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Calculo vetorial

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Calculo vetorial

  1. 1. Cálculo vetorial - Seções 16.1-9 Cálculo II - ECT 1202 Escola de Ciências e Tecnologia Universidade Federal do Rio Grande do Norte Maio 2011Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 1 / 168
  2. 2. Campos VetoriaisAté agora estudamos funções que associam um número a um vetor (funçõesvetoriais) e funções que associam um vetor a um número (funções de duas eou mais variáveis). A seguir estudaremos outro tipo função.Campos vetoriaisSeja D um subconjunto do R2 . Um campo vetorial em R2 é uma função F queassocia a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional F(x, y). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 2 / 168
  3. 3. Campos VetoriaisCampos vetoriaisComo F(x, y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos desuas funções componentes P e Q, da seguinte forma: F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j = P(x, y), Q(x, y) .As componentes P(x, y) e Q(x, y) são funções (de duas variáveis) queassociam cada ponto (x, y) ∈ D um número real. Funções desse tipo sãochamadas de campos escalares. Como no caso das funções vetoriais,podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar que F serácontínua se e somente se suas funções componentes forem contínuas. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 3 / 168
  4. 4. Campos VetoriaisExemplo 1Um campo vetorial em R2 é definido por F(x, y) = −yi + xj. Faça um esboçode F . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 4 / 168
  5. 5. Campos VetoriaisExemplo 1Um campo vetorial em R2 é definido por F(x, y) = −yi + xj. Faça um esboçode F .SoluçãoInicialmanete marcamos F nos vetores unitários i e j. Em seguida, sejar = x, y o vetor posição em relação a origem do plano cartesiano. Note que: F(x, y) = x2 + y2 = r .Note ainda que: r · F(x, y) = −y, x · x, y = 0.Logo F e r são ortogonais. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 5 / 168
  6. 6. Campos VetoriaisPodemos também definir um campo vetorial no espaço da seguinte maneira.Campos vetoriaisSeja E um subconjunto do R3 . Um campo vetorial em R3 é uma função F queassocia a cada ponto (x, y, z) em E um vetor tridimensional F , de componentesP(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z): F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 6 / 168
  7. 7. Campos VetoriaisExemplo 2Esboce o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = zk. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 7 / 168
  8. 8. Campos VetoriaisExemplo 2Esboce o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = zk.SoluçãoNote que F(x, y, z) = ±z. Se z > 0 o vetor F(x, y, z) aponta na direção de zcrescente, e se z < 0 na direção inversa. Para z = 0, isto é, no plano xyF(x, y, z) é o vetor nulo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 8 / 168
  9. 9. Campos VetoriaisCampos VetoriaisSe f (x, y, z) é um campo escalar, podemos obter um campo vetorial a partir dogradiente aplicado a f : ∇f (x, y, z) = fx (x, y, z)i + fy (x, y, z)j + fz (x, y, z)k.O campo vetorial assim obtido é chamado de campo vetorial gradiente. Nocaso de um campo escalar g(x, y), aplicando o operador gradiente a g,obtemos um campo vetorial gradiente bidimensional: ∇g(x, y) = gx (x, y)i + gy (x, y)j. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 9 / 168
  10. 10. Campos VetoriaisExemplo 3Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x2 + y2 , e esboce o campo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 10 / 168
  11. 11. Campos VetoriaisExemplo 3Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x2 + y2 , e esboce o campo.SoluçãoNote que ∇f (x, y) é dado por: ∇f (x, y) = 2xi + 2yj = 2r.Repare ainda que ∇f (x, y) é paralelo ao vetor posição, e tem módulo duasvezes maior que r. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 11 / 168
  12. 12. Campos VetoriaisCampo vetorial conservativoDizemos que F(x, y, z) é um campo vetorial conservativo se existir um campoescalar f (x, y, z) (chamada de função potencial) tal que: F(x, y, z) = ∇f (x, y, z).A equação acima nos fornece um método para determinar a função potencialf . Note que: fx (x, y, z) = P(x, y, z), fy (x, y, z) = Q(x, y, z), fz (x, y, z) = R(x, y, z).Assim para determinar a função potencial, basta resolver o sistema deequações diferenciais acima. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 12 / 168
  13. 13. Campos VetoriaisExemplo 4Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.(a) F(x, y) = 2xi + 2yj, 2x 2y 2z(b) F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 13 / 168
  14. 14. Campos VetoriaisExemplo 4Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos. (a) F(x, y) = 2xi + 2yj,SoluçãoNote que fx (x, y) = 2x e fy (x, y) = 2y. Integrando a primeira equação emrelação a x temos: f (x, y) = 2xdx + g(y) = x2 + g(y).Derivando a relação acima em relação a y temos que: g (y) = 2y =⇒ g(y) = y2 + c.Logo a função potencial é f (x, y) = x2 + y2 + c. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 14 / 168
  15. 15. Campos VetoriaisExemplo 4 continuação 2x 2y 2z (b) F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 . 2x 2y 2zNote que fx = x2 +y2 +z2 , fy = x2 +y2 +z2 e fz = x2 +y2 +z2 . Integrando aprimeira equação em relação a x temos: 2x f (x, y, z) = dx + g(y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + g(y, z). x 2 + y2 + z2Derivando a relação acima em relação a y temos que: 2y ∂g(y, z) 2y + = 2 =⇒ g(y, z) = h(z). x 2 + y2 + z2 ∂y x + y2 + z2Assim ficamos com f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + h(z). Derivando essaequação em relação a z temos: Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 15 / 168
  16. 16. Campos VetoriaisExemplo 4 continuaçãoDerivando essa equação em relação a z temos: 2z 2z + h (z) = =⇒ h(z) = c. x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 2x 2y 2zLogo a função potencial para F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 é: f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + c. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 16 / 168
  17. 17. Integrais de linhaJá aprendemos como calcular a integral de uma função z = f (x, y) sob umaregião plana D. Veremos agora como calcular a integral de uma função deduas ou mais variáveis ao longo de uma curva.Integral de linha no planoSeja f (x, y) uma função definida em uma região plana D. Seja aindar(t) = x(t), y(t) uma curva C suave em D, i.e. r (t) = 0, definida no intervaloI = [a, b]. Para cada ti∗ ∈ [ti , ti+1 ] ⊂ I podemos associar a seguinte soma deRiemann: n ∑ f (xi∗ , y∗ )∆si , i i=1onde = ∗ xi x(ti∗ ), y∗ = y(ti∗ ) e ∆si é o arco que liga o ponto Pi = (xi , yi ) ao iponto Pi+1 = (xi+1 , yi+1 ). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 17 / 168
  18. 18. Integrais de linhaIntegral de linha no planoNo limite quando o número de subdivisões n → ∞ do intervalo I , temos: n lim n→∞ ∑ f (xi∗ , y∗ )∆si = i C f (x, y)ds. i=1Se o limite acima existir, chamamos o resultado de integral de linha de f (x, y)ao longo de C em relação ao comprimento de arco. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 18 / 168
  19. 19. Integrais de linhaIntegral de linha no planoPodemos reescrever a integral de linha notando que x = x(t), y = y(t) e que 2 2 dx dy ds = + dt. dt dtDe forma que: b 2 2 dx dy f (x, y)ds = f (x(t), y(t)) + dt. C a dt dt Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 19 / 168
  20. 20. Integrais de linhaExemplo 5Calcule C (2 + x2 y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitáriox2 + y2 = 1. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 20 / 168
  21. 21. Integrais de linhaExemplo 5Calcule C (2 + x2 y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitáriox2 + y2 = 1.SoluçãoA parametrização do semicírculo é: x = cos(t), y = sin(t) com 0 ≤ t ≤ π.O elemento de arco ds fica: ds = cos2 (t) + sin2 (t)dt = dt.Assim: π (2 + x2 y)ds = [2 + cos2 (t) sin(t)]dt C 0 cos3 (t) π 2 = 2π − = 2π + . 3 0 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 21 / 168
  22. 22. Integrais de linhaIntegral de linha no planoSuponha que a curva C seja suave (ou lisa) por partes, i.e., C é a união de umnúmero finito de curvas suaves C1 , C2 , . . . , Cn , como na figura abixo.Neste caso a integral de linha ao logo de C é dada por: f (x, y)ds = f (x, y)ds + f (x, y)ds + · · · + f (x, y)ds. C C1 C2 Cn Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 22 / 168
  23. 23. Integrais de linhaExemplo 6Calcule C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0, 0) a(1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2). Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 23 / 168
  24. 24. Cálculo vetorialExemplo 6Calcule C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0, 0) a(1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2).Solução √Para o caminho C1 tem-se que x = x, y = x2 com 0 ≤ x ≤ 1 e ds = 1 + 4x2 dx: 1 √ 1 1 2 5 5−1 2xds = 2x 1 + 4x2 dx = (1 + 4x2 )3/2 = . C1 0 4 3 0 6Para o caminho C2 tem-se que x = 1, y = y com 1 ≤ y ≤ 2 e ds = dy: 1 2xds = 2(1)dy = 2[y]2 = 2. 1 C2 0Então, √ 5 5−1 2xds = 2xds + 2xds = + 2. C C1 C2 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 24 / 168
  25. 25. Integrais de linhaIntegral de linha no espaçoSeja C uma curva espacial lisa dada pelas seguintes equações paramétricas: x = x(t), y = y(t), z = z(t) com a ≤ t ≤ b.A integral de linha de uma função f (x, y, z) ao longo de C é dada por: b 2 2 2 dx dy dz f (x, y, z)ds = f (x(t), y(t), z(t)) + + dt, C a dt dt dtou em notação vetorial: b f (x, y, z)ds = f (r(t)) r (t) dt. C a Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 25 / 168
  26. 26. Integrais de linhaExemplo 7Calcule C y sin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equaçõesx = cos(t), y = sin(t), z = t e 0 ≤ t ≤ 2π. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 26 / 168
  27. 27. Cálculo vetorialExemplo 7Calcule C y sin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equaçõesx = cos(t), y = sin(t), z = t e 0 ≤ t ≤ 2π.SoluçãoO elemento de comprimento arco é dado por: √ ds = sin2 (t) + cos2 (t) + 1dt = 2dt.Assim: √ 2π 2π 2 √ 2 sin(2t) √ y sin(z)ds = sin (t) 2dt = t− = π 2. C 0 2 2 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 27 / 168
  28. 28. Integrais de linhaJá vimos como calcular a integral de linha de um campo escalar f (x, y, z) aolongo de uma curva C. Vejamos agora como calcular a integral de linha de umcampo vetorial sobre uma curva C.Integrais de linha de um campo vetorialSeja F(x, y, z) um campo vetorial, um campo de forças por exemplo. Podemosperguntar pelo trabalho W ao mover uma partícula ao longo de uma curva Csob a ação do campo de forças F(x, y, z). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 28 / 168
  29. 29. Integrais de linhaIntegrais de linha de um campo vetorialParticionando o caminho r(t) = x(t), y(t), z(t) , com a ≤ t ≤ b, em n − 1intervalos, obtemos n arcos ∆si que ligam os pontos Pi = (xi , y∗ , z∗ ) e ∗ i iPi+1 = (xi+1 , y∗ , z∗ ). O trabalho para levar uma partícula do ponto Pi para ∗ i+1 i+1Pi+1 é dado por F(xi , y∗ , z∗ ) · [T(xi , y∗ , z∗ )∆si ], onde T(xi , y∗ , z∗ ) é o vetor ∗ i i ∗ i i ∗ i itangente ao arco ∆si no ponto Pi . Assim o trabalho para levar a partícula doponto P0 = r(a) até Pn = r(b) é dado pela soma de Riemann: n W ≈ ∑ F(xi , y∗ , z∗ ) · T(xi , y∗ , z∗ )∆si . ∗ i i ∗ i i iTomando o limite quando o número de intervalos n → ∞ obtemos, n W = lim ∑ F(xi , y∗ , z∗ ) · T(x, y, z)∆si = ∗ i i F(x, y, z) · T(x, y, z)ds, n→∞ C ia integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) sob a curva C. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 29 / 168
  30. 30. Integrais de linhaIntegrais de linha de um campo vetorialPodemos reescrever a integral de linha anterior notando que x = x(t), y = y(t),z = z(t) e r (t) T(x(t), y(t), z(t)) = e ds = r (t) dt. r (t)Assim a integral de linha de F(x, (t), y(t), z(t)) = F(r(t)) é dada por: b b F · Tds = F(r(t)) · r (t)dt = F · dr. C a aOu em termos das funções componentes P(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z) de F : b b F · dr = Pdx + Qdy + Rdz. a a Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 30 / 168
  31. 31. Integrais de linhaExemplo 8Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y, z) = x2 i − xyj ao semover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i + sin(t)j,0 ≤ t ≤ π/2. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 31 / 168
  32. 32. Integrais de linhaExemplo 8Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y, z) = x2 i − xyj ao semover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i + sin(t)j,0 ≤ t ≤ π/2.SoluçãoNote primeiramente que F(r(t)) = cos2 (t), − cos(t) sin(t) , e quer (t) = − sin(t), cos(t) . Assim: b π/2 π/2 2 2 F · dr = −2 cos2 (t) sin(t)dt = cos3 (t) =− . a 0 3 0 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 32 / 168
  33. 33. Integrais de linhaExemplo 9Calcule C ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une(2, 0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a(3, 4, 0). Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 33 / 168
  34. 34. Integrais de linhaExemplo 9Calcule C ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une(2, 0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a(3, 4, 0).SoluçãoO campo vetorial a ser integrado é F(r(t)) = y, z, x . O caminho C1 é dadopor r(t) = 2 + t, 4t, 5t com 0 ≤ t ≤ 1. De forma que F(r(t)) = 4t, 5t, 2 + t er (t) = 1, 4, 5 . Logo: b 1 1 F · dr = [1(4t) + 4(5t) + 5(2 + t)]dt = (10 + 29t)dt a 0 0 1 29t2 49 = 10t + = . 2 0 2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 34 / 168
  35. 35. Integrais de linhaExemplo 9 continuaçãoO caminho C2 é dado por r(t) = 3, 4, 5 − 5t com 0 ≤ t ≤ 1. De forma queF(r(t)) = 4, 5 − 5t, 3 e r (t) = 0, 0, −5 . Logo: b 1 1 F · dr = [0(4t) + 0(5 − 5t) + 3(−5)]dt = −15 dt = −15. a 0 0Assim a integral C ydx + zdy + xdz vale: F · dr = F · dr + F · dr = 24.5 − 15 = 9.5 . C C1 C2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 35 / 168
  36. 36. Teorema Fundamental das integrais de linhaNo cálculo 1 vimos que se F (x) é uma função contínua no intervalo I = [a, b] bentão a F (x)dx = F(b) − F(a), é igual a variação de F (x) sobre I . Para asintegrais de linha, sob certas condições, temos um resultado parecido.Teorema 1Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial r(t), a ≤ t ≤ b. Seja f umafunção diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente ∇f écontínuo em C. Então ∇f · dr = f (r(b)) − f (r(a)). CSe r(b) e r(a) tiverem coordenadas (x2 , y2 , z2 ) e (x1 , y1 , z1 ), então ∇f · dr = f (x2 , y2 , z2 ) − f (x1 , y1 , z1 ). C Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 36 / 168
  37. 37. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 10Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial 2x 2y 2zF(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , ao mover uma partícula de massa mdo ponto (1, 0, 0) para o ponto (1, 1, 1) ao longo de uma curva lisa por partesC. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 37 / 168
  38. 38. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 10Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial 2x 2y 2zF(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , ao mover uma partícula de massa mdo ponto (1, 0, 0) para o ponto (1, 1, 1) ao longo de uma curva lisa por partesC.SoluçãoJá vimos que o campo vetorial acima é conservativo, com função potencialdada por f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + c. Dessa forma: W= F · dr = ∇f · dr = f (1, 1, 1) − f (1, 0, 0) = ln (3). C C Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 38 / 168
  39. 39. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 11Calcule C y2 dx + xdy, onde(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2),(b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2). Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 39 / 168
  40. 40. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 11Calcule C y2 dx + xdy, onde(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2),(b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2).SoluçãoO caminho C1 tem a seguite parametrização x = 5t − 5, y = 5t − 3 com0 ≤ t ≤ 1. 1 dx dy y2 dx + xdy = (5t − 3)2 + (5t − 5) dt C1 0 dt dt 1 = [5(5t − 3)2 + 5(5t − 5)]dt 0 1 5 =5 (25t2 − 25t + 4)dt = − . 0 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 40 / 168
  41. 41. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 11 continuaçãoCalcule C y2 dx + xdy, onde(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2),(b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2).SoluçãoO caminho C2 tem a seguite parametrização y = t, x = 4 − t2 com −3 ≤ t ≤ 2. 2 dx dy y2 dx + xdy = t2 + (4 − t2 ) dt C2 −3 dt dt 2 = [−2t3 + (4 − t2 )]dt −3 2 245 = (−2t3 − t2 + 4)dt = − . −3 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 41 / 168
  42. 42. Teorema fundamental das integrais de linhaIndependência do caminho de integraçãoO resultado do exemplo anterior nos diz que em geral C1 F · dr = C2 F · dr,onde C1 e C2 são dois caminhos distintos com mesmos pontos incial e final.Mas segue do teorema anterior que ∇f · dr = ∇f · dr. C1 C2A integral de um campo vetorial contínuo F é dita independente do caminho, se F · dr = F · dr, C1 C2para quaisquer caminhos C1 e C2 como mesmos pontos incial e final. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 42 / 168
  43. 43. Teorema fundamental das integrais de linhaUma curva é dita fechada se seu ponto inicial coincide com o final, i.e.,r(a) = r(b). O teorema a seguir nos fornece uma condição sob a qual aintegral de linha de um campo vetorial é independente do caminho deintegração.Teorema 2 C F · dr é independente do caminho, em uma região, D se e somente se C F · dr = 0 para todo caminho C fechado em D.Este teorema afirma que para um campo vetorial conservativo F , C F · dr = 0.Assim, se F representa um campo de forças, o trabalho realizado para moveruma partícula ao longo de um caminho fechado é nulo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 43 / 168
  44. 44. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 12Mostre que a integral de linha do campo vetorial F = 2x, 2y independe docaminho de integração. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 44 / 168
  45. 45. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 12Mostre que a integral de linha do campo vetorial F = 2x, 2y independe docaminho de integração.SoluçãoVamos calcular a integral de linha do campo acima sobre uma curva fechadaC qualquer. Para isso, note que F = ∇f , com f (x, y) = x2 + y2 + c. Assim d F · dr = ∇f · dr = f (r(t))dt = 0. C C C dtComo C F · dr = 0, para um caminho qualquer C segue que C F · dr éindependente do caminho. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 45 / 168
  46. 46. Teorema fundamental das integrais de linhaUma região no plano D é dita aberta se para cada ponto P ∈ D existir umdisco com centro em P contida em D. E chamamos uma região plana D deconexa se dois pontos quaisquer em D podem ser ligados por um caminhointeiramente em D.Teorema 3Suponha que F seja um campo vetorial contínuo sobre uma região abertaconexa D. Se C F · dr for independente do caminho em D, então F é umcampo conservativo, ou seja, existe um campo escalar f tal que ∇f = F .Para um campo vetorial conservativo são equivalentes as proposições:(a) F = ∇f ,(b) C F · dr = 0, (c) C F · dr independe do caminho de integração. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 46 / 168
  47. 47. Teorema fundamental das integrais de linhaO teorema a seguir nos permite determinar se um campo vetorial éconservativo.Teorema 4Se F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j é um campo vetorial conservativo, onde P e Qtêm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, entãoem todos os pontos de D temos ∂P ∂Q = . ∂y ∂xA recíproca do teorema acima só é válida para um tipo especial de região D. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 47 / 168
  48. 48. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 13Determine se o campo vetorial F(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j é ou nãoconservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 48 / 168
  49. 49. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 13Determine se o campo vetorial F(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j é ou nãoconservativo.SoluçãoNote que P(x, y) = x − y e que Q(x, y) = x − 2, de forma que: ∂P ∂Q = −1 = 1. ∂y ∂xLogo o campo não é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 49 / 168
  50. 50. Teorema fundamental das integrais de linhaUma cuva é dita simples se ela não se autointercepta. E uma região é ditasimplesmente conexa se a mesma é conexa e não contem buracos, ou seja,qualquer curva simples fechada em D contorna pontos que estão somente emD.Teorema 5Seja F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j um campo vetorial sobre uma região Daberta e simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciaisde primeira ordem contínuas e que ∂P ∂Q = , ∂y ∂xem D. Então F é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 50 / 168
  51. 51. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 14Determine se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y2 )j é ou nãoconservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 51 / 168
  52. 52. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 14Determine se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y2 )j é ou nãoconservativo.SoluçãoNote que P(x, y) = 3 + 2xy e que Q(x, y) = x2 − 3y2 , de forma que: ∂P ∂Q = 2x = . ∂y ∂xComo o domínio de F é o plano R2 que é aberto e simplesmente conexo,então o campo é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 52 / 168
  53. 53. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 15 −y xDetermine se o campo vetorial F(x, y) = x2 +y2 i + x2 +y2 j, (x, y) = (0, 0) é ounão conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 53 / 168
  54. 54. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 15 −y xDetermine se o campo vetorial F(x, y) = x2 +y2 i + x2 +y2 j, (x, y) = (0, 0) é ounão conservativo.SoluçãoNote que ∂P −x2 + y2 ∂Q = 2 = . ∂y x + y2 ∂xO resultado acima sugere que F é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 54 / 168
  55. 55. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 15 continuaçãoMas se este for o caso, a integral de linha de F ao longo de qualquer curvafechada C deve ser zero. Assim seja C o círculo unitário percorrido no sentidoanti-horário, com parametrização dada por x = cos(t), y = sin(t) e 0 ≤ t ≤ 2π.Neste caso 2π F · dr = [sin2 (t) + cos2 (t)]dt = 2π. C 0Como a integral acima é diferente de zero, o campo não é conservativo. Noteque apesar das derivadas parciais ∂P e ∂Q serem iguais, o domínio de F não é ∂y ∂xuma região simplesmente conexa, de forma que o teorema anterior não seaplica. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 55 / 168
  56. 56. Teorema fundamental das integrais de linhaCondição para um campo vetorial F(x, y, z) ser conservativoPara que um campo vetorial F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)kdefinido em uma região aberta e simplesmente conexa D, P, Q e R comderivadas parciais de primeira ordem contínuas, seja conservativo, devem sersatisfeitas as seguintes igualdades ∂P ∂Q = , ∂y ∂x ∂P ∂R = , ∂z ∂x ∂Q ∂R = . ∂z ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 56 / 168
  57. 57. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 16Determine se o campo vetorial F(x, y, z) = (yz)i + (xz)j + (xy + 2z)k, é ou nãoconservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 57 / 168
  58. 58. Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 16Determine se o campo vetorial F(x, y, z) = (yz)i + (xz)j + (xy + 2z)k, é ou nãoconservativo.SoluçãoNote que F está definido em todo o R3 , conjunto aberto e simplesmenteconexo. Note também que ∂P ∂Q =z= , ∂y ∂x ∂P ∂R =y= , ∂z ∂x ∂Q ∂R =x= . ∂z ∂yLogo o campo acima é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 58 / 168
  59. 59. Teorema de GreenO teorema a seguir relaciona o cálculo de uma integral de linha de um campovetorial ao longo de uma curva fechada simples C, com uma integral dupla naregião D delimitada por C. Antes, precisamos definir orientação de uma curva.Oritentação de uma curva fechada simples CSeja C uma curva fechada simples dada por r(t), com a ≤ t ≤ b. Dizemos queC tem orientação positiva se ao percorrer C no sentido anti-horário, uma únicavez, a região D estiver sempre à esquerda quando o ponto r(t) percorrer C. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 59 / 168
  60. 60. Teorema de GreenUma vez definida orientação de uma curva C, podemos enunciar o teorema deGreen.Teorema de GreenSeja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientadapositivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadasparciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenhaD, então ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dA. C D ∂x ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 60 / 168
  61. 61. Teorema de GreenExemplo 17Calcule c x4 dx + xydy, onde C é a curva triangular constituida pelossegmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0). Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 61 / 168
  62. 62. Teorema de GreenExemplo 17Calcule c x4 dx + xydy, onde C é a curva triangular constituida pelossegmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).SoluçãoNote que o caminho é fechado, simples e com orientação positiva. Como asfunções P(x, y) = x4 e Q(x, y) = xy têm derivadas contínuas na regiãotriangular acima, podemos utilizar o teorema de Green. ∂Q ∂P x4 dx + xydy = − dA = ydA C D ∂x ∂y D 1 1−x 1 1 1 1 1 = ydydx = (1 − x) dx = − (1 − x)3 2 = . 0 0 2 0 6 0 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 62 / 168
  63. 63. Teorema de GreenExemplo 18Calcule C (3y − esin(x) )dx + (7x + y4 + 1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 63 / 168
  64. 64. Teorema de GreenExemplo 18Calcule C (3y − esin(x) )dx + (7x + y4 + 1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9.SoluçãoUtilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla paracoordenadas polares temos (3y − esin(x) )dx + (7x + y4 + 1)dy = C ∂ ∂ (7x + y4 + 1) − (3y − esin(x) ) dA = D ∂x ∂y 2π 3 2π 3 (7 − 3)rdrdθ = 4 dθ rdr = 36π. 0 0 0 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 64 / 168
  65. 65. Teorema de GreenCálculo de área via integral de linhaSeja C uma curva fechada simples que dilimita uma região D. Se no teoremade Green o integrando da integral dupla for 1, obtemos a área da região D. ∂Q ∂P − = 1. ∂x ∂yAs possíveis funções P(x, y) e Q(x, y) que fornecem o resultado desejado são 1 P(x, y) = 0, P(x, y) = −y, P(x, y) = − y, 2 1 Q(x, y) = x, Q(x, y) = 0, Q(x, y) = x. 2Assim podemos calcular a área de D através das seguintes fórmulas 1 A= xdy = − ydx = xdy − ydx. C C 2 C Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 65 / 168
  66. 66. Teorema de GreenExemplo 19 x2 y2Determine a área delimitada pela elipse a2 + b2 = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 66 / 168
  67. 67. Teorema de GreenExemplo 19 x2 y2Determine a área delimitada pela elipse a2 + b2 = 1.SoluçãoPodemos parametrizar a elipse através das seguintes equações x = a cos(t),y = b sin(t) com 0 ≤ t ≤ 2π. 1 1 2π A= xdy − ydx = [a cos(t)b cos(t) + b sin(t)a sin(t)]dt 2 C 2 0 ab 2π = dt = πab. 2 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 67 / 168
  68. 68. Teorema de GreenExemplo 20Calcule C y2 dx + 3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contidano semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 68 / 168
  69. 69. Teorema de GreenExemplo 20Calcule C y2 dx + 3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contidano semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.SoluçãoUtilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla paracoordenadas polares teremos ∂ ∂ y3 dx + 3xydy = (3xy) − (y2 ) dA = C D ∂x ∂y π 2 = ydA = r2 sin(θ)drdθ D 0 1 π 2 14 = sin(θ)dθ r2 dr = . 0 1 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 69 / 168
  70. 70. Teorema de GreenTeorema de Green para regiões que não são simplesmente conexaConsidere a seguinte região D limitada pelas curvas fechadas C1(externamente) e C2 (internamente), isto é, D é uma região com um buraco.Podemos utilizar o teorema de Green e mostrar que a integral de linha aolongo do caminho C = C1 C2 é dada por: ∂Q ∂P − dA = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy = Pdx + Qdy. D ∂x ∂y C1 C2 C Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 70 / 168
  71. 71. Teorema de GreenExemplo 21Calcule C y3 dx − x3 dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2centrados na origem com orientação positiva. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 71 / 168
  72. 72. Teorema de GreenExemplo 21Calcule C y3 dx − x3 dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2centrados na origem com orientação positiva.SoluçãoNote que a região D é a região contida entre as circunferências de raios 1 e 2assim ∂Q ∂P y3 dx − x3 dy = − dA = −3 (x2 + y2 )dA C D ∂x ∂y D 2π 2 2π 2 r4 45π = −3 r3 drdθ = −3 θ =− . 0 1 0 4 1 2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 72 / 168
  73. 73. Rotacional e divergenteJá vimos que podemos contruir um campo vetorial a partir de um campoescalar aplicando o operador ∇ a um campo escalar f (∇f campo gradiente).Agora veremos como obeter um campo vetorial a partir de outro campovetorial.RotacionalSe F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3 , e as derivadas parciais de P,Q e R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em R3 definido por ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P rot F = ∇ × F = − i+ − j+ − k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 73 / 168
  74. 74. Rotacional e divergenteRotacionalSe pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z,podemos também considerar o produto vetorial formal de ∇ pelo campovetorial F , como se segue: i j k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z P Q R ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = − i+ − j+ − k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = rot F. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 74 / 168
  75. 75. Rotacional e divergenteExemplo 22Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, determine o rotacional de F . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 75 / 168
  76. 76. Rotacional e divergenteExemplo 22Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, determine o rotacional de F .SoluçãoUtilizando a definição temos que i j k ∂ ∂ ∂∇×F = ∂x ∂y ∂z xz xyz −y2 ∂(−y2 ) ∂(xyz) ∂(−y2 ) ∂(xz) ∂(xyz) ∂(xz) = − i− − j+ − k ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y = −y(2 + x)i + xj + yzk. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 76 / 168
  77. 77. Rotacional e divergenteTeorema 1Se f é um campo escalar que tem derivadas parciais contínuas de segundaordem então, rot (∇f ) = 0.Já vimos que se um campo vetorial é conservativo, então F = ∇f . Assimpodemos enunciar o teorema acima da seguinte forma Se F é conservativo, então rot F = 0.A recíproca do teorema acima não é, em geral, verdadeira. Dizemos então quea condição (F é conservativo) é nescessária (para que rot F = 0) porém(rot F = 0) não é sufuciente (para que F seja conservativo). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 77 / 168
  78. 78. Rotacional e divergenteExemplo 23Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k não é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 78 / 168
  79. 79. Rotacional e divergenteExemplo 23Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k não é conservativo.SoluçãoSuponha que F seja conservativo. Então devemos ter que rot F = 0. Mascomo vimos no exemplo anterior ∇ × F = −y(2 + x)i + xj + yzk.Logo F não pode ser conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 79 / 168
  80. 80. Rotacional e divergenteO teorema a seguir nos dá uma condição suficiente para que um campovetorial F ∈ R3 seja conservativo.Teorema 2Se F for um campo vetorial definido sobre todo o R3 (domínio aberto esimplesmente conexo) cujas componentes tenham derivadas parciais desegunda ordem contínuas e rot F = 0, então F será um campo vetorialconservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 80 / 168
  81. 81. Rotacional e divergenteExemplo 24Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = y2 z3 i + 2xyz3 j + 3xy2 z2 k éconservativo e determine sua função potencial. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 81 / 168
  82. 82. Rotacional e divergenteExemplo 24Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = y2 z3 i + 2xyz3 j + 3xy2 z2 k éconservativo e determine sua função potencial.SoluçãoNote que i j k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z y2 z3 2xyz3 3xy2 z2 = (6xyz2 − 6xyz2 )i − (3y2 z2 − 3y2 z2 )j + (2yz3 − 2yz3 )k = 0.Assim o campo é conservativo (note que o domínio de F é aberto esimplesmente conexo). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 82 / 168
  83. 83. Rotacional e divergenteExemplo 24 continuaçãoPara determinar a função potencial basta integral (parcialmente) uma dasfunções componetes e utilizar as demais para determinar as constantes deintegração. Assim fx = y2 z3 =⇒ f (x, y, z) = y2 z3 dx = xy2 z3 + g(y, z).Como fy = 2xyz3 obtemos que g(y, z) = h(z). Note ainda que fz = 3xy2 z2 ,assim h(z) = c. Logo a função potencial é dada por f (x, y, z) = xy2 z3 + c.Um campo vetorial F com rotacional nulo é chamado de irrotacional. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 83 / 168
  84. 84. Rotacional e divergenteJá vimos como obter um campo vetorial a partir de um campo escalar e de umcampo vetorial. Agora veremos como obter um campo escalar através de umcampo vetorial.DivergenteSe F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3 e existem ∂P/∂x, ∂Q/∂y e∂R/∂z, então o divergente de F é o campo escalar dado por ∂P ∂Q ∂R div F = ∇ · F = + + . ∂x ∂y ∂zNovamente se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e∂/∂z, podemos reescrever o divergente como se segue: ∂ ∂ ∂ div F = ∇ · F = , , · P, Q, R . ∂x ∂y ∂z Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 84 / 168
  85. 85. Rotacional e divergenteExemplo 25Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, encontre div F . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 85 / 168
  86. 86. Rotacional e divergenteExemplo 25Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, encontre div F .SoluçãoPela definição temos que ∂(xz) ∂(xyz) ∂(−y2 ) div F = ∇ · F = + + = z + xz. ∂x ∂y ∂z Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 86 / 168
  87. 87. Rotacional e divergenteExemplo 26Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetornulo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 87 / 168
  88. 88. Rotacional e divergenteExemplo 26Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetornulo.SoluçãoSeja F = Pi + Qj + Rk um campo vetorial, cujas funções componentesapresentam derivadas de segunda ordem contínuas. Assim ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P G = rot F = − i+ − j+ − k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂yCalculando o divergente do campo G temos que div G = div rot F ∂ ∂R ∂Q ∂ ∂P ∂R ∂ ∂Q ∂P = − + − + − . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 88 / 168
  89. 89. Rotacional e divergenteExemplo 26 continuação div G = div rot F ∂2 R ∂2 Q ∂2 P ∂2 R ∂2 Q ∂2 P = − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y = 0.uma vez que os termos se cancelam aos pares (teorema de Schwarz). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 89 / 168
  90. 90. Rotacional e divergenteLaplacianoAinda podemos definir outro campo escalar ao aplicarmos o operador ∇ a umcampo gradiente ∇f . O resultado é o seguinte campo escalar ∂2 f ∂2 f ∂2 f div(∇f ) = ∇ · (∇f ) = + + . ∂x2 ∂y2 ∂z2Essa expressão aperecer com tanta frequencia de forma que vamos abreviá-lacomo ∇2 f . Ao operador ∇2 chamamos de laplaciano. E se F = Pi + Qj + Rk éum campo vetorial, podemos também aplicar ∇2 a F como ∇2 F = ∇2 Pi + ∇2 Qj + ∇2 Rk. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 90 / 168
  91. 91. Rotacional e divergenteExemplo 27Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:(a) f (x, y, z) = exyz ,(b) F(x, y, z) = ex , exy , exyz . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 91 / 168
  92. 92. Rotacional e divergenteExemplo 27Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos: (a) f (x, y, z) = exyz , (b) F(x, y, z) = ex , exy , exyz .SoluçãoNote que ∇f = yzexyz , xzexyz , xyexyz , de forma que ∂(yzexyz ) ∂(xzexyz ) ∂(xyexyz ) ∇2 f = + + = exyz [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ]. ∂x ∂y ∂z Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 92 / 168
  93. 93. Rotacional e divergenteExemplo 27 continuaçãoNo exemplo (b) note que P = ex , Q = exy e R = exyz . Assim ∇2 P = ∇2 ex = ex ∇2 Q = ∇2 exy = (x2 + y2 )exy ∇2 R = ∇2 exyz = [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ]exyz .Logo temos que ∇2 F = ex , (x2 + y2 )exy , [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ]exyz . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 93 / 168
  94. 94. Superfícies parametrizadas e suas áreasSuperfícies parametrizadasUma superfície parametrizada é uma função vetorial r(u, v) de doisparâmetros u e v, que pode ser expressa da seguinte forma r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.Note que na equação acima o domínio de r é uma região do plano uv, e suaimagem é um subconjunto do R3 , chamada de superfície parametrizada. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 94 / 168
  95. 95. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 28Identifique e esboce a superfície com equação vetorialr(u, v) = 2 cos(u)i + vj + 2 sin(u)k. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 95 / 168
  96. 96. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 28Identifique e esboce a superfície com equação vetorialr(u, v) = 2 cos(u)i + vj + 2 sin(u)k.SoluçãoDa função acima temos que x(u, v) = 2 cos(u), y(u, v) = v e z(u, v) = 2 sin(u).Note ainda que x2 + z2 = 4 para qualquer valor de u, e que y pode assumirqualquer valor v. Assim a superfície resultante é um cilindro infinito com exiodo cilindro sobre o eixo y. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 96 / 168
  97. 97. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 29Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0com vetor posição r0 e que contenha dois vetores não paralelos a e b. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 97 / 168
  98. 98. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 29Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0com vetor posição r0 e que contenha dois vetores não paralelos a e b.Solução −→ −Seja P um ponto do plano em questão, então o vetor P0 P pode ser escrito −→ −como uma combinação dos vetores a e b, isto é, P0 P = ua + vb. Mas o vetor−→ −→ −→ − −OP = OP0 + P0 P, ou seja, r = r0 + ua + vb. Assim r(u, v) = r0 + ua + vb. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 98 / 168
  99. 99. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 30Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centradana origem. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 99 / 168
  100. 100. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 30Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centradana origem.SoluçãoDevemos parametrizar x2 + y2 + z2 = a2 . Para tanto basta tomarmosx = a sin(φ) cos(θ), y = a sin(φ) sin(θ) e z = a cos(φ). Assim a equaçãovetorial resultante é r(θ, φ) = a sin(φ) cos(θ)i + a sin(φ) sin(θ)j + a cos(φ)k,com θ ∈ [0, 2π] e φ ∈ [0, π/2]. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 100 / 168
  101. 101. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 31Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elípticoz = x2 + 2y2 . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 101 / 168
  102. 102. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 31Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elípticoz = x2 + 2y2 .SoluçãoNeste caso podemos utilizar o fato de que z = f (x, y) e considerar a seguinteparametrização x = x, y = y e z = x2 + 2y2 , de forma que r(x, y) = xi + yj + (x2 + 2y2 )k.De forma geral, para uma função do tipo z = f (x, y), temos a seguinteparametrização r(x, y) = xi + yj + f (x, y)k, chamada de parametrizaçãonatural. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 102 / 168
  103. 103. Superfícies parametrizadas e suas áreasDada uma superfície parametrizada S, podemos perguntar pelo plano tangenteem um ponto (x0 , y0 , z0 ) pertencente à S. Quando tal plano existe para todoponto P ∈ S dizemos que S é diferenciável ou lisa.Planos tangentesSeja r(u, v) uma superfícies parametrizada. Seja ainda (u0 , v0 ) um ponto dodomínio de r. Note que as funções r(u, v0 ) e r(u0 , v) representam curvassobre S, chamadas de curvas coordenadas. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 103 / 168
  104. 104. Superfícies parametrizadas e suas áreasPlanos tangentesOs vetores tangentes às curvas coordenadas r(u, v0 ) e r(u0 , v) são dados porru e rv , respectivamente, isto é, tomando-se as derivadas parciais de r(u, v)em relação a u e v. Assim o plano tangente à S em P0 = (x0 , y0 , z0 ), quecontem os vetores ru e rv , tem vetor normal dado por N(P0 ) = ru × rv = ru (x0 , y0 , z0 ) × rv (x0 , y0 , z0 ).Ou ainda i j k ∂x ∂y ∂z N(x0 , y0 , z0 ) = ∂u ∂u ∂u . ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂vSejam então N = (a, b, c) e P0 = (x0 , y0 , z0 ), o plano tangente ficaa(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 104 / 168
  105. 105. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 32Determine a equação do plano tangente à superfície com equaçõesparamétricas x = u2 , y = v2 e z = u + 2v no ponto (1, 1, 3). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 105 / 168
  106. 106. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 32Determine a equação do plano tangente à superfície com equaçõesparamétricas x = u2 , y = v2 e z = u + 2v no ponto (1, 1, 3).SoluçãoO vetor normal ao plano é dado por i j k i j k ∂yN(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = ∂x ∂u ∂u ∂z ∂u = 2u 0 1 = −2vi − 4uj + 4uvk. ∂x ∂y ∂z 0 v 2 ∂v ∂v ∂vO ponto (1, 1, 3) corresponde a u = v = 1. Assim N(1, 1, 3) = −2i − 4j + 4k,de forma que o plano fica −2(x − 1) − 4(y − 1) + 4(z − 3) = 0. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 106 / 168
  107. 107. Superfícies parametrizadas e suas áreasÁrea de superfícieSeja (u0 , v0 ) um ponto do domínio D de r(u, v). Os pontos (u0 , v0 ),(u0 + ∆u, v0 ), (u0 , v0 + ∆v) e (u0 + ∆u, v0 + ∆v) definem um retângulo no planouv com área ∆u∆v. A parametrização r(u, v) transforma esse retânguloaproximadamente em um paralelogramo de área ∆S ≈ ru × rv ∆u∆v.DefiniçãoDada uma superfície lisa S com parametrização r(u, v), a área de S é dada por A(S) = dS = ru × rv dudv, S Donde dS = ru × rv dudv é chamado elemento de superfície. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 107 / 168
  108. 108. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 33Determine a área da esfera de raio a. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 108 / 168
  109. 109. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 33Determine a área da esfera de raio a.SoluçãoA parametrização da esfera ér(u, v) = a sin(φ) cos(θ)i + a sin(φ) sin(θ)j + a cos(φ)k. de forma que i j k i j k ∂x ∂y ∂z rφ × rθ = ∂φ ∂φ ∂φ = a cos(φ) cos(θ) a cos(φ) sin(θ) −a sin(φ) ∂x ∂y ∂z −a cos(φ) sin(θ) a sin(φ) cos(θ) 0 ∂θ ∂θ ∂θ = a sin (φ) cos(θ)i + a2 sin2 (φ) sin(θ)j + a2 sin(φ) cos(φ)k. 2 2Assim rφ × rθ = a2 sin(φ). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 109 / 168
  110. 110. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 33 continuaçãoLogo a área é dada por 2π π A(S) = a2 sin(φ)dφdθ = a2 sin(φ)dφdθ D 0 0 2π π = a2 θ − cos(φ) = 4πa2 . 0 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 110 / 168
  111. 111. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 34Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 111 / 168
  112. 112. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 34Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h.SoluçãoO cilindro pode ser parametrizado da seguinte formar(θ, z) = a cos(θ)i + a sin(θ)j + zk, com θ ∈ [0, 2π] e z ∈ [0, h] de forma que i j k i j k ∂y rθ × rz = ∂x ∂θ ∂θ ∂z ∂θ = −a sin(θ) a cos(θ) 0 ∂x ∂y ∂z 0 0 1 ∂z ∂z ∂z = a cos(θ)i + a sin(θ)j.Assim temos que rθ × rz = a. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 112 / 168
  113. 113. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 34 continuaçãoLogo a área é dada por 2π h A(S) = adzdθ = a dzdθ = 2πah. D 0 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 113 / 168
  114. 114. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 35Determine a área de uma superfície dada por z = f (x, y). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 114 / 168
  115. 115. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 35Determine a área de uma superfície dada por z = f (x, y).SoluçãoA parametrização neste caso é r(x, y) = xi + yi + f (x, y)k, de forma que i j k i j k ∂x ∂y ∂z rx × ry = ∂x ∂x ∂x = 1 0 fx ∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂y 0 1 fy = −fx i − fy j + k.Assim temos que rx × ry = 1 + (fx )2 + (fy )2 . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 115 / 168
  116. 116. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 35 continuaçãoLogo a área é dada por 2 2 ∂f ∂f A(S) = 1 + (fx )2 + (fy )2 dxdy = 1+ + dxdy. D D ∂x ∂yNote que a expressão acima é geral, isto é, dada uma superfície S do tipoz = f (x, y), podemos aplicar a equação acima para determinar sua área. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 116 / 168
  117. 117. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 36Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo doplano z = 9. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 117 / 168
  118. 118. Superfícies parametrizadas e suas áreasExemplo 36Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo doplano z = 9.SoluçãoPodemos utilizar o resultado do exemplo anterior, de forma que 2 2 ∂f ∂f A(S) = 1+ + dxdy = 1 + 4(x2 + y2 )dxdy D ∂x ∂y D 2π 3 2π 37 π √ = 1 + 4r2 rdrdθ = u1/2 du = (37 37 − 1). 0 0 8 1 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 118 / 168
  119. 119. Integral de superfícieDefiniçãoSeja f (x, y, z) um campo escalar definido em uma superfície parametrizada S,definimos a integral de superfície de f sobre S como a seguinte integral f (x, y, z)dS = f (r(u, v)) ru × rv dudv. S DNote a semelhança da integral de superfície definida acima com a integral delinha de um campo escalar: b f (x, y, z)ds = f (r(t)) r (t) dt. C aNo caso particular onde o campo escalar é o campo constante f (x, y, z) = 1,pela definição temos então que 1dS = ru × rv dudv = A(S). S D Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 119 / 168
  120. 120. Integrais de superfíciesExemplo 37 2 dS,Calcule a integral de superfície Sx onde S é a esfera unitáriax2 + y2 + z2 = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 120 / 168
  121. 121. Integrais de superfíciesExemplo 37 2 dS,Calcule a integral de superfície Sx onde S é a esfera unitáriax2 + y2 + z2 = 1.SoluçãoJá vimos que o elemente dá área superficial para uma esfera de raio a édS = a2 sin(φ)dφdθ. Assim a integral é dada por x2 dS = sin2 (φ) cos2 (θ)[sin(φ)]dφdθ S D 2π π = sin3 (φ) cos2 (θ)dφdθ 0 0 π 1 2π 4π =− [1 − cos2 (φ)]d[cos(φ)] [1 + cos(2θ)]dθ = . 0 2 0 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 121 / 168
  122. 122. Integrais de superfíciesExemplo 38Calcule S ydS, onde S é a superfície z = x + y2 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 122 / 168
  123. 123. Integrais de superfíciesExemplo 38Calcule S ydS, onde S é a superfície z = x + y2 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2.SoluçãoNeste caso podemos utilizar a parametrização natural e reescrever a integralde superfície como 2 2 ∂f ∂f f (x, y, z)dS = f (x, y, g(x, y)) 1 + + dxdy, S D ∂x ∂yonde z = g(x, y) é a equação da superfície. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 123 / 168
  124. 124. Integrais de superfíciesExemplo 38 continuaçãoAssim temos que 1 2 ydS = y 2 + 2y2 dxdy = y 2 + 2y2 dydx S D 0 0 1 2 1 18 1 1 3 = dxy 2 + 4y2 dy = u 2 du = [u 2 ]18 2 0 0 4 2 6 √ 1 √ √ 13 2 = [18 18 − 2 2] = . 6 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 124 / 168
  125. 125. Integrais de superfíciesUnião de superfícies lisasSe S é uma superfície lisa por partes, ou seja, uma união finita de superfícieslisas S1 , S2 , . . . , Sn , que se interceptam somente ao longo de suas fronteiras,então a integral de superfície de f (x, y, z) sobre S é definida por f (x, y, z)dS = f (x, y, z)dS + f (x, y, z)dS + · · · + f (x, y, z)dS. S S1 S2 Sn Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 125 / 168
  126. 126. Integrais de superfíciesExemplo 39Calcule S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindrox2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3é a parte do plano z = 1 + x que está acima de S2 . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 126 / 168
  127. 127. Integrais de superfíciesExemplo 39Calcule S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindrox2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3é a parte do plano z = 1 + x que está acima de S2 .SoluçãoA superfície desejada tem a seguinte forma Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 127 / 168
  128. 128. Integrais de superfíciesExemplo 39 continuaçãoSobre a superfície S2 onde x2 + y2 ≤ 1 temos que S2 zdS = S2 0dS = 0.Sobre a S3 temos √ √ 2π 1 zdS = (1 + x) 2dydx = 2 [1 + r cos(θ)]rdrdθ S3 D 0 0 √ 2π √ θ sin(θ) 2π √ 1 1 = 2 + cos(θ) dθ = 2 + = 2π. 0 2 3 2 3 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 128 / 168
  129. 129. Integrais de superfíciesExemplo 39 continuaçãoJá vimos que o elemento de área lateral para um cilindro de raio a édS = adθdz, assim 2π 1+cos(θ) zdS = zdθdz = zdzdθ S1 D 0 0 1 2π = [1 + 2 cos(θ) + cos2 (θ)]dθ 2 0 2π 1 1 sin(2θ) = θ + sin(θ) + θ + = 2π. 2 2 2 0Assim a integral de superfície procurada é 3π √ zdS = zdS + zdS + zdS = + 2π. S S1 S2 S3 2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 129 / 168
  130. 130. Integrais de superfíciesSuperfícies orientadasDada uma parametrização r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k de umsuperfície S, definimos o vetor normal unitário em S como ru × rv n(u, v) = . ru × rvSe n estiver definido em todo ponto de S, dizemos que a superfície éorientada. Dizemos ainda que S tem orientação positiva se o vetor normalunitário aponta para fora de S, e negativa se aponta para dentro de S. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 130 / 168
  131. 131. Integrais de superfíciesFluxo de um campo vetorialSeja V o campo de velocidade de uma fluido com densidade ρ. A massa dmque atravessa o elemento de superfície dS, na direção do vetor unitário n, porunidade de tempo, é dada por dm = ρV · ndS.Podemos definir a quantidade F = ρV como um campo vetorial. Assim o fluxode massa através da superfície S é dado por m= ρV · ndS = F · ndS. S SPodemos utilizar o exemplo acima para definir o fluxo de um campo vetorialatravés de uma superfície S. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 131 / 168
  132. 132. Integrais de superfíciesDefiniçãoSe F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada Scom vetor unitário n, então a integral de superfície (fluxo) de F sobre S é Fluxo de F = F · ndS = F · dS. S SNote que se r(u, v) é uma parametrização de uma superfície S, entãopodemos reescrever a expessão acima notando que n(u, v) = ru ×rv e que r ×r u vdS = ru × rv dudv. Assim F · ndS = F · (ru × rv )dudv. S D Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 132 / 168
  133. 133. Integrais de superfíciesExemplo 40Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 133 / 168
  134. 134. Integrais de superfíciesExemplo 40Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.SoluçãoDada a parametrização r(φ, θ) = sin(φ) cos(θ)i + sin(φ) sin(θ)j + cos(φ)k,temos que rφ × rθ = sin2 (φ) cos(θ)i + sin2 (φ) sin(θ)j + sin(φ) cos(φ)k. Noteainda que F(r(φ, θ)) = cos(φ)i + sin(φ) sin(θ)j + sin(φ) cos(θ)k.De forma que F · (rφ × rθ ) = sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ) + sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) = 2 sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 134 / 168
  135. 135. Integrais de superfíciesExemplo 40 continuaçãoAssim o fluxo é dado por 2π π F · (rφ × rθ )dφdθ = [2 sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ)]dφdθ D 0 0 2π π = sin3 (φ) sin2 (θ)dφdθ 0 0 2π π = sin2 (θ)dθ sin3 (φ)dφ 0 0 4π = . 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 135 / 168
  136. 136. Integrais de superfíciesExemplo 41Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk através de umasuperfície dada por z = g(x, y). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 136 / 168
  137. 137. Integrais de superfíciesExemplo 41Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk através de umasuperfície dada por z = g(x, y).SoluçãoNote que rx × ry = −gx i − gy j + k, de forma que F · (rx × ry ) = −Pgx − Qgy + R.Assim o fluxo do campo vetorial é dado por ∂g ∂g F · dS = −P − Q + R dxdy. S D ∂x ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 137 / 168
  138. 138. Integrais de superfíciesExemplo 42Calcule S F · dS, onde F(x, y, z) = yi + xj + zk e S é a fronteira da regiãosólida E delimitada pelo paraboloide z = 1 − x2 − y2 e pelo plano z = 0. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 138 / 168
  139. 139. Integrais de superfíciesExemplo 42Calcule S F · dS, onde F(x, y, z) = yi + xj + zk e S é a fronteira da regiãosólida E delimitada pelo paraboloide z = 1 − x2 − y2 e pelo plano z = 0.SoluçãoA superfície (fechada) tem a seguinte forma: Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 139 / 168
  140. 140. Integrais de superfíciesExemplo 42 continuaçãoSobre a superfície S2 o vetor n = −k, de forma que F · (−k) = −z. Mas sobreo plano xy temos que z = 0, assim S2 F · dS = 0. Sobre S1 temos que ∂g ∂g F · dS = −P − Q + R dxdy = [1 − x2 − y2 + 4xy]dxdy S1 D ∂x ∂y D 2π 1 = [1 − r2 + 4r2 cos(θ) sin(θ)]rdrdθ 0 0 π 2π π = π− + cos(θ) sin(θ)dθ = . 2 0 2Assim S F · dS = S1 F · d S + S2 F · d S = π. 2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 140 / 168
  141. 141. O teorema do divergenteJá vimos que no cálculo de certas integrais de linha sobre um caminhofechado, podemos converter a integral de linha em uma integral dupla(Teorema de Green). Veremos agora sobre que condições poderemosconverter uma integral de superfície em uma integral tripla.Teorema do divergente ou de GaussSeja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientadapositivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas funçõescomponentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta quecontenha E. Então F · ndS = div FdV. S E Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 141 / 168
  142. 142. O teorema do divergenteExemplo 43Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 142 / 168
  143. 143. O teorema do divergenteExemplo 43Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.SoluçãoComo a superfície em questão é fechada, uma esfera unitária, podemosaplicar o Teorema de Guass. Note que ∇ · F = 1. Assim 4π F · ndS = div FdV = dV = V(E) = . S E E 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 143 / 168
  144. 144. O teorema do divergenteExemplo 44 2Calcule S F · ndS, onde F(x, y, z) = xyi + (y2 + exz )j + sin(xy)k e S é asuperfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1 − x2 e pelos planosz = 0, y = 0 e y + z = 2. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 144 / 168
  145. 145. O teorema do divergenteExemplo 44 2Calcule S F · ndS, onde F(x, y, z) = xyi + (y2 + exz )j + sin(xy)k e S é asuperfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1 − x2 e pelos planosz = 0, y = 0 e y + z = 2.SoluçãoNote que ∇ · F = 3y, assim 1 1−x2 2−z F · dS = 3ydV = 3 ydydzdx S E −1 0 0 2 (2 − z)3 1−x 2 3 1 1−x 3 1 = (2 − z)2 dzdx = − dx 2 −1 0 2 −1 3 0 −1 1 2 −1 1 6 184 = [(x + 1)3 − 8]dx = (x + 3x4 + 3x2 − 7)dx = . 2 −1 2 −1 35 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 145 / 168
  146. 146. O teorema do divergenteExemplo 45Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + xj + yk através do cilindrox2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 146 / 168
  147. 147. O teorema do divergenteExemplo 45Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + xj + yk através do cilindrox2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1.SoluçãoNote que ∇ · F = 0, de forma que o fluxo de F através do cilindro é dado por F · ndS = div FdV = 0dV = 0. S E E Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 147 / 168
  148. 148. O teorema de StokesVeremos agora uma generalização do teorema de Green.Curva fronteira de uma superfície orientadaSeja S uma superfície orientada positivamente. Uma curva C que delimita asbordas de S é chamada de curva fronteira. A curva fronteira tem orientaçãopositiva se ao deslizarmos o dedo indicador a longo de C, o polegar apontarna mesma direção do vetor n de S. Do contrário, C tem oritentação negativa. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 148 / 168
  149. 149. O teorema de StokesTeorema de StokesSeja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada poruma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientação positiva. Seja Fum campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas emuma região aberta do R3 que contém S. Então F · dr = rot F · dS. C S ∂QNote que se F = Pi + Qj, então rot F = ∂x − ∂P k, e que dS = kdxdy. Assim ∂y ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dxdy, C D ∂x ∂yque é o teorema de Green. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 149 / 168
  150. 150. O teorema de StokesExemplo 46Calcule C F · dr, onde F(x, y, z) = −y2 i + xj + z2 k e C é a curva daintersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 150 / 168
  151. 151. O teorema de StokesExemplo 46Calcule C F · dr, onde F(x, y, z) = −y2 i + xj + z2 k e C é a curva daintersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1.SoluçãoNote que i j k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z = (1 + 2y)k. −y2 x z2Assim F · dr = rot F · dS = (1 + 2y)dxdy C S D 2π 1 2π 1 2 = [1 + 2r sin(θ)]rdrdθ = + sin(θ) dθ = π. 0 0 0 2 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 151 / 168
  152. 152. O teorema de StokesExemplo 47Use o teorema de Stokes para calcular S rot F · dS, ondeF(x, y, z) = xzi + yzj + xyk e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estádentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 152 / 168
  153. 153. O teorema de StokesExemplo 47Use o teorema de Stokes para calcular S rot F · dS, ondeF(x, y, z) = xzi + yzj + xyk e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estádentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.SoluçãoA curva fronteira C é obtida pela intersecção de x2 + y2 + z2 √ 4 com =x2 + y2 = 1, isto é, uma circunferência unitária no plano z = 3. Assim temos √que r(t) =√cos(t)i + sin(t)j + 3k. Logo r (t) = − sin(t)i + cos(t)j e √F(r(t)) = 3 cos(t)i + 3 sin(t)j + cos(t) sin(t)k. De forma que rot F · dS = F · dr S C 2π √ √ = [− 3 cos(t) sin(t) + 3 cos(t) sin(t)]dt = 0. 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 153 / 168
  154. 154. O teorema de StokesExemplo 48Use o teorema de Stokes para calcular C F · dr, ondeF(x, y, z) = z2 i + y2 j + xk e C é o triangulo com vérteces (1, 0, 0), (0, 1, 0) e(0, 0, 1) no sentido antihorário. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 154 / 168

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