Gerencia de riesgo iesa 2008 ver2

Gerencia de Riesgo
Introducción y conceptos claves
Profs. Luis G. Boggiano y Enrique ter Horst

Contenido
Modulo I Riesgo de Mercado
1.

2.

3.

4.

Contratos Futuros y Forwards
a. Precio de un contrato
b. Valoración
c. Estrategias de cobertura
d. Índice de cobertura
Bonos
a. Elementos de riesgo
b. Medida de riesgo: duración Macaulay
Swaps
a. Swap de tasas de interés
b. Transformación de activos y pasivos
c. Ventajas comparativas de tasas de interés
Opciones
a. Tipo de contratos
b. Valoración: Riesgo neutral, Hedge ratio, Black & Scholes
c. Paridad put-call
d. Estrategias de cobertura

Centro de Desarrollo Gerencial
Gerencia de Riesgo
Profs. Luis Boggiano y Enrique ter Horst

Contenido
Modulo II Value-at-Risk
1.

2.

3.

4.

Calculo de Volatilidades
a. EWMA
b. ARCH
c. GARCH
Value-at-Risk
a. Calculo por la distribución normal
b. Calculo por la simulación histórica
c. VaR en diferente horizontes
d. VaR de portafolio
Extreme Value Theory
a. Motivación
b. Ejemplo y calculo
Risk Budgeting
a. Descomposición de la volatilidad y VaR en sus componentes
b. Presupuesto de riesgo
c. Caso practico

Gerencia de Riesgo

Objetivo de la unidad
•

Estudiar los principales instrumentos disponibles en el mercado para la
cobertura de riesgos asociados a volatilidades de:
a. tasas de interés
b. tasas de cambio, y
c. precios de commodities (genéricos?)

Gerencia de Riesgo

Capitalización continua
VF

r

VP 1

m .t

m
m

Si

tenemos

,

que : m

r , lo cual genera :

r
VF

VP

. r .t

1

1

r .t

VF

VP

Sabemos que:
VF

1

1

VPe

Lim

rt

Gerencia de Riesgo

1

1

VP

e,

FVe

por lo tanto:
rt

Contratos a Futuro (Future Contracts)
• Un contrato a Futuro es un acuerdo entre dos partes para comprar o
vender un tipo de activo a una fecha futura y por un precio establecido.

• Un contrato Spot es un acuerdo entre dos personas para comprar o
vender un tipo de activo al precio de hoy.
• La parte que compra se dice que está larga o tiene una posición larga

• La parte que vende se dice que está corta o tiene una posición corta
• A diferencia de los Forward, los Futuros se negocian directamente con
una Bolsa de Valores con lo cual existe cierta garantía de que el
contrato va a ser honrado.

Gerencia de Riesgo

• Las Bolsas donde mas Futuros se negocian son:
– Chicago Board of Trade
– Eurex
– Mercadorías y Futuros

- Chicago Mercantile Exchange
- London International Financial Futures
- Tokyo Int´l Financial Futures

• Los activos que mas comúnmente se negocian son:
– Commodities: petróleo, oro, cobre, azúcar, trigo, algodón, cobre, entre
otros..
– Financieros: índices sobre acciones, tasas de interés sobre ciertos
instrumentos (T-Bills, T-Notes) y tasas de cambio (Yen, Marcos Alemanes,
USD, Libras Esterlinas, Francos Suizos, etc.)
• Muy pocos contratos a Futuro resultan en la entrega física del activo.
Generalmente, las posiciones en Futuros se cierran antes de su vencimiento.

Gerencia de Riesgo

Contratos a Futuro Commodities (Future Contracts)
Thursday, March 15, 2003. WSJ
Previous trading day
Rangos de Precios
Activo

Monto del
Contrato

Precio de
cierre

Cambio
Precio de
cierre

Fechas de
vencimiento

Numero total de
contratos vendidos

Gerencia de Riesgo

Numero total de
contratos vendidos
durante el dia

Numero total de
contratos
pendientes

Rango de
precios de
contratos

Numero de
contratos
pendientes

Participantes en el Mercado de Futuros

Cliente

Casa de Bolsa

Ruedo de
Negociación

Cliente
Gerencia de Riesgo

Broker

Bolsa de Valores
Compensación
• Garante
• Contable
• Tesorero
• Vigilante del
proceso

Contratos a Futuro: Requerimiento de Margen
• Requerimiento de margen: supongamos que Citgo compra hoy 5 de junio, a
través de un broker, diez contratos a futuro de crudo Brent con fecha de
vencimiento el 5 de septiembre. El precio de este contrato a futuro es de
$60/barril.
• El valor de este contrato es de:
$60/barril x 1,000 barriles/contrato x 10 contratos = $600,000
• Al día siguiente, el precio de este Futuro descendió a $59/barril. Quién pierde, y
cuanto ?
• La pérdida es de Citgo de $1/barril x 1,000 barriles x 10 contratos = $10,000
• La Bolsa evita el posible incumplimiento de los contratos requiriendo un margen
de cobertura para cada contrato. Digamos que el margen inicial de cobertura es
de $2,000/contrato y el margen de mantenimiento es de $1,500/contrato. Citgo
debe depositar inicialmente $20,000 con el broker quién a su vez lo deposita en
la Bolsa. (Nótese el apalancamiento del contrato)
• La pérdida de $10,000 reduce el deposito de cobertura a $10,000 el cual se
ubica por debajo del margen de mantenimiento ($15,000) con lo cual Citgo
debe depositar con el broker $5,000 adicionales. Este procedimiento de valorar
los contratos a mercado se denomina “Mark to Market”).
Gerencia de Riesgo

Precio de un Futuro sobre un activo sin flujo de caja
•

•

•

Supongamos que el precio del crudo hoy es de $50/barril. Citgo desea fijar el
precio de venta de 200,000 de crudo a ser entregados en tres meses. Es
decir, quiere vender un Futuro de 200,000 barriles de crudo a tres meses.
Como puede hacerlo ?
Alternativa 1. Citgo puede:
a. solicitar un préstamo de tres meses por $10,000,000 ($50/barril x
200,000 barriles) con un interés del 5% anual,
b. comprar en crudo hoy al precio spot $50/barril y almacenarlo hasta su
fecha de entrega.
c. entregar los $200,000 barriles en diciembre y asegurarse que el precio
de venta sea suficiente para cubrir el precio de compra inicial mas los
intereses del préstamo (ignorando costo de almacenaje).
El precio de venta de un contrato de crudo a futuro con un vencimiento de
tres meses debe ser igual a:
precio spot:
$50/barril
+ intereses:
$ 0.63/barril ($50 e(0.05)(3/12)-1)
Precio Futuro hoy (F)0 = $50,63/barril

Gerencia de Riesgo

(asume 5% interés continuo)

Precio de un Futuro sobre un activo sin flujo de caja
•

En general, la relación entre el valor (F0) de un contrato a Futuro y el precio
Spot (S0) del activo es la siguiente:
e rt = costo del préstamo para comprar el activo al precio S0
rt

F0

S 0e

F0

precio del futuro hoy

t
r

•

fecha de vencimien

to del contrato

tasa de interes libre de riesgo

Esta relación es valida para cualquier activo que no genere un pago de
intereses o dividendos al inversionista, como por ejemplo una acción que no
pague dividendos, un bono cero cupón o un activo no financiero*.
* Asumiendo por ahora que no hay costos de almacenamiento

Gerencia de Riesgo

Oportunidad de Arbitraje
• Si la relación F0 = S0ert no se cumple, entonces habría oportunidad de arbitraje
en el mercado (free lunch)
• Supongamos que el futuro de crudo con vencimiento de tres meses es de
$60/barril y el precio spot es de $50/barril. Como puede Citgo generar una
ganancia sin riesgo ?
• Como el futuro esta sobrevalorado, Citgo puede:
– vender corto a $60/barril ($12MM)
– solicitar un préstamo de $10MM al 5% para comprar 200M barriles a
$50/barril
– Al vencimiento, Citgo entrega los 200M barriles, recibe $12MM y paga el
préstamo de $10MM mas intereses de $125,784. La ganancia de Citgo es
de:
Venta
$12,000,000
Costo de venta ($10,000,000)
Préstamo: Intereses
($ 125,784)
Utilidad
$1,874,215
Nota: Si F0 > S0ert : utilidad = F0- S0ert
Gerencia de Riesgo

Oportuidad de Arbitraje
• Supongamos ahora que el futuro de crudo con vencimiento de tres meses es de
$45/barril y el precio spot es de $50/barril. Como puede Citgo generar una
ganancia sin riesgo ?
• Como el futuro esta subvaluado, Citgo puede:
– vende 200M barriles a $50/barril
– invierte los $10MM al 5% por tres meses
– compra largo 200 contratos Futuros con vencimiento de tres meses a
$45/barril ($9MM)
– al vencimiento, Citgo paga $9MM, recibe y los 200M barriles. La ganancia
de Citgo es de:
Venta
$10,000,000
Compra
($ 9,000,000)
Intereses
$ 125,784
Utilidad
$1,125,784
Nota: Si F0 < S0ert : utilidad = S0ert - F0
Gerencia de Riesgo

Precio de un Futuro

• El precio de un contrato Futuro se establece examinando el costo de comprar o
vender el activo hoy para ser entregado o recibido a futuro .
• En otras palabras, en general, el precio del Futuro hoy (F0) para entrega al
vencimiento (t) debe ser igual al precio del activo subyacente hoy (S0) mas
cualquier costo neto de financiamiento necesario para comprar el activo (ert)
donde r es la tasa libre de riesgo.
• Si el precio del Futuro no refleja el costo de comprar o vender el activo hoy para
ser entregado o recibido a futuro, entonces habría una oportunidad de arbitraje,
es decir, de generar una ganancia sin arriesgar nada.

Gerencia de Riesgo

Contratos a Futuro sobre Bonos
• El bono es una obligación por parte del emisor de pagar intereses (conocidos
como cupones) periódicamente mas el valor nominal (conocido como valor
facial) al vencimiento.
• El precio de un bono es igual a la suma de todos los flujos de caja prometidos
descontados a valor presente.

C + Principal

Bonos con cupón:
C

C

C

C

C

t

precio
t

Precio =

Gerencia de Riesgo

n

c
1

1

Principal
r

n

1

r

t

Valoración de Bonos
Ejemplo

Suponga un bono a dos años, con cupones anuales de 10%
Cupón = $1,000 x 10% = $100

• Cuando c = rmercado El bono se vende a la par: r =10%
100

Precio =

100

1 . 10

1000

1 . 10

2

$ 1, 000

ó

100 %

• Cuando c < rmercado El bono se vende a descuento: r =12%
100

Precio =

100

1 . 12

1000

1 . 12

2

$ 966 . 20

ó

96 . 62 %

• Cuando c > rmercado El bono se vende con prima: r =8%
100

Precio =

1 . 08

Gerencia de Riesgo

100

1000

1 . 08

2

$ 1 . 035 , 67

ó 103 ,57 %

Contratos a Futuro: Bonos (Bond Future Contracts)

Rangos de Precios
$ y $1/32

Monto del
Contrato

Cambio
Precio de
cierre

Precio de
cierre

Activo

Rango de
precios de
contratos

LifeTime
Open

High

Low Settle Change

High

Low

Numero de
contratos
pendientes

Open
Interest

Fechas de
vencimiento

Numero total de
contratos vendidos
Numero total de
contratos vendidos
durante el día

Gerencia de Riesgo

Numero total de
contratos
pendientes

Cambio en el
numero total de
contratos
pendientes

Precio de un Futuro: Bonos
• Supongamos un contrato a futuro de un año para comprar un bono cuyo precio
actual es de $900. El bono vence en 5 años y el rendimiento del bono es del 4%
anual con pagos semianuales. El próximo pago de $40 es dentro de seis meses
y luego otro pago de $40 dentro de un año. Asumamos que la tasa libre de riesgo
a seis meses y un año es del 9% y 10% respectivamente (tasa continua). Cual
debe ser el valor de este futuro?
• Bajo el mismo argumento de no arbitraje, el precio de un futuro sobre
un activo que genere flujos de caja es:
I )e

rt

F0

(S0

F0

precio del futuro

S0

precio spot

I

valor presente de los flujos de caja esperados

t

fecha de vencimien to del contrato

r

(-0.09)(1/ 2)

VP(I)

$40e

VP(I )

$ 38 , 24

F0

Gerencia de Riesgo

($ 900

$ 36 ,19

$ 74 , 43 ) e

$ 40 e

( 0 . 1 )( 1 )

$ 74 , 43

( 0 . 10 )( 1 )

$ 912 , 39

Precio de un Futuro: Bonos
• Supongamos que el precio del contrato a futuro es de $905, es decir, por debajo
de su precio teórico. Cual es la estrategia de arbitraje para un inversionista que
posea el bono ?

1. Compra el Futuro, vende el bono spot y recibe $900
2a. Invierte

$38,23 al 9% durante 6 meses y recibe $40

que representa n el primer cupon que hubiese

recibido

del bono.
2b. Invierte

la diferencia

recibe $861,76e
3. Con la diferencia
Beneficio

(0.1)(1)

$900 - $38,23

$861,76 al 10% durante 12 meses y

$952,39 al vencimien

to de los cuales $40 representa

el segundo

cupon.

de $912,39 ($952,39 - $40) cumple con la compra del contrato a futuro por $905

: $912,39 - $905

Gerencia de Riesgo

$7,39

Contratos a Futuro: Índice sobre Acciones
• Un índice sobre acciones replica un portafolio teórico de acciones.
• El peso que se le asigna a cada acción para el calculo del índice es igual al valor
proporcional de la acción en el portafolio total. El incremento porcentual del
índice es proporcional al incremento de precio de las acciones que conforman el
portafolio.

Multiplicador
30 acciones

500 acciones

Gerencia de Riesgo

Precio de un Futuro: Índice sobre Acciones
• Un índice puede considerarse como un activo que genera un rendimiento q.
• Supongamos un contrato a futuro de tres meses sobre el S&P500 que paga un
rendimiento del 1% p.a. (continuo) y el valor del índice spot es de 400. La tasa
libre de riesgo es del 6%. Cual es el precio de este contrato a futuro ?

• Bajo el mismo argumento de no arbitraje:
( r q )t

F0

S0e

F0

precio del futuro hoy

S0

precio del activo hoy

t


r


q

rendimient o del activo

F0

400 e

1 contrato

Gerencia de Riesgo

( 0 . 06 0 . 01 )( 3 / 12 )

$250x405,0 3

405 , 03
$101.257,5 0

Contratos de Futuros: Moneda Extranjera
• El activo a ser entregado a futuro es un monto determinado en moneda
extranjera


Open

Gerencia de Riesgo

LifeTime
High

Low Settle Change

High

Low

Open
Interest

Precio de un Futuro: Moneda Extranjera

• Supongamos que Sivensa tiene una deuda de € $1MM que debe cancelar en
tres meses y sus ingresos son en USD. Como puede cubrirse Sivensa en
contra de una posible devaluación del dólar ?
• Una alternativa es comprar los € hoy al cambio spot, depositar los € generando
intereses durante 3 meses y al vencimiento pagar la deuda.

• La tasa de cambio para comprar € dentro de tres meses (tasa a de cambio a
futuro) debería ser igual a la tasa de cambio para comprar € hoy mas el costo
de los USD utilizados para comprar los € menos el rendimiento que me puedan
generar los € depositados durante tres meses.

Gerencia de Riesgo

2 USD/ € x € 1,000,000 = $2,000,000
5% p.a. x 6/12
= $ 50,000
$2,050,000

Tasa spot:
Costo USD:
Costo total:

Intereses sobre deposito en € : 7% p.a. x 6/12 = € 35,000
Total € = 1,000,000 + 35,000 = € 1,035,000
Tasa de cambio a futuro: USD $2,050,000 / €1,035,000 =1.98USD/ €
( r rf ) t

F0

S 0e

F0

Tasa de cambio a futuro

S0

tasa de cambio spot (moneda

t

fecha de vencimien

r

tasa de interes moneda

da extranjera )

to del contrato

rf


F0

( 2 USD/

)e

local/mone

local
extranjera

( 0 . 05 0 . 07 )( 6 / 12 )

1 . 98 USD /
Nota: diferencia debido a intereses continuo
vs. compuesto

Gerencia de Riesgo

• En general, el precio de un Futuro en moneda extranjera es:
( r rf ) t

F0

S 0e

F0


S0

tasa de cambio spot (moneda

t

fecha de vencimien

r


rf

local/mone

da extranjera )

to del contrato


local
extranjera

• Esta relación es también conocida en Economía como la teoría de la paridad de
tasas de interés en la determinación de la tasa de cambio.
• Cualquier desviación del precio actual con relación al precio teórico, crearía
oportunidades de arbitraje que serian aprovechadas de forma inmediata por el
mercado
Gerencia de Riesgo

Valoración de un Futuro sobre un activo sin flujos de caja
• El valor de un contrato Futuro en su inicio es cero
• Durante la vida del contrato el valor de un contrato Futuro puede fluctuar
positiva o negativamente debido a:
– Fluctuaciones en el valor del activo
– Fluctuaciones en la tasa de interés
– Cambios en las expectativas de generación de efectivo del activo
(ejemplos: dividendos sobre acciones o índices)
• En general, el valor f de un contrato a futuro con precio k es el siguiente:
f (largo)

rt

Ke

S0

precio spot del activo

K

precio acordado del futuro

t

; f (corto)

Ke

rt

S0

- S0

r


tambien : f (largo)

( F0

K )e

rt

• Cuando el futuro es inicialmente negociado, el precio de compra K es F0 de
forma que f=0
Gerencia de Riesgo

Valoración de un Futuro sobre un activo sin flujos de caja
• Cual es el valor de un contrato a futuro con vencimiento en seis meses sobre una
acción que no paga dividendos. El precio de la acción hoy es de $25 y el precio de
compra de la acción es de $24 y la tasa libre de riesgo es de 10% (continua).

S0

f (largo)

$25 - $24e

Gerencia de Riesgo

Ke

rt

f (largo)

- 0.1x1/2

$2,17

Valoración de un Futuro sobre un activo con flujos de caja
• De forma similar, el valor de un Futuro sobre un activo que genere flujo de caja
es el siguiente:

f (largo)

S0

I

Ke

rt

; f (corto)

K


S0

Ke


I

VP flujos de caja del activo durante t

t


r


Gerencia de Riesgo

-rt

S0

I

Valoración de un Futuro sobre un activo con flujos de caja
• Supongamos el inversionista compra un contrato a futuro a un año para
sobre un bono por $912,39. Inmediatamente después, el precio del bono
sube a $910. El bono vence en 5 años y el rendimiento del bono es del
4% anual con pagos semianuales. El próximo pago de $40 es dentro de
seis meses y luego otro pago de $40 dentro de un año. Asumamos que
la tasa libre de riesgo a seis meses y un año es del 9% y 10%
respectivamente (tasa continua). Cual debe ser el valor de este contrato
a futuro?
f (largo)

S0

K

Ke

$910

VPI 1

$ 40 e

0 , 09 x1 / 2

VPI

$ 40 e

0 . 1 x1

I

2

$38,23

f (largo)
Gerencia de Riesgo

rt

$912,39

S0

I

$36,19

$ 38 , 23
$ 36 ,19
$74,42

$910 - $74,42 - $912,39e

- 0.1x1

$ 10 , 02

Valoración de un Futuro sobre un activo con rendimiento
• Finalmente, el valor de contrato a Futuro sobre un activo que genere un
rendimiento es el siguiente:

f (largo)

S 0e

qt

Ke

rt

; f (corto)

K


S0


q

rendimient

t

fecha de vencimien

r


Gerencia de Riesgo

o del activo durante t
to del contrato

Ke

-rt

S 0e

qt

Valoración de contratos Futuros

Resumen

Activo

Futuro/For ward

Valor de un contrato
largo

Sin flujo de caja

S0e

Con flujo de caja VP(I)

(S 0

Con rendimient

S0e

rt

oq

Gerencia de Riesgo

I )e
- qt

S0
rt

S0
S0e

- qt

Ke
I

- Ke

Ke
- rt

rt
rt

Estrategias de Cobertura (Hedges)
• Dependiendo de los objetivos de cada inversionista, podemos dividir los actores
en los mercados de Futuros en tres tipos:

• Tesoreros (Hedgers)

• Especuladores
• Arbitrajistas (Arbitrageurs)

• Suponga que el tesorero de SIDOR debe comprar 100,000 lbs de cobre dentro
de tres meses para cumplir con un contrato a precio fijo. El precio spot del
cobre es de $1,40/lbs y el futuro a tres meses es de $1,20. El precio del cobre
puede subir con lo cual SIDOR se beneficiaría o puede bajar y resultar en una
pérdida en el contrato. Pero SIDOR solo está interesada en fijar su ganancia
hoy y no especular. Como puede cubrir el riesgo de un aumento en el precio del
cobre ?
Gerencia de Riesgo

Estrategias de Cobertura (Larga)
• Si no se posee el activo la estrategia es comprar una posición larga a futuro.
• Supongamos que el precio del cobre a tres meses es de $1,20/lbs. El tesorero
de SIDOR puede comprar 4 contratos a futuro (25M/lbs cada contrato).
– Si el precio del cobre aumenta a $1,25/lbs, el contrato a futuro gana
100,000lbs x ($1,25-$1,20)=$5,000 que disminuye el costo de compra de
$1,25/lbs.
– Si el precio del cobre disminuye a $1,05/lbs, el contrato a futuro pierde
100,000lbs x ($1,05-$1,20)=($15,000). Pero por otro lado, SIDOR puede
comprar el cobre a $1,05. La ganancia generada por la disminución del
precio del cobre es eliminada por la pérdida en el contrato a futuro. El
costo del cobre es de $1,20/lbs.

Gerencia de Riesgo

• EL general, la compra larga es una estrategia de cobertura apropiada cuando
no se tiene el activo deseado y se quiere fijar el precio de este activo hoy.
• El diagrama de ganancia o pérdida de una posición larga a futuro es el
siguiente:

Ganancia

St-K

Precio del activo al vencimiento, ST

K= precio del Futuro

Gerencia de Riesgo

Estrategias de Cobertura (Corta)
• Suponga que Citgo acaba de negociar una venta de 1MM de barriles de crudo
al precio de mercado prevaleciente dentro de tres meses. Por cada incremento
de $0.01 en precio del crudo, Citgo gana $10,000 y por cada caída de $0.01 en
precio del crudo Citgo pierde $10,000. Citgo no quiere especular sino fijar su
ganancia hoy. Como puede hacerlo ?
• Citgo puede vender corto 1,000 contratos futuros (cada uno representa 1,000
barriles) a tres meses. Supongamos que el Futuro a tres meses está en
$45/barril.
• Si el precio del crudo baja a $43/barril, Citgo gana $2/barril en el contrato a
futuro y termina recibiendo ingresos por la venta del crudo equivalentes a
$45/barril.
• Si el precio del crudo sube a $47/barril, Citgo pierde $2/barril en el contrato a
futuro. El precio neto de venta termina siendo de $45/barril.

Gerencia de Riesgo

• Supongamos poseemos un portafolio constituido por 200 bonos T con vencimiento en
junio y valor par de $1.000. Si deseamos proteger el valor actual de este portafolio, cual
debe ser la estrategia utilizando futuros?
100 bonos x $1.000 par

Precio x $100 par

• Si se posee el activo la estrategia es vender una posición corta del activo con
vencimiento en junio por K =$106,125 (por $100 valor par)

• Cada contrato es por $100,000, así que necesitamos vender corto
(200x$1.000)/$100.000 = 2 contratos con lo cual protegemos el portafolio cuyo valor
futuro al vencimiento asumiendo St = $106,125 seria de: 2x100 bonos x $106,125 x 10 =
$212.250.
• La ganancia o perdida del contrato al vencimiento
Precio del Bono al vencimiento
(t) es de K - St
$105,125

$106,125

$107,125

Valor del portafolio de bonos (2.000xSt)

$210.250

$212.250

$214.250

Ganancia o perdida del Futuro 2.000 x (K – St)

$

$

-$

Valor del portafolio

$212.250

Gerencia de Riesgo

2.000

0

$212.250

2.000

$212.250

• EL general, la venta corta es una estrategia de cobertura apropiada cuando se
tiene el activo deseado y se quiere fijar el precio de este activo hoy.
• El diagrama de ganancia o pérdida de una posición corta a futuro es el
siguiente:

Ganancia

K-St

Precio del activo al vencimiento, ST

K= precio del Futuro

Gerencia de Riesgo

•

Los contratos a Futuro en commodities también se pueden utilizar como estrategias de
cobertura para cualquier tipo de portafolio en general debido a que el rendimiento de
estos futuros históricamente han tenido correlaciones negativas con el mercado de
acciones
1956 - 1996
Rendimiento promedio

Desviación Estándar

Portafolio de bonos T y 23 Futuros en commodities

13,85% anual

22,43% anual

S&P 500

13,05% annual

18,95% anual

Correlación

-0,24

Bodie & Rosansky: “Risk & Return in Commodity Markets” 1990 Financial Analysts Journal

2

W1

W 1 E ( R1 )
2
1

W2

2
2

W 2 E (R2 )
2W 1W 2

14.00%

1

2

E(Rport)
Portafolio S&P500 Futures
desvstan
A
0.9
0.1
13.13%
16.66%
B
0.8
0.2
13.21%
14.74%
C
0.6
0.4
13.37%
12.68%
D
0.3
0.7
13.61%
15.36%
E
0.1
0.9
13.77%
19.82%

E xp e cte d re tu rn

E ( R port )

1 3 .7 7 %

13.75%

1 3 .6 1 %
13.50%

1 3 .3 7 %
13.25%

1 3 .2 1 %
1 3 .1 3 %

13.00%
10.00%

14.00%

18.00%

22.00%

S ta n d a rd d e via tio n

•

Igualmente los Futuros en commodities proveen un protección contra la inflación debido
a que los contratos largos incrementan su valor si los precios suben.

Gerencia de Riesgo

Índice de Cobertura: h
•

•

•

Supongamos que tenemos un portafolio de bonos T y queremos cubrir el
riesgo de una caída de precios. La estrategia es vender corto un numero h
de contratos a futuros que minimice o elimine el riesgo
El cambio (∆) de valor de nuestro portafolio conformado por dos tipos de
activos es el siguiente:
∆S+h∆F
La varianza (v) del portafolio es la siguiente:
v= σS2 + h2 σF2 +2hρ σS σF
σ Varianza del Portafolio

Como queremos

minimizar

la varianza

del portafolio

,

v

0

h
v
h

2

2h σ F F
h

2ρ

S

σF

0

S
F

σ

desviacion

estandard;

Gerencia de Riesgo

coef. correlacio n entre F y S

h optimo

h

Índice de Cobertura: h
•

El índice de cobertura optimo h es la pendiente de la curva que se obtiene mediante
una regresión de бS y бF
бS

•

•

•
•

•
•
• •
•
•

бF

•

El numero optimo de contratos a futuros N es el siguiente
N

hN

A

QF
NA

monto del activo a cubrir (unidades)

QF

monto de un contrato Futuro (unidades)

Gerencia de Riesgo

:

Índice de Cobertura h sobre Commodities
•

Ejemplo: Santa Barbara Airlines espera comprar dos millones de galones de Jet Fuel en
un mes (mayo) y decide utilizar Heating Oil No. 2. Cuantos contratos debe comprar a
futuro ?

Mes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
σF
σS
ρ

б precio
б precio jet
futuro/galon
fuel/galon
0.021
0.029
0.035
0.02
-0.046
-0.044
0.001
0.008
0.044
0.026
-0.029
-0.019
-0.026
-0.01
-0.029
-0.007
0.048
0.043
-0.006
0.011
-0.036
-0.036
-0.011
-0.018
0.019
0.009
-0.027
-0.032
0.029
0.023
0.0313
0.0263
0.9284

Gerencia de Riesgo

S

h

F

N

hN

A

QF

0,9284

0,0263

0.78

0,0313
( 0 , 78 )( 2 . 000 . 000 )
42 . 000

37 . 14

Índice de Cobertura h sobre índices
•

El índice de cobertura para un portafolio de acciones utilizando Futuros sobre
índices es el beta (β) del portafolio con respecto al índice.
h

S

F

El numero

optimo de contratos
N

a futuros

NA
QF

NA

valor del activo a cubrir

QF

valor spot de un contrato

Gerencia de Riesgo

Futuro

N es el siguiente

:

Indice de Cobertura h sobre Indices
•

Ejemplo: Morgan Stanley compro $5 millones de acciones de IBM para colocarlas en
el mercado en tres meses y decide utilizar el índice S&P 500 como cobertura. Cuantos
contratos debe vender a futuro sobre el S&P 500 ? Un contrato equivale a 250 veces
el índice y el precio spot del índice es de 1.000
Mes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

σS&P500
σIBM
ρ

Rendimiento
S&P500
4.15
6.73
2.22
0.03
3.86
-4.79
4.49
1.96
-1.91
1.19
-4.39
11.16
4.5460
7.2769
0.2991

Gerencia de Riesgo

Rendimiento
IBM
12.17
1.58
-11.55
-9.55
3.03
-8.48
4.25
-4.32
6.97
-5.19
-6.11
-3.52
IBM
S & P500

IBM

h

S & P500

0,2991

7.2769

0 . 4788

4.5460

El numero optimo de contratos a futuros N es el siguiente
N

NA
QF

N

0 . 4788

5 . 000 . 000
( 250 )( 1 . 000 )

0,2991

9 .5

:

Director de Finanzas en peligro
Caso A: el precio del crudo baja.
Citgo pierde en la venta pero el contrato a futuro gana compensando la pérdida.
Probablemente el Director de Finanzas es felicitado por el Presidente de Citgo.
Caso B: el precio del crudo sube
Citgo gana en la venta pero el contrato a futuro pierde eliminando la ganancia en ventas.
El Director de Finanzas es llamado a una reunión con el Presidente de Citgo:
Presidente: me puedes explicar como es que perdimos $3MM en tres meses en este contrato Futuro ? Y
que es este Futuro ?
Dir. Fin.:

el propósito del contrato a Futuro fue de asegurarnos el margen de ganancia en la venta del
millón de barriles de crudo hace tres meses y lo logramos. No se olvide que aunque el
Futuro perdió $3MM, la ganancia en la venta del crudo aumentó en $3MM.

Presidente: y què tiene que ver una cosa con la otra. Eso es como decirme que no me preocupe si pierdo
vendiendo crudo en Chicago porque estoy ganando en las ventas en Louisiana.
Dir. Fin.:

si el precio del crudo hubiese bajado

Presidente: no me importan situaciones hipotéticas. El hecho es que el precio subió y ahora tengo que
explicar por qué con tus jueguitos financieros hemos perdido $3MM cuando nuestros
competidores están ganando. Quiero un reporte detallado mañana en mi escritorio. Tienes
suerte de que no te bote. Nos hiciste perder $3MM !!!
Gerencia de Riesgo

Ejercicio: Ud. Es el Director de Finanzas de Kraft de Venezuela y su casa matriz le ha
manifestado su preocupación por la deuda que mantiene Kraft de Venezuela de $10MM
con Citibank la cual está sujeta a repago en 18 meses al USD dólar libre Bs.2,650/USD
(USD CANTV). En discusiones anteriores con casa matriz, el consenso al que ha llegado
el comité de finanzas es que probablemente, luego de las elecciones presidenciales del
2006, el dólar va a ser devaluado y que posiblemente la devaluación corresponda con el
diferencial de tasas de interés entre el bolívar y el dólar (15% y 4% por año
respectivamente). Ahora su casa matriz le ha pedido una recomendación de cómo puede
Kraft de Venezuela cubrir el riesgo de devaluación del bolívar. Prepare una presentación
que describa un mecanismo de cobertura e indique cuál sería la paridad teórica de
Bs/USD al vencimiento de la deuda (18 meses).

Gerencia de Riesgo

( r rf ) t

F0

S 0e

F0

2 , 650 Bs./USD

F0

3 , 081 . 63 Bs/USD

F0


S0

2 , 650 Bs./USD

e

( 0 . 1398

0 . 0392 )( 18 / 12 )

Debemos convertir la tasa de
semianual en una tasa continua:

Rc

Rm

m ln( 1

)

m

t

18 meses

r

0.15

Rc

1 ln( 1

0 . 04

)

0 . 392

)

0 . 1398

1
Rc

1 ln( 1

0 . 15
1

rf

rendimiento

0.04

Deuda en Bs.: USD 10,000,000 x 2,665 Bs./USD =

Intereses sobre deuda en Bs. @ 15%: Bs. 26,500,000,000 x (1.15)1.5
Total Bs. 26,500,000,000 + Bs. 5,962,500,000

Bs. 26,500,000,000

= Bs. 5,962,500,000
=Bs. 32,680,796,635.80

Intereses sobre deposito en USD @ 4%: USD 10,000,000 x (1.04)1.5

=USD 605,969.59

Total USD: USD 10,000,000 + USD 605,969.59

=USD 10,605,969.59

F0 = Bs. 32,680,796,635.80 / USD 10,605,969.59

=3,081.36

Gerencia de Riesgo

Diferencias del Forward y el Futuro
Forward
•
•
•
•

Cotizado en over the counter
Productos no estándar
Una sola fecha de entrega
Liquidación del contrato en la
fecha estipulada
• Intercambio de dinero por bien

Gerencia de Riesgo

Futuro
•
•
•
•

Cotizado en Bolsa
Productos estándar
Varias fechas de entrega
Liquidación del contrato día a
día (marked to market)
• Cierre de contrato antes de
fecha de entrega

Factores que Afectan el Precio de un Bono
1.
2.
3.

Tasa de interés: aumento en las tasas de interés disminuyen el precio del
bono
Vencimiento: mientras mayor el periodo de vencimiento, mayor la
volatilidad del precio del bono asociado con cambios en la tasa de interés
Cupón: mientras mayor el cupón, menor la volatilidad del precio del bono
asociado con cambios en la tasa de interés
Relación Precio-Rendimiento de un Bono
Precio P

Duracion

P
Y

Rendimiento Y
> Volatilidad
de Precio

< Volatilidad
de Precio

La medida que mejor describe la volatilidad del bono en relación al cupón,
vencimiento y el rendimiento es la Duración del bono (Macaulay Duration)
Gerencia de Riesgo

Duración: Medida de Volatilidad de Precio de un Bono
1.

Cual bono es mas riesgoso (mayor volatilidad de precio)
a. $100 par, vencimiento a 5 años, cupón 9% semianual, rendimiento del 9%
b. $100 par, vencimiento 4 años, cero cupón, rendimiento del 9%.
tC

n

Duracion

Macaulay

t 1

(1

nM

y)

n

(1

y)

t

P
C

cupon; M

valor par; y

Cupon 9% t = 5 años
y = 9%
Periodo(t) Flujo de caja
VP(FC)
tVP(FC)
1
4.5
4.3062
4.3062
2
4.5
4.1208
8.2416
3
4.5
3.9433
11.8300
4
4.5
3.7735
15.0941
5
4.5
3.6110
18.0551
6
4.5
3.4555
20.7332
7
4.5
3.3067
23.1471
8
4.5
3.1643
25.3147
9
4.5
3.0281
27.2526
10
104.5
67.2904
672.9044
Total
100.0000 826.8790
Duracion
Macaulay (semestral)
826.879/100 8.27
Duracion
Macaulay (annual)
4.13

Gerencia de Riesgo

rendimient

o

Cupon 0% t = 4 años
y = 9%
Periodo(t) Flujo de caja
VP(FC)
tVP(FC)
1
0
0.0000
0.0000
2
0
0.0000
0.0000
3
0
0.0000
0.0000
4
0
0.0000
0.0000
5
0
0.0000
0.0000
6
0
0.0000
0.0000
7
0
0.0000
0.0000
8
100
70.3185
562.5481
Total
70.3185
562.5481
Duracion
Macaulay (semestral)
562.5481/'70.3185 8
Duracion
Macaulay (annual)
4

•

Volatilidad de las tasas de interés afectan el rendimiento total de un bono de
dos formas:
1. Riesgo de precio: si la tasa de interés sube, el precio del bono baja. Por
lo tanto existe incertidumbre acerca del precio del bono antes de su
vencimiento.
2. Riesgo de reinversión del cupón: si la tasa de interés baja, el cupón va a
ser reinvertido a una tasa mas baja y por lo tanto el rendimiento del bono
va a ser menor.
•
Ambos elementos de riesgo tienen efectos opuestos en la rentabilidad final
del bono

•

Una forma de eliminar los riesgos asociados con movimientos en las tasas
de interés es mediante la inmunización.

•

Un portafolio esta inmunizado durante el periodo de inversión sin importar la
volatilidad de las tasas de interés, si el valor del portafolio al final del período
es igual al valor que hubiese tenido si la tasa de interés se hubiese
mantenido constante.

Gerencia de Riesgo

•

Ejemplo: si invierto en un bono par $1.000, con vencimiento a 8 años y con un cupón
de 8% anual, cual seria el valor de mi inversión al vencimiento si la tasa de interés
actual del 8% no cambia ?
Como protejo este valor ?
$1.000(1.08)8 = $1.850,93
•

Supongamos que la tasa de interés en el año 5 baja al 6% y se mantiene hasta el
vencimiento. Cual seria el valor de mi inversión al vencimiento ?
8 años, cupon 8% anual, par 1.000
Maturity Strategy
Reinvestment
End
Year
Cash Flow
rate
value
1
80
0.08
80
2
80
0.08
166.40
3
80
0.08
259.71
4
80
0.08
360.49
5
80
0.06
462.12
6
80
0.06
569.85
7
80
0.06
684.04
8
1,080
0.06
1,805.08

Valor Final

•

8 años, cupon 8% anual, par 1.000
Year
Cash Flow Valor Presente
tVP
1
80
74.07
74.07
2
80
68.59
137.17
3
80
63.51
190.52
4
80
58.80
235.21
5
80
54.45
272.23
6
80
50.41
302.48
7
80
46.68
326.75
8
1,080
583.49
4,667.92
Total
1,000.00
6,206.37
Duracion
Macaulay (annual)
ΣtVP/P
6.21

La duración Macaulay del bono no es igual al horizonte deseado de mi inversión de 8
años. El riesgo de precio es eliminado, pero no el de reinversión

Gerencia de Riesgo

•

Ejemplo: si invierto en un bono par $1.000, con vencimiento a 10 años y con un cupón
de 8% anual, cual seria el valor de mi inversión al vencimiento suponiendo que la tasa
de interés en el año 5 baja al 6% y se mantiene hasta el vencimiento.

Year
1
2
3
4
5
6
7
8

•

10 años, cupon 8% anual, par 1.000,
Duration Strategy
Reinvestment
End
Cash Flow
rate
value
80
0.08
80
80
0.08
166.40
80
0.08
259.71
80
0.08
360.49
80
0.06
462.12
80
0.06
569.85
80
0.06
684.04
1,116.67
0.06
1,841.75
Valor año 8=$1.036.67
n=2 años, y=6%,c=8% anual
10 años, cupon 8% anual, par 1.000,

Year
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Cash Flow
40
40
40
40
40
40
40
40
40

10
1,040
Total
Duracion
Macaulay (annual)

Valor
Presente
37.04
34.29
31.75
29.40
27.22
25.21
23.34
21.61
20.01

tVP
37.03704
68.58711
95.25987
117.6048
136.1166
151.2407
163.3773
172.886
180.0896

481.72
4817.212
731.60 5,939.41
ΣtVP/P

8.12

El valor final de la inversión en un bono de 10 años con duración de 8.12 años esta
mas cerca de lo que hubiese sido el valor final de la inversión en un bono de 8 años
con un rendimiento fijo del 8% anual aún cuando las tasas de interés hayan variado
durante el período de inversión. Ambos riesgos fueron eliminados.

Gerencia de Riesgo

Cobertura utilizando Duración
Duracion
P

de un bono :
PD p ; P

y
Duracion
F

p

y

de un Futuro sobre un bono :

FD F ; F

y

-PD

-FD F y

Hedge ratio :
P

PD

F

N

FD F

p

N

numero

de contratos

P

Precio del bono

F

Futuros

Precio del futuro

Dp

Duracion

del bono

DF

Duracion

del activo subyacente

Gerencia de Riesgo

del futuro

SWAPS
Un SWAP es un contrato entre dos partes para intercambiar flujos de caja futuros

El swap más común es el swap de tasas de interés.

Ejemplo, supongamos que el Banco Comercial tiene el siguiente balance:
Activos: $200MM a LIBOR + 1% (préstamos comerciales)
Pasivos:$200MM al 5% fijo
(depósitos con intereses fijos)

Gerencia de Riesgo

SWAPS
Banco
LIBOR+1%

5%

Comercial

Riesgo: caída en la tasa de
interés

Si la tasa LIBOR sube: Banco Comercial se beneficia, los ingresos por prestamos
aumentan mientras que los gastos por intereses se mantienen fijos al 5%
Si la tasa LIBOR baja: Banco Comercial se perjudica, los ingresos por prestamos
disminuyen mientras que los gastos por intereses se mantienen fijos al 5%
Banco Comercial tiene un riesgo de tasa de interés entre activos y pasivos
Gerencia de Riesgo

SWAPS
Banco Comercial
Pérdida en ingresos por intereses si la tasa LIBOR baja

Periodo

LIBOR

Ingresos Tasa
Variable

Gastos Tasa
Fija

Hoy

4.00%

$200MM x
(LIBOR +1%)

$200 millones al 5%
anual

1

3.90%

$10.0MM

($10.0MM)

$0

2

3.70%

$9.8

($10.0)

($200)

3

3.50%

$9.4

($10.0)

($600)

4

3.40%

$9.0

($10.0)

($1,000)

5

3.00%

$8.8

($10.0)

($1,200)

6

2.90%

$8.0

($10.0)

($2,000)

Gerencia de Riesgo

Ingreso Neto
por Intereses

SWAPS
Ejemplo, supongamos que el Banco Hipotecario tiene el siguiente balance:
Activos: $200MM al 5% fijo
(préstamos hipotecarios)
Pasivos:$200MM a LIBOR +0,5% (depósitos intereses variables)

Banco

Hipotecario

Riesgo: aumento en la tasa de
interés

Gerencia de Riesgo

5%

LIBOR+0.5%

SWAPS
Banco

Hipotecario

5%

LIBOR+0.5%

interés

Si la tasa LIBOR baja: Banco Hipotecario se beneficia, los ingresos por prestamos
se mantienen fijos mientras que los gastos por intereses disminuyen
Si la tasa LIBOR sube: Banco Hipotecario se perjudica, los ingresos por
préstamos se mantienen fijos mientras que los gastos por intereses aumentan
Banco Hipotecario tiene un riesgo de tasa de interés entre activos y pasivos
Gerencia de Riesgo

SWAPS
Como pueden el Banco Comercial y el Banco Hipotecario evitar el riesgo de tasas de interés ?
Alternativa A: Banco Comercial: cambiar los intereses sobre depósitos a tasa variable o
los intereses sobre préstamos a tasa fija.
Banco Hipotecario: cambiar los intereses sobre depósitos a tasa fija o los
intereses sobre préstamos a tasa variable

Consecuencias: posible pérdida de clientes, reducción de mercados
Convertir
a fijo

Banco

LIBOR+1%

Banco

Convertir
a
variable

5%

Comercial

5%

Hipotecario

Convertir
a
variable

LIBOR+0.5%

Convertir
a fijo

interés
Gerencia de Riesgo

interés

SWAPS
Alternativa B: entrar en SWAP de intereses que le permita coordinar las tasas de
interés de sus activos y pasivos
Swap de intereses

fijo

Banco
LIBOR+1%

5%

Comercial

variable

interés

Gerencia de Riesgo

Banco

Hipotecario

interés

5%

LIBOR+0.5%

SWAPS
Alternativa B: entrar en SWAP de intereses que le permita coordinar las tasas de
interés de sus activos y pasivos
Swap de intereses

5.25%

Banco
LIBOR+1%

5%

Comercial

LIBOR+1%

Banco

5%

Hipotecario

interés

interés
Banco Comercial

Banco Hipotecario

Ingreso por intereses

LIBOR +1%; 5.25%

LIBOR +1%; 5%

Gasto por intereses

(LIBOR + 1%; 5%)

(LIBOR + 0.5%; 5.25%)

Margen neto

0.25%

0.25%

Gerencia de Riesgo

LIBOR+0.5%

SWAPS
Flujos de caja del Banco Hipotecario en un Swap de intereses de $100MM donde se paga
5% fijo y se recibe LIBOR + 1% variable
Fecha

LIBOR + 1%

Interés variable
recibido ($MM)

Interés fijo
Pagado ($MM)

Flujo de caja
neto ($MM)

Hoy

4.20%

-

-

-

1 semestre, año 1

4,80%

$2.1

-$2.5

-$0.40

2 semestre, año 1

5.30%

$2.4

-$2.5

-$0.10

1 semestre, año 2

5.50%

$2.65

-$2.5

+$0.15

2 semestre, año 2

5.60%

$2.75

-$2.5

+$0.25

1 semestre, año 3

5.90%

$2.80

-$2.5

+$0.30

2 semestre, año 3

6.40%

$2.95

-$2.5

+$0.45

Nota: el pago variable corresponde a la tasa de interés fijada por adelantado (al inicio del semestre anterior)

Gerencia de Riesgo

SWAPS
Disminución del costo de intereses
Suponga que Sivensa y SIDOR necesitan obtener un préstamo de $10MM a cinco años y
sus respectivos bancos les ofrecen las siguientes tasas de interés fijas y variables
Sivensa tiene una ventaja comparativa con relación a SIDOR en las tasas fijas
SIDOR tiene una ventaja comparativa en el spread de las tasas variables con relación al
spread de las tasas fijas (el spread variable de 0,5% es menor al spread fijo de 1.2%)
Un Swap de tasas de interés puede resultar en un menor costo de intereses para ambos

Intereses Fijos
Sivensa

Intereses
Variable

10.0%

LIBOR + 2%
Diferencia: 0.5%

SIDOR

11.3%

Diferencia:1.3%

Gerencia de Riesgo

LIBOR +2.5%

SWAPS
Swap de intereses

10%

Sivensa

10%

SIDOR

LIBOR+2.5%

LIBOR+1.6
Sivensa

SIDOR

Ingreso por
intereses

10%

LIBOR+1.6%

Gasto por
intereses

(LIBOR 1.6; 10%)

(LIBOR + 2.5%; 10%)

Costo neto

LIBOR +1.6%

10.9%

Sivensa termina pagando LIBOR+1.6% variable, comparado con 2.0% sin el Swap (ahorro de 0.4%)
SIDOR termina pagando 10.90% fijo, comparado con 11.3% sin el Swap (ahorro de 0.4%)

El ahorro proviene de la diferencia de los spreads entre las tasas fijas y variables (1.3% - 0.50%) = 0.8% el
cual se comparte en partes iguales (0.4% c/u)
Gerencia de Riesgo

SWAPS
Ejercicio: Shell de Venezuela y Exxon necesitan un financiamiento de $20MM a tres años
para el desarrollo de un proyecto petrolero en Maturín y han obtenido la siguiente oferta de
financiamiento:
Intereses Fijos

Intereses
Variable

Shell

12.0%

LIBOR + 0.1%

Exxon

13,4%

LIBOR +0.6%

Shell prefiere un financiamiento a tasa variable mientras que Exxon prefiere un
financiamiento a tasa fija. Asuma Ud. El papel de intermediario y diseñe un Swap que sea
atractivo para ambas partes y en el que Ud. Se gane una comisión de intermediación del
0.1% anual. Prepare una presentación al Director de Finanzas de Shell que explique como
funciona el Swap y que beneficios le trae a Shell

Gerencia de Riesgo

SWAPS
Intereses Fijos

Intereses
Variable

Shell

12.0%

LIBOR + 0.1%

Exxon

13,4%

LIBOR +0.6%

Diferencia:0.5%

Diferencia:1.4%

Shell tiene una ventaja comparativa en las tasas fijas pero necesita variable. Exxon tiene
una ventaja comparativa en las tasas variables pero necesita fija. Esta es la base del
Swap. El diferencial entre spreads fijos y variables es de 1.4% - 0.5% = 0.9%.
El intermediario puede quedarse con una comisión del 0.1% lo cual deja una reducción del
costo de intereses de 0.4% para cada empresa.
12.3%
12%

Shell

Net Libor-3%


Exxon

Banco

Libor

Gerencia de Riesgo

12.4%

Net 0.1%

Libor+0.6%
Libor

Net 13%

Opciones

Gerencia de Riesgo

Contratos de Opciones (Options)
Es un contrato que otorga el derecho mas no la obligación de comprar
(call option) o vender (put option) un tipo de activo a una fecha futura
y por un precio establecido.
• A diferencia de los Forward y los Futuros, las opciones son un derecho
y no una obligación de comprar o vender. Son contratos líquidos y
negociados en bolsa.
• Las Bolsas donde mas opciones se negocian son:
– Chicago Board Options Exchange - Chicago Mercantile Exchange
– Philadelphia Stock Exchange
- London International Financial Futures
Exchange

• Los activos que mas comúnmente se negocian son:
–
–
–
–

Todos los contratos Futuros (commodities y financieros)
Diversas acciones (mas de 500)
Diversas monedas extranjeras
Diversos índices (S&P 500, Dow Jones, Nikkei, Nasdaq, etc.

Gerencia de Riesgo

Opciones Financieras
•

Una opción de compra (contrato call) otorga el derecho - mas no la
obligación- al comprador de:
– Comprar un activo subyacente (acción, bono, índices bursátiles,…) cuyo
valor es = S
– A un precio de ejercicio = X
– En una fecha futura = t
– El valor de S (el activo subyacente) tiene una volatilidad = σ
Utilidad al vencimiento
S-X
Valor
intrínseco de la
opción

S<X

S>X

Out of the money

In the money
S

Gerencia de Riesgo

X
Precio de ejercicio

•

Una opción de venta (contrato put) otorga el derecho - mas no la
obligación- al vendedor de:
– Vender un activo subyacente (acción, bono, índices bursátiles,…) cuyo
valor es = S
– A un precio de ejercicio = X
– En una fecha futura = t
– El valor de S (el activo subyacente) tiene una volatilidad = σ
Utilidad al vencimiento
X-S

Valor
intrínseco de la
opción

X>S

X<S

In the money

Out of the money
S

Gerencia de Riesgo

X
Precio de ejercicio

Valor del tiempo
tyσ

Valor de la
opción

Valor intrínseco
S -X

S<X

S>X

Out of the money

In the money

Esperar

Opción de ejercer

S
X
Precio de ejercicio

• El valor adicional de una opción de compra que está Out of the Money proviene
de dos fuentes:
1.

La volatilidad σ del activo subyacente S (el valor de la acción de Apple
puede aumentar por encima de X

2.

El tiempo de ejercicio t: a mayor tiempo, mayor el valor de la opción

Gerencia de Riesgo

Contratos de Opciones (Option Contracts)
Precios de ejercicio y
mes de vencimiento
Activo

Call o Puts
Precio de cierre y
volumen negociado

Precios de acciones
de AmericanOnline

Oportunidad de arbitraje:
comprar put Mar 25 y
acción 18.30. Ejercerla
ahora

Gerencia de Riesgo

Numero total de contratos vendidos durante
el día

Contratos de Opciones (Option Contracts)
• Caso Call: supongamos que un inversionista compra un call con vencimiento
en Octubre del sobre el S&P 100 con un precio de ejercicio de $520 por $33.
El precio del S&P hoy es de $500. Un contrato de opción son 100 veces el
índice y por lo tanto el costo del contrato es de $33 x 100 = $3,300
• Supongamos que al cabo de dos dias el precio del S&P 100 aumenta a $600.
• La ganancia del inversionista si ejerce el call seria de $600 - $520 = $80 x100
= $8.000
• Caso Put: supongamos que un inversionista compra a un put con vencimiento
en Octubre sobre el S&P 100 con un precio de ejercicio de $520
• Supongamos que al cabo de dos dias el precio desciende a $400.
• La ganancia del inversionista si ejerce el put seria de $520 - $400 = $120x100
= $12.000.

Gerencia de Riesgo

•

La tabla muestra el valor de la opción de compra sobre una acción de la compañía Apple.
Precio de ejercicio
$

Valor de la acción
al cierre en $

Option &
Strike
Calls
NY close
Price
Exp.
Last
Apple
20
Mar
0½
19
25
Apr
0¾
19
30
Jun
1½
19
37
Jul
1¾
Fuente: Wall Street Journal, March 21, 2001

Valor de la opción
$

Fecha de
vencimiento de la
opción

• Una opción de compra de una acción de Apple a un precio de $25 que vencía un mes
después (Abril) se compró por $0.75. El precio actual de la acción era de $19.
• Porqué un inversionista pagó $0.75 por el derecho de comprar una acción de Apple en $25
en cualquier momento entre abril y junio cuando la acción se cotizaba en $19 el abril ? Qué
valor tiene esa opción? Como se obtuvo el precio de $0,75 ?
Gerencia de Riesgo

Call Options
•

Variables que determinan el valor de una opción financiera

Variable

Opción de compra

X

Precio de la acción

t

Vida de la opción

σ

Volatilidad de la acción

r

Efecto en el valor
de la Opción

Precio de ejercicio

S

Movimiento de
la Variable

Tasa de interès

Cómo utilizar estas variables para determinar el valor de una opción ?

Gerencia de Riesgo

Valoración de una Opción: Hedge Ratio
Ejemplo: calcular el valor de una opción sobre una acción con las siguientes
características: precio actual S=$20, precio de ejercicio X=$20, tiempo t=1 año,
precio esperado al año Su=$23 o Sd=$17,39, rf=4%
• Construimos un portafolio constituido por la venta corta de una opción call mas la
compra de un numero h de acciones de manera que el valor del portafolio no
cambie sin importar el precio final de la acción.
S=$23
Cu=(S-X)=($23-$20)=($3)

Hedge ratio h

S=$20
C=?

Cu - Cd
Su - Sd

$3
$ 23

$0

0 ,5348

$ 17 ,39

S=$17,39
Cu=(S-X)=($17,39-$20)=$0
hoy

1 año

• El portafolio debe estar conformado por la venta de una opción call mas 0,5348
acciones
Gerencia de Riesgo

Valoración de una Opción: Hedge Ratio
• Paso 2: valorar el portafolio compuesto por h acciones mas una venta corta del call:
Su=$23 x h
Cu=($3)
S=$23 x 0,5348 = $12,3
-Cu=
($3)
Valor de portafolio=$9,3
S=$20
C=?

Hedge ratio h

Cu - Cd
Su - Sd

$3
$ 23

$0

0 ,5348

$ 17 ,30

Sd=$17,39 x h
Cd=$0
S=$17,39 x0,5348=$9,1524
Cd=
$0
Valor del portafolio=$9,3
hoy

1 año

• Paso 3: el portafolio esta libre de riesgo, por lo tanto el valor del call hoy debe ser:
(S)(h)

C

VP($9,3)

($20)(0,53 48)
Gerencia de Riesgo

C

$1,76

C

$9,3e

- 0,04x1

Valoración de una Opción: Riesgo Neutral
• Una opción call también se puede valorar con el modelo binomial expresando el
activo subyacente en términos de precio y volatilidad
• Ejemplo: calcular el valor de una opción call sobre una acción con las siguientes
características: precio actual S=$20, volatilidad del precio σ = 13,976%, precio de
ejercicio del call X=$20, tiempo t=1 año,
• Paso 1: estimamos los precios finales Su y Sd dada la volatilidad de precio σ

U

e

t

U

e

0,13976

D

1

Su

1 . 15

($ 20 )(1 . 15 )

$ 23

1
U

D

1

0 ,8696

1.15

S=$20

Sd
t = 1 año

Gerencia de Riesgo

($20)(0,86 96)

$17,39

• Paso 2: estimamos las probabilidades de riesgo neutral π asociadas a los precios
finales Su y Sd:
u

e

rt

U
d
U

D

u

D

0,04x1

1 . 15

1 - u, donde
1 . 15 y D

e

d

0 ,869 6

0 ,8696
0 ,8696

1 - Pu

1 - 0,6106

($ 20 )(1 . 15 )

Su

0,6106
0,3894

$ 23

πu=0,6106

S=$20
πd=0,3894

Sd
t = 1 año

Gerencia de Riesgo

($20)(0,86 96)

$17,39

• Paso 3: determinar valor de la opción call con los precios finales Su y Sd
Su

($ 20 )(1 . 15 )

Cu

$23 - $20

$ 23
$3

πu=0,6106

S=$20
Sd
Cd

πd=0,3894

($20)(0,86 96)
$0

t = 1 año

• Paso 4: estimar el valor presente esperado del call:
E(VP)call

[( u)(Cu)

E(VP)call

[(0,6106)( $3)

E(VP)call

$1,76

Gerencia de Riesgo

( d)(Cd)]e

-rt

(0,3894)($ 0)]e

- 0,04x1

$17,39

Call Options
• En 1997, los profesores Fisher Black, Byron Scholes y Robert Merton
desarrollaron un modelo de valoración de opciones. Su contribución fué
tan importante en finanzas, que obtuvieron el premio Nobel de
economía.
• El modelo es conocido como Black & Scholes
V alor d el call
ln

d1

S

Ke

rt

N (d 2 )

2

r

K

d on d e d 1
d2

S N (d 1 )

t
2

t
t
Variable

Call Option

X

Precio de ejecución

S

Precio de la acción

t

Vida de la opción

σ

Volatilidad de la acción

r

Tasa de interès

N()
Gerencia de Riesgo

es la probabilidad cumulativa
que se obtiene de una tabla
de distribución normal

Estrategias de Opciones
•

Protective Put: compra de una acción y compra de un put sobre esa acción
Acción

St

St
Long Put

Accion
Long Put

St
Portafolio

X
Gerencia de Riesgo

St

Total

X

St  X

St

St

X - St

0

X

St

Esta estrategia es similar a la compra de un
seguro que garantiza que el valor de la inversión
en la acción no será menor al precio del ejercicio
del put menos su costo de compra

•

Covered call: compra de una acción y venta simultanea de un call sobre esa acción
Acción

St

St
Short Call

X

St  X

Portafolio

X
Gerencia de Riesgo

St

St

St

Short Call
St

Accion

0

- (S t

Total

St

X)

X

Esta estrategia es atractiva cuando se posee una
inversión en acciones que debe ser liquidada. La
venta del call incrementa el rendimiento del
portafolio. Si la acción sube de precio las ganancia
no se materializaría luego de la venta

•

Long straddle: compra de un call y un put con el mismo precio de ejercicio y vencimiento
Long Call

St

St  X
Long Put

St

X

Portafolio

X
Gerencia de Riesgo

St

0

Long Put
St

Long Call

St

X

X - St

0

Total

X - St

St - X

Esta estrategia apuesta a la volatilidad de precio.
Por ejemplo el anuncio de una potencial
adquisición de una empresa. Si es exitosa, el
precio aumenta y si fracasa, el precio disminuye

•

Spreads: compra o venta de dos o mas opciones del mismo tipo. El mas popular es el Bull
Spread: Compra de un call con precio de ejercicio X1 y la venta de un call sobre la misma
acción con un precio de ejercicio X2 mayor
Long Call

St

X1

Short Call

St

X1  St

Long Call X 1

0

St

Long Call X 2

-0

-0

Total

X2

X1

0

X1

St - X1

X2

St  X 2
St - X1
- (S t - X 2 )
X2

X1

St
Portafolio

X1

X2

Gerencia de Riesgo

St

Esta estrategia permite generar un ingreso con la
venta del call X2 para financiar la compra de un call
X1

Paridad Put - Call
•

Considere los siguientes portafolios:
Portafolio A: una opción call Europea mas el valor presente del precio de
ejercicio X
Portafolio B: una opción put Europea mas una acción

Al vencimien to Xe

-rt

St
Portafolio

St  X

X

A

Long Call
Xe

X

- rt

Valor final

St
Portafolio

0

St

X

X

St  X

B

Long Put

X - St
St

St

X

St

X

X

Accion

X

St

Valor final

0

Ambos portafolio s tienen el mismo valor al vencimien to, por lo tanto el valor
hoy debe ser el mismo :
C

Gerencia de Riesgo

Xe

- rt

P

S0

Ejercicio: Ud. Sigue siendo el Director de Finanzas de Kraft de Venezuela
y el día siguiente después que hizo la presentación del mecanismo de
cobertura para determinar la paridad teórica Bs/USD de 3081,63
Bs/USD, el nuevo departamento de ingeniería financiera del banco
Mercantil le propone venderles un call a 18 meses sobre el dólar con un
strike de 3100 Bs/USD valorado a 300 bolívares por 1 USD usando un
modelo mas sofisticado que el de Black and Scholes. Después de una
larga noche de sueño muy profundo, piense que hay un 50% de
probabilidad que el Bolívar se fortalezca o que se debilite. Cada opción
permite comprar 50.000 USD. Dentro de 18 meses tendrá que pagar
$10MM mas intereses por $400.000. ¿Cuantas opciones tendría que
comprar? ¿Cual seria el costo total? ¿A partir de que precio
empezaríamos a ganar en la compra de dólares usando esta estrategia
de opciones?

Gerencia de Riesgo

¿Que obtenemos usando la opción?
1. Tendríamos que comprar $10.400.000/50.000=208
opciones.
2. Costo total=208* 300*50000=3.120.000.000 Bs.
3. Habría que añadir a 3100 Bs/USD el precio de 300 Bs.
Es decir si el dólar pasa por encima de 3400,
empezamos a ganar en este negocio. Si el bolívar se
fortalece, perdemos 300 Bs por opción.

Gerencia de Riesgo

Introducción a la volatilidad
• Volatilidad es sinónimo de riesgo así como correlación lo
es para reducción del mismo a través de la
diversificación. La estimación correcta de dichas
cantidades es importante para medir la exposición al
riesgo.
• Meta: Lograr estimar la volatilidad para calcular precios
de opciones, de portafolios de activos, calcular el Valueat-Risk, así como también valores de opciones usando
árboles binomiales o formula de Black & Scholes.

Gerencia de Riesgo

Series de retornos
Retornos con volatilidad variable

2
1
Serie1

-2
-3
Observaciones

Gerencia de Riesgo

113

105

97

89

81

73

65

57

49

41

33

25

17

-1

9

0
1

Retornos de activo Y

3

Serie2

Visión intuitiva de volatilidad con histogramas
1

2

Gerencia de Riesgo

Motivación del calculo del rendimiento
• Supongan que el precio de una acción ayer fue de $1 y el precio
hoy es de $1.105. Cual es el rendimiento?

Pt
r

rt

Pt 1 e , donde t
ln

Pt
Pt

Gerencia de Riesgo

ln
1

1 día

1 . 105
1

10 % diario

Calculo de los retornos
Tomar la serie de precios y
calcular la siguiente formula
para hallar los retornos
Precio de mi activo en
tiempo t

Retorno en tiempo t

rt
Retornos promedio de los
m últimos periodos

r

ln

Pt
1
m

Gerencia de Riesgo

Pt
1

m

rt
i 1

i

Calculo de volatilidad
Asumiendo un retorno promedio igual a 0, la varianza hoy es igual a
un promedio ponderado de los retornos al cuadrado de días
anteriores (ponderaciones diferentes)

2
t

m

1
m

rt
i

2
i

1

m
2
t

i
i

Gerencia de Riesgo

1

rt

2
i

El presente tiene mas valor que el pasado
Las siguientes condiciones son necesarias para hacer una ponderación
mayor de los retornos actuales que del pasado

Ponderación
aritmética
m

1

i
i

1

1
i
m

i

Gerencia de Riesgo

1

m
1
m

1

Como calcular volatilidades: aritmética
Pregunta:
Suponga que observo los siguientes retornos diarios:
-0.14,-0.15,0.46,-0.02,y 0.09
Hallar la volatilidad ponderada aritmética de los últimos 5 días
2
t

t

1

5

5

i 1

rt

1

2

0 . 05244

i

0 . 2622

0 . 05244

5
22 . 9 % diaria

La volatilidad estimada de los últimos 5 días es de 22.9% diario,
donde pondera los retornos de manera igual.

Gerencia de Riesgo

Como calcular volatilidades: exponencial
En el ejemplo anterior, queremos darle mayor importancia
a la volatilidad del ultimo día.
¿Como calcular esta volatilidad?
Hay tres formas de estimar este tipo de volatilidad:
1. EWMA (Exponentially Weighted Mean Average)
2. ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedastic)
3. GARCH (Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedastic)
4. Stochastic Volatility
Gerencia de Riesgo

Modelo EWMA
El modelo EWMA es usado en la banca comercial, y es un caso
particular del modelo
2
t

m
i 1

r

2

i t i

Por el siguiente modelo done m=2 y α1=λ, así como α2 =1-λ
2
t

Gerencia de Riesgo

2
t 1

1

rt

2
1

Modelo EWMA
• El peso λ por lo general es igual a 0.97 para el valor de volatilidad
del periodo anterior y decae exponencialmente con periodos
anteriores, por eso su nombre EWMA.
2
t

2
t 1

1

rt

2
1

m
2
t

i 1

1

rt

2

m
i

2
0

i 1

• La volatilidad del día t es una función de la volatilidad del día
anterior con el cuadrado del retorno mas reciente
Gerencia de Riesgo

Modelo ARCH
• Una extensión del EWMA es asumir una volatilidad de largo plazo
además de la suma de los retornos pasados ponderados. El
modelo mas usual es el modelo ARCH (Autoregressive
Conditional Heteroskedasticity) creados por Robert Engle, premio
Nobel 2003
m
2
t

VL

r
i t

2
1

i 1
m
2
t

2
i t 1

r

i 1

Gerencia de Riesgo

, V L es volatilid

ad de largo plazo

Modelo GARCH
• Una extensión del ARCH no es solo asumir una volatilidad de largo
plazo además de la suma de los retornos pasados ponderados, sino
de la misma volatilidades pasadas ponderadas. El modelo mas usual
es el modelo GARCH(p,q) (General Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
p
2
t

q
2
i t 1

VL

r

i 1
2
t

1

Gerencia de Riesgo

VL

rt

i

2
t 1

i 1
2
1

2
t 1

, es un GARCH(1,1)

GARCH(1,1) vs. RiskMetricsTM
• Para un GARCH(1,1) con γ =0, α =1-λ y β= λ obtenemos el EWMA

2
t
2
t

VL
1

rt
rt

2
1

2
1

Gerencia de Riesgo

2
t 1
2
t 1

, con

0,

(1 - ),

De volatilidad aritmética a EWMA
• Supongan que λ=0.9, la volatilidad para el día t-1 es de 1% por día, y
el retorno de mercado durante el día t-1 es de 2%. Esto significa que:
2
t 1

0 . 01

2

2

0 . 02

2

rt

1

• Usando la ecuación anterior para EWMA obtenemos
2
t

t

Gerencia de Riesgo

0 .9

0 . 01

0 . 00013

2

0 . 1 0 . 02

2

1 . 14 % por dia

El calculo con GARCH(1,1): ejercicio
• Supongamos que su software estimo un GARCH(1,1) y dio
2
t

0 . 000002

0 . 13 rt

2
1

0 . 86

2
t 1

Calcular la volatilidad de hoy así como la volatilidad a largo plazo
sabiendo que
2
t 1

rt

2
1

Gerencia de Riesgo

0 . 016
0 . 01

2

2

Solución a la estimación del GARCH(1,1)
• Solución:
1
1

0 . 13

y como
VL

0 . 86
VL

0 . 01
0 . 01

0 . 0002

0 . 000002

0 . 0002

• Además la volatilidad para hoy se halla vía:
2
t

t

0 . 000002

0 . 00023516

Gerencia de Riesgo

0 . 13

0 . 0001

0 . 86

1 . 53 % por dia

0 . 000256

Valoracion de una Opcion: Riesgo Neutral
• Una opción call también se puede valorar con el modelo binomial expresando el
activo subyacente en términos de precio y volatilidad
• Ejemplo: calcular el valor de una opcion call sobre una accion con las siguientes
caracteristicas: precio actual S=$20, volatilidad del precio σ = 13,976%, precio de
ejercicio del call X=$20, tiempo t=1 año,
• Paso 1: estimamos los precios finales Su y Sd dada la volatilidad de precio σ

U

e

t

U

e

0,13976

D

1

1 . 15

Su

($ 20 )(1 . 15 )

$ 23

1
U

D

1

0 ,8696

1.15

S=$20

Sd
t = 1 año

Gerencia de Riesgo

($20)(0,86 96)

$17,39

• Paso 2: estimamos las probabilidades de riesgo neutral π asociadas a los precios
finales Su y Sd:
u

e

rt

U
d
U

D

u

D

0,04x1

1 . 15

1 - u, donde
1 . 15 y D

e

d

0 ,869 6

0 ,8696
0 ,8696

1 - Pu

1 - 0,6106

($ 20 )(1 . 15 )

Su

0,6106
0,3894

$ 23

πu=0,6106

S=$20
πd=0,3894

Sd
t = 1 año

Gerencia de Riesgo

($20)(0,86 96)

$17,39

• Paso 3: determinar valor de la opcion call con los precios finales Su y Sd
Su

($ 20 )(1 . 15 )

Cu

$23 - $20

$ 23
$3

πu=0,6106

S=$20
Sd
Cd

πd=0,3894

($20)(0,86 96)
$0

t = 1 año

• Paso 4: estimar el valor presente esperado del call:
E(VP)call

[( u)(Cu)

E(VP)call

[(0,6106)( $3)

E(VP)call

$1,76

Gerencia de Riesgo

( d)(Cd)]e

-rt

(0,3894)($ 0)]e

- 0,04x1

$17,39

• En un caso real no se conoce σ a futuro para el modelo
anterior. ¿Cómo hacer para conocer la volatilidad de
aquí a un año cuando vence la opción?
• Si hoy estamos en tiempo t, hay que pronosticar la
volatilidad dentro de un año, que son 252 días hábiles y
por ende estimar a (σt+252)2 . Esto se hace usando el
modelo GARCH(1,1). No derivamos este pronostico de
la volatilidad a un año ya que hay programas que lo
hacen y la matemática es comprometedora.

Gerencia de Riesgo

Utilidad de los tres modelos exponenciales
• Estos modelos son importantes porque serán aplicados
para el calculo de VaR (Value-at-Risk) que veremos en
la próxima sección.

Gerencia de Riesgo

Nuestro modelo (Open,Close, High and Low)

Gerencia de Riesgo

Value-at-Risk (VaR)
“How much can we lose on our trading portfolio by tomorrow s close? “
(Denis Weatherstone, CEO JP Morgan)

Introducción al VaR
• VaR resume en un solo numero el riesgo total en una
cartera de activos. Es usado por Bancos Centrales,
Reguladores, así como bancos comerciales para la
determinación del capital económico de una institución
financiera que evita su insolvencia.
• Meta: Después del calculo del VaR, lograremos construir
las siguientes afirmaciones Estamos seguros con una
certeza del X% que no perderemos mas que V
Bolívares en los próximos N días
• NB: Hay que usar la misma unidad para el retorno,
volatilidad y horizonte temporal.
Gerencia de Riesgo

Vocabulario y convenciones con VaR
•

•

En el calculo del VaR se usa el método de volatilidad
histórica, el cual se puede dividir en tres categorías:
parametrica, noparametrica e hibrida.
Inicialmente, veremos como se calcula el VaR cuando
los retornos se distribuyen como distribución de
probabilidad normal para seguir con los otros métodos.

Gerencia de Riesgo

Tres métodos para calcular el VaR
1. El método noparametrico es el menos restrictivo ya que
no se hace ninguna hipótesis sobre los retornos. Este
ultimo es la simulación histórica.
2. El método parametrico asume que los retornos de los
activos están distribuidas normalmente o
lognormalmente con volatilidades que varían en el
tiempo. (EWMA, ARCH y GARCH)
3. El método hibrido usa una combinación entre técnicas
parametricas y noparametricas

Gerencia de Riesgo

Calculo del VaR: método normal
1 ;

1

0 . 68

2 ;

Gerencia de Riesgo

0 . 9545

3 ;


2
3

0 . 9973

Valores importantes para memorizar
• Los valores que utilizaremos para calcular un VaR asumiendo que los
retornos siguen una distribución normal son:
1 . 96

;

1 . 96

0 . 95

2 . 58

;

2 . 58

0 . 99

• Dicho de otra manera, hay una probabilidad del 0.95 de que una
variable normal no se desvíe de mas de 1.96 desviaciones estándar
de su media. Los mismo aplica al caso de 2.58.

Gerencia de Riesgo

Determinación grafica del VaR con ejemplo
• (Wiley FRM, Philippe Jorion) Imaginen que un hedge fund toma una
posición corta de $4.000 millones de yen. ¿Cuanto podría perder en
un día ese Hedge fund? ¿Como perdería?
• Tomando diez años de data histórica de la tasa de cambio St (¥/$),
pudiesemos construir los siguientes retornos:
R t (USD )

Gerencia de Riesgo

Q 0 (USD )

St

St
St

1

1

Los pasos para construir los retornos
1. Tomamos la tasa de cambio de los 10 ultimos años St (¥/$) el primer
dia y el segundo, y obtenemos S1=112 y S2=111.8, con lo cual
tenemos el siguiente retorno:
2. Usamos la siguiente formula para hallar la ganancia/perdida
$

7 . 2 millones

$ 4 . 000

111 . 8

112

112

3. Seguimos hallando los retornos para los días 3,4,5…etc y
obtenemos los retornos de la lamina que sigue

Gerencia de Riesgo

El Resultado gráficamente
El VaR diario es igual a -$47
millones

Gerencia de Riesgo

Los pasos para hallar el VaR
1. En diez años tenemos 2527 valores diarios para St con los cuales
calculamos los retornos anteriores, los ordenamos en orden creciente
(desde las perdidas hasta las ganancias). Observen que los retornos se
ven como una curva normal (simétrica)
2. Hallamos el 5% de 2527, que es igual a 126.35. Por ende, el VaR es
igual al retorno # 126 mas pequeño. El retorno # 126 corresponde a un
retorno negativo de -$47 millones. VaR es downside risk.
3. Vemos que el retorno promedio es cercano a 0. Eso es cierto para
retornos diarios, pero deja de serlo con horizontes mas largos (meses,
años, etc).

Gerencia de Riesgo

Caso Estudio VaR Histórico
• Dado 100 retornos del portafolio, se ordenaron del mas
pequeño al mas grande, y se obtuvieron los siguientes 6
retornos:
R e to rn o s c o n V o la tilid a d v a ria b le
R e to rn o s
R eto rn o s d e p o rtfo lio

0.6

-5 4 .3 9 %
-3 9 .1 1 %
-3 5 .0 5 %
-2 2 .1 5 %
-2 1 .6 8 %
-2 1 .0 8 %

0.4
0.2
0
-0.2 1

9

17

25

33

41

49

57

65

73

81

89

97

S erie1

-0.4
-0.6
-0.8
-1
P e rio d o s

• Hallar el VaR del 5%, así como el del 1% e interpretar, si
tenemos una inversión de $100.
Gerencia de Riesgo

Caso Estudio VaR Histórico
• Dado que tenemos un numero par de retornos en la
muestra, el percentil 5% es el promedio de -21.68% y de
-21.08 que da -21.38% (o -$21.38).

• Tomando el promedio entre -54.39% y -39.11
obtenemos el VaR al 1% igual a -46.75 (o $-46.75).

Gerencia de Riesgo

Caso Estudio VaR usando la normal
(Parametrico)
• Usando las funciones de Excel PROMEDIO() y DESVEST() se estimo
un retorno promedio del 1% así como una volatilidad diaria del
13.15% (esto significa que la volatilidad es constante en el tiempo).
• Usando las formulas anteriores en el caso donde los retornos se
asumen que son normales obtenemos:
VaR 5 %

0 . 1315

1 . 65

21 . 7 % (-$21.7)

VaR 1 %

0 . 1315

2 . 33

30 . 6 % (-$30.6)

Gerencia de Riesgo

Caso Estudio VaR usando la normal
• El numero -$21.7 significa que se espera observar 5 días de 100
cuyas perdidas sean inferior o igual a -$21.7. En pocas palabras, hay
una probabilidad de 5% de que en cualquier día la perdida sea mas
grande o igual a -$21.7.
• ¿Que pasa si estoy interesado en conocer mi perdida en 10 días?

VaR ( X %)

Gerencia de Riesgo

J días

VaR ( X %) 1 día

J

VaR de varios horizontes temporales
• Aplicando la siguiente formula obtenemos el VaR a 10 días:

VaR ( X %)

J días

VaR ( X %) 1 día

J

VaR ( 5 %) 10 días

VaR ( 5 %) 1 día 10

VaR ( 5 %) 10 días

VaR ( 5 %) 1 día 10

VaR ( 5 %) 10 días

68 . 61 %

Gerencia de Riesgo

$ 68 . 61

VaR de portafolio y diversificación
• Como vieron en el caso de cobertura h, la varianza de un portafolio de
dos activos A y B así como el retorno se determinan de la siguiente
manera:
P
2
P

1

A
2

2
A
2

P

% VaR P
$VaR P

2

Gerencia de Riesgo

2

1
2
A

2
A

2
A

2
B
2

1

% VaR

$VaR


A

2
2
B

2
2

1
2

$VaR B

2

A,B

A

A,B

A
2

% VaR B
A,B

1

B

B

1

2

A,B

% VaR A % VaR B

$VaR A $VaR B

1

Caso de VaR de portafolio
• Goldman Sachs maneja dos portafolios de inversiones:
renta fija de largo plazo y un índice de acciones. El
portafolio vale al día de hoy $820 millones, la renta fija
compone el 40% de la cartera. La correlación entre los
bonos y acciones en la cartera es igual a 0.55. Goldman
Sachs estimo que el VaR(5%) mensual es de 2% o el
equivalente de $6.56 millones para la renta fija y de 3%
o $14.76 millones para el índice de acciones. Calcular el
VaR(5%) mensual del portafolio.

Gerencia de Riesgo

• Solución:
VaR(5%)
2

% VaR

P

% VaR

P

% VaR

P

porcentual

% VaR

2
A

2

( 0 . 4 ) ( 0 . 02 )

en un mes
2

1
2

% VaR

2
B

2

( 0 . 6 ) ( 0 . 03 )

2
2

1

% VaR

en $ en un mes
2
A

$VaR

P

$VaR

$VaR

P

( 6 . 56 )

$VaR

P

$VaR
2

(14 . 76 )

$ 19 . 17 millones

Gerencia de Riesgo

2
B

2
2

A,B

2

$VaR
6 . 56

% VaR

B

A,B

2 ( 0 . 4 )( 0 . 6 )( 0 . 02 )( 0 . 03 )( 0 . 55 )

2 . 32 %
VaR(5%)

A

A

$VaR

14 . 76

B

0 . 55

• ¿Que pasa si la correlación es igual a -0.55?:
VaR(5%)
2

porcentual
2
A

% VaR

P

% VaR

% VaR

P

( 0 . 4 ) ( 0 . 02 )

% VaR

P

2

en un mes
2

1
2

% VaR
2

2
B

( 0 . 6 ) ( 0 . 03 )

2
2

1

% VaR A % VaR

en $ en un mes
2
A

$VaR

P

$VaR

$VaR

P

( 6 . 56 )

$VaR

P


2

2
B

(14 . 76 )

$ 12 . 42 millones

Gerencia de Riesgo

$VaR

2
2

A,B

2

A,B

2 ( 0 . 4 )( 0 . 6 )( 0 . 02 )( 0 . 03 )( 0 . 55 )

1 . 52 %
VaR(5%)

B

$VaR A $VaR
6 . 56 14 . 76

B

( 0 . 55 )

VaR y Basel II
1. Trabajar con un horizonte temporal de 10 trading days o 2
semanas (calendar weeks).
2. El grado de significatividad tendrá que ser del 99%.
3. Las observaciones tendrán que provenir de por lo menos un año
histórico y actualizar la data cada trimestre.

Gerencia de Riesgo

Extreme Value Theory
“This is one of those cases in which the imagination is baffled by the facts “
(Winston Churchill)

El porque del EVT

Distribución con colas grandes

Distribución normal

Gerencia de Riesgo

El porque del EVT
• Esta es un rama de la estadística que se ocupa de
eventos catastróficos y tiene aplicaciones en control de
calidad, re aseguradoras, hidrológica y ciencias
ambientales. Esta ciencia nació del derrumbe de los
diques de agua en Holanda en febrero del 53, el cual
inundo gran parte del país y mato a unas 1800
personas. El gobierno holandés uso los desarrollos de
EVT para determinar la altura máxima de los diques
para que no ocurriera mas, y así balancear los costos de
construcción contra los costos esperados después de
otra inundación. La matemática va mas allá de este
curso, y fue desarrollada por Gnedenko (1943).
Gerencia de Riesgo

El método de EVT
• EVT dice en pocas palabras que para calcular la probabilidad de que
un valor x caiga mas allá de un valor u especificado por el usuario, se
usan las siguientes formulas:
1

ξy)

F(y)

1-( 1

F(y)

1- exp (-y)

donde

y

ξ

(x

u)

para
para
, con

0
0
0

• Aquí y significa las perdidas en valor absoluto de un portafolio que
superan la barrera u. El parámetro ξ controla que mas grande/gorda
es la cola con respecto a la de una normal. Esto permite darle mas
probabilidad a eventos que no tienen tanta posibilidad de ocurrir en el
caso de una distribución normal.

Gerencia de Riesgo

El método de EVT
• Para calcular el VaR(5%), se usa la siguiente formula:
VaR ( 5 %)

u

N

1

0 . 05

1

Nu
VaR ( 5 %)

u

0 . 05
P (r

1
u)

• Donde N es el numero de retornos históricos observados, y Nu son el
numero de retornos mas grandes que u.

Gerencia de Riesgo

Caso VaR
• Supongamos que el VaR(5%) mensual es de $100
millones y quieren el VaR(5%) semanal. Utilizen un mes
de 21 días y una semana de 5 días (trading days).

Gerencia de Riesgo

Caso grupo VaR
• Con los siguientes 20 datos diarios de
su portafolio, calcular el VaR(5%) diario
y a 12 días con simulación histórica y
método normal. Hacer lo mismo pero
con un horizonte de una semana para
los dos metodos.

Gerencia de Riesgo

R e to rn o s P
5 .0 3 %
-4 .8 3 %
3 6 .8 1 %
-8 8 .4 2 %
-5 .3 6 %
-3 .3 3 %
6 .6 4 %
-5 .9 0 %
-6 .2 0 %
0 .7 2 %
2 6 .8 7 %
6 .2 3 %
-5 3 .8 5 %
-4 9 .0 9 %
-5 .1 3 %
-1 7 .2 0 %
-2 .5 2 %
-9 .6 0 %
-1 8 .0 8 %
1 4 .5 8 %

Motivación de Risk Budgeting
1. VaR es solo útil para el quien comprende las fuentes
exactas de donde proviene el riesgo.
2. ¿Qué proporción del riesgo total aporta cada activo o
unidad del negocio?.
3. ¿Si cambiamos la composición de la cartera, cual es el
impacto del cambio en el retorno y volatilidad (VaR)
esperado?.
4. ¿Cuál es el riesgo de cada portafolio manager?
5. Todas estas preguntas se responden a la hora de
descomponer el VaR en sus distintos componentes

Gerencia de Riesgo

Proporción de riesgo en portafolios
1. VaR solo sirve para inversionistas y reguladores y
juntas directivas, insuficiente para gerentes de carteras
o unidades de negocio.
2. Un gerente querrá saber el efecto de incrementar o
disminuir la posición en cada activo o unidades de
negocio, por ello es interesante descomponer el riesgo
del portafolio. Esto permitirá localizar posiciones que se
pueden/deben aumentar o disminuir.
3. Esta descomposición permitirá al gerente de cartera el
poder justificar el cambiar posiciones a la hora de
asumir costes de transacción o de reestructuración. Un
gerente de cartera que solo se guía por CAPM no
durara mucho tiempo.
Gerencia de Riesgo

Propiedades de la volatilidad y VaR
(

(

)

)

(

...

1

n

1

n

VaR ( )

VaR ( )

VaR ( )

...

1

n

1

( )

( )

i

donde

n

i
i

i

i

i

i

( )

( )

i
i

proviene

de la regresion

lineal ri

n
i
i 1

Gerencia de Riesgo

)

i

1y

i
i

i,P
P

i

r

i P

i

Proporción de riesgo en cartera de divisas

Gerencia de Riesgo

1. Aumentar una posición positiva es volverla mas
positiva, y una posición corta, es volverla mas corta.
2. La posición del CHF cuya inversión comprende un 50%
corresponde a un aporte del 76.76% mensual, lo cual
es demasiado grande. La segunda mas grande es
CAD.
3. ¿Cómo hacer para minimizar mi VaR mensual de
2.423% a 2%?. Esto sucede cuando se puede solo
tener un presupuesto para el riesgo por la gerencia que
lo fija en un 2%.

Gerencia de Riesgo

1. ¿Qué pasa si aumento mi posición YEN?
2. Variando mi posición de 25% a un 26% obtenemos marginalmente el
siguiente resultado:

Cambio

del riesgo

(

( )

*
yen

yen

yen
yen

yen

0 . 0152 * 0 . 25 *

( 0 . 26

0 . 25 )

0 . 25
-0.000152

Gerencia de Riesgo

)

-0.0152%

•

La nueva volatilidad mensual pasaría de 2.423% a
2.423% -0.0152% = 2.4078% y por ende disminuiría la volatilidad y
por ende VaR mensual, liberando así capital para ser usado en otras
unidades o inversiones de la empresa.

•

Esta metodología se puede extrapolar y usarse de la misma manera
para analizar las unidades del negocio y ver cuales están expuestas
a un mayor riesgo que otras.

•

Risk Budgeting se puede usar para comparar el riesgo entre varios
traders.

Gerencia de Riesgo

•

¿Pero cuanto tengo que comprar de YEN?
6

min

2
P

(

yen

)

2

2
yen

yen

i

i 1

yen

despues de tomar derivada

e igualarla

a 0 obtenemos

cov( ri , r yen )
yen

•

cov( ri , r yen )

2
yen

:

yen
yen

yen , P
P

La interpretación de este resultado es intuitiva ya que dice que el
trade que minimiza el impacto sobre el riesgo sobre el portafolio es
aquel que elimina la sensibilidad del retorno del portafolio al retorno
de la divisa YEN.

Gerencia de Riesgo

Gerencia de riesgo iesa 2008 ver2

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