Este documento describe la distribución binomial. Un experimento sigue una distribución binomial si tiene dos posibles resultados (éxito/fracaso), la probabilidad de éxito es constante en cada prueba, y los resultados de cada prueba son independientes. La variable aleatoria binomial X cuenta el número de éxitos y toma valores entre 0 y n, donde n es el número de pruebas. La probabilidad de obtener k éxitos se expresa como una función binomial.

1. Ejemplo: Al lanzar dos dados la suma de ambos puede asumir 11 valores
diferentes en 36 puntos muestrales
En este caso vemos que la distribución de p(x) obtenida es simétrica.
Para el caso de 1 solo dado, donde todos los valores tienen la misma
probabilidad de salir (1/6), obtendríamos una
distribución uniforme

2. Distribución Binomial
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
•En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A
(éxito) y su contrario Ā (fracaso).
•El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos anteriormente.
•La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía
de una prueba a otra. La probabilidad de Ā es 1- p y la representamos por q .
El experimento consta de un número n de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la
distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos
en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

3. Distribución Binomial
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores
0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k)
fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
Se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.
Función de probabilidad de la distribución Binomial
o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1).
Verificándose: 0  p  1
Probabilidad de obtener K éxitos
n k nk
p( X  k )     p  q
k

4. Distribución Binomial
Parámetros de la Distribución Binomial
Función de Distribución de la variable aleatoria Binomial
n 0 n n 1 n 1 n k nk
F ( x1 )  p ( X  x1 )     p q   p q  ....     p q
0 1 k
Siendo K el mayor número entero menor o igual a xi
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad
de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.

5. Distribución Binomial
Resumen Distribución Binomial
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.
n!
P( x; n, p)  p x (1  p) n  x
(n  x)!x!
n!
P( x; n, p)  p x q n x
(n  x)!x!