1. Grandezas Proporcionais
Tudo o que possa ser mensurado, medido, contado é definido como grandeza, assim: O tempo, a massa de
um corpo,
a velocidade de um trem, o comprimento de uma rua, a área de um terreno e a capacidade de trabalho de uma
pessoa são
exemplos de grandezas.
Por inúmeras vezes em nosso dia a dia vivemos situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.
Analisemos algumas dessas situações :
Exemplo I - Dúzias de laranjas e o preço pago por elas
Exemplo II - Latas de tinta e área a ser pintada
Exemplo III - Velocidade de um automóvel e o tempo gasto para percorrer certa distancia
Exemplo IV - Número de operários e o tempo gasto numa obra
Exemplo V - A idade de uma criança e a sua estatura
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são definidas como diretamente proporcionais quando o aumento de uma deles ocasionar o
aumento proporcional
da outra, ou da mesma forma, quando a diminuição de uma delas significar a diminuição proporcional da
outra.
Analisemos com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo II :
Quanto pagarei por ... dúzias de laranjas se por uma dúzia pago R$ 1,30
Laranjas Preço
1 dúzia R$ 1,30
2 dúzias R$ 2,60
3 dúzias R$ 3,90
10 dúzias R$ 13,00
Observemos que :
Se a quantidade de dúzias de laranjas dobrar, o preço a ser pago também dobrará.
Se a quantidade de dúzias de laranjas triplicar, o preço a ser pago também triplicará.
Se a quantidade de dúzias de laranjas for multiplicada por 10, o preço a ser pago também ficará multiplicado
por 10.
Observemos, que as razões entre as dúzias de laranjas e o preço a ser pago são sempre iguais.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de dúzias de laranjas, são
chamadas
grandezas diretamente proporcionais.
Analisemos, agora, com auxilio da tabela o nosso exemplo II:

2. Para pintar uma parede de 32 m2 gasto 1 lata de tinta, quantas latas de tinta gastarei para pintar .....
Área a ser
Latas de Tinta
pintada
1 lata 32 m2
2 latas 64 m2
3 latas 96 m2
15 latas 480 m2
Observemos que :
Se a quantidade de latas de tinta dobrar, a área a ser pintada também dobrará.
Se a quantidade de latas de tinta triplicar, a área a ser pintada também triplicará.
Se a quantidade de latas de tinta for multiplicada por 15, a área a ser pintada também ficará multiplicado por
15.
Observemos, que as razões entre as latas de tinta e a área a ser pintada são sempre iguais.
Também neste caso as duas grandezas envolvidas, latas de tinta e área a ser pintada, são Grandezas
Diretamente
Proporcionais.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são definidas como inversamente proporcionais quando o aumento de uma deles ocasionar
uma diminuição
proporcional da outra, ou da mesma forma, quando a diminuição de uma delas significar um aumento
proporcional da outra.
Analisemos, agora, com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo III :
Viajando a 20 km/h percorro uma certa distância em 12 horas, quanto tempo levarei se viajar a ... km/h
Velocidade Tempo
20 km/h 12 horas
30 km/h 8 horas
40 km/h 6 horas
80 km/h 3 horas
Observemos que :
Se a velocidade dobrar, o tempo decorrido se reduzirá a metade.
Se a velocidade triplicar, o tempo decorrido se reduzirá à sua terça parte.
Se a velocidade for multiplicada por 4, o tempo decorrido será dividido por 4.
Observemos, que as razões entre as velocidades e o inverso dos tempos decorridos são sempre iguais, ou de
uma forma

3. mais prática, o produto entre a velocidade e o tempo é sempre constante.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, velocidade e o tempo decorrido, são chamadas
Grandezas Inversamente Proporcionais
Analisemos com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo IV :
3 operários pavimentam uma rua em 24 dias, quantos operários serão necessários para pavimentar a mesma
estrada em .... dias.
Operários Tempo
3 operários 24 dias
4 operários 18 dias
6 operários 12 horas
12 operários 6 horas
Observemos que :
Se o número de operários dobrar, o tempo da obra se reduzirá a metade.
Se o número de operários triplicar, o tempo da obra se reduzirá à sua terça parte.
Se a velocidade for multiplicada por 4, o tempo da obra será dividido por 4.
Observemos, que as razões entre o número de operários e o inverso do tempo da obra são sempre iguais, ou
de uma forma
mais prática, o produto entre o número de operários e o tempo da obra é sempre constante.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, número de operários e o tempo da obra, são chamadas Grandezas
Inversamente
Proporcionais
Grandezas Não Proporcionais
Em muitas situações de nosso dia a dia nos deparamos com grandezas não proporcionais. O nosso exemplo
V é um desses
casos, não podemos estabelecer proporcionalidade entre as grandezas idade de uma criança e a sua estatura.
Se uma criança de 5 anos tem 80 cm de altura, nada nos leva a concluir que aos 10 anos ela terá 1,60 m, ou
que aos 15 anos
ela teria proporcionalmente 2,40 m e teria, nessa proporção, inimagináveis 8 metros de estatura aos 50 anos
de idade.
Portanto, são inúmeras as grandezas que não guardam entre si qualquer tipo de proporcionalidade.
Regra de Três

4. Definimos regra de três como sendo a regra prática que utilizamos para a resolução de problemas envolvendo
grandezas
proporcionais, sejam elas diretamente ou inversamente proporcionais.
Regra de Três Simples
Uma regra de três é simples quando envolve, tão somente, duas grandezas proporcionais.
I - Se as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais dizemos que a Regra de Três é Simples e Direta.
II - Se as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais dizemos que a Regra de Três é Simples e
Inversa.
E como regra de três se aprende exercitando, vamos a alguns exemplos :
Exemplo 1 - Por três quilos de cenouras pago R$ 2,25 , quanto pagarei por 5 quilos de cenouras ?
Ao compararmos as grandezas quilos de cenouras e preço a pagar percebemos que elas são diretamente
proporcionais,
já que quanto mais de cenoura eu compro mais eu tenho que pagar e com isso as razões entre suas medidas
são iguais.
Montando a igualdade entre essas razões teremos :
Esse é um exemplo de uma Regra de Três Simples e Direta
Exemplo 2 - Um relógio atrasa 7 segundos a cada 10 minutos. Quanto atrasará em 4 horas e 30 minutos ?
Ao compararmos as grandezas segundos de atraso e tempo percebemos que elas são diretamente
proporcionais, já que
quanto mais tempo o relógio funcionar mais atrasado ele ficará e com isso as razões entre suas medidas são
iguais.
Montando a igualdade entre essas razões teremos :
Antes porém transformemos 4 h 30 min em minutos è 4 x 60 + 30 = 270 min
Esse é mais um exemplo de uma Regra de Três Simples e Direta
Exemplo 3 - Viajando a 60 km/h chego em Rezende em 4 horas, Em quanto tempo chegarei se aumentar a
minha velocidade
para 80 km/h ?
Ao compararmos as grandezas velocidade e o tempo gasto percebemos que elas são inversamente
proporcionais, já que quanto
maior a minha velocidade menos tempo gastarei para chegar a meu destino e com isso a razão entre as
medidas da grandeza
velocidade será igual ao inverso da razão entre as medidas da grandeza tempo. Montando a igualdade entre
essas razões teremos :

5. Esse é um exemplo de uma Regra de Três Simples e Inversa
Na prática o que fazemos é igualar uma das razões ao inverso da outra razão
Exemplo 4 - Tenho uma certa quantidade de livros para distribuir entre meus melhores alunos, se escolher 6
deles darei a cada um
12 livros. Quantos alunos acabei escolhendo se cada um deles recebeu 8 livros?
Ao compararmos as grandezas numero de alunos e quantidade individual de livros percebemos que elas são
inversamente
proporcionais, já que quanto maior for o número de alunos escolhidos menor será a quantidade de livros
recebidos por cada
um deles e com isso a razão entre a quantidade de livros será igual ao inverso da razão entre a quantidade de
alunos escolhidos.
Montando a igualdade e dessa vez já invertendo uma das razões, teremos :
Esse é mais um exemplo de uma Regra de Três Simples e Inversa
Regra de Três Simples - Exercícios Propostos
01) Se 5 kg de café custam R$ 7,50 quanto se deverá pagar por 12 kg ?
02) Em cada 5 voltas, um parafuso avança 3,5 mm. Quantas voltas dará para avançar 4,2 mm ?
03) Um mecânico torneia 84 peças em 6 horas. Quantas peças ele tornearia em 8 horas de trabalho ?
04) Em uma prova de valor 7, Rodrigo obteve a nota 5,6. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida
por Rodrigo ?
05) A água do mar contém 2,5 g de sal para cada 100 ml de água. Quantos gramas de sal teremos em 5 litros
de água do mar ?
06) Um trem, com velocidade de 48 km/h, gasta 1 hora e 20 minutos para percorrer certa distância. Para fazer
o mesmo percurso a
60 km/h o trem gastaria.
07) Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 minutos. Em quanto tempo 5 torneiras,
semelhantes às primeiras
e completamente abertas, encheriam esse mesmo tanque ?
08) Para fazer uma cerca, são necessários 80 postes distantes entre si de 2,5 m. Quantos postes serão
necessários, se a distância
entre eles for de 2 m?
09) Se 3,5 kg de feijão custam R$ 4,55, quanto custarão 6,5 kg ?
10) Junior pagou R$ 4,20 por 6 kg de farinha. Quanto pagará por 8,5 kg ?
11) Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários
para fabricar 136,5 kg de
farinha?
12) Ricardo comprou 4,70 m de fita por R$ 11,28, quanto pagaria por 7,40 m da mesma fita?
13) Se 22 litros de álcool custam R$ 12,10, qual será o preço de 27 litros ?

6. 14) Em 5 ha de um sítio foram plantados 8 000 pés de café. Quantos hectares seriam necessários para serem
plantados 36 000 pés
de café ?
15) Com 72 kg de lã, faz-se uma peça de fazenda de 63 m de comprimento. Quantos kg de lã seriam
necessários para fazer 84 m da
mesma fazenda?
16) Com o preço equivalente a 1,6 kg de frango posso comprar 10 kg de milho. Quantos quilos de frango
necessitarei para comprar
1,8 toneladas de milho ?
17) Determine o número de tacos de 6 cm de largura por 24 cm de comprimento necessários para assoalhar
uma sala de 3,6 m de
largura por 4,2 cm de comprimento.
18) Pedro comprou 2,4 m de tecido para fazer uma calça. Quantos metros de tecido seriam necessários para
que Pedro pudesse
fazer 9 calças iguais.
19) Um determinado relógio atrasou 26 minutos em 48 horas. Determine o atraso em 30 dias.
20) As dimensões de um tanque retangular são 1,5 m, 2,0 m e 3,0 m. Com uma torneira de vazão igual a 10
litros por minuto, qual o
menor tempo gasto para enchê-lo ?
21) Uma vara de 5 m, colocada em posição vertical, projeta no chão uma sombra de 3,5 m. Calcule a altura de
um prédio que, na
mesma hora e o mesmo local, projeta uma sombra de 12,6 m.
22) Um edifício projeta uma sombra de 12 m no mesmo instante em que um objeto de 2 m de altura projeta
uma sobra de 80 cm.
Calcule a altura do edifício.
23) Numa viagem de automóvel, uma pessoa gastou 9 horas andando à velocidade de 80 km/h. Na volta,
quanto tempo irá gastar,
se andar com velocidade de 100 km/h ?
24) Abrindo completamente 3 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 2 h 24 min.
Dispondo-se de 5 dessas
torneiras, em quanto tempo é possível encher o mesmo tanque?
25) Trabalhando 10 horas por dia, certa máquina faz um trabalho em 240 dias. Se a mesma máquina funcionar
8 horas por dia, em
quantos dias fará o mesmo trabalho?
26) Uma torneira enche um tanque de 100 litros em 1 hora, enquanto uma segunda gasta 2 horas. As duas
juntas encherão o tanque
em quanto tempo?
27) Para escrever um texto, usando 54 letras por linha, foram necessárias 15 linhas. Quantas linhas serão
necessárias para 30 letras
em cada linha?
28) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Quantos dias serão necessários para que 10 pedreiros
construam essa mesma
casa?
29) Para fazer um determinado serviço, 15 homens gastam 40 dias; para fazer o mesmo serviço, em 30 dias
quantos novos operários

7. têm de ser contratados?
30) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse mesmo
trabalho em 6 dias.
31) Num campeonato, há 48 atletas e alimento suficiente para um mês. Com a eliminação de 16 atletas para
quantos dias dará a
quantidade de alimento ?
32) Três operários constroem uma piscina em 10 dias. Quantos dias levarão 10 operários para construírem a
mesma piscina?
33) ( EsPECEx - 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em
10 km/h, teria percorrido
essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
34) ( Vunesp - SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por
dia. Se o prazo concedido
fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :
A) 2 horas a menos por dia B) 2 horas a mais por dia
C) 3 horas a menos por dia D) 3 horas a mais por dia
Regra de Três Simples - Respostas dos Exercícios Propostos