Este documento es una traducción al español del apéndice C “Fields” del libro de texto “Linear Algebra Fourth Edition” de Friedberg, S.H., Insel, A.J. y Spence, L.E.. La cual se realizó con el propósito de servir como un resumen general de lo que es un campo y algunas de sus propiedades, teoremas y corolarios; para la mejor comprensión de algunos temas de Álgebra Abstracta y Álgebra Lineal.

1. Campos
“Fields”
Ángel M. Carreras Jusino
3/13/2009
Este documento es una traducción al español del apéndice C “Fields” del libro de texto “Linear Algebra
Fourth Edition” de Friedberg, S.H., Insel, A.J. y Spence, L.E.. La cual se realizó con el propósito de servir
como un resumen general de lo que es un campo y algunas de sus propiedades, teoremas y corolarios;
para la mejor comprensión de algunos temas de Álgebra Abstracta y Álgebra Lineal.
1

2. Campos 2009
El conjunto de todos los números reales es un ejemplo de una estructura algebraica llamada un
campo. Básicamente, un campo es un conjunto en el cual se pueden definir cuatro operaciones
(llamadas adición, multiplicación, substracción y división) de tal forma, que con la excepción de
la división por cero, la suma, producto, diferencia y cociente de cualquier dos elementos en el
conjunto es un elemento del conjunto. De manera más precisa, un campo se define de la
siguiente manera.
Definiciones. Un campo F es un conjunto en el cual dos operaciones + y ∙ (llamadas
adición y multiplicación, respectivamente) están definidas tal que, para cada par de elementos
x, y en F, existen elementos únicos x + y, x ∙ y en F para los cuales las siguientes condiciones se
mantienen para todos los elementos a, b, c en F.
(F.1) a  b  b  a y a  b  b  a (conmutatividad de adición y multiplicación)
(F.2)  a  b   c  a   b  c  y  a  b   c  a   b  c  (asociatividad de adición y multiplicación)
(F.3) Existen elementos distintos 0 y 1 en F tal que
0  a  a y 1 a  a
(existencia de elementos identidad para adición y multiplicación)
(F.4) Para cada elemento a en F y cada elemento b en F, existen elementos c y d tal que
a  c  0 y bd 1
(existencia de inversos para adición y multiplicación)
(F.5) a   b  c   a  b  a  c (distributividad de la multiplicación sobre la adición)
Los elementos x + y & x ∙ y son llamados la suma y el producto, respectivamente, de x & y. Los
elementos 0 (“cero”) y 1 (“uno”) mencionados en (F.3) son llamados los elementos identidad
para adición y multiplicación, respectivamente, y los elementos c y d referidos en (F.4) son
llamados un inverso aditivo para a y un inverso multiplicativo para b, respectivamente.
Ejemplo 1
El conjunto de los números reales R con las definiciones usuales de adición y multiplicación es
♦
un campo.
Ejemplo 2
El conjunto de los números racionales con las definiciones usuales de adición y multiplicación es
♦
un campo.
Ejemplo 3
El conjunto de todos los números reales de la forma a  b 2 , donde a y b son números
♦
racionales, con la adición y multiplicación como en R es un campo.
Ejemplo 4
El campo Z 2 consiste de dos elementos 0 y 1 con las operaciones de adición y multiplicación
definidas por las ecuaciones
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0,
0 ∙ 0 = 0, 0 ∙ 1 = 1 ∙ 0 = 0, 1 ∙ 1 = 1. ♦
2
Ángel M. Carreras Jusino

3. Campos 2009
Ejemplo 5
El conjunto de los enteros positivos y el conjunto de los enteros negativos con las definiciones
usuales de adición y multiplicación NO son un campo, para cada caso la condición (F.4) no se
♦
sostiene.
Los elementos identidad e inverso garantizados por (F.3) y (F.4) son únicos; esto es una
consecuencia del siguiente teorema.
Teorema 1 (Leyes de Cancelación). Para elementos arbitrarios a, b & c en un campo,
los siguientes enunciados son ciertos.
(a) Si a  b  c  b , entonces a  c .
(b) Si a  b  c  b y b  0 , entonces a  c .
Demostración. (a) La demostración de (a) se deja como ejercicio.
(b) Si b  0 , entonces (F.4) garantiza la existencia de un elemento d en el campo tal que
b  d  1. Multiplicamos ambos lados de la igualdad a  b  c  b por d para obtener
 a  b   d   c  b   d . Consideremos el lado izquierdo de esta igualdad: Por (F.2) y (F.3),
tenemos  a  b   d  a   b  d   a 1  a . De manera similar, el lado derecho de la igualdad
se reduce a c. Así que, a  c . █
Corolario. Los elementos 0 y 1 mencionados en (F.3) y los elementos c y d mencionados
en (F.4), son únicos.
Demostración. Asume que 0  F satisface 0  a  a para toda a  F . Dado que
0  a  a para toda a  F , tenemos que 0  a  0  a para toda a  F . Así que 0  0 por el
Teorema 1.
█
Las demostraciones de las partes restantes son similares.
Cada elemento b en un campo tiene un inverso aditivo único y, si b  0 , un inverso
multiplicativo único. (Se muestra en el corolario al Teorema 2 que 0 no posee inverso
multiplicativo.) El inverso aditivo y el inverso multiplicativo de b son denotados por b y b 1 ,
respectivamente. Note que   b   b y  b 1   b .
1
Sustracción y división puede ser definida en términos de adición y multiplicación
utilizando los inversos aditivos y multiplicativos. Específicamente, la sustracción de b es
definida como la adición de b y la división por b  0 es definida como la multiplicación por
b 1 ; esto es,
a
a  b  a   b  y  a  b 1 .
b
1
denota b 1 . La división por cero está indefinida, pero, con esta
En particular, el símbolo
b
excepción, la suma, producto, diferencia y cociente de cualquier dos elementos de un campo
están definidos.
3
Ángel M. Carreras Jusino

4. Campos 2009
Muchas de las propiedades familiares de multiplicación de los números reales son ciertos
en cualquier campo, como lo muestra el siguiente teorema.
Teorema 2. Sean a y b elementos arbitrarios de un campo. Entonces cada uno de los
siguientes enunciados es cierto.
(a) a  0  0
(b)  a   b  a   b     a  b 
(c)  a    b   a  b
Demostración. (a) Dado que 0  0  0 , (F.5) muestra que
0  a  0  a  0  a   0  0  a  0  a  0
Así que 0  a  0 por el Teorema 1.
(b) Por definición,   a  b  es el único elemento de F con la propiedad
a  b    a  b   0 . Así que para demostrar que  a   b    a  b  , es suficiente mostrar que
 
a  b   a   b  0 . Pero a es el elemento de F tal que a   a   0 ; así que
a  b   a   b   a    a    b  0  b  b  0  0
 
por (F.5) y (a). Así que  a   b    a  b  . La demostración de que a   b     a  b  es similar.
(c) Aplicando (b) dos veces, encontramos que
 a    b    a   b      a  b   a  b . █
   
Corolario. La identidad aditiva de un campo no tiene inverso multiplicativo.
En un campo arbitrario F, puede ocurrir que una suma 1  1  ...  1 (p sumandos) sea igual
a 0 para algún entero positivo p. Por ejemplo, en el campo Z 2 (definido en el Ejemplo 4),
1  1  0 . En este caso, el entero positivo más pequeño p para el cual una suma de p 1’s es igual a
0 es llamado la característica de F; si tal entero positivo no existe, entonces se dice que F tiene
característica cero. Así que Z 2 tiene característica dos y R tiene característica cero. Observe
que si F tiene característica p  0 , entonces x  x  ...  x (p sumandos) es igual a 0 para todo
x  F . En un campo que posea característica diferente de cero (especialmente característica dos),
aparecen muchos problemas no-naturales.
4
Ángel M. Carreras Jusino

5. Campos 2009
Bibliografía
Friedberg, S.H., Insel, A.J., y Spence, L.E. (2003). Linear algebra (4a. Ed.). New Jersey:
Prentice Hall.
5
Ángel M. Carreras Jusino