Probabilidades

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Probabilidades

  1. 1. PROBABILIDADES
  2. 2. Los experimentos u operaciones reales o hipoteticos puedes dividirseen dos clases: determinísticos y no determinísticos.* E. DETERMINISTICO: si los resultados del experimento estacompletamente determinados y pueden describirse mediante unaformula matemática.Ejemplo:• “Soltar una piedra en el aire”; sabemos que caerá, y aun massu movimiento esta descrito por las ecuaciones de caída libre.
  3. 3. E. NO DETERMINISTICO: si los resultados de un experimento nopueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento.Ejemplo:• “Lanzar una moneda y observar la cara superior” (cara, sello)• “Lanzar un dado y observar la cara superior” (1, 2, 3, 4, 5 , 6)EXPERIMENTOS ALEATORIOSSon experimentos que tienen 3 propiedades(a) Cada experimento puede repetirse infinidad de veces sin cambiaresencialmente sus condiciones.(b) Cada experimento es no determinístico.(c) Cada experimento tiene varios resultados posibles que puedendescribirse de antemano con exactitud• Designar un delegado de un grupo de 50.
  4. 4. Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.• Al lanzar una moneda salga cara.• Al lanzar un dado se obtenga 4.* Suceso Seguro: se tiene la certeza de que se producirá porquecontiene todos los resultados posibles de la experiencia (coincide conel espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que seamenor que 7.Tipos de Suceso
  5. 5. • Suceso Imposible: se tiene la certeza de que nunca se puedepresentar, ya que no tiene elementos (es el conjunto vacío). Ejemplo: De una caja que tiene sólo fichas verdes y se quiere extraeruna ficha roja.• Suceso Contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A; essu complementario respecto al espacio muestral (A’ ). Sacar par e impar al lanzar un dado• Suceso Elemental: es el que tiene un solo resultado, es unconjunto unitario. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.• Suceso compuesto: es cualquier subconjunto del espaciomuestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro,obtener múltiplo de 3.
  6. 6. • Sucesos incompatibles: la intersección es conjunto vacío, esdecir, no pueden los dos sucesos darse al mismo tiempo. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplode 5, A y B son incompatibles.• Sucesos Compatibles: la intersección de dos sucesos contienealgún elemento. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplode 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elementalcomún.• Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B,son independientes cuando la probabilidad de que suceda A nose ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes.• Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B,son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se veafectada porque haya sucedido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición,son sucesos dependientes.
  7. 7. Llamaremos al espacio muestral al conjunto de todos los posiblesresultados de dicho experimento aleatorio, y lo denotaremos por (Ω) .1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraensucesivamente tres bolas.Ω = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.A = {(b,b,b); (n, n,n)}3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)
  8. 8. 1. Definición Clásica:La probabilidad de un evento es la razón entre el numero decasos favorables y numero de casos posibles, siempre que nadaobligue a creer que algunos de estos casos debe tenerpreferencia, lo que hace que todos sean igualmente posibles.En la definición anterior si, N(Ω):n es el numero de elementos delespacio muestral y N(A):nA es el numero de elementos del eventoA; la probabilidad del evento A denotado por “[P(A)]” es la razónde N(A) a N(Ω):
  9. 9. Observaciones:
  10. 10. Ejemplo
  11. 11. 2. Definición por frecuencia relativa
  12. 12. Observaciones
  13. 13. Ejemplo• La distribución de los miembros de los partidos políticos son:¿Cuál es la posibilidad que un miembro seleccionado aleatoriamente,(a) Sea mujer?(b) Pertenece al partido B?(c) Sea un hombre miembro del partido C?Solucion: n = total de socios = 105+100+70+45+40+15 = 375
  14. 14. Probabilidad Subjetiva• El enfoque subjetivo de una probabilidad es adecuado en casosque hay solo una oportunidad de ocurrencia del evento y ocurrirá ono ocurrirá esa sola ves.La probabilidad subjetiva se define así:• Dado un experimento determinado la probabilidad de un evento A,es el grado de creencia, asignado a la ocurrencia de este eventopor un individuo en particular, basado en toda la evidencia a sudisposición, con las siguientes exigencia:
  15. 15. AXIOMAS• La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.0 ≤ p(A) ≤ 1• La probabilidad del suceso seguro es 1.p(E) = 1• Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:p(A B) = p(A) + p(B)
  16. 16. PROPIEDADES• La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1,por tanto la probabilidad del suceso contrario es:• Probabilidad del suceso imposible es cero.Ejemplo: La probabilidad de sacar "7" en un dado equilibrado es 0• La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de susprobabilidades restándole la probabilidad de su intersección.En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienenintersección : A B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo"
  17. 17. • Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor oigual a la de éste.• Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:Ejemplo1: La probabilidad de sacar en un dado "par" o sacar "número par" es lasuma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.• Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn}entonces:
  18. 18. Sean A y B donde B є AEjemplo La distribución de los tipos de sangre en un paí-s entre los individuosde raza blanca es aproximadamente la siguiente:Tras un accidente de automóvil, un individuo de raza blanca es conducido auna clí-nica de urgencia. Se le hace un análisis de sangre para establecer elgrupo a que pertenece. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, o B oAB ?
  19. 19. Hay una probabilidad de 0.55 de que el paciente tenga uno de los tresgrupos sanguineos mencionados.
  20. 20. SUB-EVENTOS:si ocurre el evento A, entonces ocurre el evento BUNION DE EVENTOSsi ocurre el evento A ó B ó ambos. En símbolosA U BINTERSECCIONEs decir, ambos eventos A y B ocurren (la ocurrenciaconjunta de A y B).AB = A n B
  21. 21. EJEMPLO Los complementos de los eventos definidos en el ejemplo 3, son -respectivamente:
  22. 22. • De la definición de probabilidad condicional. Obtenemos unaformula para hallar la probabilidad de la intersección ( o producto)de los eventos A y B esto es:• Multiplicando ambos miembros de la expresión (1) por P[B] y porla expresión (2), obtenemos las ecuaciones:
  23. 23. • Este resultado en teoría de probabilidad, se denomina REGLA DE LAMULTIPLICACION o probabilidad de la intersección; expresa laprobabilidad de que ocurra los eventos Ay B es igual a la probabilidad deocurrencia de uno de ellos multiplicado por la probabilidad condicionalque ocurra el segundo, dado que el primero ha ocurrido.}
  24. 24. EJEMPLO En un laboratorio hay tres jaulas En la jaula I hay dos conejospardos y tres blancos, la jaula II tiene 4 conejos pardos y dos blancos y lajaula III contiene b conejos pardos y 5 blancos. Se selecciona al azar una jaulay se saca un conejo al azar de esta jaula. ¿Cuál es la probabilidad que elconejo escogido sea blanco?

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