Este documento presenta varios problemas relacionados con conceptos básicos de trigonometría y rectas. En particular, se resuelven problemas sobre hallar pendientes de rectas, ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados o son paralelas/perpendiculares entre sí, y determinar áreas de regiones formadas por la intersección de rectas.

1. Trigonometría
SEMANA 6
LA RECTA m  tg 45º º
7a  0
1
1. Halle la diferencia de m1  m2 : si: k  3a
L1 : 2x  4y  12  0  k  10 a
L2 : 3x  y  5  0
RPTA.: E
A) 2 B) 2,5 C) 3
D) 3,5 E) 4 3. Determine la pendiente la recta,
cuya ecuación es: y  mx  5 , para
RESOLUCIÓN que pase por el punto de
intersección de las rectas:
Calculamos las pendientes:
y  3x  5
1
m1  y  4x  2
2
m2  3 1 1
1 7 A) B)  C) 7
m1  m2  3    3,5 7 7
2 2 D) -7 E) 1
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
2. De la figura, halle: “K” y  3x  5
y y  4x  2
(k;7a)  x  1, y  2   1; 2
 y  mx  5  2  m  5
0 (3a;0)
x m7
RPTA.: C
4. Determine la ecuación de la recta
cuya pendiente es –4 y que pasa
por el punto de intersección de las
A) 6a B) 7a C) 8a rectas
D) 9a E) 10a 2x  y  8  0 ; 3x  2y  9  0
RESOLUCIÓN A) 4x+y-10=0 B)4x+y-2=0
y C) 4x+y+10=0 D)4x-y+2=0
E) 2x+y – 8=0
(k;7a)
RESOLUCIÓN
Si:
45º
x 2x+y-8=0;
0 (3a;0) 3x-2y+9=0
Resolviendo ambas ecuaciones
x=1; y=6  P (1;6)
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2. Trigonometría
Se pide:
y 6 7. Halle “n” de modo que la recta
4  L: 12nx  9y  129  0 corta al
x 1
L : 4x  y  10  0 segmento AB en el punto “P” tal
RPTA.: A que:7 AP  2PB ;además
A(2;3)  B11; 6
5. Una recta que pasa por el origen y
por la intersección de las rectas 1 1
A) 1 B)  C)
L1 y L 2 . Halle la ecuación. 2 2
D) -2 E) 2
L1 : 3x  2y  14  0 
L2 : x  3y  1  0 RESOLUCIÓN
A) 4y-x=0 L : 12nx  9y  129  0
B) x-4y=0
B (11;6)
C) 4y+x=0 7k
D) x+4y=0  11 
2k P (x;y)  ?   4; 
E) x+y=0  3 
A (2;3)
RESOLUCIÓN
Hallamos el punto de intersección
de L1 y L 2 : AP 2
* 7 AP  2.PB   AP  2k
PB 7
3x  2y  14  3x  2y  14 AB  7k
x  3y  1  3x  9y  3 A  r.B
y 1;x 4 * P=   x;y  
1r
Si (0,0) y (4,1)  L . 2
2;3  7 (11;6)  11 
Determinamos la ecuación:   x;y    4; 
2  3
1 1
y 0  (x  0)  4y  x  0 7
4
 11 
RPTA.: A * P  "L "  12n 4  9    129  0
3
6. Si la ecuación lineal de la recta L  n  2 RPTA.: D
es: 5x+3y–4=0 y el punto (2;k)
pertenece a dicha recta. Hallar: K 8. Halle la ecuación de la recta
mediatriz del segmento AB; si:
A) 0 B) -1 C) -2
A  1;3  B  4;8
D) -3 E) -4
RESOLUCIÓN A) x+y+7=0 B) x-y-7=0
C) x+y-7=0 D) x-y+7=0
2;k   5 2  3 k   4  0 E) x+y=0
 k=-2
RPTA.: C
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3. Trigonometría
RESOLUCIÓN 10. Si L1 : 2y  kx  3  0 y
L :?
L2 :k  1 y  4x  2  0 . Son las
B(4;8)
ecuaciones de dos rectas
perpendiculares y si “ m1 " y "m2 "
 3 11 
son sus pendientes, halle el valor
M ;  de m1  m2 .
2 2 
8 15 35
A) B) C)
A(-1;3)
3 4 6
24 48
D) E)
Del Gráfico: 5 7
83
i) m AB  1
4 1 RESOLUCIÓN
Como: L AB  L1 : y 
k 3
x   m1 
k
Entonces: m .mAB  1 2 2 2
 m .mAB  1  4  2 4
L2 : y    x  (k  1)  m2  k  1
k  1
11  3
ii) L:y
2
 1  x  
 2
Como: L1  L : m .m
2 1 2  1
k  4  1
 2   k  1   1  k   3
 L :x + y – 7 = 0   
RPTA.: C 1
Luego: m1    m2  6
6
9. Calcule la ecuación de la recta que
35
pasa por el baricentro del  m1  m2 
triángulo ABC, y el origen de 6
coordenadas. RPTA.: C
Si: A (3; 1), B (5; 7), C (7; 2)
11. Halle la ecuación de la mediatriz
A) 2x-5y=0 B) 2x+5y=0 del segmento que se forma al
C) 5x-2y=0 D) 5x-2y=0 interceptarse con los ejes
E) 3x-5y=1 coordenados la recta
L : 4x  3y  12.
RESOLUCIÓN
A BC A) 6x-8y+7=0 B) 6x+8y+7=0
G  G  5, 2 C) 6x+8y-7=0 D) 6x- 8y -7=0
3 E) 3x+4y-7=0
2  0 2
 m 
50 5
y2 2
   5y  10  2x  10
x 5 5
2x  5y  0
RPTA.: B
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4. Trigonometría
RESOLUCIÓN
 a+b=10
y
RPTA.: A
13. Si L1 : x  By  C  0 B  0 es
perpendicular a la recta
L2 : 2kx  3ky  5  0; (k  0). Si
3
x (C ; l) L1 . Halle B  C
1 2
A) B) 1 C)
-4
L1
3 3
3 
 2 ; 2 1
  D)  E) -1
3
y
0  (4) 4 RESOLUCIÓN
m1  
30 3 1 3 2
m1    B 
L.  L1 : m .m1  1 B 2 3
3 3 3 2K 2
 m1   L1 : y  2    x   m2   
4 4 2 3K 3
C;1  C     1  C  0
 L1 : 6x  8y  7  0 2
 3
RPTA.: B  
1
 C
12. Si la recta L1 : ax  2y  6  b  0 pasa 3
por el punto P (2;-5) y es paralela 2 1
Se pide: B  C     1
a la recta L2 : 3x  y  8  0 . 3 3
Halle: “a + b” RPTA.: E
A) 10 B) -10 C)2 14. Calcule el área de la región
D) -2 E) 0 triangular formada por la
intersección de las rectas.
RESOLUCIÓN L1 : y  2 ; L2 : 4x  5y  10  0
i) Como
y el eje Y.
P(2;5) L1 : ax  2y  6  y  0
 a(2)+2(-5)-6+b=02a+b=16…(I)
A) 20 2 B) 12 2 C) 25 2
ii) Como L1 // L2  m1  m2 D) 10 2 E) 24 2
a
* L1 :ax+2y-6+b=0 m1  
2 RESOLUCIÓN
* L 2 :3x+y-8 =0 m2  3 L2 : 4x  5y  10  0
a Si:
   3  a  6 x=0; y=2: (0;2)
2 x=5; y=-2: (5;-2)
“a” en (I): 2(6)+b =16b=4
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5. Trigonometría
16. Los vértices de un triángulo son
y los puntos A (1;0), B (-4;5) y
L2
C (2;8). Halle la longitud de la
altura relativa al lado BC.
A) 5 B) 2 5  C) 3 5 
x
o D) 5 2  E) 5 3 
S
L1
RESOLUCIÓN
L ?
Se pide:
8)
1
;
(2
S (5)(4)
C
2
S  10 2
d=?
RPTA.: D
)
;5
-4
15. Halle el área de la región B(
triangular que forma la recta,
A(1;0)
L : 5x  12y  20  0 , al
intersectar a los ejes coordenados.
1 2 4 2 5 2 De la figura:
A)  B)  C)  85 1
3 3 3 i) mL  
7 10 2 24 2
D) 2 E)  1
3 3 L : y  8   x  2
2
 L  x  2y  14  0
RESOLUCIÓN
5x  12y  20  0 1 1  2 0  14
ii) d
1   2
2 2
1  5  10 2
Área= 4    
2  3 3 15
y  d  3 5
5
RPTA.: C
 5
 0; 3 
  5
17. Una recta L1 pasa por los puntos
3 (3;2) y (-4;-7) y otra recta L 2
que pasa por el punto (-6;1) y el
x
(-4;0) punto A cuya ordenada es -5.
4 Halle la abscisa de A sabiendo que
RPTA.: D L1 es perpendicular a L 2 .
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6. Trigonometría
12 7 5 RESOLUCIÓN
A) B) C)
7 12 7 L1 L2
3 12
D) E) (4;12)
7 11
1k
P
S
RESOLUCIÓN
2k
L1 pasa por (3;2) y (-4;-7) (1;7) 2S
;2 )
calculamos la pendiente (10
7  2 9
m1  
4  3 7 (10,2)  2(4;12) (x;
0 )
P
1 2
Como L1 L 2  m1m2  1
 26 
P   6; 
7  3 
m2  
9 26
Si A(a;-5) y (-6;1) L 2 tenemos: 7
1
m2  3 
5  1 7 6 1 3
m2  
a5 9
L1L2  m1  3
 -54= 7a  42 20
 3
10  x
12 32
a  x
7 3
RPTA.: A RPTA.: B
19. Sean A (-1;2), B(3;4) y C(5;7)
18. Del gráfico, halle la abscisa x, Si S los vértices de un triángulo.
representa área. Si L1 : ax  by  17  0 es la recta
que contiene a la altura del
(4;12) triángulo relativa al lado AB . Halle
a + b.
S A) 2 B) 3 C) 4
2S D) 5 E) 6
(1;7)
;2 )
(10
RESOLUCIÓN
C(5;7)
0)
(x;
32 32 34
A) B) C)
5 3 3
38 35
D) E)
3 3
B(3;4)
A(-1;2) L1
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7. Trigonometría
24 1 6 17
mAB   
1  3 2
tg  11 5
6 17
Como AB  L1  m1  2 1 .
11 5
Ecuación L1 tg  1
y7    135º
2
x5
RPTA.: D
L1 : 2 x  y  17  0
21. Halle la ecuación de la recta de
pendiente positiva que pasa por el
punto P (0;1) y forma un ángulo
Se pide: de 45º con la recta
a+b=2+1=3 L : 3x  2y  1  0
RPTA.: B
A) x+5y+5=0 B)x-5y+5=0
C) x-5y-5=0 D)x-3y+3=0
20. Halle la medida del ángulo obtuso E) x-3y-3=0
que forman dos rectas, cuyas
6 17
pendientes valen “ ” y “ ” RESOLUCIÓN
11 5
respectivamente. 3 1
L : 3x  2y  1  0  y   x  
2 2
A) 127º B) 120º C) 150º
3
m
D) 135º E) 143º 2
L
RESOLUCIÓN
45º
L1
y
 17  L
 m1  5 
 
? m1  m m  3/2
tan 45º   1 1
1  m1.m 3
x 1  m1
o 2
L2 3 3 1
 6  m1   1  m1  m1  
 m2  11  2 2 5
 
3 3 1
ó m1   m1  m1    0;1 
Del gráfico: 2 2 5
m2  m1 1
tg  L1 :y  1   x  0  1 : x  2y  5  0
1  m2.m1 5
RPTA.: B
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8. Trigonometría
y
22. Calcule Ud., el área que se forma L
al graficar: y  x  5 ;y  10 (0;6)
10
A) 50 µ² B) 75µ² 6
C) 100 µ² D) 150 µ² (-8;0)
x
E) 200 µ² 8 o
RESOLUCIÓN
* Perímetro de la región
10 y=10
= 6+8+10=24u
10
10
45º * Área de la región
8 6 
5
=  24u2
2
20  10
A  A  100 2 RPTA.: B
2
RPTA.: C
24. En la figura, halle la ecuación de
23. Determine el área y perímetro de la recta L.
L (8;12)
aquella región triangular que se
forma al intersectarse la recta 4k
L : 3x  4y  24  0 con los ejes
B
coordenados. 3k
(-3;6)
A) 12 2 y 12 B) 24 2 y 24 
C) 24 2 y 12 D) 12 2 y 24 A
E) 6 2 y 6 
(5;-2)
RESOLUCIÓN
A) 46x  5y  56  0
Recta  L : 3x  4y  24  0
B) 46x  3y  40  0
Intersecciones con los ejes
coordenados: C) 46x  5y  36  0
D) 46x  5y  36  0
x y
0 6  0;6  "L "   con el eje " y " E) 45x  5y  35  0
-8 0   8;0  "L "   con el eje " x "
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9. Trigonometría
RESOLUCIÓN 25. Una recta pasa por los puntos
Los puntos de intersección son:
 2; 1 y (9;7)otra pasa por los
puntos (3;9) y (-2; 8). Determine
al ángulo agudo que forman estas
rectas.
A
 3;6  5; 2  1;2
2 A) 45º B) 135º C) 60º
D) 53º E) 75º
3 8;12  4  3;6  12 60 
B  ; 
34  7 7 RESOLUCIÓN
Como los puntos:
60
2 (-2;1) y (9;7)  L1
mAB  7  46
12 5
1 Calculamos la pendiente:
7
1 7 6
Ecuación L:
m1  
 2  9 11
46 y  2
 Como los puntos:
5 x 1
(3;9) y (-2,-8)  L 2
L  46x  5y  36  0
RPTA.: C  8  9 17
m2  
23 5
17 6 157

m  m1 5 11  55  1
tg  2 
1  m2 m1  17  6  157
1    
 5  11  55
tg  1    45º
RPTA.: A
Página 134