1. RELACIONES Y FUNCIONES
a) PAR ORDENADO.-
Llamemos por ordenado de números reales a la expresión (a,b) donde a e llamada
la primera componente y b es llamada la segunda componente.
Ejemplo: son pares ordenados (3,5), (-2,7), (etc).
b) IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.-
Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes
componentes son iguales, esto es:
( , ) ( , )a b c d a c b d
Ejemplo: Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas
componentes son diferentes.
c) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-
Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano
de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la
primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al
conjunto B.
La notación del producto cartesiano de A y B es: AxB. Simbólicamente el
producto cartesiano se representa:
AxB ( , )/ A Ba b a b
Nota: ( , ) AxB A Ba b a b
Ejemplo: Sean A 1,3,5 y B 2,4 entonces:
AxB (1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)
OBSERVACION.- Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces:
n(AxB)=n(A).n(B)
Donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A.
n(B): es el número de elementos del conjunto B.
n(AxB): es el número de elementos del conjunto A x B
Ejemplo: Si A={2,4} y B={1,3,5} entonces: AxB={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)}
De donde : n(AxB)=n(A).n(B)=(2)(3)=6
d) REPRESENTACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO
En el producto cartesiano A x B, a cada uno de los conjuntos A y B lo
representamos sobre dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del conjunto A
se representa en el eje horizontal y los elementos del conjunto B se representan sobre el
eje vertical, de tal manera que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las
líneas horizontales que pasan por los elementos de B al interceptarse se obtienen los pares
ordenados AxB.
Ejemplo: Si A 1,3,5 y B 2,4 entonces:
AxB (1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)
2. A los elementos del conjunto A lo representaremos en el eje horizontal y a los
elementos del conjunto B lo representaremos en el eje vertical.
1 3 4 5
2
4
x
y
A
B
2
A x B
OBSERVACIÓN:
Como los conjuntos A y B son arbitrarios, entonces consideremos los siguientes
casos:
1) Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por AxB=AxA=A2
2) Si A=B=R entonces AxB=RxR=R2 este producto nos representa el plano
cartesiano.
e) DIAGONAL DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A , a la diagonal del producto cartesiano A x A
denotaremos por IA y es definido por:
AI ( , ) AxA/x y y x
RELACIONES BINARIAS
a) DEFINICION.- Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos; llamaremos
relación binaria de a en B ó relación entre elementos de A y B a todo el subconjunto R
del producto cartesiano A x B, esto es:
R es una relacion de A en B R AxB
OBSERVACION.-
1) Si A = B, entonces R es una relación en A ó, R es una relación entre elementos de
A.
2) Si R es una relación entre elementos de A y B, el conjunto A le llamaremos
conjunto de partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.
3) Generalizando: una relación R, entre los elementos del conjunto de los números
reales R, está determinado por una función proposicional P(x,y); esto es:
E= ( , ) RxR / P( , )x y x y
4) Cuando el par ordenado (a,b) satisface a la función proposicional P(x,y) de la
relación R, diremos que (a,b) R en caso contrario (a,b) R
5) Si A tiene p elementos y B tiene q elementos n
2 relaciones entre A y B donde
n = pq.
b) DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION BINARIA
Consideremos una relación R de A en B; es decir que R AxB
El dominio de la relación R denotado por DR es el conjunto definido por:
/ ( , )RD a A b B a b R
El rango de la relación R denotado por RR es el conjunto definido por:
3. / ( , )RR b B a A a b R
Ejemplo.- Si (1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)R entonces: 1,2RD ; 3,4,5RR
OBSERVACION.-
Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja “y” enseguida se
analiza los valores que pueden tomar “x” para que la variable “y” sea real.
Para determinar el rango de una relación se despeja “x”, enseguida se analiza los valores
que puedan tomar “y” para que la variable “x” sea real.
c) PROPIEDADES DE LA RELACIÓN BINARIA
Las relaciones binarias gozan de las siguientes propiedades:
1) PROPIEDAD REFLEXIVA.- Una relación R en A diremos que es simétrica si
( , )a a R para todo a R , esto es:
R es reflexiva en A A,( , )a a a R
2) PROPIEDAD SIMETRICA.- Una relación R en A diremos que es simétrica si
( , )a b R implica que ( , )b a R , esto es:
R es simetrica ( , ) A ( , )a b b a R
3) PROPIEDAD TRANSITIVA.- Una relación R en A, diremos que es transitiva
sí: ( , ) ( , )a b R b c R implica que ( , )a c R , esto es:
R es simetrica , , , ( , ) A ( , ) R ( , )a b c A a b b c a c R
4) PROPIEDAD ANTISIMÉTICA.- Una relación R en A, diremos que es
antisimétrica sí: , A, ( , ) R y ( , )a b a b b a R implica que: a=b, esto es:
R es antisimetrica , , ( , ) ( , )a b A a b R b a R a b
5) PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA.- Una relación R en A, diremos que es de
equivalencia si es: reflexiva, simétrica y transitiva.
DETERMINACION DE UNA RELACION BINARIA
Como la relación es un de pares ordenados, entonces a una relación determinaremos por
extensión o por comprensión.
a) POR EXTENSION.- Queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno
de los pares ordenados de la relación.
b) POR COMPRENSIÓN.- Queda deternimada por comprensión cunado se da una
propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados.
RELACION DE ORDEN
Una relación R :A A , es una relación de orden si:
a) R es reflexiva
b) R es antisimetrica
c) R es transitiva
RELACION INVERSA O RECIPROCA
Si R A B es una relación de A en B; ie. R :A B
Entonces a la relación inversa de R lo denotamos por 1
R
y
esta definido por:
1 *
R R (y, x) B A/(x, y) R
,
