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ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : CÁLCULO II CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN II BIMESTRE Ing. Pablo Ramón ABRIL  – AGOSTO ...
OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y apl...
OBJETIVOS ESPECÍFICOS  <ul><li>Utilizar otras técnicas de integración: PP, ST, FP </li></ul><ul><li>Conocer y evaluar inte...
CONTENIDOS <ul><li>TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN </li></ul><ul><ul><li>5.1 Integración por partes  </li></ul></ul><ul><ul><li>5....
<ul><li>SERIES </li></ul><ul><ul><li>7.1 Sucesiones </li></ul></ul><ul><ul><li>7.2 Series Infinitas (CV, DV) </li></ul></u...
Capítulo 5  TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
5.1  INTEGRACIÓN POR PARTES Método que surge de la formula de la derivada de un producto:
Ejemplo 1:                  
Nota:  Para elegir la función u(x), se sugiere el orden: L OGARÍTMICA,  I NVERSA TRIGONOMÉTRICA,  A LGEBRAICA,  E XPONENCI...
Ejemplo 3:                  
Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:
Caso Especial:  Doble integración por partes Ejemplo 4: (1)
(2)
Reemplazando (2) en (1), se tiene:
5.2  INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES (PARCIALES) <ul><li>Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios) </li></...
Ejemplo: Donde:
Caso 2: ,  Grado P(x) < Grado Q(x)   Se hace la descomposición: Donde  constantes reales.
Ejemplo 1: Igualando numeradores:
Se forma un sistema de ecuaciones lineales: Resolviendo se obtiene:
Caso 2’:  Q(x) tiene raíces repetidas Entonces: Ejemplo:  Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
Caso 2’’:  Q(x) tiene raíces complejas distintas. Q(x) posee factores cuadráticos de la forma: Entonces: Ejemplo:  Se obti...
Luego: Se obtiene:
5.3 INTEGRACIÓN POR  SUSTITUCIONES TRIGONOMÉRICAS <ul><li>Integrar funciones Irracionales (Radicales) </li></ul><ul><li>Ut...
Tres casos fundamentales: a: constante real. Ejemplo 1:  Resolver la integral (1) (2) (3)
 
Ejemplo 2:  Resolver la integral Utilizando la identidad:
Puesto que:  =
Capítulo 6  INTEGRALES IMPROPIAS
6.1 LÍMITES INFINITOS ¿Qué significan las siguientes expresiones? X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.) f(x): toma va...
Gráfica de Límites Infinitos
Algunos Ejemplos Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1:  CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)
6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO
CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA
<ul><li>INTEGRALES CONVERGENTES </li></ul><ul><li>Si existe el límite </li></ul><ul><li>INTEGRALES DIVERGENTES </li></ul><...
NÚMERO FINITO DE SINGULARIDADES Asíntota = Singularidad
Algunos Ejemplos Ejemplo 1: Esquematizar la región.
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Capítulo 7  SERIES INFINITAS
7.1 SUCESIONES Aplicaciones de los naturales en los reales: a: N     R n     a n Ejemplo: número e ¡¡¡ Una sucesión conv...
Sucesiones Monótonas Ejemplo:  Analizar la monotonía de la sucesión  Paso 1 Paso 2    La sucesión es monótona
7.2 SERIES INFINITAS Sumas parciales N-ésima suma parcial ¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límite la serie converge !!!
7.3 CONVERGENCIA EJEMPLOS Serie armónica   divergente Serie geométrica
PROPIEDADES  CRITERIOS DE CV Adición: Producto por escalar:
Criterio del cociente
Criterio de la raíz
Criterio de la INTEGRAL
7.4 SERIE DE TAYLOR Polinomio de Taylor: Residuo de Taylor: La serie de Taylor se rebautizará  &quot;serie de Maclaurin&qu...
ALGUNAS SERIES BÁSICAS   de Maclaurin
7.5 SERIE DE FOURIER
 
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Cálculo II (II Bimestre)

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Universidad Técnica Particular de Loja
Ciencias de la Computación
Cálculo II
II Bimestre
Abril-Agosto 2007
Ponente: Ing. Pablo Ramón

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Cálculo II (II Bimestre)

  1. 1. ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : CÁLCULO II CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN II BIMESTRE Ing. Pablo Ramón ABRIL – AGOSTO 2007
  2. 2. OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el CI, las EDO y las Series. En resumen: Desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.
  3. 3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS <ul><li>Utilizar otras técnicas de integración: PP, ST, FP </li></ul><ul><li>Conocer y evaluar integrales impropias </li></ul><ul><li>Caracterizar y tabular sucesiones </li></ul><ul><li>Analizar Series (CV o DV) </li></ul><ul><li>Utilizar la serie de Taylor para aproximar funciones reales </li></ul><ul><li>Analizar las series de Fourier </li></ul>
  4. 4. CONTENIDOS <ul><li>TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN </li></ul><ul><ul><li>5.1 Integración por partes </li></ul></ul><ul><ul><li>5.2 Integración mediante fracciones parciales </li></ul></ul><ul><ul><li>5.3 Sustituciones trigonométricas </li></ul></ul><ul><li>FORMAS INDETERMINADAS </li></ul><ul><ul><li>6.1 Límites infinitos </li></ul></ul><ul><ul><li>6.2 Integrales Impropias </li></ul></ul>
  5. 5. <ul><li>SERIES </li></ul><ul><ul><li>7.1 Sucesiones </li></ul></ul><ul><ul><li>7.2 Series Infinitas (CV, DV) </li></ul></ul><ul><ul><li>7.3 Convergencia (Criterios) </li></ul></ul><ul><ul><li>7.4 Serie de Taylor </li></ul></ul><ul><ul><li>7.5 Series de Fourier </li></ul></ul>
  6. 6. Capítulo 5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
  7. 7. 5.1 INTEGRACIÓN POR PARTES Método que surge de la formula de la derivada de un producto:
  8. 8. Ejemplo 1:                  
  9. 9. Nota: Para elegir la función u(x), se sugiere el orden: L OGARÍTMICA, I NVERSA TRIGONOMÉTRICA, A LGEBRAICA, E XPONENCIAL <ul><li>Ejemplo 2: </li></ul><ul><li>u = x, du = dx </li></ul><ul><li>dv = dx, v = </li></ul>
  10. 10. Ejemplo 3:                  
  11. 11. Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:
  12. 12. Caso Especial: Doble integración por partes Ejemplo 4: (1)
  13. 13. (2)
  14. 14. Reemplazando (2) en (1), se tiene:
  15. 15. 5.2 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES (PARCIALES) <ul><li>Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios) </li></ul><ul><li>Descomponer una fracción compleja en la suma de dos o más fracciones simples </li></ul><ul><li>CASO 1: Funciones de la forma </li></ul><ul><li>Grado P(x) > Grado Q(x) </li></ul>
  16. 16. Ejemplo: Donde:
  17. 17. Caso 2: , Grado P(x) < Grado Q(x) Se hace la descomposición: Donde constantes reales.
  18. 18. Ejemplo 1: Igualando numeradores:
  19. 19. Se forma un sistema de ecuaciones lineales: Resolviendo se obtiene:
  20. 20. Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
  21. 21. Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas. Q(x) posee factores cuadráticos de la forma: Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
  22. 22. Luego: Se obtiene:
  23. 23. 5.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉRICAS <ul><li>Integrar funciones Irracionales (Radicales) </li></ul><ul><li>Utilizar identidades trigonométricas </li></ul><ul><li>Algunos Ejemplos: </li></ul>
  24. 24. Tres casos fundamentales: a: constante real. Ejemplo 1: Resolver la integral (1) (2) (3)
  25. 26. Ejemplo 2: Resolver la integral Utilizando la identidad:
  26. 27. Puesto que: =
  27. 28. Capítulo 6 INTEGRALES IMPROPIAS
  28. 29. 6.1 LÍMITES INFINITOS ¿Qué significan las siguientes expresiones? X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.) f(x): toma valores positivos muy grandes X: toma grandes f(x): se aproxima a 5
  29. 30. Gráfica de Límites Infinitos
  30. 31. Algunos Ejemplos Ejemplo 1:
  31. 32. Ejemplo 2:
  32. 33. Ejemplo 3:
  33. 34. Ejemplo 4:
  34. 35. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)
  35. 36. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO
  36. 37. CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA
  37. 38. <ul><li>INTEGRALES CONVERGENTES </li></ul><ul><li>Si existe el límite </li></ul><ul><li>INTEGRALES DIVERGENTES </li></ul><ul><li>Si limite es infinito (+/-) </li></ul><ul><li>INTEGRALES OSCILANTES </li></ul><ul><li>Si no existe limite </li></ul>
  38. 39. NÚMERO FINITO DE SINGULARIDADES Asíntota = Singularidad
  39. 40. Algunos Ejemplos Ejemplo 1: Esquematizar la región.
  40. 41. Ejemplo 2:
  41. 42. Ejemplo 3:
  42. 43. Ejemplo 4:
  43. 44. Ejemplo 5:
  44. 45. Capítulo 7 SERIES INFINITAS
  45. 46. 7.1 SUCESIONES Aplicaciones de los naturales en los reales: a: N  R n  a n Ejemplo: número e ¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!
  46. 47. Sucesiones Monótonas Ejemplo: Analizar la monotonía de la sucesión Paso 1 Paso 2  La sucesión es monótona
  47. 48. 7.2 SERIES INFINITAS Sumas parciales N-ésima suma parcial ¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límite la serie converge !!!
  48. 49. 7.3 CONVERGENCIA EJEMPLOS Serie armónica divergente Serie geométrica
  49. 50. PROPIEDADES CRITERIOS DE CV Adición: Producto por escalar:
  50. 51. Criterio del cociente
  51. 52. Criterio de la raíz
  52. 53. Criterio de la INTEGRAL
  53. 54. 7.4 SERIE DE TAYLOR Polinomio de Taylor: Residuo de Taylor: La serie de Taylor se rebautizará &quot;serie de Maclaurin&quot; para x = 0 Brook Taylor
  54. 55. ALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin
  55. 56. 7.5 SERIE DE FOURIER

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