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72 Aritmética                                           La división en situaciones de reparto equitativo                  ...
Aritmética 73La división como operación aritmética  En las páginas 5, 6 y 7 del                                           ...
74 Aritmética                                           La división como sustracción iterada                              ...
Aritmética 75División con uno y con cero  En las páginas 11 y 12 del Tomo III, Vol. 2,                                    ...
76 Aritmética                                            Uso de las propiedades para calcular                             ...
Aritmética 77Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. ¿Qué relación hay entre la actividad propuesta en la ...
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9 aritmetica parte iv_p72-p77

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  1. 1. 72 Aritmética La división en situaciones de reparto equitativo La imagen de la siguiente página (Fig. 2) Reflexiones adicionales muestra una forma no convencional que pueden usar los niños para dar respuestaEn esta lección se destaca el a la pregunta. De arriba hacia abajo, en laacercamiento intuitivo que primera fila se representa a los cuatro niñosse emplea para inducir la y en la segunda, los 12 caramelos y un platonoción de la división en el vacío para cada niño.contexto de situaciones dereparto equitativo. El total de caramelos se reparte uno por unoDebe notarse que el pro- a cada niño y se coloca en cada plato comoblema que se plantea queda lo ilustran las flechas amarillas y las líneasresuelto mediante el reparto color púrpura de la fila tres. Al completar unade los caramelos, uno a uno,situación de la que se obtieneque a cada niño le correspon-den tres caramelos.Una vez que los niños saben Fig. 1cómo solucionar el problemay una forma de resolverlo, En las páginas 3 y 4 del Tomo III, Vol. 2, lase introduce la noción de lección se inicia confrontando a los alumnosla división como operación con situaciones que involucran el repartoaritmética y su notación con- equitativo de un número de dos dígitos entrevencional, la cual se muestra un número de un dígito.en el recuadro del profesor:12÷4=3. Las ilustraciones en la página 3 (Fig. 1) Fig. 3Asimismo se induce la rela- sugieren hallar la cantidad que recibe cadación que hay entre la división niño de manera que el reparto del total dey la multiplicación: 3×4=12, caramelos sea equitativo.lo cual se refuerza mediantelas ilustraciones. La pregunta “¿cuántos para cada uno?”, vuelta en el reparto se toma otro caramelo que muestra el pollito, refuerza lo que los para cada niño y así se continúa hasta agotar niños tienen que lograr. los caramelos. La última fila muestra en cada plato 3 caramelos que corresponden a la cantidad que recibe cada niño y reafirma la respuesta a la pregunta. En la imagen final de la página 4 (Fig. 3) se pasa de la forma icónica a la forma simbólica para formalizar matemáticamente esta situación introduciendo la notación convencional de la división. A cada elemento de la operación se le asocia el significado que adquiere en el contexto de esta situación. Fig. 2 Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Con qué propósito se introduce la noción de la división y su notación convencional si el problema ya estaba resuelto? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 2. ¿Qué papel desempeña en el aprendizaje del concepto de división el acercamiento intuitivo a la solución del problema de los caramelos? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 3. ¿Cuál es el propósito de introducir en la misma lección un acercamiento intuitivo a la solución del problema y la representación formal por medio de la división? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 4. ¿Qué ventajas o desventajas didácticas tendría el hecho de postergar la introducción de la notación formal de la división? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
  2. 2. Aritmética 73La división como operación aritmética En las páginas 5, 6 y 7 del ReflexionesTomo III, Vol. 2, se aborda la adicionalesdivisión como operación arit-mética. Si a y b son números natura- les, decimos que b es divisor La conjunción de las repre- de a, si existe un número na-sentaciones icónica y sim- tural q, tal que a = bq. Estobólica (matemática) que se también se expresa como bpresentaron en las páginas divide a a, que a es divisibleprevias para la solución del por b o que a es múltiplo de b.problema de reparto, son el a ÷ b = qantecedente para propiciarque los niños asignen un sen- Dividendo Cocientetido y significado a la división. Fig. 1 DivisorDe estos procesos se toman Con las expresiones:las expresiones 12÷4=3 y Para llevarlo a cabo, en la En cada intento se indu- 15÷3 = __×3=15 se busca6÷3=2 para introducir la no- página 6 se les sugiere a los ce a vincular la expresión el valor del cociente y seción de la división como ope- niños que hagan estimacio- matemática con la división propicia que los niños per-ración aritmética y reafirmar nes con el apoyo de la tabla para obtener el cociente ciban la estrecha relaciónque “la división se usa para de multiplicar; por ejemplo, “si mediante un proceso que entre la multiplicación y la división.repartir cosas entre niños de la cantidad para cada uno es consiste en encontrar unmodo que cada uno reciba la dos, obtenemos 2×3...” (Fig.1) número que multiplicado La teoría constructivistamisma cantidad”. Esta actividad conduce a por el divisor sea igual o, si propone que cuando un que los alumnos usen el ren- es menor, se aproxime al alumno enfrenta un nuevo Debemos hacer énfasis glón del 3 en la tabla de mul- dividendo tanto como sea contenido de aprendizaje lo hace reorganizando una se-en que, en cada actividad, tiplicar y con ello determinar posible (Fig. 2). rie de conocimientos que halos aprendizajes adquiridos la cantidad de bloques para En esta lección se extien- adquirido en el transcursopreviamente se van entrela- cada niño y hallar el producto de la noción de la división al de experiencias previas.zando de forma deliberada más cercano a 15. caso de magnitudes conti-para “armar” el an- nuas empleando una Una magnitud es continua cuando sus partes no puedendamiaje sobre el que unidad arbitraria (el separarse, por ejemplo: ellos niños construyen problema del jugo). agua contenida en un vaso.conocimientos nue- La magnitud discreta esvos a partir de los ya Finalmente se pide a aquella que posee un númeroaprendidos. Para dar los niños que inventen de partes que podemos con- tar, como el conjunto de loscontinuidad al desa- problemas de reparto números naturales.rrollo del nuevo cono- equitativo en situacio-cimiento, en el ejer- nes donde se sugierecicio 3 de la página la cantidad total y un5 se pide a los niños número determinadoque obtengan la res- de casos para hallarpuesta al problema la cantidad correspon-de “repartir equitati- diente (cociente).vamente 15 bloquesentre 3 niños” sin uti-lizar los bloques. Fig. 2Enlace: Para conocer más respecto al proceso de dividir consulta la página: http://es.wikipedia.org/wiki/DivisiónPara conocer respecto a cantidades discretas y continuas consulta la página: http://es.wikipedia.org/wiki/Discreto Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Qué retos representa para el profesor lograr que los alumnos aprendan conocimien- tos nuevos sobre la base de los ya aprendidos? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 2. ¿Cuál es el propósito didáctico que subyace en pedir a los alumnos que hagan estima- ciones para encontrar un número que multiplicado por el divisor sea igual o, si es menor, se aproxime al dividendo tanto como sea posible? 3. ¿Cuáles son las ventajas didácticas de extender el significado de la división involucrando magnitudes como longitud o densidad? 4. ¿Cuál es el propósito didáctico que subyace en pedir a los alumnos que inventen proble- mas? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
  3. 3. 74 Aritmética La división como sustracción iterada La división como sustracción iterada En las páginas 8 a 10 del Tomo III, Vol. 2, se de obtener un número (cociente) que multiplica- Reflexiones adicionales estudia la división como sustracción iterada. do por el divisor (3) sea igual o, si es menor, se El ejercicio 7 de la página 8 (Fig. 1) plantea aproxime tanto como sea posible al dividendoLa operación 12÷4 puede rea- una situación a resolver. El problema en esta (15). Con este propósito se conduce a los alum-lizarse al sustraer de manera lección solicita repartir 12 galletas, de manera nos a que usen el renglón del 3 en la tabla deiterada 4 unidades de 12, el que a cada niño le toquen 4 y encontrar cuántos multiplicar. La idea es que encuentren cuántosnúmero de veces que la sus- niños recibirán galletas. El pollito lo ratifica con la niños pueden recibir tres cosas en la medidatracción lo permita. pregunta “¿cuántos niños pueden recibir algo?” que se halla el producto más cercano a 15. 12-4=8 El esquema que se usa en la lección es fun- Estos ejemplos involucran otro tipo de magni- 8-4=4 damental porque induce el significado de la tudes en función de una unidad arbitraria, como 4-4=0 la que se muestra en la imagen. Finalmente se pide a los niños que resuelvanEl 4 puede restarse de 12 tresveces, esto significa que 4 está situaciones donde la división se utiliza dandocontenido 3 veces en 12. mayor énfasis a su relación con la multiplica- ción. Hasta este momento es que se institucio- 12÷3= [ ] o [ ] × 3=12 naliza la división: La división es una operaciónaritmética que permite encon- a ÷ b = qtrar cuántas veces un númeroestá contenido en otro. Esta Dividendo Respuestaoperación puede abordarse Divisorcomo inversa de la multipli- El tema se cierra pidiendo a los niños que in-cación y también como unaresta iterada. venten problemas a partir de situaciones que se sugieren mediante ilustraciones y que realicen una serie de ejercicios. Fig. 1 división como sustracción iterada. Los signifi- cados que tiene la división como cociente de dos números y como sustracción iterada son procesos distintos que se representan con la misma expresión matemática. Esto puede apreciarse claramente en la relación de la divi- sión con la multiplicación como se muestra en en el recuadro del profesor y en el ejemplo de la siguiente página (Figs.1 y 2). Ahora se trata de encontrar cuántos niños pueden recibir la misma cantidad. En la página 9 se muestra cómo se vincula la división con la multiplicación (Fig. 2). Se trata Fig.2 Enlace: Para conocer respecto al proceso de dividir consultar la página: http://es.wikipedia.org/wiki/División Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Cuál es el propósito didáctico que subyace en mostrar dos formas distintas para hacer una división? Discute y argumenta tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 2. ¿Qué ventajas didácticas brinda el hacer evidente la relación de la multiplicación con la división respecto al aprendizaje del algoritmo convencional de la división? Argumenta tu respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor. 3. ¿Qué limitaciones o ventajas habría si se iniciara el aprendizaje de la división abordando el algoritmo conven- cional? Discute y argumenta tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
  4. 4. Aritmética 75División con uno y con cero En las páginas 11 y 12 del Tomo III, Vol. 2, Reflexionesse amplía el estudio de la división. adicionales Se abordan los casos de la división con elmismo dividendo y divisor, y con cero como Si a y b son números natura-dividendo, en el transcurso de una situación les, se dice que a es múltiplo de b si existe un número na-similar de reparto equitativo, en la que varía tural c tal que a=bc.el dividendo para hallar el valor del cociente. En el ejercicio que se plantea en la página Por ejemplo, 12 es múltiplo11 (Fig. 1), en el primer ejemplo, el dividendo de 3 porque 12=3×4.(12) es un múltiplo del divisor (4) y el valordel cociente es mayor que 1. Se recomienda analizar de forma didáctica la situa- 12÷4=3 ción que se emplea para En el segundo caso el dividendo (4) y el divi- mostrar que no se puedesor (4) son iguales y el valor del cociente es 1. dividir entre cero porque es 4÷4=1 imposible hacer cero gru- Este ejemplo sugiere a los estudiantes que pos de una cantidad.cualquier número dividido entre sí mismo es 1. Si se divide entre 1 se tiene un grupo y por lo tanto, el En el tercer caso el dividendo es cero, el total está en ese grupo.divisor cuatro, y el valor del cociente es cero.Esto resulta tras observar que no hay galle-tas que repartir, razón por la cual los niños noreciben ninguna galleta. 0÷4=0 Cero dividido entre un número diferente decero es cero. Esta actividad permite a los alumnos fami-liarizarse con casos particulares de la divisiónque es importante considerar y se continúaaplicando esta operación en situaciones queinvolucran magnitudes continuas, como elcaso particular de dividir entre 1 en el ejem-plo de la sección 2. Fig. 1 Se debe notar que es hasta esta lecciónque se confronta a los alumnos con ejerci-cios de división sin resto con cero dividendo,1 como divisor y donde el dividendo es igualal divisor. En la página siguiente los alumnos tienenla oportunidad de retroalimentar lo aprendidoen este tema resolviendo problemas contex-tualizados en distintas situaciones.Enlace: Para ampliar el significado de múltiplo consulta:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/multiplo.htmPara conocer respecto a la división entre cero: http://es.wikipedia.org/wiki/División_por_ceroActividades que se sugieren para los futuros docentes1. ¿Qué propósito didáctico subyace en propiciar que los alumnos conozcan de manera especialla división con cero como dividendo, con uno como divisor y con el dividendo igual al divisor?2. ¿Qué propósito didáctico subyace en propiciar que los alumnos aprendan la división con cero,con uno y con el mismo dividendo y divisor, después de haber institucionalizado la operación?3. ¿Por qué no podemos dividir cero entre cero? Intenta explicar esto acudiendo a argumentosintuitivos y después a la relación que hay entre la multiplicación y la división. Discute cuál tipo deargumentación resulta más clara en el contexto de la enseñanza.4. ¿Por qué no podemos dividir ningún número entre cero? Intenta explicar esto acudiendo aargumentos intuitivos y después a la relación que hay entre la multiplicación y la división. Discutecuál tipo de argumentación resulta más clara en el contexto de la enseñanza.
  5. 5. 76 Aritmética Uso de las propiedades para calcular En las páginas 13 a 16 del Tomo III, Vol. 2, dendo?” induce a los alumnos a la reflexión. Reflexiones adicionales se estudia la aplicación de las propiedades Para hallar las respuestas, los niños tienen para calcular. que tomar en cuenta que el divisor aumentaUn patrón es un tipo de obje- en 1 y que los cocientes sean los mismos.tos recurrentes o sucesos que se Al generalizar, los alumnos descubren porrepiten de manera predecible. qué las reglas funcionan en situaciones de- terminadas. El caso de 33÷11 es el antece- Al aplicar a un conjunto una dente para dividir un número de dos dígitosregla que se ha observado en entre un número de dos dígitos. Esta expe-un número limitado de casos riencia propicia que los alumnos formulen losse dice que se está poniendo aprueba una conjetura, que en argumentos para justificar cuándo son váli-caso de ser demostrada rigu- das estas reglas y cómo aplicarlas después.rosamente se reconoce comouna generalización. En el ejercicio de la página 16: “¿Qué nú- mero va en el recuadro?”, se presenta una lista de problemas donde los alumnos tienen la oportunidad de retroalimentar lo aprendido del tema. Enlace: En http://es.wikipedia.org/wiki/Patr%C3%B3n_ (estructura) podrás ampliar el conocimiento de lo que es un patrón. Fig. 1 En las secciones 1 y 2 de la página 13 (Fig. 1) se fortalece la idea de obtener el cociente al encontrar un número que multiplicado por el divisor sea igual al dividendo. Este proce- so sugiere a los alumnos que hagan estima- ciones antes de realizar los cálculos y les ofrece una oportunidad para que formulen de manera general qué sucede cuando el divi- dendo aumenta de 3 en 3 (sección 1) o de 4 en 4 (sección 2). En las secciones 3 y 4 que se encuentran en la página 14 (Fig. 2) se pide a los alum- nos hallar divisiones con el mismo cociente haciendo variar el dividendo y divisor. La Fig. 2 pregunta: “¿en cuánto se incrementa el divi- Enlace: En http://es.wikipedia.org/wiki/Patr%C3%B3n_(estructura) podrás ampliar el conocimiento de lo que es un patrón.
  6. 6. Aritmética 77Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. ¿Qué relación hay entre la actividad propuesta en la sección 3 y la equivalenciade fracciones comunes? Justifica tu respuesta tan claramente como te sea posible ydiscútela con tus compañeros y tu profesor.2. ¿Qué ventajas tiene que los alumnos comprendan y apliquen la regla que sepresenta en la sección 3?3. ¿Qué relación hay entre la actividad propuesta en la sección 3 y la división connúmeros decimales? Te sugerimos que hagas la operación 37.26÷7.2 y analiceslos pasos que sigues para resolverla. Después formula y justifica tu respuesta tanclaramente como te sea posible.
  • MarcoRomeroPerez

    Sep. 5, 2016

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