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Tema Trigonometría

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Teorema de la altura y los catetos. Razones trigonométricas y resolución de problemas de trigonometria.

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Tema Trigonometría

  1. 1. Profesor: Juan Sanmartín Matemáticas Tema Trigonometría Recursos subvencionados por el…
  2. 2. Teorema Altura y Catetos
  3. 3. a bc mn h nmh 2 mab 2 nac 2 222 cch  Teorema de la altura Teorema de los catetos Teorema de Pitágoras nmh 2 9122  m 16 9 122  m nma  25916 a mab 2 16252  b 20cm1625b  nac 2 9252  c cm51925c  60cm152025cbaperimetro  Ejercicio: Halla el perímetro del siguiente triángulo
  4. 4. m nmh 2 mab 2 23,04cm 25 24 a b m 22  n nmh 2 mab 2 nac 2 222 cch  Teorema de la altura Teorema de los catetos Teorema de Pitágoras 222 cba  base25cm724a 22  nac 2 cm1,96 25 7 a c n 22  6,72cm1,9623,04nmh  2 alturabase Areatriángulo   2 t 84cm 2 6,7225 2 ha A      222 cch  Ejercicio: Halla el área del siguiente triángulo
  5. 5. Razones Trigonométicas
  6. 6. 1cos22  sen 2 1 sen   22 1cos sen  2 1cos sen 4 1 1 2 1 1cos 2        4 3 4 14 cos    2 3 cos  Ejercicio: Calcula el resto de las razones trigonométricas sabiendo que en un ángulo del tercer cuadrante… Ecuación fundamental de trigonometría
  7. 7. 2 3 cos  3 3 tag  3 1 2 3 2 1 cos tag        sen 3 3 3 3 3 1 tag  2 1 sen  2 1 cosec    sen 3 32 3 3 3 2 cos 1 sec    3 3 33 3 3 3 31 cotag    tag
  8. 8. 1cos22  sen 1tag  1sec 2   tag   211sec 2  Ejercicio: Calcula el resto de las razones trigonométricas sabiendo que en un ángulo del primer cuadrante… Ecuación fundamental de trigonometría     22 2 2 2 cos 1 cos cos cos  sen  22 sec1tag  2sec  2 1 sec 1 cos    2 2 2 2 
  9. 9. 1tag     cos tag sen  2 2 sen  2 21 cosec    sen 1 1 cotag    tag 2 2 2 2 1costagsen   2 2 22 2 2  2 2 c os 2 2 cos 1 sec    2 2 22 2 2 
  10. 10. Problemas de Trigonometría
  11. 11. Problema: “O Castro Tecnolóxico” es el edificio vanguardista diseñado por los arquitectos Luís M. Mansilla y Emilio Tuñón, ganadores del concurso internacional que el Ayuntamiento de Lalín convocó para su construcción. Este edificio, que según los expertos es una referencia arquitectónica del siglo XXI a nivel mundial, se asemeja en su construcción a la de las antiguas edificaciones castreñas. Todo el edificio está compuesto de formas circulares tanto en el interior como en el exterior, al igual que los castro celtas. Fue inaugurado el 20 de septiembre de 2013, año en el que también resultó premiado por la XII Bienal de Arquitectura y Urbanismo de España, en la sección dedicada a símbolos cívicos. Con las medidas que aparecen en la imagen vamos a calcular la altura del módulo más alto del edificio. La altura del teodolíto es de 1,5 m
  12. 12. Vamos a calcular la altura del edificio por razones trigonométricas. Tenemos que tener en cuenta que el teodolíto no está a nivel del suelo sino a 1,5 m de altura que tendremos que sumar al final.   x4,31 y 22,5ºtag     x y 27,5ºtag           xtagy xtagy º5,27 4,13)º5,22(        xy xy 52,0 4,1341,0
  13. 13.      xy xy 52,0 41,05,5 xx 52,041,05,5  xx 41,052,05,5  5,511,0 xmx 50 11,0 5,5  .265052,052,0 mxy  Resolvemos por igualación. 27,5m.        xy xy 52,0 4,1341,0 A este dato hay que sumarle la altura del teodolíto, entonces… .1,5m26AlturaEdificio  ,5m.72
  14. 14. Joaquín Loriga Taboada fue un aviador y militar lalinense. Llevó a cabo, junto con otros dos pilotos y tres mecánicos, el vuelo Madrid-Manila de la Escuadrilla Elcano. En el aeródromo de Cuatro Vientos Loriga pilotó el autogiro de Juan de la Cierva en su prueba inaugural hasta Getafe. El 23 de junio de 1927 aterrizó con su avión en el Monte do Toxo (Lalín), era el primer avión que tomaba tierra en Galicia. El monumento, obra del escultor Francisco Asorey fue inaugurado el 27 de agosto de 1933 en un céntrico parque de Lalín. La obra reproduce un avión clavado en la tierra, que simboliza una cruz, que preside el aviador. En la base, las palabras "España- Filipinas". A partir de los datos de la imagen la altura del Monumento. El teodolito esta a una altura de 1,5 m.   4,21 Y 24,7ºs en hipotenusa cateto senα opuesto    4,2124,7ºsalturaestatua  en Utilizamos la razón trigonométrica del seno que nos relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa… 4,21418,0  8,9m. Para calcular la altura de la estatua tenemos que sumarle al cateto opuesto la altura del teodolito… 5,19,8alturaestatua  10,4m.
  15. 15. Problema.- El sacerdote que miraba para las estrellas, D. Ramón María Aller Ulloa, sacerdote, matemático y astrónomo, es una de las figuras más relevantes de la capital dezana. Sus trabajo en el estudio de las estrellas dobles y el desarrollo de instrumental para la observación astronómica dieron fama mundial a este humilde lalinense. Nacido en Lalín en 1878 fue catedrático de astronomía en la Universidad de Santiago, cuyo observatorio lleva su nombre. Hoy, su casa y observatorio son el Museo de Lalín que lleva su nombre. Calcula la altura de la estatua de D. Ramón a partir de los datos de la imagen. Ten en cuenta que el teodolíto está a una altura de 1,5 m.   18,7 Y 34,7º tag contiguo opuesto cateto cateto tagα    18,734,7ºtagY  Utilizamos la razón trigonométrica de la tangente que nos relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa… 18,769,0  m.97,4 Para calcular la altura de la estatua tenemos que sumarle al cateto opuesto la altura del teodolito. 5,15alturaestatua  m.5,6 5m.
  16. 16. Problema.- Calcula los ángulos que forman tres de las cuatro Torres de Madrid sabiendo que entre la Torre Cepsa y la Torre de Cristal hay una distancia de 303 m, entre la Torre Cepsa y la Torre Espacio 418 m y entre la Torre de Cristal y la Torre Espacio 144 m. Aplica Teorema del coseno. cosαcb2cba 222  Aplicamos el Teorema del coseno 418 m. Siendo… a= 418 m.  cosα2413032241033184 222  222 184241033cosα2413032  2413032 184241033 cosα 222    90,0 (-0,90)cos0,90)arcoseno(-α 1  º154 Planteamos el problema
  17. 17. a= 418 m. b cosba2bac 222  Y para finalizar a= 418 m.  cos3034182303418124 222  222 124303418cos3034182   3034182 124303418 cos 222    99,0 (0,99)cos,99)arcoseno(0 1  º5,7 bcosca2cab 222  Ahora… bcos2414182241418303 222  222 303241418cos2414182  b 2414182 303241418 cos 222   b 95,0 (0,95)cos,95)arcoseno(0 1 b º5,18 º180º5,7º5,18º154  b
  18. 18. Problema.- La estructura de la Gran Torre Santiago, ubicada en Santiago de Chile, alcanzó en 2012 una altura de 300 m, convirtiéndose así en el edificio más alto construido en América Latina. Calcula la longitud de la sobra cuando los rayos del sol inciden sobre este edificio con un ángulo de 47º sobre la horizontal. contiguo opuesto cateto cateto tagα    X 300 47ºtag  300m. X  47ºtag 300 X  1,07 300  .m280,4 Planteamos el esquema Foto: Miguel Sanmartín
  19. 19. Problema.- La Fragata Méndez Núñez después de navegar 45 millas rumbo al norte, vira y navega 23 millas a un rumbo que cae a 35º al Este del Sur. ¿A qué distancia se encontrará del punto de partida?. Aplica teorema. 45millas. X Planteamos el esquema Foto: Jesús Paz 35º cosαcb2cba 222  Aplicamos el Teorema del coseno  35ºcos324523245x 222  235910242025x2  690x  millas26,3
  20. 20. Problema.- La pirámide de cristal del museo del Louvre (Paris) tiene una base cuadrada de 35 metros de lado. Y las aristas que forman la cúpula forman un ángulo de 51º con los lados de la base. Calcula la superficie acristalada de dicha pirámide. Planteamos el esquema Foto: Miguel Sanmartín 78º senC c senB b senA a  Aplicamos el Teorema del seno 51º 35 metros  º51º51º180 º78 Sabiendo que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º… 51º a = bc B A C    º51sen b º78sen 35     78ºsen º51sen35 b   98,0 78,035   .m927, =27,9 m.
  21. 21. Foto: Miguel Sanmartín 51º 35 metros Por trigonometría calculamos la altura… 51º a = bc B A C   27,9 h 51ºsen  =27,9 m. h=alturatriángulo  51ºsen27,9h  .m21,7 2 alturabase Áreacara   2 m379,75 2 7,2135   4379,75Total caras4  2 m1519
  22. 22. Problema: Calcula la altura del árbol con los datos de la figura.   x25 y 23ºtag     x y 41ºtag           xtagy xtagy º41 25)º23(        xy xy 87,0 2542,0
  23. 23.        xy xy 87,0 2542,0      xy xy 87,0 42,05,10 xx 87,042,05,10  xx 42,087,05,10  5,1045,0 xmx 3,23 45,0 5,10  .3,203,2387,087,0 mxy  Resolviendo por igualación. 20,3m. 23,3m.
  24. 24. x x-40 y   x  40 y 30ºtag   x y 60ºtag           xtagy xtagy º60 40)º30(        xy xy 73,1 4058,0 Problema: La antena de radio situada en el ayuntamiento de Gondomar está sujeta al suelo mediante dos cables a ambos lados de la misma. La distancia entre los anclajes de dichos cables es 40 m., y si se observa la parte más alta de la antena desde cada uno de ellos, los ángulos de elevación son de 30º y 60º, respectivamente. Halla la altura de la antena.
  25. 25.      xy xy 73,1 58,02,23 xx 73,158,02,23  xx 58,073,12,23  2,2331,2 xmx 10 31,2 2,23  .3,171073,173,1 mxy  Resolviendo por igualación. 17,3m.        xy xy 73,1 4058,0 10m. 30m.
  26. 26. x x-82 82º   x  82 h 8ºtag   x h 12ºtag           xtagh xtagh º8 82)º12(        xh xh 14,0 8221,0 Problema: Un avión está volando entre dos ciudades Ourense y Santiago que distan 82km. Los ángulos de depresión desde el avión a cada una de las ciudades son de 12º y 8º respectivamente. Calcula la altura a la que está volando el avión y la distancia a ambas ciudades desde el punto sobre el que vuela. 78º 12º 8º
  27. 27.      xh xh 14,0 21,02,17 xx 14,021,02,17  xx 14,021,02,17  2,1735,0 x.50 35,0 2,17 kmx  .75014,014,0 kmxh  Resolviendo por igualación. 7km. 50km. 32km.        xh xh 14,0 8221,0
  28. 28. Problema: La Torre de control avista un Boing 747 con un ángulo de 25º. Sabiendo que el avión está a 3500 m. de altura, y que la torre mide 45 m. Calcula la distancia desde el pie de la torre al avión. 3500m. 25º 45 3455m.453500    x 3455 25ºtag    7351m. 0,47 3455 25ºtag 3455 x  x x 7351m. 7351m. 222 cch  8142m.73513500cch 2222  Aplicando Pitágoras…
  29. 29. 125m.250)sen(30ºRQ 250 RQ )sen(30º  m.5,162250)(30ºcRS 250 RS )cos(30º  os 125m. 216,5m. Problema: Para calcular la altura del edificio, PQ, hemos medido los ángulos que indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud es 250m. Halla PQ.
  30. 30. º40º10º30  181,7m.)tag(40º216,5RP 216,5 RP RS RP )tag(40º  º40 .56,7m125181,7RQRPQPhEDIFICIO  125m. 216,5m. 56,7m.
  31. 31. º90 º60 º90 º40 º40 º80 º60 Problema: Si QR es igual a 15 m. ¿Cuál es la altura de la torre PQ?. P R Q Aplicamos teorema del seno…      Csen c Bsen b Asen a     80ºsen PQ 40ºsen 15      23m. 40ºsen 80ºsen15 PQ   
  32. 32. xx-50 y   x  50 y 42ºtag   x y 53ºtag           xtagy xtagy º53 50)º42(        xy xy 33,1 5090,0 Problema: Observa las medidas que ha tomado Javier para calcular la anchura del ría. ¿Cómo la hallará con esos datos?.
  33. 33.      xy xy 33,1 90,045 xx 33,190,045  xx 90,033,145  4523,2 xmx 2,20 23,2 45  26,9m.20,21,331,33xy  Resolviendo por igualación. 29,8m. 26,9m. 20,2m.        xy xy 33,1 5090,0
  34. 34. Fin Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en… www.juansanmartin.net

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