SlideShare a Scribd company logo
1 of 54
Download to read offline
APONTAMENTOS



MATEMÁTICA I




      ! "##$ "##%
&           '       (   )


*     +,              )




          !   "       #               $

          %   "               &

'                                                          (
                                  )*
      +
      +


    - . !
       /          0./
,
- .                       $                      - .
'                 *       *                                / - .
                                                       0       1
      2

                  3/ 4 2 + %45        3/ - 2 .
          !        /                   / - .
          %       "/π !               "/ - .
1       ! 0       - .
                          0 /
6 7
*                     *
        8        &            8 / 9 ∈ :, ; <

                                                      !


        2!        1       0     3   ! 0       - .
                                              0 /
6 7
6                &            68 / 8= / 9 - . ∈ :,        ∈ 8*<


    2-
    4           ! 0       - .
                          0 /
6 7                                           -   .           *                         / - .

            +

                               "                  !#

6                                     *           *       >

    "                                                                 -
                                          .                                         *



                                                                      $   !                     !

    ' *                                           $                           ? *




                                                                  $       !                     !
                                                                                            !
*             (        +,                              +,

                                                                                                           !
@7                                        *                  - ./! +%                         - ./             A

                                                                            !                 !
          5                 - . A - . / -!                       %. A -         A . /             A! +!

                                                                            !                     !
     -2 . 5                 - . + - . / -!                       %. -           A . /                 A! +B

                                                                        !                         %        !
&2 ! 5
    0                       - . - .               / -!           %. -       A .         / !           +%       A! +%

                                - . ! −%
60                 5                =
                                      !
                                - .     +


    0./                78
"*                              (             )( ) = ( ( )) )
              &        (            ))             7                                                  &
    - .                     &


                                    9 :                            9 9 ::

                                              !


*             +,

     - ./
8         *
    - - .. /                                                &
    - - .. /                                                &

                                                       %&
"*                                                          -0                    *1.                  9 :;        9 :
                                                                                                                         %
C                         7                                            ?                   ?
          &



                               9 :                         9 9 :: ;         9 :;   9 :

      0           *                 * 1

                                     '

                                *
    34 8 !
     2-                                    *                                       D       /

                                                       %&
                                "


    < ! 32= !
           !                    2         . ! - .
                                           /  0 /                     2 !
                                                                       8     9 :
              @                  - .
      !       C
      %       ,
      B       E               - ./

                                          !                     !

F     *               $                            *        7          )               *
                                               *
' *                                  (                 $                     ? *
*

                                         ! $           !




                                                                                               B
*       '                  +,

    @7                         *                  - ./! A


                                                                          /! A
                                                   H
                                                   I
         ,                 ? *                     4
                                                   B
                                                   %
                                                   !

                                                   5
                                              !        5         ! % B 4


    6                                                      - .                                !>
        ? *            ?        - .                                4                               !
                                      *                *                                  )

                                              !                       D        -G !.
                                          %       !4             !        ! 54 ! 55 ! 555
                   - ./! A                H       I              4!        4   4 55! 4 555!

              J    *               - .                                 4

                                                                       - .=4
                                                           →!+

              !                               !                       D           -K !.
                                                    4             L         L4   LLL LLLL
                  *- . / ! A              %        B             BM        B L B LLM B LLLM

              J    *               - .                                 4

                                                                       - .=4
                                                           →! −



                                →!        - .=               → ! (! +       )=4
                                                                                                       4
- . ! =
       /           ! 0                  - . -
                                        0 /                   .
8             *                - .                  (                             - .
                               (

                                              →        - .=(


 >8 ?     ! 0 =
     →    - .=(                $                         - .=(                   - .=(
                                                  → +                     → −

                           )            $ *

      .    - .=                              →5    - .    !


     +*   ,- .=                    #         → ,- .      !
                       %

     -*    - .=            #                 →5 - . / A N
                  !


     B.   .) * = % %                   ≥               → +∞ . - . / %

  - ./
F    (                                 (                                   ? *           / - .
                                              - . /AN             N
                                       → +
                                              - . /AN             N
                                   → −


  - ./
F    ( (                       ;        (                                       ? *
   / - .                               → +∞ - . /
                                       → −∞ - . /




     /                                             0                  1
                                                                                          I
3 80 = !8
     2    @                        7 2. 8
                                       A               =        8

@           2       O
     →    - .               →          - .

          → 2 = 2

!         →           =

%         → [2        - .] = 2             →         - .

B         →     [   - . ± - .] =               →           - . ±    →     - .

4         →     [   - . - .] = [               →       - . ][       →   - .]

                    - .                →       - .
I         →             =                                       →   - . ≠5
                    - .                →       - .

H         →     [   - .]       =   [       →         - .]

M         →           - .=                 →       - . )                     →   - . 3 ( # 45*
                                                                                          (



                           !

      *             →! 4 /

                               !
      .             →! M           /

                            !
      .             →B -           %! + ./

                               !
                                   +B +
      .             → −!                           /
                                    %!

                                                                                            H
*         '                                  +,

    - ./
@7                                           P    Q   7       - .           *       7          &

      )                    P      Q "*                    &

          . - .            *             3
      !.          →         - .

      %.          →         - .= -       .

@     )           &                                                 P   Q       )          &
              P       Q

'                                                 *       )         &
? *




                          / - .




           6      !
                                                  6   !                         3   &# +       -



                                  '



                                                                                               M
*         +,           &

    0. 3 <
      /   2                B                                5

               ; 9 :;                                               !

               5# &# +# -# #
                          7                   %&#               O
                                                                    *                    $
                   %                              / ?               $
                                                  /                           R
               8       &               / :,

    0 . ! 3 0# ;
       /   2                             "#                 $
                           →       ? *        )                 (
    0. ! 3 0
      /   2                        ;     "#             $
          ; 9 :;
      *                    3   5         3    &

                                                                            ? *    )
           /
          3                            ?      %
                                                                                       -5# .




                           /! A                                         /     A!




                                                                                               L
2     . ! C . ! 2
        /       0 /                                            C 7 88
                                                                0            72! 8 7        8 !
2!    ! 8 9 D : 9 "D ":




                                                                           ;∆


                                                           ;∆
          -5   .




                               8                   ! %
      = 5                  =               =
                               8                   ! %
     2!        !           23          5
 6 (
                                               /           A           7

           !   /       !   A    ⇔          / !+                !

               /           A    ⇔          /           +
                                                                                 /   A

                                                               *       0                     ?       1

 8                              (                                                        7 - # .
           -       .                   ? )                                           )
                                   %
                           =                   ⇔           B       ;   9 B   :
                                   %

                                                   *           0                1


                                                                                                 5
0. 7=
      /      = 3 0" - 0 ! "E 2
              ! 2             !      .;   " %
                                           #    &   $

    ; 9 :;        →     ? *      )
                         "
*              ; 9 :;        F   F
Função quadrática y = ax2 + bx + c (a > 0)




                                             !
8 3 2 = 27 8
       !  2              . ! 0
                          /             - . C !4
                                        0 / 0 2      5
                         "
          9 :;               F    F '          ( $




                     "
          9 :;           F        F '      ) $




      -   5.     -   +       5.

                                           !


                                                         %
!
     "                                         − ±           −B
         F       F ;# ⇔                    =                           *                 +
                                                     !
     7
                               !                                           !
                 − −               −B                          − +             −B
             =                                           !=
                           !                                           !
     !                             *           -                                     *               .


                       !                                                                     *
                                   "
*                *+                    F       F         9 ,      :9       :


"*                                         :,            ,G       )#


                     9 −                   −             )        )
                               !               !

         &             *                                 ) 8 / :,

                 &   )                 8= /          −            +∞            G5
                                                         !

                                       8= /        −∞         −                     K5
                                                                  !




                                                                                                 B
0 . 87=
   A          8 ! 3 0H"
                   2

0 . 8!
   A      7   *+    9 ≥ "D   2:




                                  8 / :,
                                  8= / :,5A




                                  8 / :,
                                  8= / :,




                                              4
02 8 7 = I   8

 -




 2    F          $   ?
                         I
*     +,

@7        - .   /- .                $
                                 - .
" *                      - .=                   (                       ".
                                /- .

      8 / 9 ∈ :, /- . ≠ 5<

      E                      - .=                   - - ./     /- . / - % .      ≥
                                    (   −   )




                - .=                                         - .=
                       + 5                                          (   − 5 )!




                                                                                     H
*




                       +!
               - .=
                      !+ !




               !
                   + +
        - .=
                   +




*
                             M
+,

@7         - .           $

" *                              (
                           - .= $ - .   )   = - . S$      (                 /

      8 / :,         $ *     &

      8 / 9 ∈ :,           - . ≥ 5<   $ *




                                            = % +L




                                             =


                                                       = ! −L




      :              (
                 - .= %% +
                           4 %
                               )
                            = (% + )4 = (% + )4 S %


                                                              8 / :,
                                                              8= / :,




                                                                        L
+,        '             J'

F                                      #?       -   .   -   .

8 *
,          ) #?
      * R                          )
                 ?
                                           ≈ 4H %


    0. 8
      /


@7              #?        #?       PC= CQ
                                       T
@7 α                               #?
      #?              )

U                *             8
α )



                 CV C
           α=         =   =
                    C                       (


                / - &         ?        )    .

            8       α ;



                                                                !5
8 *
C         *            *                *                      O
                                                   *
                  :,                P         Q
                                            - ./       -   /       -   ..

' *           *

              /




,                 ? *          P5 !πQ




C                  *

W     8       &   :,
W     6            &       P    Q
                                                                            !
"?

              L5            I5           B4         %5            5         %5          B4           I5       L5
                  X         X             X         X                        X           X            X        X
              −         −            −          −                 5
                  !         %             B         I                        I           B            %        !
                             %            !                                              !            %
                        −            −             −              5
                            !            !             !                    !           !            !


W     Y                 / Zπ ,                -Zπ. / 5 Z ∈ Y
W     6                          [        &                :,                       →            =

W     C                     - ./                                       )&
W     C                              - A Z!π. /                  - .        *                    )        $
                                                                                         &           &        !π
    0. 2 8
      /

8 *
"*                          ) 7
      &                      7
"*                    ) 7
                      X X        X %X                          X      X
                  −                           ;         −        + ZX   + ZX             Z∈Y
                      ! !        ! !                           !      !

8     ?                                                    *                    *

                      X X
          &       −                            P           Q
                      ! !




                                                                28                  R        0            .         ;1
                                                                                                                   !!
X X
                                                                            −
                                          %&
       *                                 &          P        Q
                                                                                ! !



' *         *


                                                                                      /




U                               ;8           ⇔          ; 28




    0./         *8

@7              #?                   #?             PC= CQ
                                                        T
@7 α                                                    #?
      #?                   )

U                    *                         *8
α )


                         CV                                           7
           α=               =        =
                         C                                       (

                 / - &                   ?          )        .       8α ;
                                                                                          !%
8 *
C         *               *                   *                     O
                                                    *

                  :,                   P       Q
                                           *- . /       -   /   -       ..

' *           *

                                                            %
                  /




,                 ? *             P5 !πQ




C                     *

W     8       &       :,
W     6               &       P    Q

                                                                             !B
"?

                  5        %5          B4             I5        L5     !5          %4        45     M5
                           X           X              X          X     !           %         4
                  5                                                      X           X         X   π
                           I           B              %          !     %           B         I
                            %          !                                            !         %
                                                                 5     −
                           !          !               !                    !       !         !


                                X                         X
W     Y                    /      A Zπ ,              -     A Zπ. / 5 Z ∈ Y
                                !                         !
W     6                          [         &               :,                  →         =

W     C                         - ./                              )
W     C                               - A Z!π. /                - .    *                     )     $
                                                                                   &         &     !π


    0. 2
      /                    *8

8 *
"*                               ) 7
              &                   7
"*                         ) 7
                  [− X 5] [5 X]        ;       [ ZX       X + ZX ]    Z∈Y

8     ?                                                    *                   *

          &       [5 π ]                   P      Q




                                                                                                        !4
2    8           R   0       .   %        ;1

    *                         &
                               %&
                                              P       Q             [5 X]



' *           *


                                                                                    /




U                             ;       8           ⇔       ; 2   8



E$        *                               ?
                          !                       !
                                  +                   =



    0./           3
U                     *                               3
α )

                  C CV T U U
        ?α =           = =   =
                    CV     U

                  /           3α ; U
                                                                                                !I
8 *
"*                   ?         ) *

                     X
          :, ]         + ZX                :,      Z∈Y
                     !

                                              *- . / ? /               -    ? / ?-         ..


' *              *               ?

                     / ?




C                          *           ?

                                  X
W     8      &           :, ]       + ZX
                                  !
W     6                    &      :,
W     Y                        / Zπ , ? -Zπ. / 5 Z ∈ Y
W     6                           [        &          :,       &                       &
                                                                       X
                                           →    ? = ?          ∀   ≠     + ZX
                                                                       !
W     C                    ?- ./       ?- .       ?    )&
W     C                           ? - A Zπ. / ? - .        *           ?)       $
                                                                                     X
                                                               &       &    π, ∀ ≠     + ZX
                                                                                     !
                                                                                         !H
0. 2
      /                       3

8 *
"*                  ?         ) 7
                        X X                     X          X
                    −               ;       −     + ZX       + ZX          Z∈Y
                        ! !                     !          !

8       ?                                              *             ?         *

                        X X
            &       −                            :,
                        ! !
                                                  ?

                                                           2 3             R       0   .        ;1

                                                                     X X
                                                              −
                                   %&
    *                             &         :,
                                                                     ! !
                                                                      ?

' *             *                       ?




                                                                 /         ?




U                                 ;3 ⇔                ; 2 3



                                                                                           !M
0./            *       3

8 *
"*                         ?        ) *

          :, ] { ZX}                        :,           Z∈Y

                                            *- . /          ? /            =                  -       .
                                                                               ?

' *            *                        ?

           /           ?                                               %




C                          *                     ?
W     8        &           :, ] { ZX}
W     6                    &        :,
                                   X                       X
W     Y                        /     + ZX ,              ?- + ZX ./5               Z∈Y
                                   !                       !
W     6                             [                &        :,           &                      &
                                                 →          ? =        ?       ∀       ≠ Zπ

W     C                        ?- ./                 ?- .          ?       )&
W     C                            ? - A Zπ. / ? - .               *                   ?)         $
                                                                                                          X
                                                                           &       &        π, ∀      ≠     + ZX
                                                                                                          !
                                                                                                             !L
0. 2
      /              *       3

8 *
"*              ?        ) 7
            ]5 X [       ;    ]5+   ZX   X + ZX [       Z∈Y

8       ?                                 *                    ?           *

            &    ]5 X [                  :,
                                              ?

                                                  2    3           R
                                                                   0           .   %   ;1

    *                        &
                              %&
                                    :,                ]5 X [
                                                               ?

' *         *                       ?




                                                                       /           ?




U                        ;         3 ⇔    ; 2           3



                                                                                       %5
+,            K&                              '

 0. >
   / 7                  =

6(        *                          D*
          :,                :,
                                                   ∈ :,
                                                       A
                                     - ./

           -@       /   *        )                             .


 2-
 4        ! - . >
            0 / 7                    =


      G
                                            /              →   *

                                                                          = +∞
                                                                   → +∞

                                                                          = 5
                                                                   → −∞




                                            5< K
               /
                                                           →   *

                                                                          = 5
                                                                   → +∞

                                                                          = +∞
                                                                   → −∞


                                                                                %
=                   /!
    !




        B


            %



                !




                         %!
= ∈ :, ] 9 <
                                                                               A
&2 7 ! ! 8 3 2 8 ! - . >
    2              0 / 7                                       D

   W   8      &                    :,
                                       A
   W   6                  &        :,
   W   Y                                           -        ≠ 5 ∀ ∈:, .
   W   6                           )           &
   W   : 7                         ) 7


                                                                       = ∈ :, ] 9 <
                                                                                   A
&2 7 ! ! 8 7 2 I 8 ! - . >
    2           2    0 / 7                                              D

                                                              −
   W             /
                          A
                                                       L           =


   L         =        %
                                                       L     ( )       =


   L             /-       .                            W          =


 8 7 2 0 2! - . >
        =   0 / 7                                          = 9> ;
                                                            5  :               9 ; :

       :,                     :,
                                           %           !

            / ! H M!M M!MB4L54;                        O           2


                     +         /
            →∞

                                   - .
                       2
                     +                                 →
                                               2
                                           /                               ?
            →∞         - .

                                   - .+                           O                    - . ^ ±∞
                                                                                                  %%
&2 7 ! ! 8 ! - .
    2        0 /
     L       U           *                           G

     W                       =
             →5


     W                       = +∞           - 2 ∈ :,.
             → +∞    2


0 . =3 2
   /    1

                                            ∈ :, ] 9 < ) *
                                                 A
"*                       - ./
                 A
             :,                  :,

                                      ? - .

         (           !

         ? - . → R           0                            1

                             /       ? - . ⇔         /



     0                           1      #                #;   $   ;
                                                     =



     -




                                                                      %B
2 - 8 ! - . =3 2
  4      0 /     1


    G
                                                           →       *
                                              /    ? - .
                                                                                ? - .= +∞
                                                                       → +∞

                  9 D#:                                                         ? - . = −∞
                                                                            +
                                                                       →5




                                              5K     K
                                                           →       *

                                                                                ? - . = −∞
                                                                   → +∞

                                                                                ? - . = +∞
                                                                            +
                                                                       →5



                              /   ? - .


&2 7 ! ! 8 3 2 8 ! - . =3 9 :
    2              0 /
                                      A
   W    8     &                   :,
   W    6                 &       :,
                                                               5
   W    Y                          /      -   ? - .35      /       .
   W    6                         )       &

   W    : 7                       ) 7
                                                                                        %4
-
                                                         /   ?!- .
                                     /   ? ! - A 5. !



                                                                         /    ?B- .




&2 7 ! ! 8 7 2 I 8 ! 8 =3 2
    2           2                                   8

                                     ? - .> ? - . # ∀          T ∈ :,         ∀ ∈ :, ] 9 <
                                                                         A            A
      W      ? -         . /

                                                ? - . D ∀      T ∈ :,         ∀   ∈ :, ] 9 <
                                                                         A            A
      L      ?               /       ? - . %

                         Z
                                                 # ∀Z ∈ :, ∀     ∈ :,          ∀ ∈ :, ] 9 <
                                                                         A            A
      L      ?       -       . /Z ? - .
                                                         ∀ ∈ :,              ∀ # ∈ :, ] 9 <
                                                                     A                A
      W      ? - . /              ? - .     ? - .

    8 7 2 0 2! - . =3 2
           =   0 /     1                            5 9> ; =3 9 : 9 ; :
                                                        :

                                 A
                             :,                :,

                                                 ? - .

     ? - .       ?

 2               =3 9 : ; = 9 : ; =39 :

                                     '
                                                                                          %I
+


        = ! 0       2     8              0 34
                                            2-            B       > !       2 ./       <!
6                   ? *              *             - .                  ?
? *                                          _5-   5     5.   _-            .




                     @)
                                              − 5             - . − - 5.
                    = ! 2          2 /            =
                                              − 5                 − 5

           /    5   A∆
                                             - 5 + ∆ . − - 5.   ∆
                    = ! 2          2 /                        =   = ?ϕ
                                                    ∆           ∆

"                   "#    3              *               / - .              5      /   5   A∆ )
    *                                                         *



                                               ∆              - 5 + ∆ . − - 5.
           '> !           2 ./       < /
                                      !          =
                                               ∆                     ∆

C          4                  "#    3          5                        2

                                                                                             %H
22 . 3
                  7   /                 <2           ! !2 ! ! 0                - .
                                                                               0 /
6                 ? *                       ,                   #                      5

           ∆ →5                              ?                             @       ?
? *        - .              _5-     5   5.




      7           ∆ →5        _-                 . → _5-   5   5.         ϕ →α
                      @) ?α
                                        − 5        - 5 + ∆ . − - 5.
?α /              ?ϕ =                      =                       =                           V- 5.
          ∆ →5              → 5         − 5   ∆ →5        ∆


                                                                    - .        /   5       5   ∈8
5                     @ /   =- 5.
                                                 - 5 + ∆ . − - 5.
4                "#          6          /                         =                    V- 5.
                                            ∆ →5        ∆

           4                "#                   6     5                       4


                                                                                                    %M
- . B!2 ! ! 0
       /                                   - .
                                           0 /
@7      / - .           *                                          *                            Q       P
"                      - .                      -                            .                ∈ Q       P )
                                          - +∆ .− - .
    *                       V- . =                                           -                      .
                                     ∆ →5     ∆


"                 *              =- . )             $          *
                                #           *           - .


                                                                         V
A       '                                 =- .                 =                       8- .


        -                            "#

    3 8! !2 .
     2       /

        - . / 6 -6                    .                   =- . / 5
        - ./6                                            =- . / 6
        - ./6 - .                                        =- . / 6 =- .

        - ./ α                                           =- . / α α −
                       α                                                               α−1
        - . / P - .Q                                     - . / α =- .P - .Q
        - ./ - .± - .                                    B . / C- . ± C- .
                                                         -
        - ./ - . - .                                     B . / C- . - . A - . C- .
                                                         -
                 - .                                                   V- . - . − V- . - .
        - ./                                             B./
                                                         -
                 - .                                                             [   - .] !
         / - .         / - .
                                                         =/        /                   /
            +*

        -
                                                                                                        %L
2 ! 8 ! - . 8 23
        0 A                             <2 8
                              7:
                              9                                    8 : D ; 9 :
                                                                   9
 -      .= /                                   -      .= / =
 -      .= /                                   -      .= /         =
                                                                   V
 - ? .= /                 =                    - ? .= /
              (      )!             !                              !

                                                                            V
 -   ? .= /                                    -   ? .= /
                          !                                                 !

                                                                                V
 -            .= /                             -            .= /
                          − !                                                   − !
                                                                                    V
 -            .= /                             -            .= /
                              − !                                                − !
                                                                            V
 -     ? .= /                                  -      ? .= /
                     + !                                               + !
                                                                                    V
 -          ? .= /                             -        ? .= /
                              + !                                               + !


2 !8! - . 8 >
      0 A    7                           = =3 2
                      M 9 :N
                           O                          M 9 :N D ; 9 : D ; 9 :
                                                           O
 -   .= /                                      -     .= / =
 -   .= /                                      -   .= / =
                                               -   .= /                 =A =
                                                                        V
 - ?     .= /                                  - ?      .= /
                     ?                                                 ?

                                                               V
 -     .= /                                    -     .= /

                                                                                        B5
8 *                +*                *
F     *                 - .                      &                    /    5               =- 5.           )
                                         - . − - 5.
*                  )                                             )*
                               → 5           − 5

U
@          *                   / - .) *                                /       5                   )       &


@          *                    )        &                   /   5

               *

      &                                      )                   )                 *          )        &
                       /   5                             (                 *




    &* E                           &                         *


                                                         "*               - .          ) *
                                                                  /                    /                   )
                                                                 &




    +* E                       &                     *
      "*                   - ./| |)              &                /5                       ) *



                                                                                                               B
b                                   - .)        &
                                     3 ) *3 | |
                                                                - .=
                                                        →5               →5
                                     a
                                                                   / | 5 | / 5 / -5.
                      - +∆ .− - .
        V- . =
                 ∆ →5     ∆
                          5+∆ − 5          ∆
    ∆ G5                          =          =
                 ∆ →5 +      ∆      ∆ →5 + ∆

                          5+∆ − 5          ∆
    ∆ K5                          =          =
                 ∆ →5 −      ∆      ∆ →5 − ∆



                                         ∆   ?    - .                          /5

    [       &                   *                       ?           ? *
                    /5




    2 !8! 2!                  80 2 2
                                7

"                    `              =- .                                       #
                                    ? *      *          ?          - . "               !`
            ==- .                                           #
            ? *           *                       `             =- . "     ?




                                                                                       B!
A           '

`                   =- . /                     =/                        / - .

                                                              - .         ! - .
!`                  ==- . / - =- . .= /                                 =            ==/ - =.=
                                                                            !
                                                              ! - .   % - .
%`                  ===- . / - ==- . .= /                           =                === / - ==.=
                                                                !       %
;
                                                                           − - .     - .
                                                                                 =
                         - .               -   .
    )                          - ./-               - . .= /
                                                                            −




0. 8
  A                 71
                     =       8 80 8 ! 2 ! 8
F           *                          *               / - .)                    !         +       )


E
     ?                          '



_               *               &                                                *             *
        &           2

                                ?

                8
                                               *                    c

        !       ,


                                                                                                       B%
7 >
  2                 . =
                     /               2! 0         - .
                                                  0 /
@7              *                - .    *                             /       5




                                     - 5 + ∆ . − - 5.        ∆
              V- 5. =                                 =
                                ∆ →5        ∆           ∆ →5 ∆
          ∆ = - 5 + ∆ . − - 5.                                                    *

                                                              5               5   A∆
             ∆ ) *                                                           ) ∆ d5
                                ∆
                                  ≈         V- 5. ⇔ ∆ ≈                       V- 5. ∆
                                ∆
                                                  ⇔           - 5 + ∆ . − - 5. ≈            V- 5. ∆

E                   /       5   A∆
                                - . ≈       V- 5. (        5)+        - 5.

                        =       V- 5. (         5)+       - 5.                                        ?

? *                 - .                                           /       5             )
               *                  $                   /   5                   7                           $
      -   5    5.       ? *                 *         )                                 &
                                                                                                              BB
- . B ! -2
       /                                  = 0
                                           !              - .
                                                          0 /
@7              / - .                *            *                              /   5         *
    /       5                        )                                                     ∆       )   V - 5 .∆
                                              7           /       V - 5 .∆

        *                                                          )         /∆


                                                      /       V- 5.

@               ∆ ≈          V- 5. ∆ /            V- 5.                      &

                                                  ∆ ≈

            7            *
*                ∆

8                                /       V- 5.        ⇔        V- 5. =

        22 . 3
        7   /                            <2       ! ! -2               =




                    5   →   5   A∆ #         5   →   5   A∆           _5-       5   5.   → _ - 5A ∆          5A   ∆ .
                             2U
@               ?α/                        ?α=            V- 5.        _2 / ∆                          2U /
                             _5 2
                                                                                                                    B4
6                     *            ⇔6




    -2           8! 2!                  80 2 2
                                          7
 / - .
`                      / C- .
                   +
!`                     / - . / P =- . Q=                  / ==- .
;
                            - .          - %&.            - %&.                - .
 )                                / P             Q/P             - . Q=   /         - .




    3 !
     2                 0P B
                         Q                                !       !   2        . 8
                                                                                A
@7                 *              - .     - .     *                             - ./ - ./5
=- . ≠ 5
                                        - .                   V- .
                                            =
                            →           - .   →               V- .
                                                      5
               :
                                                      5
         ?    )
                                                                                                       ∞
                        - .=±∞                            - .=±∞ -                                       .
             →                                    →                                                    ∞
              →±∞
             C- .        C- .             *                       C- . / C- . / 5          ==- . ≠ 5
                                                      V- .                 VV- .
                                                           =
                                              →       V- .   →             VV- .



                                                                                                        BI
@       - .=5                - .=±∞
    →                →

            [   - . - .] −                          5× ∞
        →

6                                >

E           [   - . - .] =
                                     - .
                                           −
                                                           5
        →                    →                             5
                                     - .

                                                           ∞
            [   - . - .] =
                                     - .
                                           −
        →                    →                             ∞
                                     - .

                                     ?     6   (T




                                                               BH
&           +                                             '                          +,


' 2
@7           *        - .       *                              Q       P
@     =- . G 5       Q      P             - .)                 Q       P
@     =- . K 5       Q      P             - .)                     Q       P




                                                                               V- . K 5
                                    V- . G 5




    - . B
       /         4>                 1          = =

- .                                            /   5   - 5 A ∆ . K - 5. -∆ G 5             ∆ K5.
    - 5. )

- .              &                             /   5   - 5 A ∆ . G - 5. -∆ G 5             ∆ <5 .
    - 5. )       &
      &                                            *       (
      !


                                                           - ./            )

                                                           - !. /      !   )        &




                                                                                             BM
- . B7
           /             8 21   8! 0       - .
                                           0 /
@



' 2
@            *           *            / - .                            &
    /    5                                               ) =- 5. / 5

9        $       &                     )                )
*
*                (



    .


                                                        =- .                /5
                                                         - .
                                                               &           /5




+*

                     b
                                 3 ) *3 | |      C- .                  /5
                                                 *                 &   &

                                  a

                                                                                BL
' 2                B   8       !    E 2 !
                                     !
@7 - .                 *                   &                                           &   5

    *


         .@        =- . G 5                K   5       =- . K 5              G     5

               *                                                /   5   c - 5. )               - .

        !. @       =- . K 5                K   5       =- . G 5              G     5

               *                           &                    /   5   c - 5. ) &             - .




_)                                                          *            -
                           .               R                    -                  &       .

          8                        =- .c
!         8                                        &
                                                         =- . / 5
                                                         =- .                c
%                                                  D                    D                  &



                       %
              - .=         −! ! +% +
                       %
                                                                                               45
' 2          B       8   ! "E 2 !
                             !
@7       / - .           *                 7                                /   5        =- 5. / 5
@        (                   ==- .             )        &           /   5



         @       ==- 5. K 5          - .                                        /   5c

         @       ==- 5. G 5          - .                &                       /   5c

         @       ==- 5. / 5




    - . B 0
       /   2                  R                02               >
8                                 ;
                 ?
8                                 ;D
                 ?




     6           e              ==- . G 5                       6                         ==- . K 5


' 2
@ ==- . K 5                                        ∈P       Q               / - .)


@ ==- . G 5                                        ∈P       Q               / - .) e


                                                                                                      4
- ./
6(                       *
                     e


                                                              P    Q+
                                                                           ==- . K 5
                                                              P    Q+            e
                                                                           ==- . G 5
                                                                  E+               *



' 2
@7     / - .                             @        ==- . / 5        ==- .
            !`               ==- .                                           /
                     / )                      *



               %
&*      - .=       −! ! +% +
               %
!.     - .=%




     - . B 881 7
        /                       S10
                                 =C


                                      / - .


                                                  /     A

                                                                                       4!
F                                    /        A )                        &          ? *
*                 $
                         [   - .−(           +       )] = 5
                 → +∞
                                                     =
                                                                     - .
                                                                                   =            [       - .−   ]
                                                             → +∞                          → +∞


                         [   - .−(           +       )] = 5
                 → −∞
                                                     =
                                                                     - .
                                                                                   =            [       - .−   ]
                                                             → −∞                          → −∞



    J'                           &                           '                &                 ' +
    )                            +,

C        *                                                       *                                         ? *


                 &           *                                                              c
                                                                         c
                             *           c
                         W   - ./ - .                    +           !       ? *                )

                         W   - ./            - .         +           !         ? *                  )
                                                                               D ?
                                                                                       *            -              .
                                     &           c
                  &                                                                ? *
             *       c
                 &                   *


                                                                                                                   4%

More Related Content

What's hot

Tact interline agreements between carriers
Tact   interline agreements between carriersTact   interline agreements between carriers
Tact interline agreements between carrierscomercio01
 
Procesos administrativos f07
Procesos administrativos f07Procesos administrativos f07
Procesos administrativos f07Skepper63
 
Monza in cifre 2011
Monza in cifre 2011Monza in cifre 2011
Monza in cifre 2011vorrei
 
Aix disk replacement
Aix disk replacementAix disk replacement
Aix disk replacementRanga Talari
 
Procesos administrativos f03
Procesos administrativos f03Procesos administrativos f03
Procesos administrativos f03Skepper63
 
Apresentação da Teleconferência 2T09
Apresentação da Teleconferência 2T09Apresentação da Teleconferência 2T09
Apresentação da Teleconferência 2T09AES Tietê
 
16 f877a tieng viet
16 f877a tieng viet16 f877a tieng viet
16 f877a tieng vietHoai Ho
 
Articulos sobre Aplicación de las TIC en las Pymes
Articulos sobre Aplicación de las TIC en las PymesArticulos sobre Aplicación de las TIC en las Pymes
Articulos sobre Aplicación de las TIC en las PymesSantiago Bonet
 

What's hot (12)

Tact interline agreements between carriers
Tact   interline agreements between carriersTact   interline agreements between carriers
Tact interline agreements between carriers
 
Manual completo jclic.pdf
Manual completo jclic.pdfManual completo jclic.pdf
Manual completo jclic.pdf
 
2Q05 Results
2Q05 Results2Q05 Results
2Q05 Results
 
Procesos administrativos f07
Procesos administrativos f07Procesos administrativos f07
Procesos administrativos f07
 
Monza in cifre 2011
Monza in cifre 2011Monza in cifre 2011
Monza in cifre 2011
 
Modulo c
Modulo cModulo c
Modulo c
 
Aix disk replacement
Aix disk replacementAix disk replacement
Aix disk replacement
 
Procesos administrativos f03
Procesos administrativos f03Procesos administrativos f03
Procesos administrativos f03
 
Mujeres En Re Dadas
Mujeres En Re DadasMujeres En Re Dadas
Mujeres En Re Dadas
 
Apresentação da Teleconferência 2T09
Apresentação da Teleconferência 2T09Apresentação da Teleconferência 2T09
Apresentação da Teleconferência 2T09
 
16 f877a tieng viet
16 f877a tieng viet16 f877a tieng viet
16 f877a tieng viet
 
Articulos sobre Aplicación de las TIC en las Pymes
Articulos sobre Aplicación de las TIC en las PymesArticulos sobre Aplicación de las TIC en las Pymes
Articulos sobre Aplicación de las TIC en las Pymes
 

Viewers also liked

Education 2.0
Education 2.0Education 2.0
Education 2.0mitchebj
 
4 cách để có sức khỏe luyện thi đại học
4 cách để có sức khỏe luyện thi đại học4 cách để có sức khỏe luyện thi đại học
4 cách để có sức khỏe luyện thi đại họcBao Phung Minh
 
State equations model based on modulo 2 arithmetic and its applciation on rec...
State equations model based on modulo 2 arithmetic and its applciation on rec...State equations model based on modulo 2 arithmetic and its applciation on rec...
State equations model based on modulo 2 arithmetic and its applciation on rec...Anax Fotopoulos
 
Review on the effective use of augmented reality last
Review on the effective use of augmented reality lastReview on the effective use of augmented reality last
Review on the effective use of augmented reality lastAnax Fotopoulos
 
Appointment Letter_Govind Pawar
Appointment Letter_Govind PawarAppointment Letter_Govind Pawar
Appointment Letter_Govind PawarGOVIND PAWAR
 
Acropoils & other hellenic world monuments
Acropoils & other hellenic world monumentsAcropoils & other hellenic world monuments
Acropoils & other hellenic world monumentsAnax Fotopoulos
 
Adrian Mohareb presentation on Swedish energy technology
Adrian Mohareb presentation on Swedish energy technologyAdrian Mohareb presentation on Swedish energy technology
Adrian Mohareb presentation on Swedish energy technologyAdrian Mohareb
 

Viewers also liked (9)

Education 2.0
Education 2.0Education 2.0
Education 2.0
 
4 cách để có sức khỏe luyện thi đại học
4 cách để có sức khỏe luyện thi đại học4 cách để có sức khỏe luyện thi đại học
4 cách để có sức khỏe luyện thi đại học
 
State equations model based on modulo 2 arithmetic and its applciation on rec...
State equations model based on modulo 2 arithmetic and its applciation on rec...State equations model based on modulo 2 arithmetic and its applciation on rec...
State equations model based on modulo 2 arithmetic and its applciation on rec...
 
Review on the effective use of augmented reality last
Review on the effective use of augmented reality lastReview on the effective use of augmented reality last
Review on the effective use of augmented reality last
 
Appointment Letter_Govind Pawar
Appointment Letter_Govind PawarAppointment Letter_Govind Pawar
Appointment Letter_Govind Pawar
 
Acropoils & other hellenic world monuments
Acropoils & other hellenic world monumentsAcropoils & other hellenic world monuments
Acropoils & other hellenic world monuments
 
Adrian Mohareb presentation on Swedish energy technology
Adrian Mohareb presentation on Swedish energy technologyAdrian Mohareb presentation on Swedish energy technology
Adrian Mohareb presentation on Swedish energy technology
 
Navidad
NavidadNavidad
Navidad
 
karlita tuya hinojoza
karlita tuya hinojozakarlita tuya hinojoza
karlita tuya hinojoza
 

Recently uploaded

TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
French Revolution (फ्रेंच राज्यक्रांती)
French Revolution  (फ्रेंच राज्यक्रांती)French Revolution  (फ्रेंच राज्यक्रांती)
French Revolution (फ्रेंच राज्यक्रांती)Shankar Aware
 
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Seth-Godin-–-Tribus-PDFDrive-.pdf en espaoñ
Seth-Godin-–-Tribus-PDFDrive-.pdf en espaoñSeth-Godin-–-Tribus-PDFDrive-.pdf en espaoñ
Seth-Godin-–-Tribus-PDFDrive-.pdf en espaoñcarrenoelio8
 

Recently uploaded (6)

TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
 
French Revolution (फ्रेंच राज्यक्रांती)
French Revolution  (फ्रेंच राज्यक्रांती)French Revolution  (फ्रेंच राज्यक्रांती)
French Revolution (फ्रेंच राज्यक्रांती)
 
LAR MARIA MÃE DE ÁFRICA .
LAR MARIA MÃE DE ÁFRICA                 .LAR MARIA MÃE DE ÁFRICA                 .
LAR MARIA MÃE DE ÁFRICA .
 
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
 
Seth-Godin-–-Tribus-PDFDrive-.pdf en espaoñ
Seth-Godin-–-Tribus-PDFDrive-.pdf en espaoñSeth-Godin-–-Tribus-PDFDrive-.pdf en espaoñ
Seth-Godin-–-Tribus-PDFDrive-.pdf en espaoñ
 

Matematica espectacular (11º & 12º)

  • 2. & ' ( ) * +, ) ! " # $ % " & ' ( )* + + - . ! / 0./ , - . $ - . ' * * / - . 0 1 2 3/ 4 2 + %45 3/ - 2 . ! / / - . % "/π ! "/ - .
  • 3. 1 ! 0 - . 0 / 6 7 * * 8 & 8 / 9 ∈ :, ; < ! 2! 1 0 3 ! 0 - . 0 / 6 7 6 & 68 / 8= / 9 - . ∈ :, ∈ 8*< 2- 4 ! 0 - . 0 / 6 7 - . * / - . + " !# 6 * * > " - . * $ ! ! ' * $ ? * $ ! ! !
  • 4. * ( +, +, ! @7 * - ./! +% - ./ A ! ! 5 - . A - . / -! %. A - A . / A! +! ! ! -2 . 5 - . + - . / -! %. - A . / A! +B ! % ! &2 ! 5 0 - . - . / -! %. - A . / ! +% A! +% - . ! −% 60 5 = ! - . + 0./ 78 "* ( )( ) = ( ( )) ) & ( )) 7 & - . & 9 : 9 9 :: ! * +, - ./ 8 * - - .. / & - - .. / & %& "* -0 *1. 9 :; 9 : %
  • 5. C 7 ? ? & 9 : 9 9 :: ; 9 :; 9 : 0 * * 1 ' * 34 8 ! 2- * D / %& " < ! 32= ! ! 2 . ! - . / 0 / 2 ! 8 9 : @ - . ! C % , B E - ./ ! ! F * $ * 7 ) * * ' * ( $ ? * * ! $ ! B
  • 6. * ' +, @7 * - ./! A /! A H I , ? * 4 B % ! 5 ! 5 ! % B 4 6 - . !> ? * ? - . 4 ! * * ) ! D -G !. % !4 ! ! 54 ! 55 ! 555 - ./! A H I 4! 4 4 55! 4 555! J * - . 4 - .=4 →!+ ! ! D -K !. 4 L L4 LLL LLLL *- . / ! A % B BM B L B LLM B LLLM J * - . 4 - .=4 →! − →! - .= → ! (! + )=4 4
  • 7. - . ! = / ! 0 - . - 0 / . 8 * - . ( - . ( → - .=( >8 ? ! 0 = → - .=( $ - .=( - .=( → + → − ) $ * . - .= →5 - . ! +* ,- .= # → ,- . ! % -* - .= # →5 - . / A N ! B. .) * = % % ≥ → +∞ . - . / % - ./ F ( ( ? * / - . - . /AN N → + - . /AN N → − - ./ F ( ( ; ( ? * / - . → +∞ - . / → −∞ - . / / 0 1 I
  • 8. 3 80 = !8 2 @ 7 2. 8 A = 8 @ 2 O → - . → - . → 2 = 2 ! → = % → [2 - .] = 2 → - . B → [ - . ± - .] = → - . ± → - . 4 → [ - . - .] = [ → - . ][ → - .] - . → - . I → = → - . ≠5 - . → - . H → [ - .] = [ → - .] M → - .= → - . ) → - . 3 ( # 45* ( ! * →! 4 / ! . →! M / ! . →B - %! + ./ ! +B + . → −! / %! H
  • 9. * ' +, - ./ @7 P Q 7 - . * 7 & ) P Q "* & . - . * 3 !. → - . %. → - .= - . @ ) & P Q ) & P Q ' * ) & ? * / - . 6 ! 6 ! 3 &# + - ' M
  • 10. * +, & 0. 3 < / 2 B 5 ; 9 :; ! 5# &# +# -# # 7 %&# O * $ % / ? $ / R 8 & / :, 0 . ! 3 0# ; / 2 "# $ → ? * ) ( 0. ! 3 0 / 2 ; "# $ ; 9 :; * 3 5 3 & ? * ) / 3 ? % -5# . /! A / A! L
  • 11. 2 . ! C . ! 2 / 0 / C 7 88 0 72! 8 7 8 ! 2! ! 8 9 D : 9 "D ": ;∆ ;∆ -5 . 8 ! % = 5 = = 8 ! % 2! ! 23 5 6 ( / A 7 ! / ! A ⇔ / !+ ! / A ⇔ / + / A * 0 ? 1 8 ( 7 - # . - . ? ) ) % = ⇔ B ; 9 B : % * 0 1 5
  • 12. 0. 7= / = 3 0" - 0 ! "E 2 ! 2 ! .; " % # & $ ; 9 :; → ? * ) " * ; 9 :; F F
  • 13. Função quadrática y = ax2 + bx + c (a > 0) !
  • 14. 8 3 2 = 27 8 ! 2 . ! 0 / - . C !4 0 / 0 2 5 " 9 :; F F ' ( $ " 9 :; F F ' ) $ - 5. - + 5. ! %
  • 15. ! " − ± −B F F ;# ⇔ = * + ! 7 ! ! − − −B − + −B = != ! ! ! * - * . ! * " * *+ F F 9 , :9 : "* :, ,G )# 9 − − ) ) ! ! & * ) 8 / :, & ) 8= / − +∞ G5 ! 8= / −∞ − K5 ! B
  • 16. 0 . 87= A 8 ! 3 0H" 2 0 . 8! A 7 *+ 9 ≥ "D 2: 8 / :, 8= / :,5A 8 / :, 8= / :, 4
  • 17. 02 8 7 = I 8 - 2 F $ ? I
  • 18. * +, @7 - . /- . $ - . " * - .= ( ". /- . 8 / 9 ∈ :, /- . ≠ 5< E - .= - - ./ /- . / - % . ≥ ( − ) - .= - .= + 5 ( − 5 )! H
  • 19. * +! - .= !+ ! ! + + - .= + * M
  • 20. +, @7 - . $ " * ( - .= $ - . ) = - . S$ ( / 8 / :, $ * & 8 / 9 ∈ :, - . ≥ 5< $ * = % +L = = ! −L : ( - .= %% + 4 % ) = (% + )4 = (% + )4 S % 8 / :, 8= / :, L
  • 21. +, ' J' F #? - . - . 8 * , ) #? * R ) ? ≈ 4H % 0. 8 / @7 #? #? PC= CQ T @7 α #? #? ) U * 8 α ) CV C α= = = C ( / - & ? ) . 8 α ; !5
  • 22. 8 * C * * * O * :, P Q - ./ - / - .. ' * * / , ? * P5 !πQ C * W 8 & :, W 6 & P Q !
  • 23. "? L5 I5 B4 %5 5 %5 B4 I5 L5 X X X X X X X X − − − − 5 ! % B I I B % ! % ! ! % − − − 5 ! ! ! ! ! ! W Y / Zπ , -Zπ. / 5 Z ∈ Y W 6 [ & :, → = W C - ./ )& W C - A Z!π. / - . * ) $ & & !π 0. 2 8 / 8 * "* ) 7 & 7 "* ) 7 X X X %X X X − ; − + ZX + ZX Z∈Y ! ! ! ! ! ! 8 ? * * X X & − P Q ! ! 28 R 0 . ;1 !!
  • 24. X X − %& * & P Q ! ! ' * * / U ;8 ⇔ ; 28 0./ *8 @7 #? #? PC= CQ T @7 α #? #? ) U * *8 α ) CV 7 α= = = C ( / - & ? ) . 8α ; !%
  • 25. 8 * C * * * O * :, P Q *- . / - / - .. ' * * % / , ? * P5 !πQ C * W 8 & :, W 6 & P Q !B
  • 26. "? 5 %5 B4 I5 L5 !5 %4 45 M5 X X X X ! % 4 5 X X X π I B % ! % B I % ! ! % 5 − ! ! ! ! ! ! X X W Y / A Zπ , - A Zπ. / 5 Z ∈ Y ! ! W 6 [ & :, → = W C - ./ ) W C - A Z!π. / - . * ) $ & & !π 0. 2 / *8 8 * "* ) 7 & 7 "* ) 7 [− X 5] [5 X] ; [ ZX X + ZX ] Z∈Y 8 ? * * & [5 π ] P Q !4
  • 27. 2 8 R 0 . % ;1 * & %& P Q [5 X] ' * * / U ; 8 ⇔ ; 2 8 E$ * ? ! ! + = 0./ 3 U * 3 α ) C CV T U U ?α = = = = CV U / 3α ; U !I
  • 28. 8 * "* ? ) * X :, ] + ZX :, Z∈Y ! *- . / ? / - ? / ?- .. ' * * ? / ? C * ? X W 8 & :, ] + ZX ! W 6 & :, W Y / Zπ , ? -Zπ. / 5 Z ∈ Y W 6 [ & :, & & X → ? = ? ∀ ≠ + ZX ! W C ?- ./ ?- . ? )& W C ? - A Zπ. / ? - . * ?) $ X & & π, ∀ ≠ + ZX ! !H
  • 29. 0. 2 / 3 8 * "* ? ) 7 X X X X − ; − + ZX + ZX Z∈Y ! ! ! ! 8 ? * ? * X X & − :, ! ! ? 2 3 R 0 . ;1 X X − %& * & :, ! ! ? ' * * ? / ? U ;3 ⇔ ; 2 3 !M
  • 30. 0./ * 3 8 * "* ? ) * :, ] { ZX} :, Z∈Y *- . / ? / = - . ? ' * * ? / ? % C * ? W 8 & :, ] { ZX} W 6 & :, X X W Y / + ZX , ?- + ZX ./5 Z∈Y ! ! W 6 [ & :, & & → ? = ? ∀ ≠ Zπ W C ?- ./ ?- . ? )& W C ? - A Zπ. / ? - . * ?) $ X & & π, ∀ ≠ + ZX ! !L
  • 31. 0. 2 / * 3 8 * "* ? ) 7 ]5 X [ ; ]5+ ZX X + ZX [ Z∈Y 8 ? * ? * & ]5 X [ :, ? 2 3 R 0 . % ;1 * & %& :, ]5 X [ ? ' * * ? / ? U ; 3 ⇔ ; 2 3 %5
  • 32. +, K& ' 0. > / 7 = 6( * D* :, :, ∈ :, A - ./ -@ / * ) . 2- 4 ! - . > 0 / 7 = G / → * = +∞ → +∞ = 5 → −∞ 5< K / → * = 5 → +∞ = +∞ → −∞ %
  • 33. = /! ! B % ! %!
  • 34. = ∈ :, ] 9 < A &2 7 ! ! 8 3 2 8 ! - . > 2 0 / 7 D W 8 & :, A W 6 & :, W Y - ≠ 5 ∀ ∈:, . W 6 ) & W : 7 ) 7 = ∈ :, ] 9 < A &2 7 ! ! 8 7 2 I 8 ! - . > 2 2 0 / 7 D − W / A L = L = % L ( ) = L /- . W = 8 7 2 0 2! - . > = 0 / 7 = 9> ; 5 : 9 ; : :, :, % ! / ! H M!M M!MB4L54; O 2 + / →∞ - . 2 + → 2 / ? →∞ - . - .+ O - . ^ ±∞ %%
  • 35. &2 7 ! ! 8 ! - . 2 0 / L U * G W = →5 W = +∞ - 2 ∈ :,. → +∞ 2 0 . =3 2 / 1 ∈ :, ] 9 < ) * A "* - ./ A :, :, ? - . ( ! ? - . → R 0 1 / ? - . ⇔ / 0 1 # #; $ ; = - %B
  • 36. 2 - 8 ! - . =3 2 4 0 / 1 G → * / ? - . ? - .= +∞ → +∞ 9 D#: ? - . = −∞ + →5 5K K → * ? - . = −∞ → +∞ ? - . = +∞ + →5 / ? - . &2 7 ! ! 8 3 2 8 ! - . =3 9 : 2 0 / A W 8 & :, W 6 & :, 5 W Y / - ? - .35 / . W 6 ) & W : 7 ) 7 %4
  • 37. - / ?!- . / ? ! - A 5. ! / ?B- . &2 7 ! ! 8 7 2 I 8 ! 8 =3 2 2 2 8 ? - .> ? - . # ∀ T ∈ :, ∀ ∈ :, ] 9 < A A W ? - . / ? - . D ∀ T ∈ :, ∀ ∈ :, ] 9 < A A L ? / ? - . % Z # ∀Z ∈ :, ∀ ∈ :, ∀ ∈ :, ] 9 < A A L ? - . /Z ? - . ∀ ∈ :, ∀ # ∈ :, ] 9 < A A W ? - . / ? - . ? - . 8 7 2 0 2! - . =3 2 = 0 / 1 5 9> ; =3 9 : 9 ; : : A :, :, ? - . ? - . ? 2 =3 9 : ; = 9 : ; =39 : ' %I
  • 38. + = ! 0 2 8 0 34 2- B > ! 2 ./ <! 6 ? * * - . ? ? * _5- 5 5. _- . @) − 5 - . − - 5. = ! 2 2 / = − 5 − 5 / 5 A∆ - 5 + ∆ . − - 5. ∆ = ! 2 2 / = = ?ϕ ∆ ∆ " "# 3 * / - . 5 / 5 A∆ ) * * ∆ - 5 + ∆ . − - 5. '> ! 2 ./ < / ! = ∆ ∆ C 4 "# 3 5 2 %H
  • 39. 22 . 3 7 / <2 ! !2 ! ! 0 - . 0 / 6 ? * , # 5 ∆ →5 ? @ ? ? * - . _5- 5 5. 7 ∆ →5 _- . → _5- 5 5. ϕ →α @) ?α − 5 - 5 + ∆ . − - 5. ?α / ?ϕ = = = V- 5. ∆ →5 → 5 − 5 ∆ →5 ∆ - . / 5 5 ∈8 5 @ / =- 5. - 5 + ∆ . − - 5. 4 "# 6 / = V- 5. ∆ →5 ∆ 4 "# 6 5 4 %M
  • 40. - . B!2 ! ! 0 / - . 0 / @7 / - . * * Q P " - . - . ∈ Q P ) - +∆ .− - . * V- . = - . ∆ →5 ∆ " * =- . ) $ * # * - . V A ' =- . = 8- . - "# 3 8! !2 . 2 / - . / 6 -6 . =- . / 5 - ./6 =- . / 6 - ./6 - . =- . / 6 =- . - ./ α =- . / α α − α α−1 - . / P - .Q - . / α =- .P - .Q - ./ - .± - . B . / C- . ± C- . - - ./ - . - . B . / C- . - . A - . C- . - - . V- . - . − V- . - . - ./ B./ - - . [ - .] ! / - . / - . =/ / / +* - %L
  • 41. 2 ! 8 ! - . 8 23 0 A <2 8 7: 9 8 : D ; 9 : 9 - .= / - .= / = - .= / - .= / = V - ? .= / = - ? .= / ( )! ! ! V - ? .= / - ? .= / ! ! V - .= / - .= / − ! − ! V - .= / - .= / − ! − ! V - ? .= / - ? .= / + ! + ! V - ? .= / - ? .= / + ! + ! 2 !8! - . 8 > 0 A 7 = =3 2 M 9 :N O M 9 :N D ; 9 : D ; 9 : O - .= / - .= / = - .= / - .= / = - .= / =A = V - ? .= / - ? .= / ? ? V - .= / - .= / B5
  • 42. 8 * +* * F * - . & / 5 =- 5. ) - . − - 5. * ) )* → 5 − 5 U @ * / - .) * / 5 ) & @ * ) & / 5 * & ) ) * ) & / 5 ( * &* E & * "* - . ) * / / ) & +* E & * "* - ./| |) & /5 ) * B
  • 43. b - .) & 3 ) *3 | | - .= →5 →5 a / | 5 | / 5 / -5. - +∆ .− - . V- . = ∆ →5 ∆ 5+∆ − 5 ∆ ∆ G5 = = ∆ →5 + ∆ ∆ →5 + ∆ 5+∆ − 5 ∆ ∆ K5 = = ∆ →5 − ∆ ∆ →5 − ∆ ∆ ? - . /5 [ & * ? ? * /5 2 !8! 2! 80 2 2 7 " ` =- . # ? * * ? - . " !` ==- . # ? * * ` =- . " ? B!
  • 44. A ' ` =- . / =/ / - . - . ! - . !` ==- . / - =- . .= / = ==/ - =.= ! ! - . % - . %` ===- . / - ==- . .= / = === / - ==.= ! % ; − - . - . = - . - . ) - ./- - . .= / − 0. 8 A 71 = 8 80 8 ! 2 ! 8 F * * / - .) ! + ) E ? ' _ * & * * & 2 ? 8 * c ! , B%
  • 45. 7 > 2 . = / 2! 0 - . 0 / @7 * - . * / 5 - 5 + ∆ . − - 5. ∆ V- 5. = = ∆ →5 ∆ ∆ →5 ∆ ∆ = - 5 + ∆ . − - 5. * 5 5 A∆ ∆ ) * ) ∆ d5 ∆ ≈ V- 5. ⇔ ∆ ≈ V- 5. ∆ ∆ ⇔ - 5 + ∆ . − - 5. ≈ V- 5. ∆ E / 5 A∆ - . ≈ V- 5. ( 5)+ - 5. = V- 5. ( 5)+ - 5. ? ? * - . / 5 ) * $ / 5 7 $ - 5 5. ? * * ) & BB
  • 46. - . B ! -2 / = 0 ! - . 0 / @7 / - . * * / 5 * / 5 ) ∆ ) V - 5 .∆ 7 / V - 5 .∆ * ) /∆ / V- 5. @ ∆ ≈ V- 5. ∆ / V- 5. & ∆ ≈ 7 * * ∆ 8 / V- 5. ⇔ V- 5. = 22 . 3 7 / <2 ! ! -2 = 5 → 5 A∆ # 5 → 5 A∆ _5- 5 5. → _ - 5A ∆ 5A ∆ . 2U @ ?α/ ?α= V- 5. _2 / ∆ 2U / _5 2 B4
  • 47. 6 * ⇔6 -2 8! 2! 80 2 2 7 / - . ` / C- . + !` / - . / P =- . Q= / ==- . ; - . - %&. - %&. - . ) / P Q/P - . Q= / - . 3 ! 2 0P B Q ! ! 2 . 8 A @7 * - . - . * - ./ - ./5 =- . ≠ 5 - . V- . = → - . → V- . 5 : 5 ? ) ∞ - .=±∞ - .=±∞ - . → → ∞ →±∞ C- . C- . * C- . / C- . / 5 ==- . ≠ 5 V- . VV- . = → V- . → VV- . BI
  • 48. @ - .=5 - .=±∞ → → [ - . - .] − 5× ∞ → 6 > E [ - . - .] = - . − 5 → → 5 - . ∞ [ - . - .] = - . − → → ∞ - . ? 6 (T BH
  • 49. & + ' +, ' 2 @7 * - . * Q P @ =- . G 5 Q P - .) Q P @ =- . K 5 Q P - .) Q P V- . K 5 V- . G 5 - . B / 4> 1 = = - . / 5 - 5 A ∆ . K - 5. -∆ G 5 ∆ K5. - 5. ) - . & / 5 - 5 A ∆ . G - 5. -∆ G 5 ∆ <5 . - 5. ) & & * ( ! - ./ ) - !. / ! ) & BM
  • 50. - . B7 / 8 21 8! 0 - . 0 / @ ' 2 @ * * / - . & / 5 ) =- 5. / 5 9 $ & ) ) * * ( . =- . /5 - . & /5 +* b 3 ) *3 | | C- . /5 * & & a BL
  • 51. ' 2 B 8 ! E 2 ! ! @7 - . * & & 5 * .@ =- . G 5 K 5 =- . K 5 G 5 * / 5 c - 5. ) - . !. @ =- . K 5 K 5 =- . G 5 G 5 * & / 5 c - 5. ) & - . _) * - . R - & . 8 =- .c ! 8 & =- . / 5 =- . c % D D & % - .= −! ! +% + % 45
  • 52. ' 2 B 8 ! "E 2 ! ! @7 / - . * 7 / 5 =- 5. / 5 @ ( ==- . ) & / 5 @ ==- 5. K 5 - . / 5c @ ==- 5. G 5 - . & / 5c @ ==- 5. / 5 - . B 0 / 2 R 02 > 8 ; ? 8 ;D ? 6 e ==- . G 5 6 ==- . K 5 ' 2 @ ==- . K 5 ∈P Q / - .) @ ==- . G 5 ∈P Q / - .) e 4
  • 53. - ./ 6( * e P Q+ ==- . K 5 P Q+ e ==- . G 5 E+ * ' 2 @7 / - . @ ==- . / 5 ==- . !` ==- . / / ) * % &* - .= −! ! +% + % !. - .=% - . B 881 7 / S10 =C / - . / A 4!
  • 54. F / A ) & ? * * $ [ - .−( + )] = 5 → +∞ = - . = [ - .− ] → +∞ → +∞ [ - .−( + )] = 5 → −∞ = - . = [ - .− ] → −∞ → −∞ J' & ' & ' + ) +, C * * ? * & * c c * c W - ./ - . + ! ? * ) W - ./ - . + ! ? * ) D ? * - . & c & ? * * c & * 4%