¸˜o a c´lculos computacionais usando
a ca a
alguns dos programas comerciais de matem´tica simb´lica, de planilhas ou para os estudantes es-
a o
creverem seus pr´prios programas. Os resultados computacionais, especialmente os gr´ficos podem
o a
muitas vezes ser comparados com os resultados anal´ ıticos apresentamos aqui. Algumas das Figu-
ras mostradas nesta se¸˜o foram produzidas usando c´lculos computacionais, e v´rios problemas
ca a a
propostos no final do cap´ ıtulo s˜o propostos para os estudantes iniciarem experiˆncias no uso do
a e
computador, se assim desejar o professor ou estudante.
∗ O movimento de uma part´ ıcula num meio na qual h´ uma for¸a resistente proporcional a velocidade ou com o
a c
quadrado da velocidade (ou uma combina¸˜o linear das duas) foi estudado por Newton em seu Principia (1687). A
ca
extens˜o para alguma potˆncia da velocidade foi feito por Joham Bernoulli em 1711. O termo lei da resistˆncia de
a e e
Stokes ´ algumas vezes aplicada para uma for¸a resistente proporcional a velocidade; a lei da resistˆncia de Newton
e c e
´ uma for¸a de retardamento proporcional ao quadrado da velocidade.
e c
† Veja o artigo de E. Melchior e H. Reuschel no “Handbook on Weaponry” (Rh82, p.137)
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11. 2.4. A EQUACAO DO MOVIMENTO PARA UMA PART´
¸˜ ICULA --- 57
FIGURA 2-3 (a) For¸as aerodinˆmicas agindo no proj´til. W ´ a for¸a de arraste (for¸a da resistˆncia do ar) e ´ oposta
c a e e c c e e
a velocidade do proj´til v. Observe que v dever´ estar num ˆngulo α com o eixo da simetria do proj´til. O componente
e a a e
da for¸a de a¸˜o perpendicular a for¸a de arraste ´ chamada de for¸a de ascens˜o Fa . O ponto D ´ o centro de press˜o.
c ca c e c a e a
Finalmente, a for¸a gravitacional Fg age para baixo. Se o centro de press˜o n˜o est´ no centro de massa do proj´til, h´
c a a a e a
tamb´m um torque em torno do centro de massa. (b) O coeficiente de arraste cW , da lei de resistˆncia de Rheinmetall
e e
(Rh82), ´ plotado como fun¸˜o do n´ mero M de Mach . Observe a grande varia¸˜o pr´xima da velocidade do som onde
e ca u ca o
M = 1. (c) A for¸a de resistˆncia do ar W (for¸a de arraste) ´ mostrada com uma fun¸˜o da velocidade para um proj´til de
c e c e ca e
diˆmetro igual a 10 cm. Observe a inflex˜o pr´xima da velocidade do som. (d) Mesma an´lise de (c) para altas velocidades.
a a o a
E X E M P L O 2.4 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
Como um exemplo simples de movimento resistivo de uma part´
ıcula, encontramos o
movimento e a velocidade do movimento horizontal em um meio em que a for¸a de
c
retardamento ´ proporcional a velocidade
e
Solu¸˜o: Um esbo¸o do problema ´ mostrado na Figura 2-4. A Equa¸˜o Newtoniana F = ma
ca c e ca
fornece-nos equa¸˜o de movimento: dire¸˜o x
ca ca
dv
ma = m = −kmv (2.22)
dt
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12. 58 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
FIGURA 2-4
onde kmv ´ a magnitude da for¸a de resistˆncia (k = constante). Portanto
e c e
dv
= −k dt
v
ln v = −kt + C1 (2.23)
A integra¸˜o constante na Equa¸˜o 2.23 pode ser avaliada se prescrevermos a condi¸˜o inicial
ca ca ca
v(t = 0) ≡ v0 . Logo C1 = ln v0 , e
v = v0 e−kt (2.24)
Podemos integrar esta equa¸˜o para obter o deslocamento x como fun¸˜o do tempo:
ca ca
dx
v= = v0 e−kt
dt
v0 −kt
x = v0 e−kt dt = − e + C2 (2.25a)
k
A condi¸˜o inicial x(t = 0) ≡ 0 implica C2 = v0 /k. Ent˜o
ca a
v0
x= (1 − e−kt ) (2.25b)
k
Este resultado mostra que x aproxima-se do valor v0 /k conforme t → ∞.
Podemos tamb´m obter a velocidade como fun¸˜o do deslocamento escrevendo
e ca
dv dv dt dv 1
= = .
dx dt dx dt v
portanto
dv dv
v = = −kv
dx dt
ou
dv
= −k
dx
para a qual encontramos, usando as mesmas condi¸˜es iniciais,
co
v = v0 − kx (2.26)
Portanto, a velocidade decresce linearmente com o deslocamento.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
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a a (UNIFRA–2004)

13. 2.4. A EQUACAO DO MOVIMENTO PARA UMA PART´
¸˜ ICULA --- 59
E X E M P L O 2.5 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Encontre o deslocamento e a velocidade de uma part´
ıcula que se encontra em mo-
vimento vertical em um meio que tem uma for¸a de retardamento proporcional `
c a
velocidade.
Solu¸˜o: Considere uma part´
ca ıcula caindo com velocidade inicial v0 de uma altura h e campo
gravitacional constante (Figura 2.5). A equa¸˜o de movimento ´
ca e
dire¸˜o z
ca
dv
F =m = −mg − kmv (2.27)
dt
onde −kmv representa a for¸a positiva para cima desde z onde v = z no sentido positivo para cima,
c ˙
assim como o movimento para baixo - isto ´, v < 0, assim −kmv > 0. A partir da Equa¸˜o 2.27,
e ca
temos
dv
= −dt (2.28)
kv + g
Integrando a Equa¸˜o 2.28 e considerando v(t = 0) ≡ v0 , temos (notando que v0 < 0)
ca
1
ln(kv0 + g) = −t + c
k
kv + g = e−kt+kc
dz g kv0 + g −kt
v= =− + e (2.29)
dt k k
Integrando mais uma vez e calculando a constante no sentido z(t = 0) ≡ h, temos
gt kv0 + g
z =h− + (1 − e−kt ) (2.30)
k k2
FIGURA 2-5
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a a (UNIFRA–2004)

14. 60 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
FIGURA 2-6
A Equa¸˜o 2.29 mostra que enquanto o tempo se torna muito longo, a velocidade se aproxima do
ca
valor limite −g/k; esta ´ chamada velocidade terminal, vt . A Equa¸˜o 2.27 resulta no mesmo
e ca
resultado, porque a for¸a desaparecer´ – e daqui nenhum acceleration mais adicional ocorrer´ –
c a a
quando v = −g/k. Se a velocidade inicial exceder a velocidade terminal em magnitude, ent˜o a
o corpo come¸a imediatamente a retardar para baixo e v aproxima-se da velocidade terminal
c
na dire¸˜o oposta. A Figura 2-6 ilustra estes resultados para velocidades descendentes (valores
ca
positivos).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
E X E M P L O 2.6 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Em seguida, tratamos o movimento do proj´til em duas dimens˜es, primeiramente
e o
sem considerar a resistˆncia do ar. Deixe a velocidade do a¸aime do proj´til ser v0
e c e
e o ˆngulo de eleva¸˜o ser θ (Figura 2-7). Calcule o deslocamento, a velocidade, e o
a ca
alcance do proj´til.
e
FIGURA 2-7
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15. 2.4. A EQUACAO DO MOVIMENTO PARA UMA PART´
¸˜ ICULA --- 61
Solu¸˜o: Usando F = mg , as componentes da for¸a tornam-se
ca c
dire¸˜o x
ca
0 = m¨ x (2.31a)
dire¸˜o y
ca
−mg = m¨
y (2.31b)
Desconsiderando a altura da arma, e assumindo x = y = 0 e t = 0. Ent˜o
a
x=0
¨
x = v0 cos θ
˙
x = v0 t cos θ (2.32)
e
y = −g
¨
y = −gt + v0 sin θ
˙
−gt2
y= + v0 t sin θ (2.33)
2
A velocidade e o deslocamento total como fun¸˜es do tempo s˜o encontrados por:
co a
v= x2 + y 2 = (v0 + g 2 t2 − 2v0 gt sin θ)1/2
˙ ˙ 2
(2.34)
e
1/2
g 2 t4
r= x2 + y 2 = v0 t2 +
2
− v0 gt3 sin θ (2.35)
4
Podemos encontrar o alcance determinando o valor de x quando o proj´til atinge o solo, isto ´ ,
e e
quando y = 0
−gt
y=t + v0 sin θ =0 (2.36)
2
Um valor de y = 0 ocorre para t = 0 e o outro para t = T .
−gT
+ v0 sin θ = 0
2
2v0 sin θ
T = (2.37)
g
O alcance R ´ encontrado a partir de
e
2
2v0
x(t = T ) = alcance = sin θ cos θ (2.38)
g
2
v0
R = alcance = sin 2θ (2.39)
g
Observe que o alcance m´ximo ocorre para θ = 45◦ .
a
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16. 62 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
Vamos usar algum n´mero atual nestes c´lculos. Os alem˜es usaram uma arma de longo
u a a
alcance nomeada Grande Cabina na Primeira Guerra Mundial que bombardeou Paris. O m´ ıssel
chegou a uma velocidade de 1, 450m/s. Encontre o alcance previsto, a altura m´xima do proj´til,
a e
e o tempo de vˆo do proj´til se θ = 55◦ . Temos v0 = 1, 450m/s e θ = 55o , assim (da Equa¸˜o 2.39)
o e ca
o alcance torna-se
(1450m/s)2
R= [sin (110o )] = 202km
9.8m/s2
a Grande Cabina atual alcan¸a 120km . A diferen¸a ´ um resultado do efeito real da resistˆncia
c c e e
do ar.
Para encontrar a altura m´xima atingida, precisamos calcular y para o tempo T /2 onde T ´
a e
o tempo de vˆo do proj´til:
o e
(2)(1450m/s)(sin 55o )
T = = 242s
9.8m/s2
T −gT 2 v0 T
ymax t = = + sin θ
2 8 2
−(9.8m/s)(242s)2 (1450m/s)(242s) sin (55o )
= +
8 2
= 72km
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
E X E M P L O 2.7 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
A seguir, adicionamos os efeitos da resistˆncia do ar no movimento do proj´til do
e e
exemplo anterior. Calcule o decrescimento do alcance deste supondo que a for¸a cau-
c
sada pela resistˆncia do ar seja diretamente proporcional ` velocidade do proj´til.
e a e
Solu¸˜o: As condi¸˜es iniciais s˜o as mesmas do exemplo anterior.
ca co a

x(t = 0) = 0 = y(t = 0)


x(t = 0) = v0 cos θ ≡ U
˙ (2.40)



y(t = 0) = v0 sin θ ≡ V
˙

Entretanto, as equa¸˜es do movimento, Equa¸˜o 2.31, torna-se
co ca
m¨ = −kmx
x ˙ (2.41)
m¨ = −kmy − mg
y ˙ (2.42)
A Equa¸˜o 2.41 ´ exatamente a mesma usada no Exemplo 2.4. A solu¸˜o ´, portanto
ca e ca e
U
x= (1 − e−kt ) (2.43)
k
Similarmente, a Equa¸˜o 2.42 ´ a mesma em rela¸˜o ` equa¸˜o do movimento no Exemplo 2.5.
ca e ca a ca
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17. 2.4. A EQUACAO DO MOVIMENTO PARA UMA PART´
¸˜ ICULA --- 63
Podemos usar a solu¸˜o encontrada neste exemplo com a condi¸˜o de h = 0 (o fato que considera-
ca ca
mos a part´ıcula a ser projetada em declive no Exemplo 2.5 ´ de que n˜o h´ conseq¨ˆncia. O sinal
e a a ue
da velocidade inicial automaticamente leva isto ao c´lculo.) Portanto
a
gt kV + g
y=−
+ (1 − e−kt ) (2.44)
k k2
A trajet´ria ´ mostrada na Figura 2-8 por v´rios valores do retardamento da for¸a constante k que
o e a c
´ dado pelo vˆo do proj´til.
e o e
O alcance R , o qual ´ o alcance incluindo a resistˆncia do ar, pode ser encontrado previa-
e e
mente pelo calculo do tempo T requerido pela trajet´ria inteira e ent˜o, substituindo este valor na
o a
Equa¸˜o 2.43 por x. Este tempo T ´ encontrado previamente pela descoberta que t = T quando
ca e
y = 0. Da Equa¸˜o 2.44, encontramos
ca
kV + g
T = (1 − e−kt ) (2.45)
gk
Esta ´ uma equa¸˜o transcendental, e, portanto, n˜o podemos obter uma express˜o anal´
e ca a a ıtica para
T . Apesar de tudo n´s ainda temos m´todos poderosos para usar para solucionar tais problemas.
o e
FIGURA 2-8 As trajet´rias calculadas, da part´
o ıcula na resistˆncia do ar (Fres = −kmv) para v´rios valores de k ( nas
e a
unidades s−1 ). Os c´lculos foram apresentados para valores de θ = 60◦ e v0 = 600m/s. Os valores de y (Equa¸˜o 2.44)
a ca
s˜o marcados versus x (Equa¸˜o 2.43).
a ca
Apresentamos dois deles aqui: (1) o m´todo de perturba¸˜o para encontrar uma solu¸˜o apro-
e ca ca
ximada, e (2) o m´todo num´rico, o qual, pode normalmente ser constatado como o desejado.
e e
Compararemos os resultados.
M´todo de Perturba¸˜o. Para usar o m´todo de perturba¸˜o, encontramos um parˆmetro de
e ca e ca a
expans˜o ou uma fun¸˜o constante que ´ normalmente pequeno. No presente caso, este parˆmetro
a ca e a
´ o retardamento da constante k, porque j´ t´
e a ınhamos solucionado o presente problema com k = 0,
e agora poder´ıamos manter o retardamento da for¸a, mas deixar o k ser pequeno. Entretanto, se
c
expandirmos o termo exponencial da Equa¸˜o 2.45 (veja Equa¸˜o D.34 do Apˆndice D) na s´rie de
ca ca e e
for¸as com inten¸˜o de manter somente os termos mais baixos de k n , onde k ´ o nosso parˆmetro
c ca e a
de expans˜o.
a
kV + g 1 1
T = kT − k 2 T 2 + k 3 T 3 − ... (2.46)
gk 2 6
Projeto AIUTA – Mecˆnica Cl´ssica I
a a (UNIFRA–2004)

18. 64 --- 2 / MECANICA NEWTONIANA – PART´
ˆ ´
ICULA UNICA
Se mantivermos somente termos na expans˜o atrav´s do k 3 , esta equa¸˜o pode ser reestruturada
a e ca
na forma
2V /g 1
T = + kT 2 (2.47)
1 + kV /g 3
Agora, temos o parˆmetro de expans˜o k no denominador do primeiro termo no lado direito da
a a
equa¸˜o. Precisamos expandir esse termo em uma s´rie de for¸as (S´ries de Taylor, ver Equa¸˜o
ca e c e ca
D.8 do Apˆndice D):
e
1
= 1 − (kV /g) + (kV /g)2 − ... (2.48)
1 + kV /g
Onde podemos manter somente temos atrav´s de k 2 , pois somente temos termos atrav´s de k na
e e
Equa¸˜o 2.47. Se inserirmos esta expans˜o da Equa¸˜o 2.48 no primeiro termo do lado direito da
ca a ca
Equa¸˜o 2.47 e mantermos somente os termos em k para primeira ordem, temos
ca
2V T2 2V 2
T = + − 2 k + O(k 2 ) (2.49)
g 3 g
No qual escolhemos excluir o O(k 2 ), os termos da orem k 2 e mais altos. No limite k → 0 (sem
resistˆncia do ar), a Equa¸˜o 2.49 nos mostra o mesmo resultado que no exemplo anterior:
e ca
2V 2v0 sin θ
T (k = 0) = T0 = =
g g
Entretanto, se k ´ pequeno (mas n˜o foi totalmente exclu´
e a ıdo) o tempo do vˆo ser´ aproximadamente
o a
igual a T0 . Ent˜o se usarmos este valor aproximado para T = T0 no lado direito da Equa¸˜o 2.49
a ca
teremos
2V kV
T ∼
= 1− (2.50)
g 3g
a qual ´ desejada uma express˜o aproximada para o tempo de vˆo.
e a o
A seguir escrevemos a equa¸˜o para x (Equa¸˜o 2.43) na forma expandida:
ca ca
U 1 1
x= kt − k 2 t2 + k 3 t3 − ... (2.51)
k 2 6
J´ que x(t = T ) ≡ R , temos aproximadamente para o alcance
a
1
R ∼ U T − kT 2
= (2.52)
2
onde, novamente, mantemos os termos somente atrav´s da primeira ordem do k. Agora podemos
e
avaliar esta express˜o pelo uso do valor de T da Equa¸˜o 2.50. Se mantermos somente os termos
a ca
lineares no k, encontramos
2U v 4kV
R ∼
= 1− (2.53)
g 3g
A quantidade 2U V /g agora pode ser escrita (usando as Equa¸˜es 2.40) como
co
2U v 2v 2 v2
= 0 sin θ cos θ = 0 sin 2θ = R (2.54)
g g g
As quais podem ser reconhecidas em rela¸˜o ao alcance R do proj´til quando a resistˆncia do ar ´
ca e e e
desprezada. Ent˜o
a
4kV
R ∼R 1−
= (2.55)
3g
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19. 2.4. A EQUACAO DO MOVIMENTO PARA UMA PART´
¸˜ ICULA --- 65
Al´m dessa s´rie de valores de k podemos esperar que nosso m´todo de perturba¸˜o esteja correto?
e e e ca
Se olharmos a expans˜o na Equa¸˜o 2.48, vemos que a expans˜o n˜o ir´ convergir a n˜o ser que
a ca a a a a
kV /g < 1 ou k < g/V , e na verdade gostar´
ıamos que k << g/V = g/(v0 sin θ).
M´todo Num´rico. A Equa¸˜o 2.45 pode ser resolvida numericamente usando um computador
e e ca
por uma variedade de m´todos, estabelecemos a volta para solucionar a equa¸˜o para T por
e ca
muitos valores de k at´ 0, 08s−1 : Ti (ki ). Estes valores de T e k est˜o inseridos na Equa¸˜o 2.43
e a ca
para encontrar o alcance R , o qual ´ mostrado na Figura 2-9. O alcance decai rapidamente com
e
o aumento da resistˆncia do ar, exatamente como esperamos, mas n˜o ´ mostrada a dependˆncia
e a e e
linear sugerida pela solu¸˜o do m´todo de perturba¸˜o da Equa¸˜o 2.55.
ca e ca ca
Para o movimento do proj´til descrito nas Figuras 2-8 e 2-9, a aproxima¸˜o linear n˜o est´
e ca a a
constatada para os valores de k t˜o baixos quanto 0.01s−1 e incorretamente mostra que o alcance
a
´ zero para todos valores de k maiores do que 0.014s−1 . Esta desconcordˆncia com o m´todo
e a e
de perturba¸˜o n˜o ´ uma surpresa, pois o resultado linear para o alcance R era dependente
ca a e
em k << g/(v0 sin θ) = 0.02s−1 , o qual ´ dificilmente verdade at´ para o k = 0.01s−1 . Essa
e e
concordˆncia pode ser adequada para k = 0.005s−1 . Os resultados mostrados na Figura 2-8
a
indicam que para valores de k > 0.005s−1 , dificilmente a resistˆncia pode ser considerada numa
e
perturba¸˜o. De fato, para k > 0.01s−1 a resistˆncia torna-se valor dominante no movimento do
ca e
proj´til.
e
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
FIGURA 2-9 O valor de alcance calculado aproximadamente e numericamente para um dado proj´til ´ mostrado na
e e
Figura 2-8 e plotado como uma fun¸˜o da for¸a constante de retardamento k.
ca c
O exemplo anterior indica como o mundo real pode ser complicado. Neste exemplo, ainda
podemos fazer algumas suposi¸˜es n˜o f´
co a ısicas – assumindo por exemplo que a for¸a de retardamento
c
´ sempre linearmente proporcional a velocidade. Ent˜o nossos c´lculos num´ricos n˜o s˜o precisos,
e a a e a a
pois como mostra a Figura 2-3 a melhor suposi¸˜o pode ser incluir um termo retardat´rio v 2
ca o
conforme necess´rio. Da mesma forma adicionando termos podemos resolver dificuldades com o
a
c´lculo num´rico, e fazer um c´lculo similar no pr´ximo exemplo. Temos que incluir o arquivo
a e a o
do autor Matchcad para produzir as Figuras 2-8 e 2-9 no Apˆndice H para aqueles estudantes
e
poderem reproduzir os c´lculos. Enfatizamos que h´ muitas formas para a performance do c´lculo
a a a
num´rico com computadores, e o estudante ir´ provavelmente querer transformar n´meros com
e a u
praticidade.
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