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Semana 4

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y Se define: P(x ;y ) CEPUNS o o yo y x Sen   o Cot  o r yo r x Cos  o r Ciclo 2013-II Sec   r xo  y Tan   o r xo x Csc  TRIGONOMETRÍA xo yo “F.T. de Ángulos Especiales” Semana Nº 04Definiciones Previas: y Se defin P(x ;y ) o o yo Sen  I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALLlamado también en posición canónica o estándar. rEs aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide Cos con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en xo x Tan  uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éstepertenece a tal cuadrante. y Se define: P(x ;y )Del gráfico: o o yo y x y Sen   o Cot  o r yo r xo Cos  r Sec   r xoLado Fina l  yo Tan   r x (+ ) x Csc   o xo yo x Vértice Lado Inicial r  x2  y2 * o o*  : es un ángulo en posición normal * α´: se denomina ángulo de referencia*   IIC ;   0 Signos de las R.T. en los cuiadrantes y Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro adjunto Vértice Lado Inicial x  (-)Lado Final* β : Es un ángulo en posición normal*   IIIC ;   0Definición de las RazonesTrigonométricas: Propiedad:Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en Si  es un ángulo en posición normal positivo yposición normal, tomaremos un punto perteneciente menor que una vuelta entonces se cumple:a su lado final. Si   I  0 <  < 90º Si   II  90º<  <180º 1Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  2. 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. Si   III  180º <  < 270º i) ii) Si   IV  270º <  < 360º Lado inicial Ángulos Cuadrantales Lado Son ángulos en posición normal, cuyo lado final final coincide con cualquiera de los semiejes del  sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no Vértice pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son  P(x ;x o ángulos frontera. y i) ii) Lado inicial Lado  final  x Vértice Forma General  P(x ;x ) o o < Cuadrantal = 90º.k ; k  Z Se tiene que: También * α y  : son coterminales * Ф y β: son coterminales (están en P. N.) <Cuadrantal = k ;k Z 2 Propiedades: Observación: para determinar si un ángulo es cuadrantal, se divide entre 90º ó  rad . según Si α y  son coterminales se cumple que: 2 I. II. corresponda; si el resultado de la división es un  -  = 360º n ; n Z numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.I. II. Razones Trigonométricas de Ángulos  -  = 360º n ; n Z R.T. () = R.T.() Cuadrantales 0º 90º 180º 270º 360º Observacion: en forma practica para determinar SEN 0 1 0 -1 0 si dos angulos son coterminales: COS 1 0 -1 0 1 Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o TAN 0 ND 0 ND 0 2rad. y si el resultado es un numero entero , entonces los angulos son coterminales. COT ND 0 ND 0 ND SEC 1 ND -1 ND 1 R.T. de Ángulos Negativos: CSC ND 1 ND -1 ND Nota: N.D. no definido Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos   Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg  Ángulos Coterminales: Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc  Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. Ejemplo: 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  3. 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.¡Muy importante! 4 4  1  Y  4 1   1 15  5 Q (–b;a ) M M M4 1  1  1 P (a ;b) 15 1    5 RPTA.: E X 3) Halle: ctg  R(–a ; –b) M(b;–a ) 37ºPROBLEMA RESUELTOS1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y 24 , Halle: cosb  25  V  5senb  6 tgb  12 secb A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35 RESOLUCIÓN 24 b  4to C. A) 5 B)  5 C) 3 D)  7 E) 1 cosb  ; 4 4 4 4 25 4 7 25 RESOLUCIÓN senb   7 y 25 7 b x y tgb   (-7;4) 4 24 24 Se pide: 37º  7   7   25  V  5  6  12  25  24   4      24  4 V  9,35 RPTA.: D  4 3 x2) Si: cos   1 ,   IV C 2 16 x Calcule: M  sec   csc  Ctg     1  ctg  y 7 RPTA.: D A) 15 B) 1 C)  15 D) 1 E) 4 Ctg     4 4 4 4 4 RESOLUCIÓN 1 4 15 4) Las medidas de dos ángulos coterminales son cos     IV C 4 proporcionales a los número 5 y 2. Además la  medida del mayor ellos está comprendida entre + - 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de 1 sec   csc  sec   csc  dichos ángulos. M M A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º 1  ctg 1  ctg   3Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  4. 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.RESOLUCIÓN II. cos3>cos1 Sean “” y “  ” ( >  ) las medidas de los 2 III.tg1 – tg3>1 ángulos coterminales, luego: A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FFF     360º  n ….......(i); 3) Decir cual o cuales de las siguientes "n" proposiciones son falsas (F) o verdaderas (V).  5 I. sen(–3)<sen(–0,15)     5k … (ii) II. |cos(–2)|>|cos(–1)|  2   2k III.tg(–3)>tg(–2)(ii) en (i): A) FFF B) VFF C) FVV 5k - 2k = 360º x n  k = 120ºx n D) VVF E) VVV ”k” en (ii):  ...(iii) 4) ¿En qué cuadrantes se cumple la condición sec csc (tg +ctg)>0?.   600º  n A) IC y IIC B)IC y IIIC C) IIC y IVC   240º n D) ningún cuadrante E) en todos los C 3 sen   * 1000º <  < 1700º  1000º<600º 5) Si: |sec|=sec y 5 , halle el x n < 1700º  n= 2 E   sen   cos   2   1200º valor de: . ”n” en (iii) :   480º A) -7/5 B) 5/7 C)1 D)7/5 E) 2 + = 1680º 6) De la figura mostrada, halle: RPTA.: C E=|a tg – d ctg| y P(a ; -b )PROBLEMA DE CLASE 1) Si  es un ángulo relativo del cuarto x cuadrante. Hallar el signo de las expresiones:    Q (c; -d ) sen sec I. cos(-) II. 2 III. 2 A) (–), (–), (–) B) (–), (–), (+) A) b+c B)b – c C)c – b D) – (b+c) E) 0 C) (–), (+), (–) D)(+), (–), (–) E) (+), (+), (–) 7) Si: 29 cos(x+y)=2m 2 – 21  x, y ε R, determine la extensión de2) Indicar verdadero (V) o falso (F) en m para que la expresión dada sea cada uno de las proposiciones válida. siguientes: A) 5  m  2 B) 2  m  5 I. sen1>sen3 C) m  5  m  2 D) m  2  m  5 4Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  5. 5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. E) 5  m  5 11) De la figura halle el valor de: tg ctg E8) De la figura mostrada, calcule 3 sen csc   4 cos  sec  M=tg+ctg. y OP  5 (-2; 3 ) y  (-3; 4 )   x x  (1; a)  5 A) 5/6 B) 11/6 C) 13/6 D) 2 E) 5/2 P9) De la figura mostrada, determine el valor de W en términos de a, si A) -1/7 B)1/7 C) 0 D) –1 E) 1 W=csc +sec. y 12) En qué cuadrante se encuentra el cos  0 ángulo . Si: tg . A) IC B) I ó IIC C) II ó IIIC x D) I ó IIIC E) IVC  y= a.| x|  13) Calcule el valor de F  14 17tg  32csc  , 1  a  . 1 1  a2 sen 1 1 1 1 1  a2      A) a B) a C) a si 4 15 35 63 99 , D) a E) –a y además ctg<0. A) 16 B)28 C) 34 D) 52 E) 9810) Dada la figura m= –2n. y (m , n) 14) Si: 2  tg  5 , determine los posibles valores para cos.  1 1   1 1  1 1   ;   ;   3 ; 2   1; 2  A)  6 3 B)  3 6 C)   (4, 0)  1 1   1 1  1 1  1 1  x  ;  ;   2 ; 3    3 ; 2   o D)  3 6  6 3 E)     15) Si: /2<<3 /4 y 0<x< /4 y Hallar: csc  5 5 1 + tg(x+)=ctg(x+) A) 5 B) 2 5 C) 5 D) 2 E) 2 5 1 + tg(x+)=ctg(x+), hallar: tg(x+). 5Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  6. 6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.  5 1 1 5 5 1 1 tg 1  cos  A) 2 B) 2 C) 2 E) 2 1 5 2 5 PROBLEMA PROPUESTOS D) 2 E) 2 1) Si el área de la región triangular es 5u2.16) En la figura AO=BO=10u y la altura Entonces, al calcular k. relativa a uno de los lados iguales mide tg 2  tg 2  2tgtg 8u. Determinar: E  ctg  cgt . k B 4 y A(1; a ) A O    x  1 3 5 5 3    A) 4 B) 4 C) 4 D) 4 E) 4 B(5; b) A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) 5 x  ,   3 17) Si: , determinar la 6senx  4 2) En la circunferencia trigonométrica de H variación de 3senx  4 . la figura mostrada, sí AM   ; 2, 1 2,1 2, 1 entonces al calcular (en u2) el área A) B) C) sombreada, se obtiene: 2, 1 2,0 y D)  E)  M18) En la figura mostrada la circunferencia es trigonométrica, hallar A x el área de la región sombreada  AP   . y Q A 1  sen  1  cos  1  cos  A) 2 B) 2 C) 2 1  sen   cos   P R 2  sen  cos  1 D) 2 E) 1 tg 1  sen ctg 1  sen   A) 2 B) 2 3) En la circunferencia halle OM en 1 tg 1  sen  tg 1  sen términos de. C) D) 2 6Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  7. 7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. y C M B  o  x o  A sen sen 1  cos  1 1  cos  B) 1  cos  C) sen  A) A) –1 B)1 C) –25 D) 25 E) 25 1  cos  1  cos  D) sen E) 1  cos  8) En la circunferencia trigonométrica mostrada. Halle el área de la región sombreada. 1  3 sec   24) Si: , además |tg|=–tg, hallar: sen+csc. 9 9 41 52 41     A) 20 B) 20 C) 20 D) 7 E) 205) Si: tg= –0,75,  IVC . Calcular el valor sec   sen  ctg de: . 1 39 49 39 49 1  sen   1  1  sen   1         A) B) C) D) E) 2  cos   2  sen   2 80 80 80 80 A) B) 1  sen   cos   1  sen   cos  6) Indicar la verdad o falsedad según las   2  sen   C) 2 cos   D)  proposiciones: I. Si: y son coterminales entonces  1  sen   cos     sen =sen. E) ½  1  cos   II. Si: cos =cos, entonces  y  son coterminales. 9) En la figura M(x; y) es punto medio del III. Si:   IIC, entonces tg<0. IV. Si: tg =1, entonces  =45º. segmento QR ,   mABP . A) VVVV B) VFVF C) VFFV Halle: x+y y D) VVFV E) VVFF B P7) En el plano cartesiano xy, el segmento AB pasa por el origen de coordenadas; x A tal que A(–5; –1), además OC  AB . Si y  son los ángulos indicados se pide R M hallar el valor de: Q E=tg.tg. 7Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  8. 8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. A) (sen+cos)/2 B)2cosC)2sen 15) Si  es la medida de un ángulo en posición normal, D) – senE) – cos además:  sen  sen  0 ; tg  tg  0 ; cos   2 0 3 x 410) Si: , entonces al calcular la Calcular: F  5.ctg  Sec  suma del máximo y mínimo valor de la a) -1 b) -2 c) -½ d) ½ e) 1   W  cov  .x   expresión 8 3 , 16) Del grafico siguiente; hallar tg  + tg  se obtiene: A) 1,5 B)2,5 C)3 D)3,5 E)4,511) Calcular:  E  sen  2k  1   csc  2k  1   cos  2k  1   2 2 2 Si: k es entero y 1<|k|<3. A) –2 B)–1 C)0 D) 1 E) 2 a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4 EXAMEN PREFERENTE 2012 - I12) En la circunferencia trigonométrica determinar MP. 17) Si cos   0, 63 ,   III C . y Calcular Sen2 P a) 0,5850 b) 0,5950 c) 0,6061 d) 0,6062 e) 0,6350 x EXAMEN PREFERENTE 2010 18) Si ctg = -4 ,  IV C. calcular :  cos  R   13sen 2 M 17 a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2 A) tg+ctgB) tg– ctg 2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III C) ctg– tgD) –(tg+ctg) E) – tg– ctg+1 19) Determinar el signo en cada cuadrante de: 1  cos 13) Sabiendo que cos = 1 , 270º <  < 360º , E   sen sen . cos  4 a) ++++ b) +-++ c) +-+- d) -+-+ e) --++ Entonces el valor de la expresión Sec   Csc , es: 1  Ctg 20) El producto de cinco razones a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50 trigonométricas de un ángulo que pertenece al 2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III segundo cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y coseno.14) El lado final de un ángulo en posición normal, cuya a) 3 5 b) 5 c) 1 3 d) 3 1 e) 3 5 medida es  pasa por el punto (3,-7).   Calcular: E  58  cos   sen  5 5 2 2 5 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 8Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

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