breve historia de la geometría.

1. UPC
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
2013
YURANNIE OVALLE BERMUDEZ
PREOFESOR: FABIO FUENTE
29/08/2013
HISTORIA DE LA
GEOMETRIA

2. Yurannie Ovalle Bermúdez
HISTORIA DE LA GEOMETRÍA
ANTES DE GRECIA
Es razonable pensar que los primeros orígenes de la Geometría se encuentran en los
mismos orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba -
aun de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban según su forma. En la
abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la
Geometría.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos
geométricos de carácter muy práctico. Estos son esencialmente algunas fórmulas -o
mejor dicho algoritmos expresados en forma de ""receta""- para calcular áreas y
longitudes. La finalidad era práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción
proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las
parcelas de tierra después de las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios
tenían una alta formación matemática, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un
acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los
tiempos. Estas hipótesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes
tienden a echarlas por tierra. La Historia nos hace pensar que el conocimiento que esta
civilización -así como los de las culturas mesopotámicas- tuviera sobre Geometría pasó
íntegramente a la cultura griega a través de Tales, los pitagóricos, y esencialmente de
Euclides.
GEOMETRIA GRIEGA
ANTES DE EUCLIDES
En efecto, Tales permaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo
de los sacerdotes y escribas egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general,

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y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de medir la altura de la Pirámide de
Keops y de predecir un eclipse solar.
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos
concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de
abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en
lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que
pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás.
Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un
conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que
verdaderas demostraciones formales.
La figura de Pitágoras y de la secta por él creada (los pitagóricos) tiene un papel
central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número
(filosofía que de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la
Matemática y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este
momento inicial de la historia de la Matemática aun no hay una distinción clara entre
Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste
ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de
establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición de la tierra por Eratóstenes, así
como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por
Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la
aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de carácter más aritmético que
geométrico.
Surge entonces un pequeño problema a nivel lógico, que consiste en lo siguiente: una
demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado
tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se
ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de
las hipótesis. Pero entonces debemos de partir de hipótesis ciertas para poder afirmar
con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que

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considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos
también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que,
indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.
EUCLIDES Y LOS ELEMENTOS
Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al
proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas
proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás
resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, ""Los Elementos"", modelo de
sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que
precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su
obra, en 13 volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrada el siglo
XIX.
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que
trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y
como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede
deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales
problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de
los otros 4, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema,
es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de
resultados de la obra.
DESPUES DE EUCLIDES
Euclides casi cierra definitivamente la Geometría griega - y por extensión la del mundo
antiguo y medieval-, a excepción de la figura de Arquímedes, que estudió ampliamente
las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran
ni rectas ni circunferencias.

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LOS TRES PROBLEMAS DE LA ANTIGÜEDAD
La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los
matemáticos posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser
resueltos utilizando únicamente la regla y el compás, únicos instrumentos (además del
papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la Geometría de Euclides. Además de los tres
problemas, la disputa de si el V postulado era o no un teorema (de si se podía o no
deducir de los otros cuatro) también se considera uno de los problemas clásicos de la
Geometría griega. Estos tres problemas son los siguientes
La
duplicación
en el cubo
Cuenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas.
Una embajada de la ciudad fue al Oráculo de Delfos,
consagrado a Apolo, para consultar con la pitonisa qué se
debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. La pitonisa,
tras consultar al Oráculo, dijo que se debía duplicar el altar
consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una
peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses
construyeron un altar cúbico en el que las medidas de los lados
eran el doble de las medidas del altar de Delos, pero la peste
no cesó. Consultado de nuevo el Oráculo, la pitonisa advirtió a
los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8
veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su
lado ((2l)3
= 8l3
). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo
volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo
dado, y el problema persistió durante siglos.
La trisección
del ángulo
Este problema consiste en conseguir dividir un ángulo dado
cualquiera en tres ángulos iguales, de manera que la suma de
las medidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la
medida del primero. Nadie supo cómo hacerlo.

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La cuadratura
del círculo
Se trata de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya área
mide exactamente lo mismo que el área del círculo. Anaxágoras
fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes
de su celda cuando fue hecho prisionero por cuestiones
políticas. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la
antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como
curiosidad, el filósofo inglés Hume llegó a escribir un libro con
supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía
conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos
sus métodos fallaban.
EDAD MEDIA
Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos - Álgebra y
Trigonometría - de la mano de indios y árabes, y la Geometría apenas tiene nuevas
aportaciones, excepto algunos teoremas de carácter más bien anecdótico. En
Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes Liberales
(encuadrada concretamente en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan
a enseñar ""Los Elementos"", y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigación
sobre la disputa del V postulado. Si bien no se llegó a dilucidar en este periodo si era o
no independiente de los otros cuatro, sí se llegaron a dar nuevas formulaciones
equivalentes de este postulado.
EDAD MODERNA
Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de
la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para
obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca
la figura del matemático y arquitecto Lucca Pacioli, de Leonardo da Vinci o de Alberto

7. Yurannie Ovalle Bermúdez
Durero, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva crean la
necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de
Geometría que esta implica: la Geometría Proyectiva, cuyos principios fundamentales
no aparecerán hasta el siglo XIX de la mano de Gaspard Monge en primer lugar y
sobretodo de Poncelet.
BIBLIOGRAFIA
http://www.culturageneral.net
http://www.culturageneral.net/matematicas/historia_geometria.htm