1. El documento presenta 15 problemas de trigonometría relacionados con ángulos, sectores circulares, longitudes de arco y otras propiedades geométricas. Los problemas son resueltos aplicando fórmulas como la longitud del sector circular (L = θr) y el área del sector circular (A = 1/2θr^2).
2. La mayoría de los problemas involucran calcular longitudes de arco, áreas de sectores o relaciones entre medidas geométricas dadas propiedades como radios, ángulos centrales u otras cantidades.
3.
Solucionario del examen de Admisión de la Universidad Nacional de Ingeniería de Matemáticas, tomado el 11/08/2014.
Desarrollado por la Academia Saco Oliveros
Solucionario del examen de Admisión de la Universidad Nacional de Ingeniería de Matemáticas, tomado el 11/08/2014.
Desarrollado por la Academia Saco Oliveros
Tema konferencije je "Mogućnosti i (ne)prilike poduzetništva" uz panel diskusiju "Novca ima. Usudimo se uzeti ga!" Na njoj će sudionici iz prve ruke dobiti informacije i znanja i to o bespovratnim sredstvima, programima financiranja poduzetnika, mjerama za zapošljavnje od pomoćnica Ministarstva poduzetništva i obrta, Mirovinskog rada i mirovinskog sustava,Zdenke Lončar i Tatjane Dalić, zatim o programima financiranja investicija od strane HBOR-a koje će nam predstaviti Boris Čagalj, pokretanju poduzetničke ideje kroz Start up-ove i to od strane Saše Cvetojevića (Inkaso - ZIP) i Ane Pavičić KaseljFrank Accelerator Ventures. Kao primjeri dobre prakse priključit će nam se gosti iz BiH i Srbije koji su surađivali u prekograničnim projektima, te domaća tvrtka EURCO iz Vinkovaca.
Što se tiče tema predavanja dovoljno je spomenuti imena ostalih sudionika i predavača: Kruno Ris (BetaWare) , Hrvoje Pavlačić (COA), Ivana Boban Jagodić ( Vis Animi centar, Ana Šimunović (Ciceron), Krešimir Macan Manjgura.hr, Uglješa Atancković, Novi Sad, ROAD Human Resources & Communications Mara Majstorović ( Lotusmedia ) sve u organiozaciji Lotusmedia i dugogodišnje partnere Ivan Rimac AR HRAST, Ivan Marijanović HGK Vukovar. Uz potporu Vukovarsko Srijemska Županija i Grad Vinkovci i mnogobrojne sponzore Fizikalna terapija "Ad Manus" Vinkovci Servis Fortuno, Mirakul , CD design , Zlatnik, Triko i mnogobrojne medijske pokrovitelje, Vinkovačka Televizija, Vinkovački list, Radio Vinkovci, Vukovarske novine, Hrvatski radio Vukovar, Časopisi i novine, Časopis Pro Gradnja, Bizdirekt, Poduzetni, Vecernji.hr, Glas Slavonije, portal Samo pozitivno i Cibalia.info . Imat ćemo i nagradnu igru u kojoj će izvučeni sudionici biti darivani od Student Taxi, Eurco d.d., Lotusmedia d.o.o. i časopisa Časopis Poduzetnik
Sudionicima ćemo dočarati pozitivnu poduzetničku klimu i kuturu optimizma, kako se usuditi ostvariti vlastitu ideju, kako doći do bespovratnih sredstava, kako biti izvrstan lider koji zna upravljati ljudskim resursima, kako uspješno pregovarati i imati dobar PR. Vidimo se, prijavite se ostvarite popust na kotizaciju do 1.6. i na vrijeme zauzmite svoje mjesta.
Kod mnogih tvrtki, priča počinje s iPhone aplikacijom. Obično su čuli da neka od konkurentskih tvrtki nudi to isto.
Primijetite da ovdje nije riječ o želji za mobilnom nego upravo o iPhone aplikaciji potpuno zanemarujući ostale mobilne platforme, poput rastućeg Androida
Koje su razlike u samim mobilnim platforma, sto je potrebn za razvoj, pogledajte u ovoj prezentaciji
1. 1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1) Se tiene un sector circular en el cual r, L, θ representan el radio, arco y número de radianes del ángulo central, respectivamente. Se construye otro sector circular agregando “x” a cada una de estas cantidades, obteniéndose r + x, L + x y θ + x respectivamente. El valor de “x” en función de r y θ es: a) 1 – θ – r b) 1 + θ – r c) 2 + θ – r d) 4+ θ – r e) 8 – θ – r
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 III SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃.푅
Resolviendo
Según los datos : 퐿 =휃 푟 ….(1) y 퐿+푥= (휃+푥)(푟+푥) ……(2) Reemplazando 1 en 2 : 휃 푟+푥=휃 푟+(휃+푟)x+푥2 ⇒ x= 1−θ−r RESPUESTA A
2) El área de la región sombreada es 휋 6 푟푎푑. Hallar el arco del sector BAE si ABCD es un rectángulo A) 휋 5 B) 4휋 5 C) 5π6 D) 7휋 15 E) 8휋 7
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 II
SOLUCIÓN
Recordar:
El área del sector circular es: 푆= 휃.푅22
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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 2
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃.푅
Resolviendo
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ACD : 푏2−푎2=22=4
El área del trapecio circular es, la diferencia del sector mayor y el sector menor :
푆= 휃(푏2−푎2) 2 ; 푆= 휋 6 푟푎푑 ⇒ 휃= 휋 12
Calculando x : 푥 = 5휋 12.2 ⇒ 푥= 5휋 6 RESPUESTA C
3) En la figura, si PQ y QT son arcos de circunferencias cuyos centros son O y O’, respectivamente, entonces la longitud de la curva PQT, es:
A) 8휋 푐푚 B) 4휋 푐푚 C) 7휋 푐푚 D) 6π cm E) 3휋 푐푚
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 I SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃.푅
Resolviendo
3. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Según los datos :푥 = 푥1 + 푥2
Reemplazando: 푥 = 12 ∗ 60º ∗
휋
180º
+ 10 ∗ 40푔 ∗
휋
200푔 ⇒ 푥 = 6휋 푐푚 RESPUESTA D
4) En la figura , si los perímetros de los sectores circulares son equivalentes, entonces el valor de
“휃” es:
A)
(π−2)
2
B)
(휋−2)
3
C)
(휋−2)
5
D) (휋 − 2) E) 휋
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 III
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅
El perímetro es : 푃 = 2푅 + 퐿
Resolviendo
Según los datos :푃1 = 2푅 + 퐿1 y 푃2 = 2(2푅) + 퐿2
Reemplazando: 2(2푅) + 2푅 ∗ 휃 = 2푅 + (휋 − 휃) ∗ 2푅
2푅 + 4푅휃 = 2휋푅 ⇒ 휃 =
휋−2
3
RESPUESTA B
5) En un círculo se inscribe un triángulo isósceles, el ángulo formado por los lados congruentes
mide 14º y la base intercepta un arco de longitud 66m. Calcular la longitud del radio de dicho
círculo. ( Considerar
7
22
)
a) 140m b) 270m c) 40m d) 135m e) 120m
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 II
SOLUCIÓN
4. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 4
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅
Resolviendo
Según los datos : 28º ∗
휋
180º
∗
22
7
∗
1
휋
∗ 푅 = 66 푚 ⇒ 푅 = 135 푚 RESPUESTA D
6) La figura adjunta es un semicírculo.
Hallar l 1 + l2 – l 3
A) m 2
4
3
B) m 2
2
1
C) m 2
2
3
D) m 2
3
2
E) m 2
12
7
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 II
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅
Resolviendo
Según los datos : 휃 + 2휃 + 3휃 = 휋 ⇒ 휃 =
휋
6
Reemplazando : 퐿1 + 퐿2 − 퐿3 = 2휃휋 + 3휃휋 − 휃휋 ⇒ 퐿1 + 퐿2 − 퐿3 =
2
3
휋2 RESPUESTA D
7) Si los sectores circulares AOB y COD , tiene igual área, además OA = 2; entonces el área de la
región sombreada es:
5. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
5 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
a) x – y b) 2( x - y ) c) 2( y - x ) d) 4 ( x – y ) e) 4( y - x)
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 I
SOLUCIÓN
Recordar:
El área del sector circular es: 푆 =
휃.푅2
2
Resolviendo
Según los datos, los sectores circulares AOB y COD , tiene igual área : 푆 =
푥∗22
2
Reemplazando en el sector circular OBE: 푆 + 퐴푠 =
푦∗22
2
⇒ 퐴푠 = 2(푦 − 푥) RESPUESTA D
8) Calcule: 2 3
1
S S
M
S
Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas
S2
S1
S3
2
A) 12
7
B)
13
2 C) 1
12
D) 5 + 2 E) 5 2
SOLUCIÓN
Resolviendo
Según los datos 푀 =
푆2+푆3
푆1
=
3푘+10푘
2푘
⇒ 푀 =
13
2
RESPUESTA B
9) Del gráfico, determinar
MPN
AB
L
L
, Si AOB es sector circular.
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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 6
A) ½ B) ¾ C) 2/3 D) ¼ E) 1
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅
Resolviendo
Según los datos : 퐿퐴퐵 = 3 ∗ 60º ∗
휋
180º
⇒ 퐿퐴퐵 = 휋
퐿푀푁푃 = 1 ∗ 240º ∗
휋
180º
⇒ 퐿푀푁푃 =
4휋
3
Reemplazando :
MPN
AB
L
L
=
3
4
RESPUESTA B
10) Se tienen dos circunferencias concéntricas, en las que se inscribe un ángulo central
determinando longitudes de arco sobre dichas circunferencias de 80cm y 45cm respectivamente.
Calcule; siendo r y R los radios de las circunferencias (푟 < 푅)
A) 7 B)8 C) 9 D) 10 E) 11
SOLUCIÓN
r
F 16 2
R
7. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
7 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅
Resolviendo
Según los datos : 휃 =
80
푅
=
45
푟
⇒
푟
푅
=
9
16
Reemplazando : 퐹 = 16 (
9
16
) − 2 = 7 RESPUESTA A
11) Se tiene un sector circular cuya longitud de arco es numéricamente igual a la mitad del
área de un cuadrado, cuyo lado es igual al radio del sector. ¿Cuánto mide la longitud de arco del
sector, si la medida del ángulo central expresado en radianes, toma su mayor valor entero posible?
A) 12 B) 24 C) 48 D) 72 E) 144
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅
Resolviendo
Según los datos : 퐿 =
푅2
2
; 휃. 푅 =
푅2
2
⇒ 푅 = 2휃 y 퐿 =
푅2
2
Reemplazando : 퐿 = 2휃2 , 퐿 = 2 ∗ 62 ⇒ 퐿 = 72 RESPUESTA D
12) En la figura se muestran las A1, A2 y A3, que están en progresión aritmética, además
, y
Calcular:
A) ½ B) 2/3 C)2 D) 3 E) 3–1
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅
EF
La
CD
Lb
AB
Lc
2 2
2
b a
c
E
C
A
F
D
B
A1
A3
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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 8
Resolviendo
Según los datos : 푎 = 휃. 푘 ; 푏 = 휃. 2푘 ; 푏 = 휃. 3푘
Reemplazando :
푏2−푎2
푐2 =
4(휃푘)2−(휃푘)2
9(휃푘)2 ⇒
푏2−푎2
푐2 = 3−1 RESPUESTA E
13) Se tiene un triángulo equilátero de lado 9m. ubicado sobre una pista horizontal, si el
triángulo empieza a girar sin resbalar (ver gráfica) , hasta que el punto A vuelva a tocar el piso
otra vez; calcular el espacio recorrido por dicho punto.
a) 5 m b) 9 m c) 10 m d) 12 m e) 15 m
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅
Resolviendo
Según los datos : 퐿 = 퐿1 + 퐿 2
Reemplazando : 퐿 =
2휋
3
∗ 9 +
2휋
3
∗ 9 ⇒ 퐿 = 12휋 RESPUESTA D
14) Una bicicleta avanza barriendo la rueda mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué
ángulo habrá girado la rueda menor si la relación de sus radios es de 1 a 4.
a) 720º B) 1080º C)1440º D)450º E) 90º
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅 , además 퐿퐴 = 퐿퐵
Resolviendo
Según los datos : 퐿 = 360º ∗ 4 = 1 ∗ 푋
Reemplazando : 푋 = 1440º RESPUESTA C
9. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
9 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
15) A partir del gráfico, calcular la longitud recorrida por la esferita, hasta impactar en CD. Si
AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.
a) 5 m b) 5/2 m c) 2 m d) 3/2 m e) 8 m
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅 , además 퐿퐴 = 퐿퐵
Resolviendo
Según los datos : 퐿 = 퐿1 + 퐿2 + 퐿3
Reemplazando : 퐿 =
휋
3
∗ 10 +
휋
6
∗ 6 +
휋
3
∗ 2 ⇒ 퐿 = 5휋 푚 RESPUESTA A
16) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB,
entonces el perímetro de la región sombreada es:
a) b)
3
11 c)
3
5 d)
3
7 e)
SOLUCIÓN
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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 10
Como las figuras son simétricas, el perímetro queda: 퐿1 + 2퐿2 = 3 (
휋
3
) + 2 (1 ∗
2휋
3
)
푃 =
7휋
3
RESPUESTA D
17) Hallar el área de la región sombreada si AOB y COD son sectores circulares, donde y
.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
푆 =
휃푅2
2
Por Pitágoras: 푎2 − 푏2 = 3
Calculo del área sombreada: 푆 =
휃푎2
2
−
휃푏2
2
푆 =
휋(푎2 − 푏2)
9
∴ 푆 =
휋
3
RESPUESTA A
18) Calcule la altura en términos de R, a la que se encontrará el punto A de la rueda, cuando éste gire un
ángulo de 1305º, desplazándose sobre una pista horizontal.
2
9
BC 3m
O
A
C
B D
11. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
11 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Primero dividimos 1305° entre 360° , lo cual indica que da dos vueltas y queda como residuo 225° , por lo
tanto la altura seria : 퐻 = 푅 +
푅√2
2
⇒ 퐻 =
푅
2
(2 + √2)
RESPUESTA D
PROBLEMA DE REPASO
1) Determine el número de vueltas que da la rueda de ir de A hacia B. Si AC = CE = 9r/2 , R = 9r
A) 6 B) 5 C) 3 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN
Resolvemos 푁푉 =
퐿푐
2휋푟
=
푎+푏+푐+푑
2휋푟
⇒ 푁푉 =
9휋푟
2
+
휋푟
3
+
9휋푟
2
+
8휋푟
3
2휋푟
R
A
2 1 R
1 2 2
R
2
1 2 2
R
2
22
R
2
2 2 1
R
2
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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 12
∴ 푁푉 = 6
RESPUESTA A
2) En el esquema mostrado se tiene que al hacer girar la faja, las ruedas A y C giran longitudes
que suman 28 . Determinar cuántas vueltas dará la rueda mayor.
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅 , además 퐿퐴 = 퐿퐵 ∧ 휃퐵 = 휃퐶
푁푉 =
퐿
2휋푅
Resolviendo
Según los datos : 퐿퐴 + 퐿퐶 = 28휋
Reemplazando : 5휃 + 2휃 = 28휋 ⇒ 휃 = 4휋
Además 푁푉 =
5(4휋)
2휋∗5
⇒ 푁푉 =2 RESPUESTA C
3) El ángulo central que subtiende un arco de radio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulo hasta
que mida Sº, ¿Cuánto debe aumentar el radio para que la longitud de dicho arco no varíe? (S y C
son lo convencional)
A) 5 B) 15 C) 19 D) 23 E) 31
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃. 푅 , Sº=9k , Cº=(100/9)k
Resolviendo
Según los datos : 81퐶° = 퐿 = (81 + 푥)푆º
Reemplazando : 푋 = 19 RESPUESTA C
4) De la figura mostrada, determinar el número de vueltas que da una rueda de radio r para
recorrer el circuito MNP.
A)
r
R r
6
3 B)
r
R r
6
3 C)
r
R r
2
3 D)
r
R r
2
3
E)
r
R r
6
3
SOLUCIÓN
푁푉 =
퐿1 + 퐿2
2휋푟
13. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
13 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
푁푉= (푅+푟) 휋 3+(푅−푟) 2휋 32휋푟 ⇒푁푉= 3푅−푟 6푟 RESPUESTA E
5) Determinar el valor de “L”
A) 3 B)6 C) 12 D) 15 E) 10
SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del ángulo, es : 휃= 퐿1−퐿2 푛
Resolviendo
Según los datos : 퐿−43= 14−퐿 2 Reemplazando : 푋=10 RESPUESTA E
6) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la curva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendo que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.
A) 12cm B) 16 cm C)18cm D)24 cm E) 30 cm SOLUCIÓN
Como el perímetro es 18 el lado del triángulo es 6cm. 퐿 =(6+12+18 )( 2휋 3)=24휋 RESPUESTA D
7) Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃.푅 , además 퐿퐴 =퐿퐵
Calculo del número de vueltas : 푁푉= 퐿 2휋푅
Resolviendo
Según los datos : 퐿퐴=퐿퐵
Reemplazando : 4휃=3∗8휋 →휃=6휋
14. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 14
Además 푁푉 =
4(6휋)
2휋∗4
⇒ 푁푉 =3 RESPUESTA B
8) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 = 3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran inicialmente al
mismo nivel y la rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la diferencia de alturas (h),
después de este giro (en u), es:
A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1
SOLUCIÓN
RESOLVIENDO:
X = 1 rad. *2
X = 2
LAB = 4
4 = 8*
y= 1/2 * 3
∴ 풙 + 풚 = ퟑ, ퟓRESPUESTA D
9) De la figura, calcular
2
1
S
S ; siendo S1: Área del sector AOB y S2: Área del sector COD.
15. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
15 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
a)
b a
a
b)
b a
a
c)
b a
a
2
d)
b a
a
2
e)
b a
a
2
SOLUCIÓN
Calculo de las áreas:푆1 =
휃푎2
2
푆2 =
휃(푎−2푏)2
2
Calculamos: ∴ √
푆1
푆2
=
푎
푎−2푏
RESPUESTA C
10) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su
recorrido de A hasta B (R=7r).
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
SOLUCIÓN
푁푉 =
퐿푐
2휋푟
=
3휋
4
(8푟)
2휋푟
= 3
RESPUESTA B
11) Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7
veces y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u).
135º
R
R
A
B r
r
16. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 16
A) 88 B) 92 C) 172 D) 168 E) 184 SOLUCIÓN
Recordar:
La longitud del sector circular es: 퐿 = 휃.푅
Resolviendo
Según los datos : 퐿=(2휋∗7+ 4휋 3)∗12 Reemplazando : 퐿=184휋 RESPUESTA E
B
A
120º