Conjunto3

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
14 de maio de 2013
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB

INTRODUÇÃO
Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:
Expressões polinomiais;
Expressões racionais;
Radiciação.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o
assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude
antes a teoria no Nos livros indicados na Bibliograﬁa.
BOM ESTUDO!

IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Qaundo temos soma ou diferença de termos semelhantes,
podemos usar a propriedade distributiva. Assim, temos as
identidades:
19x3
− 34x3
= (19 − 34) · x3
= −15x3
5x9
+ 12x9
= (5 + 12) · x9
= 17x9
4x5
y6
− 6x5
y6
= (4 − 6) · x5
y6
= −2x5
y6
O ideal é evitar a igualdade internediária nos cálculos acima,
ou seja, escrever diretamente o último membro.

As identidades a seguir envolvem termos não-semelhantes. O
cuidado a ser tomado é considerar os termos semelhantes, e
efetuar as operações sobre eles.
1 (6x3+2x2−3x +1)+(2x3−4x2+2x −2) = 8x3−2x2−x −1.
2 (3x4 − 2x2 + x − 1) + (x4 − x3 + 5x − 12) =
4x4 − x3 − 2x2 + 6x − 13.
3 (x5 − 3x2 + 2) − (4x5 + x3 − 4x2 + 2) =
x5 − 3x2 + 2 − 4x5 − x3 + 4x2 − 2 = −3x5 − x3 + x2.
4 23x5 − 3x2 + 7y − y3 + 3 + 9y − 4y3 + x5 = 23x5 + x5 −
3x2 + 7y + 9y − y3 − 4y3 + 3 = 24x5 − 3x2 + 16y − 5y3 + 3.

EXERCÍCIOS: Simpliﬁque a expressão, em cada caso:
1 (5x − 3x2) + (4 − 5x) − (6x2 − 4x − 5) + (4 − 4x)
2 −6(x − 1 + x2) − (5x2 + x − 2) − 6
3 8x2 − (10 − 5x + x2) − 3[x − (2 + x2)]
4 4u + 3[u − (2v + 3u) − 3v] − 6v

IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO
Exemplos:
3t2
(4t3
−12t+3) = 3t2
·4t3
+3t2
·(−12t)+3t2
·3 = 12t5
−36t3
+9t2
(4a + b)(9a − 7b + 2) = 4a · (9a − 7b + 2) + b · (9a − 7b + 2) =
= 4a · 9a + 4a · (−7b) + 4a · 2 + b · 9a + b · (−7b) + b · 2 =
= 36a2
− 28ab + 8a + 9ab − 7b2
+ 2b =
= 36a2
− 19ab − 7b2
+ 8a + 2b.

Você pode, se preferir, dispor os cálculos como uma
multiplicação entre números, como segue:
3t2
·(4t3
−12t+3) = 3t2
·4t3
+3t2
·(−12t)+3t2
·3 = 12t5
−36t3
+9t2
4t3 − 12t + 3
3t2
12t5 − 36t3 + 9t2

(4a + b) · (9a − 7b + 2)
9a − 7b + 2
4a + b
36a2 − 28ab + 8a
9ab − 7b2 + 2b
36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2b

IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
O teorema que fala sobre a divisão de inteiros positivos é o
seguinte:
Dados os inteiros positivos a e b, existe um único par ordenado,
(q, r) de núumeros inteiros tal que a = bq + r, com 0 r < b.
q e r são chamados quociente e resto, respectivamente, da
divisão euclidiana de a por b. Neste contexto, a e b são
chamados dividendo e divisor, respectivamente.
Exemplo:
Se dividirmos 23 por 4 obteremos quociente 5, e resto 3, pois
23 = 4 · 5 + 3. Da igualdade anterior resulta
23
4
= 5 +
3
4

Em geral,
dividendo
divisor
= quociente +
resto
divisor
Existe um teorema análogo que diz respeito à divisão de uma
expressão polinomial por outra.
Exemplo: 2x3 − 3x − 2 tem grau 3, x4 − 1 tem grau 4. Uma
expressão polinomial constante, isto é, formada apenas pelo
termo constante, tem grau 0.
Existe um algoritmo para efetuar a divisão de duas expressões
polinomiais, análogo ao da divisão de números.

Exemplo:
8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 2x2 + x − 3
−8x4 − 4x3 + 12x2 4x2 − 3x + 7
0 − 6x3 + 11x2 + 16x − 21
6x3 + 3x2 − 9x
0 14x2 + 7x − 21
− 14x2 − 7x + 21
0
De acordo com o resultado acima, podemos escrever a
identidade em R
8x4
− 2x3
− x2
+ 16x − 21 = (2x2
+ x − 3)(4x2
− 3x + 7) + 0

Exemplo:
5x3 + 0x2 − 3x + 4 x2 − x + 1
−5x3 + 5x2 − 5x 5x + 5
0 + 5x2 − 8x + 4
− 5x2 + 5x − 5
0 − 3x − 1
Como a expressão obtida −3x − 1 tem grau 1, menor que o
grau 2 do divisor x2 − x + 1, devemos parar aqui. Portanto, o
quociente é 5x + 5 e o resto é −3x − 1. Então,
5x3 − 3x + 4
x2 − x + 1
= (5x + 5) +
−3x − 1
x2 − x + 1

EXERCÍCIOS
Divida (isto é, dê o quociente e o resto)
1 4x2 − 3x + 6 por x + 2
2 x4 + x3 + 2x + 15 por 2x2 − 6x + 4
3 64x6 − 16x3 + 1 por 4x2 − 4x + 1
4 11x4 + 3x5 + 7x + 9 − 15x2 por x2 + 2x − 1
5 x3 − 3 por x2 + x − 3

EXPRESSÕES RACIONAIS
Exemplo: Efetue 2
x2−1
− 5x4
x2+2x+1
Inicialmente, tentamos fatorar os denominadores:
x2
− 1 = (x − 1)(x + 1) x2
+ 2x + 1 = (x + 1)2
Daí,
2
x2 − 1
−
5x4
x2 + 2x + 1
=
2(x + 1)
(x − 1)(x + 1)2
−
5x4(x − 1)
(x − 1)(x + 1)2
=
=
2(x + 1) − 5x4(x − 1)
(x − 1)(x + 1)2
=
2x + 2 − 5x5 + 5x4
(x − 1)(x + 1)2
.

EXPRESSÕES RACIONAIS
Exemplos: Efetue 2
x + 1
x2 − x
x3−2x2 + 3
x2−2x
Fatorando denominadores a expressão ﬁca:
2
x + 1
x2 − x
x2(x−2)
+ 3
x(x−2)
O mmc dos denominadores é: x2(x − 2). Portanto, temos que
2
x
+
1
x2
−
x
x2(x − 2)
+
3
x(x − 2)
=
=
2x(x − 2)
x2(x − 2)
+
1(x − 2)
x2(x − 2)
−
x
x2(x − 2)
+
3x
x2(x − 2)
=
=
2x2 − 4x
x2(x − 2)
+
x − 2
x2(x − 2)
−
x
x2(x − 2)
+
3x
x2(x − 2)
=
=
2x2 − 4x + x − 2 − x + 3x
x2(x − 2)
=
2x2 − x − 2
x2(x − 2)
.

EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE
Exemplos:
1
2x − 1
x2 + 1
·
x
x + 1
=
(2x − 1)x
(x2 + 1)(x + 1)
2
2x − 1
x2 + 1
x
x + 1
=
2x − 1
x2 + 1
·
x + 1
x
=
(2x − 1)(x + 1)
(x2 + 1)x
OBSERVAÇÃO: A identidade em 1 é em R − {1}, e a identidade
em 2 é em R − {0}.

Vamos aproveitar a ocasião para exercitarmos mais em
fatoração. Exemplo:Efetue e simpliﬁque
x2 − 16
x2 + 2x + 1
·
x + 1
x2 − 5x + 4
=
=
(x − 4)::::::
(x + 4)
(x + 1)2
:::::::
·
x + 1:::::
(x − 1)(x − 4)::::::
=
x + 4
(x + 1)(x − 1)

Exemplo: Efetue e simpliﬁque
x3 − 1
x2 + 1
x2 − 1
x4 + 2x2 + 1
=
x3 − 1
x2 + 1
·
x4 + 2x2 + 1
x2 − 1
=
(x − 1)(x2 + x + 1)
x2 + 1
·
(x2 + 1)2
(x − 1)(x + 1)
=
(x2 + x + 1)(x2 + 1)
x + 1

EXERCÍCIOS
Efetue e simpliﬁque:
1
x − 5
x2 + 5x
·
x2
25 − 5x
2
4x − 8
x + 7
3x2 − 12
2x2 − 98
3
x
x + 3
+
x2
x2 − 9
4
2
x − 1
−
3
x + 1
+
5 − x
1 − x2
5
2x − 6
x2 − x − 2
−
x + 2
x2 + 4x + 3
+
+
x − 1
x2 + x − 6
6
x
x2 − 4
−
2
x2 − 5x + 6

RADICIAÇÃO
Propriedades
Valem as seguintes propriedades, para n, p, m inteiros, n > 1,
m > 1:
1
n
√
ab = n
√
a n
√
b
2 n
a
b
=
n
√
a
n
√
b
(b = 0)
3 ( n
√
a)m = n
√
am
4
p n
√
a = pn
√
a
Exemplos:
1 3 7
√
5 + 2 7
√
5 − 7
√
5 = (3 + 2 − 1) 7
√
5 = 4 7
√
5.
2
5
√
4 · 5
√
6 = 5
√
4 · 6 =
5
√
24.
3
7
√
36
7
√
6
= 7 36
6
= 7
√
6.
4 ( 9
√
8)2 =
9
√
82 = 9
√
64.
5
3 4
√
2 =
12
√
2.

RADICIAÇÃO
ATENÇÃO. Muitos gostariam de acrescentar às propriedades
acima o seguinte:
n
√
a + b = n
√
a +
n
√
b
Veja:√
9 + 16 =
√
25 = 5 e
√
9 = 3,
√
16 = 4. Claramente,√
9 + 16 =
√
9 +
√
16.
3
√
1 +
3
√
1 = 1 + 1 = 2 e 3
√
1 + 1 =
3
√
2. Claramente 2 =
3
√
2, ou
seja,
3
√
1 +
3
√
1 = 3
√
1 + 1.

RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO
Para facilitar cálculos, às vezes quer-se eliminar radicais que
aparecem no denominador de uma fração. Esta operação é
conhecida como RACIONALIZAÇÃO.
Para racionalizar 1/
√
2, multiplicamos numerador e
denominador por
√
2:
1
√
2
=
1
√
2
·
√
2
√
2
=
√
2
(
√
2)2
=
√
2
2

RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO
Para racionalizar 1/(
√
11 +
√
5), multiplicamos numerador
e denominador por 1/(
√
11 −
√
5), chamado de conjugado
de 1/(
√
11 +
√
5). Lembrando que
a2 − b2 = (a − b)(a + b), vem:
1
√
11 +
√
5
=
1
√
11 +
√
5
·
√
11 −
√
5
√
11 −
√
5
=
√
11 −
√
5
(
√
11)2 − (
√
5)2
=
=
√
11 −
√
5
11 − 5
=
√
11 −
√
5
6
.

RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Vamos deﬁnir ar como sendo q
√
ap, ou seja,
a
p
q =
q
√
ap
onde a > 0 é um número real, e r um racional. Destacamos o
caso particular em que r = 1/n, n > 1, inteiro:
a
1
n = n
√
a
Exemplos: 27/8 =
8
√
27, 31/5 = 5
√
3, 74/20 = 71/5 = 5
√
7.

RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Exemplos:
4
√
x · 4x · 5
√
x · x−2/3 = x1/4 · 4x · x1/5 · x−2/3 =
4x(1/4+1+1/5−2/3) = 4x47/60
9
√
x2 + 5
7
√
x3
5
√
x4
=
x2/9 + 5x3/7
x4/5
=
x2/9
x4/5
+
5x3/7
x4/5
=
x(2/9−4/5) + 5x(3/7−4/5) = x(−26/45) + 5x(−13/35)
(
4
√
2)1/8 = (21/4)1/8 = 2(1/4)·(1/8) = 21/32 =
32
√
2
( 8
√
x · 5
y2)40 = (x1/8 · y2/5)40 = x(1/8)·40 · y(2/5)·40 =
x40/8 · y80/5 = x5 · y16

EXERCÍCIOS
Simpliﬁque:
1 x 3
√
x + 4x4/3 − 5
3
√
x4
2
3
√
x2 ·
√
x3 − 2x2 6
√
x
6
√
x13
3
5
√
x · x2 · x1/3 − (
15
√
x2)2 · x
15
√
x19
4 ( 3
√
5 · a2/3)9
5
4
3 3
√
3
3
√
3

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,
funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.
Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.
Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - São
Paulo: MAKRON Books, 1999.

OBSERVAÇÕES:
Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados
nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no
fórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.
O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo
o curso. Portanto aproveitem este material!
BOM ESTUDO!

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