Compensadores adelanto-y-atraso

Introducción
 Un sistema de control
puede estar sujeto a
diversos requerimientos
específicos como se ha
visto en otros capítulos,
tales como: tiempo de
estabilización, sobre nivel
porcentual, error de
estado estacionario, etc.

Introducción
 Algunos de estos requerimientos son
incompatibles entre sí y al querer
mejorar una característica, terminamos
empeorando otra, de allí que se debe
optar por una solución de compromiso,
que no es otra cosa que tratar de
equilibrar el sistema para que se
acerque lo mas posible a todas nuestras
exigencias, esta solución de
compromiso tiene sus limitaciones.

Introducción
 Entonces para ajustar un sistema de
control que alcance mucho mas fielmente
a nuestros requerimientos, debemos
alterar el sistema con el objeto de que las
deficiencias del mismo se disminuyan, este
proceso se denomina compensación.
 Para esto se inserta un componente
adicional a nuestro sistema de
realimentación, al mismo se lo llama
compensador.

Enfoques en el diseño de
sistemas
 Las especificaciones de un sistema de
control se pueden definir en términos de la
localización de polos y ceros de la función
de transferencia del sistema de lazo
cerrado.
 Se puede obtener el método del lugar de
las raíces para la variación de algún
parámetro del sistema. Si la configuración
de raíces no es la mas adecuada se
deberá colocar una red de compensación.

Enfoques en el diseño de
sistemas
 El comportamiento de un sistema de
control también se puede definir en
términos del comportamiento de la
frecuencia, en este caso se puede
diseñar la red de compensación a través
de los diagramas de Bode o Nichols.

¿Por que no alteramos
G(s)?
 Como hemos mencionado, para lograr
que el comportamiento de un sistema
de control realimentado que se apegue
a mis requerimientos específicos, podría
directamente cambiar la estructura de
G(s) sin embargo en la mayoría de los
procesos G(s) es un proceso inalterable
y por tanto se deben utilizar las redes de
compensación para mejorar el
comportamiento del sistema.

Redes de compensación
en cascada.
 La función de transferencia de la red de
realimentación compensada es
Gc(s)G(s)H(s).
El compensador tiene la siguiente forma:
( )
( )
1
1
( )
M
i
i
C N
j
j
K s z
G s
s p
=
=
+
=
+
∏
∏

Redes de compensación en
cascada.
 El compensador de primer orden por tanto tiene
la forma:
 Cuando , la red se conoce como red de
adelanto de fase, mientras si la red se
llama de atraso de fase sus configuración de
polos y ceros se muestran a continuación:
( )
( )
( )C
K s z
G s
s p
+
=
+
z p<
σ
jω
× d
p− z−
σ
jω
×d
p−z−
p z<

Red de adelanto de fase
 La respuesta en frecuencia red de
compensación es:
donde , y
 Esta función de transferencia puede
obtenerse a través de la siguiente red
eléctrica.
( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
1
1 1
( )
1 1
C
Kz p j zK j z K j
G j
j p j p j
ω +ω+ + ωατ
ω = = =
ω+ ω + + ωτ
1 pτ= p zα= 1K K= α

R1
R2
-
C
V1(s)
+
V2(s)
+
-
( ) ( ){ }
2 2
1 2 1 1
( )
( )
( ) 1 1
C
V s R
G s
V s R R Cs R Cs
= =
+ +  
( )
( ){ }
12
1 2 1 2 1 2
1
( )
1
C
R CsR
G s
R R R R R R Cs
+ 
=  ÷
+ + +    
1 2 1 2
1 2 2
R R R R
C
R R R
+
τ = α =
+
( )
( )
1
( )
1
C
s
G s
s
+ ατ
=
α + τ
Función de transferencia del
compensador de adelanto de fase

Diagrama de Bode de la red
de adelanto de fase.

 Como se observa en el grafico anterior el valor
máximo de adelanto de fase se presenta en la
frecuencia que es la media geométrica entre el
polo y el cero del compensador.
 El ángulo de adelanto de fase se lo halla de la
siguiente manera.
mω
1
m zpω = =
τ α
( )
1
2
tan
1
− αωτ − ωτ
φ =
+ ωτ α

 Sustituyendo en la expresión del
ángulo de adelanto de fase para obtener el
máximo ángulo de adelanto tenemos:
1mω = τ α
( ) ( )1 1
tan
1 1 2
m
α α − α α −
φ = =
+ α
mφ
1α −
2 α
1α + 1
sen
1
m
α −
φ =
α +

 La relación entre y es muy importante ya que
nos permite saber el máximo ángulo de adelanto de
fase, esta relación se aprecia en el siguiente grafico.
 Si se deseara un adelanto de mas de 70º habría que
colocar dos compensadores en cascada.
mφ α

Red de Retardo de fase
 Una red de retardo de fase se muestra en la figura
siguiente:
-
V1(s)
R1
R2
C
+
V2(s)
+
-
Su función de transferencia es:
2
1
( )
( )
( )
C
V s
G s
V s
=
( )
2
1 2
1
( )
1
C
R Cs
G s
R R Cs
+
=
+ +
Donde haciendo y tenemos:1z = τ 1p = ατ
( )
( )
1 1
( )
1
C
s zs
G s
s s p
++ τ
= =
+ ατ α +

Diagrama de Bode de la red
de retardo de fase.

Diseño de compensadores por
adelanto de fase utilizando el
Diagrama de Bode.
 Determinaremos la red de compensación a través de los
siguientes pasos:
1.- Se calcula el margen de fase del sistema no compensado
cuando se satisfacen las constantes de error.
2.-Se determina el adelanto de fase adicional necesario (se
debe permitir un 10% adicional)
3.- Se calcula mediante la relación
4.-Se calcula y se determina la frecuencia donde la
curva de magnitud no compensada es de
5.- Se calcula el polo y
6.-Se dibuja la respuesta compensada de frecuencia, se
comprueba el margen de fase resultante y se repiten los
pasos de ser necesario.
α ( ) ( )sen 1 1mφ = α − α +
10logα
10log− α
mω
mp = ω α z p= α

Ejemplo 1. Compensador por adelanto de fase para
un sistema de segundo orden.
 Un sistema de control tiene una función de
transferencia de lazo:
 Se desea obtener un para una entrada
rampa y se requiere que el margen de fase sea al
menos de 45º
 Solución:
 Primero hallemos K para que se satisfaga el error
de estado estacionario.
 Para una entrada rampa se sabe que
donde
( )
( )
2
K
GH s
s s
=
+
5%sse ≤
; 1ss
A
e A
Kv
= =
0
lim ( )
s
Kv sGH s
→
=
( )0
lim
2 2s
K K
Kv s
s s→
= =
+
entonces
1
0.05 40
2
K
K
= → =

Diagrama de Bode asintótico ( ) ( )
40 20
( )
2 0.5 1
GH s
s s j j
= =
+ ω ω+

Diagrama de Bode Real ( ) ( )
40 20
( )
2 0.5 1
GH s
s s j j
= =
+ ω ω+

Margen de fase: Gráficamente
y con Matlab
18MF
MG
=
= ∞
o
G=-4,8dB
A la final, en la linea
verde ubicare mi
frecuencia w=√zp
18MF

= 

o

Margen de fase
analítico.
( ) ( )
40 20
( )
2 0.5 1
GH s
s s j j
= =
+ ω ω+
180 ( )MF GH j= + ωo
R
( )
( )
1
6.2
1
180 90 tan (0.5 )
180 90 tan (3.1)
17.87 18
c
MF
MF
MF
−
ω=ω =
−
= + − − ω
= + − −
= ≅
o o
o o
o o
Se necesita aumentar el margen de fase de modo que sea
de al menos 45 grados.

 Para llegar a de margen de fase
consideraremos el margen de fase existente
por lo tanto haría falta una diferencia de
 Se hace un incremento de 10% para seguridad
 Ahora calculamos a través de la ecuación.
 El máximo adelanto de fase ocurre en , esta
frecuencia coincidirá con la nueva frecuencia
de cruce.
45o
27o
45 18 27− =o o o
( )10% 27 1.1 27 3de = ≅o o o
27 3 30+ =o o o
α
1
sen sen (30 ) 0.5 3
1
m
α −
= φ = = → α =
α +
o
mω

 La magnitud de la red de adelanto en es:
 , la frecuencia de
cruce compensada se calcula donde la
magnitud de es de -4.8dB.
 *El objetivo es precisamente que el
compensador logre que el máximo adelanto
de fase se dé en el cruce por cero ya que se
cancelarían las magnitudes 4.8 y -4.8dB.
 A -4.8dB. Le corresponde una fase de 8.4 es
decir:
 De esta forma y
mω
10log 10log3 4.8 dBα = =
( )GH jω
8.4m cω = ω =
8.4 3 14.5mp = ω α = =
14.5 / 3 4.8z p= α = =

 Por tanto la red de compensación sería:
 Aumentando la ganancia del lazo en 3 para
considerar al factor , tenemos que la función
de transferencia del lazo compensado es:
Verificando el margen de fase total tenemos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 4.8
( )
1 1 3 1 14.5
C
s s z s
G s
s s p s
+ ατ + +
= = =
α + τ α + +
1 1 3α =
( )
( ) ( )
20 4.8 1
( ) ( )
0.5 1 14.5 1
C
s
G s GH s
s s s
+  =
+ +  
180 ( )MF GH j= + ωR
1 1 1
8.4
180 90 tan (0.5 ) tan tan
14.5 4.8 c
c c
cMF − − −
ω =
ω ω 
= + − − ω − + ÷
 
o o
( )180 90 76.5 30.0 60.2 43.7MF = + − − − + =o o o o o o

Se logró lo que se quería???
 El margen de fase difiere un poco del requerido que es
de 45 grados, hacemos un análisis prueba error, hasta
satisfacer los requerimientos solicitados, por ejemplo
con 3.5α=

adelanto de fase utilizando el Lugar
de las Raíces.
Determinaremos la red de compensación a través de los siguientes
pasos:
1.- Se enumeran las especificaciones del sistema y se trasladan a una
localización deseada de las raíces para las raíces dominantes.
2.-Se traza el lugar geométrico no compensado de las raíces y se
determina si pueden realizarse las localizaciones deseadas de
éstas con un sistema no compensado.
3.-De ser necesario el compensador, se coloca el cero de la red de
adelanto de fase directamente bajo la localización deseada de las
raíces.
4.-Se determina la localización del polo del compensador de manera
que el ángulo total en la localización deseada de las raíces sea 180.
5.-Se calcula la ganancia total del sistema en la localización deseada
de las raíces y después se calcula la constante de error.
6.-Si la constante de error no satisface se repite el proceso.

¿Cómo funciona el método?
 Establece la posición de las raíces
dominantes del sistema (raíces deseadas).
Línea de deseadaζ
Raíz deseada →
nω
jω
σ

 Se traza el lugar geométrico no compensado
de las raíces.
Lugar de las raíces no compensado
σ
Raíz deseada →
jω

 Se agrega el cero del compensador de
modo que no se afecte la dominancia de las
raíces deseadas y proporcione el adelanto
de fase requerido.
σ
Raíz deseada →
jω
d
Cero agregado Z

 Si las raíces deseadas no están contenidas en el lugar
geométrico del sistema, se coloca el polo del
compensador en una ubicación a la derecha de todos
los polos del sistema, con el objetivo de modificar el
lugar geométrico de las raíces.
d σ
jω
Polo agregado Z
pxθ

 Ejemplo 2. Un sistema de control de retroalimentación negativa que
tiene una función de transferencia de ganancia de lazo que se
muestra. Se requiere diseñar un compensador tal que el sistema de
lazo cerrado presente polos dominantes que cumplan con los
requerimientos que se detallan a continuación.
a) Ubicación de los polos dominantes
b) Selección del calculo y red de compensación.
c) Verificación de resultados.
4
(2%) ; . . 25% ; 0.2
3
s ssT S P e≤ ≤ ≤
( ) ( ) ( )
( )
1 4 10
K
GH s
s s s
=
+ + +
Solución:
Primero hay que hallar los valores de y de acuerdo a los
valores de tiempo de estabilización y sobre nivel porcentual.
ζ mω

4 4 3
3 7.5
3 0.40
s n n
n
T = = → ζω = → ω = =
ζω
2
2
1
2 2
ln (0.25)
0.25 0.40
ln (0.25)
SP e−ζπ −ζ
= = → ζ = =
π +
Las raíces dominantes del sistema son:
Lo cual da: , así graficando las raíces
dominantes tenemos:
2
1,2 1n nS j= −ζω ± ω − ζ
1,2 3 6.87S j= − ±
σ
jω
×
3−
×
6.87
6.87−

 Dados lo datos se elegirá una red de compensación
de adelanto de fase, para lo cual colocaremos el cero
del compensador en donde está la parte real de las
raíces dominantes.
 Aplicando el criterio de fase para hallar el polo del
compensador tenemos:
180zi pj
i j
θ − θ = ± →∑ ∑ o
( )1 2 3 180z p p p pxθ − θ + θ + θ + θ = ± o

1 1 16.87 6.87 6.87
90 180 tan tan tan 180
2 1 7
px
− − −       
− − + + + θ = ± ÷ ÷  ÷  ÷ ÷
       
o o o
6.87
37.59 tan 8.92 9px px x
x
θ = → θ = → = ≅o
Por tanto el polo se encuentra en la localización p=9+3=12, y
nuestro sistema compensado tiene la siguiente forma:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
( ) ( )
1 4 10 12
c
K s
G s GH s
s s s s
+
=
+ + + +
El valor de K se lo puede hallar a través del criterio de magnitud.
3 1 4 10 12
( ) ( ) 1 1
1 4 10 12 3
c
K s s s s s
G s GH s K
s s s s s
+ + + + +
= → = → =
+ + + + +
1 4 10 12 7.15 6.94 9.8 11.32
801.27
3 6.87
s s s s
K
s
+ + + +
= = =
+

 El compensador finalmente es:
 Verificaremos si se cumple el error de estado
estacionario para una entrada escalón.

 Verificamos que si se cumple con la
especificación de error de estado estacionario.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
801.27 3
( ) ( )
1 4 10 12
c
s
G s GH s
s s s s
+
=
+ + + +
0 0
1 1 1
lim lim
1 + G(s)H(s) 1 + G(s)H(s)
ss
s s
e s
s→ →
= =
( ) ( )0
1
donde lim
1
ss p c
s
P
e K G s GH s
K →
= =
+
( ) ( )0
1
donde lim
1
ss p
s
P
e K G s H s
K →
= =
+
( ) ( )0
1
donde lim
1
ss p
s
P
e K G s H s
K →
= =
+
( ) ( )0
lim 5p c
s
K G s GH s
→
= =
1 1
0.16 0.2
1 5 6
sse = = ≤
+

Diseño de compensadores
por retardo de fase.
 La compensación por atraso se usa cuando el
sistema presenta características satisfactorias
en la respuesta transitoria, pero
características no satisfactorias en estado
estacionario.
 La compensación consiste en incrementar la
ganancia en lazo cerrado sin modificar de
forma notable las características de la
respuesta transitoria. Esto implica no modificar
la “forma” del lugar de las raíces. Esto se
consigue con un compensador de atraso en
serie con la planta.

Diseño de compensadores
por retardo de fase.
 Un compensador en atraso de fase
tiende a desplazar el lugar de raíces a la
derecha, lo cual es indeseable.
 Para que el lugar de las raíces no
cambie demasiado, el ángulo de la red
de retardo deberá ser pequeño. Para
que esto sea posible, el polo y el cero
se ubican relativamente cerca uno de
otro y cerca del origen del plano s.

retardo de fase utilizando el lugar
de las raíces .
1. Se obtiene el lugar de las raíces del sistema no
compensado.
2. Se determinan las especificaciones del estado transitorio
para el sistema y la localización adecuada de las raíces
dominantes, viendo si cumplen las especificaciones.
3. Se calcula la ganancia de lazo en el lugar deseado de las
raíces y así la constante de error del sistema.
4. Se compara la constante no compensada de error con la
deseada y se calcula el aumento necesario que debe
resultar por la relación .
5. Se determina una localización adecuada del polo y el cero
del compensador de forma que el lugar geométrico
compensado de las raíces contenga la localización deseada
de las raíces.
α

Ejemplo 3: Consideremos el ejercicio del
ejemplo 1, un compensador por adelanto de
fase para un sistema de segundo orden.
 Se necesita que la razón de amortiguamiento de
las raíces complejas dominantes sea 0.45 y una
constante de velocidad del sistema igual a 20.
1−
×
jω
σ×
0.45ζ =
2−
5K = 2

 Del grafico obtenemos que la raíz en la línea
de es . Calculando la
ganancia en esta raíz, tenemos:
 Por tanto la constante de velocidad no
compensada es:
 La relación de cero al polo de compensador
es:
0.45ζ = 1 2s j= − ±
5 5
5
1
i
i
i
i
s p
K
s z
+
= = =
+
∏
∏
0
5
lim ( ) 2.5
2 2s
K
Kv sGH s
→
= = = =
20
8
2.5
comp
nocomp
Kvz
p Kv
α= = = =

 Para el compensador se podría hacer que
y por tanto . La diferencia de
ángulos entre p y z del compensador en la raíz
deseada es de aproximadamente 1º , por lo que
es todavía la localización de las
raíces dominantes.
0.1z = −
0.1 8 0.0125p = − = −
1 2s j= − ±

 La función de transferencia del sistema
compensado es:
 Donde o .
( )
( ) ( )
5 0.1
( ) ( )
2 0.0125
c
s
G s GH s
s s s
+
=
+ +
( ) 5K α = 40K =

Diseño por retardo de fase
utilizando el diagrama de Bode.
1. Se dibuja el diagrama de Bode del sistema no
compensado con las ganancias ajustadas para la
ganancia de error deseada.
2. Se determina el margen de fase del sistema no
compensado, y si no es suficiente seguir los pasos sig.
3. Se determina la frecuencia donde se cumpliría el
requisito del margen de fase si la curva de magnitud
cruzara la línea de 0 dB en esta frecuencia, . (Se
tiene en cuenta un retardo de fase de 5º a 12 º por red
de retardo de fase cuando se determine la nueva
frecuencia de cruce).
( )
( )
1 1
( )
1
C
s zj
G s
j s p
++ ωτ
= =
+ ωατ α +
`cω

Diseño por retardo de fase utilizando el
diagrama de Bode.
4. Se coloca el cero del compensador una década bajo la
nueva frecuencia de cruce , asegurando así un
retardo de 5º a 12º en debido a la red de retardo.
5. Se mide la atenuación necesaria en para asegurar
que la curva de magnitud cruza en esta frecuencia.
6. Se calcula teniendo en cuenta que la atenuación es
en .
7. Se calcula el polo como y el diseño se
completa.
`cω
`cω
`cω
α
20log− α `cω
1p zω = ατ =ω α

 Ejemplo 4: Para el sistema con función de
transferencia
 se quiere diseñar un compensador para el sistema de
modo que , el margen de fase sea al menos de
40º y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.
 Solución:
 Se obtiene la constante del compensador, se
comprueba si con un controlador proporcional en bucle
cerrado podríamos cumplir las especificaciones, de no
ser así hallamos la constante del compensador de
modo que se cumplan que .
( ) ( )1
2
( )
2 1
G s
s s s
=
+ +
1
5Kv s−
=
1
5Kv s−
=
1
0
lim ( )c c
s
Kv sK G s K
→
= =

 Se calcula el margen de ganancia y margen
de fase a través del diagrama de bode.
} 13MF = − o
{5MG dB≅ −

 Como vemos el margen de fase y el margen
de ganancia son negativos por lo que el
sistema es inestable, se escogerá ahora un
margen adicional de 8º (media entre 5º y
12º).
 Entonces el margen de fase que se debe
buscar para el sistema es:
40 8 48esperado adicionadoMF MF MF= + = + =o o o

48MF

= 

o
0.5ω=
[
será la frecuencia de cruce de ganancia
deseada para el sistema compensado.
0.5ω=

 A la frecuencia corresponde un
ganancia de 18.4 dB. Entonces la atenuación
que debemos lograr es de -18.4dB para lograr
el cruce con cero, por tanto:
 El cero esta una década bajo el cruce.
 El polo está en
 El sistema compensado es entonces:
' 0.5cω =
20log 18.4 8.32− α = − → α =
' 10 0.05z cω = ω =
0.006p zω = ω α =
( )
( ) ( ) ( )1
5 20 1
( )
0.5 1 1 166.66 1
j
G s
j j j j
ω+
=
ω ω+ ω+ ω+

 El sistema compensado se pude observar en
la siguiente gráfica.
18.4dB

Referencias:
 http://www.desi.iteso.mx/elec/automat/control_2/apuntes/05_Comp
ensación%20Lugar%20Raices%20(2).pdf
 http://www.tecnun.es/asignaturas/control1/2001feb3.pdf
 http://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/lead.
lag.html#leadrl
 http://csd.newcastle.edu.au/SpanishPages/clase_slides_download/
C07.pdf
 http://prof.usb.ve/lamanna/cursos/Comp-Bode-1.pdf
 http://gabosm.com/Docs&Tuto/Docs/COMPENSA.pdf
 http://www4.ujaen.es/~agaspar/IC/Compensadores.pdf
 http://ciecfie.epn.edu.ec/CControlC/materias/automatico/Descargas
/Compensacion/Lecturas/Lectura1.pdf
 http://www.ayc.unavarra.es/mgs/ca.htm
 "Ingeniería de Control Moderna". K. Ogata. 3ª edición. Ed. Prentice-
Hall Hispanoamericana, 1998.
 Sistemas Modernos de Control". R.C. Dorf, R.H. Bishop. Ed.
Addison-Wesley Iberoamericana, 1989.

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