Teorema de la altura y los catetos. Razones trigonométricas y resolución de problemas de trigonometria.

1. Profesor: Juan Sanmartín
Matemáticas
Tema Trigonometría
Recursos subvencionados por el…

2. Teorema
Altura y Catetos

3. a
bc
mn
h nmh 2
mab 2
nac 2
222
cch 
Teorema de la altura
Teorema de los catetos
Teorema de Pitágoras
nmh 2
9122
 m 16
9
122
 m
nma  25916 a
mab 2
16252
 b 20cm1625b 
nac 2
9252
 c cm51925c 
60cm152025cbaperimetro 
Ejercicio: Halla el perímetro del siguiente triángulo

4. m
nmh 2
mab 2
23,04cm
25
24
a
b
m
22

n nmh 2
mab 2
nac 2
222
cch 
Teorema de la altura
Teorema de los catetos
Teorema de Pitágoras
222
cba  base25cm724a 22

nac 2
cm1,96
25
7
a
c
n
22

6,72cm1,9623,04nmh 
2
alturabase
Areatriángulo


2
t 84cm
2
6,7225
2
ha
A 




222
cch 
Ejercicio: Halla el área del siguiente triángulo

5. Razones
Trigonométicas

6. 1cos22
 sen
2
1
sen 
 22
1cos sen  2
1cos sen
4
1
1
2
1
1cos
2







4
3
4
14
cos 


2
3
cos 
Ejercicio: Calcula el resto de las razones trigonométricas sabiendo que
en un ángulo del tercer cuadrante…
Ecuación fundamental
de trigonometría

7. 2
3
cos 
3
3
tag 
3
1
2
3
2
1
cos
tag 






sen
3
3
3
3
3
1
tag 
2
1
sen  2
1
cosec 


sen
3
32
3
3
3
2
cos
1
sec 


3
3
33
3
3
3
31
cotag 


tag

8. 1cos22
 sen
1tag 
1sec 2
  tag   211sec
2

Ejercicio: Calcula el resto de las razones trigonométricas sabiendo que
en un ángulo del primer cuadrante…
Ecuación fundamental
de trigonometría




22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos

sen
 22
sec1tag 
2sec 
2
1
sec
1
cos 


2
2
2
2


9. 1tag 



cos
tag
sen

2
2
sen 
2
21
cosec 


sen
1
1
cotag 


tag
2
2
2
2
1costagsen  
2
2
22
2
2

2
2
c os
2
2
cos
1
sec 

 2
2
22
2
2


10. Problemas de
Trigonometría

11. Problema: “O Castro Tecnolóxico” es el edificio vanguardista diseñado por los arquitectos Luís M. Mansilla y
Emilio Tuñón, ganadores del concurso internacional que el Ayuntamiento de Lalín convocó para su construcción.
Este edificio, que según los expertos es una referencia arquitectónica del siglo XXI a nivel mundial, se asemeja
en su construcción a la de las antiguas edificaciones castreñas. Todo el edificio está compuesto de formas
circulares tanto en el interior como en el exterior, al igual que los castro celtas. Fue inaugurado el 20 de
septiembre de 2013, año en el que también resultó premiado por la XII Bienal de Arquitectura y Urbanismo de
España, en la sección dedicada a símbolos cívicos. Con las medidas que aparecen en la imagen vamos a
calcular la altura del módulo más alto del edificio. La altura del teodolíto es de 1,5 m

12. Vamos a calcular la altura del edificio por razones trigonométricas. Tenemos que
tener en cuenta que el teodolíto no está a nivel del suelo sino a 1,5 m de altura que
tendremos que sumar al final.
 
x4,31
y
22,5ºtag


 
x
y
27,5ºtag 
 
  




xtagy
xtagy
º5,27
4,13)º5,22(
 





xy
xy
52,0
4,1341,0

13. 




xy
xy
52,0
41,05,5
xx 52,041,05,5  xx 41,052,05,5 
5,511,0 xmx 50
11,0
5,5

.265052,052,0 mxy 
Resolvemos por igualación.
27,5m.
 





xy
xy
52,0
4,1341,0
A este dato hay que sumarle la
altura del teodolíto, entonces…
.1,5m26AlturaEdificio  ,5m.72

14. Joaquín Loriga Taboada fue un aviador y militar lalinense. Llevó a cabo, junto con otros dos pilotos y tres
mecánicos, el vuelo Madrid-Manila de la Escuadrilla Elcano. En el aeródromo de Cuatro Vientos Loriga pilotó el
autogiro de Juan de la Cierva en su prueba inaugural hasta Getafe. El 23 de junio de 1927 aterrizó con su avión
en el Monte do Toxo (Lalín), era el primer avión que tomaba tierra en Galicia. El monumento, obra del escultor
Francisco Asorey fue inaugurado el 27 de agosto de 1933 en un céntrico parque de Lalín. La obra reproduce un
avión clavado en la tierra, que simboliza una cruz, que preside el aviador. En la base, las palabras "España-
Filipinas". A partir de los datos de la imagen la altura del Monumento. El teodolito esta a una altura de 1,5 m.
 
4,21
Y
24,7ºs en
hipotenusa
cateto
senα
opuesto

  4,2124,7ºsalturaestatua  en
Utilizamos la razón trigonométrica
del seno que nos relaciona el cateto
opuesto con la hipotenusa…
4,21418,0  8,9m.
Para calcular la altura de la estatua tenemos que sumarle al cateto opuesto la altura del teodolito…
5,19,8alturaestatua  10,4m.

15. Problema.- El sacerdote que miraba para las estrellas, D. Ramón María Aller Ulloa, sacerdote, matemático y
astrónomo, es una de las figuras más relevantes de la capital dezana. Sus trabajo en el estudio de las estrellas
dobles y el desarrollo de instrumental para la observación astronómica dieron fama mundial a este humilde
lalinense. Nacido en Lalín en 1878 fue catedrático de astronomía en la Universidad de Santiago, cuyo observatorio
lleva su nombre. Hoy, su casa y observatorio son el Museo de Lalín que lleva su nombre. Calcula la altura de la
estatua de D. Ramón a partir de los datos de la imagen. Ten en cuenta que el teodolíto está a una altura de 1,5 m.
 
18,7
Y
34,7º tag
contiguo
opuesto
cateto
cateto
tagα 
  18,734,7ºtagY 
Utilizamos la razón trigonométrica de la
tangente que nos relaciona el cateto
opuesto con la hipotenusa…
18,769,0  m.97,4
Para calcular la altura de la estatua tenemos que sumarle al cateto opuesto la altura del teodolito.
5,15alturaestatua  m.5,6
5m.

16. Problema.- Calcula los ángulos que forman tres de las cuatro Torres de Madrid
sabiendo que entre la Torre Cepsa y la Torre de Cristal hay una distancia de
303 m, entre la Torre Cepsa y la Torre Espacio 418 m y entre la Torre de Cristal
y la Torre Espacio 144 m. Aplica Teorema del coseno.
cosαcb2cba 222

Aplicamos el Teorema del coseno
418 m.
Siendo…
a= 418 m.

cosα2413032241033184 222
 222
184241033cosα2413032 
2413032
184241033
cosα
222


 90,0 (-0,90)cos0,90)arcoseno(-α 1
 º154
Planteamos el problema

17. a= 418 m.
b
cosba2bac 222

Y para finalizar
a= 418 m.

cos3034182303418124 222
 222
124303418cos3034182  
3034182
124303418
cos
222


 99,0 (0,99)cos,99)arcoseno(0 1
 º5,7
bcosca2cab 222

Ahora…
bcos2414182241418303 222
 222
303241418cos2414182  b
2414182
303241418
cos
222


b 95,0 (0,95)cos,95)arcoseno(0 1
b º5,18
º180º5,7º5,18º154  b

18. Problema.- La estructura de la Gran Torre Santiago, ubicada
en Santiago de Chile, alcanzó en 2012 una altura de 300 m,
convirtiéndose así en el edificio más alto construido en
América Latina. Calcula la longitud de la sobra cuando los
rayos del sol inciden sobre este edificio con un ángulo de 47º
sobre la horizontal.
contiguo
opuesto
cateto
cateto
tagα 
 
X
300
47ºtag 
300m.
X
 47ºtag
300
X 
1,07
300
 .m280,4
Planteamos el esquema
Foto: Miguel
Sanmartín

19. Problema.- La Fragata Méndez Núñez
después de navegar 45 millas rumbo al
norte, vira y navega 23 millas a un rumbo
que cae a 35º al Este del Sur. ¿A qué
distancia se encontrará del punto de
partida?. Aplica teorema.
45millas.
X
Planteamos el esquema
Foto: Jesús
Paz
35º
cosαcb2cba 222

Aplicamos el Teorema del coseno
 35ºcos324523245x 222

235910242025x2

690x  millas26,3

20. Problema.- La pirámide de cristal del museo
del Louvre (Paris) tiene una base cuadrada de
35 metros de lado. Y las aristas que forman la
cúpula forman un ángulo de 51º con los lados
de la base. Calcula la superficie acristalada de
dicha pirámide.
Planteamos el esquema
Foto: Miguel
Sanmartín
78º
senC
c
senB
b
senA
a

Aplicamos el Teorema del seno
51º
35 metros
 º51º51º180 º78
Sabiendo que la suma de los tres ángulos de un
triángulo es 180º…
51º
a =
bc
B
A
C
   º51sen
b
º78sen
35

 
 78ºsen
º51sen35
b


98,0
78,035 
 .m927,
=27,9 m.

21. Foto: Miguel
Sanmartín
51º
35 metros
Por trigonometría calculamos la altura…
51º
a =
bc
B
A
C
 
27,9
h
51ºsen 
=27,9 m.
h=alturatriángulo
 51ºsen27,9h  .m21,7
2
alturabase
Áreacara

 2
m379,75
2
7,2135 

4379,75Total caras4  2
m1519

22. Problema: Calcula la altura del árbol con los datos de la figura.
 
x25
y
23ºtag


 
x
y
41ºtag   
  




xtagy
xtagy
º41
25)º23(
 





xy
xy
87,0
2542,0

23.  





xy
xy
87,0
2542,0





xy
xy
87,0
42,05,10
xx 87,042,05,10  xx 42,087,05,10 
5,1045,0 xmx 3,23
45,0
5,10

.3,203,2387,087,0 mxy 
Resolviendo por igualación.
20,3m.
23,3m.

24. x x-40
y
 
x

40
y
30ºtag
 
x
y
60ºtag   
  




xtagy
xtagy
º60
40)º30(
 





xy
xy
73,1
4058,0
Problema: La antena de radio situada en el ayuntamiento de Gondomar está
sujeta al suelo mediante dos cables a ambos lados de la misma.
La distancia entre los anclajes de
dichos cables es 40 m., y si se
observa la parte más alta de la
antena desde cada uno de ellos, los
ángulos de elevación son de 30º y
60º, respectivamente. Halla la altura
de la antena.

25. 




xy
xy
73,1
58,02,23
xx 73,158,02,23  xx 58,073,12,23 
2,2331,2 xmx 10
31,2
2,23

.3,171073,173,1 mxy 
Resolviendo por igualación.
17,3m.
 





xy
xy
73,1
4058,0
10m. 30m.

26. x x-82
82º
 
x

82
h
8ºtag
 
x
h
12ºtag 
 
  




xtagh
xtagh
º8
82)º12(
 





xh
xh
14,0
8221,0
Problema: Un avión está
volando entre dos ciudades
Ourense y Santiago que distan
82km. Los ángulos de
depresión desde el avión a
cada una de las ciudades son
de 12º y 8º respectivamente.
Calcula la altura a la que está
volando el avión y la distancia
a ambas ciudades desde el
punto sobre el que vuela.
78º
12º 8º

27. 




xh
xh
14,0
21,02,17
xx 14,021,02,17  xx 14,021,02,17 
2,1735,0 x.50
35,0
2,17
kmx 
.75014,014,0 kmxh 
Resolviendo por igualación.
7km.
50km. 32km.
 





xh
xh
14,0
8221,0

28. Problema: La Torre de control avista un Boing 747 con un ángulo de 25º. Sabiendo que el
avión está a 3500 m. de altura, y que la torre mide 45 m. Calcula la distancia desde el pie
de la torre al avión.
3500m.
25º
45
3455m.453500 
 
x
3455
25ºtag 
 
7351m.
0,47
3455
25ºtag
3455
x 
x
x
7351m.
7351m.
222
cch  8142m.73513500cch 2222

Aplicando Pitágoras…

29. 125m.250)sen(30ºRQ
250
RQ
)sen(30º 
m.5,162250)(30ºcRS
250
RS
)cos(30º  os
125m.
216,5m.
Problema: Para calcular la altura del edificio, PQ, hemos medido los ángulos que indica la
figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud es 250m. Halla PQ.

30. º40º10º30 
181,7m.)tag(40º216,5RP
216,5
RP
RS
RP
)tag(40º 
º40
.56,7m125181,7RQRPQPhEDIFICIO 
125m.
216,5m.
56,7m.

31. º90
º60
º90
º40
º40
º80
º60
Problema: Si QR es igual a 15 m.
¿Cuál es la altura de la torre PQ?.
P
R
Q
Aplicamos teorema del seno…
     Csen
c
Bsen
b
Asen
a

   80ºsen
PQ
40ºsen
15

 
 
23m.
40ºsen
80ºsen15
PQ 



32. xx-50
y
 
x

50
y
42ºtag
 
x
y
53ºtag   
  




xtagy
xtagy
º53
50)º42(
 





xy
xy
33,1
5090,0
Problema: Observa las medidas
que ha tomado Javier para
calcular la anchura del ría. ¿Cómo
la hallará con esos datos?.

33. 




xy
xy
33,1
90,045
xx 33,190,045  xx 90,033,145 
4523,2 xmx 2,20
23,2
45

26,9m.20,21,331,33xy 
Resolviendo por igualación.
29,8m.
26,9m.
20,2m.
 





xy
xy
33,1
5090,0

34. Fin
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