Recommended
More Related Content
Featured
Featured (20)
Lmit and adjointment
- 3. そもそも : 圏の極限とは？ • 部分圏 𝒟 : ある圏 𝒞 の一部であって 圏の定義を満たすもの • 圏の定義 : 恒等射，合成射， 合成の交換則 𝒞 𝒟
- 4. そもそも : 圏の極限とは？ • 極限lim ⟵ 𝒟 : 圏 𝒞 の対象で以下の 条件を満たすもの 1) 圏 𝒟の全ての対象に 射が伸びている 2) 1)を満たす全ての対象 から射が唯一つ伸びている (おなじみ普遍性) 𝒞 𝒟 lim ⟵ 𝒟
- 5. そもそも : 圏の極限とは？ • 余極限lim ⟶ 𝒟 : 圏 𝒞 の対象で以下の 条件を満たすもの 1) 圏 𝒟の全ての対象から 射が伸びている 2) 1)を満たす全ての対象 に射が唯一つ伸びている (おなじみ普遍性) 𝒞 𝒟 lim ⟶ 𝒟
- 6. そもそも : “関手の”極限 • 関手 F ∶ ℬ → 𝒞 の像は圏 ℬ の構造を反映した部分圏 • 圏 ℬを固定しても関手 Fが 変わると像も変わる 𝒞 𝒟 ℬ F
- 7. そもそも : “関手の”極限 • 関手 F ∶ ℬ → 𝒞 の像は圏 ℬ の構造を反映した部分圏 • 圏 ℬを固定しても関手 Fが 変わると像も変わる ↓↓ • “部分圏の極限”ではなく “関手の極限”も定義できる 𝒞 𝒟 ℬ Flim ⟵ℬ F = lim ⟵ 𝒟 lim ⟶ℬ F = lim ⟶ 𝒟 lim ⟶ℬ Flim ⟵ℬ F
- 8. そもそも : “関手の”極限 𝒞 𝒟′ ℬ F′ • 関手 F ∶ ℬ → 𝒞 の像は圏 ℬ の構造を反映した部分圏 • 圏 ℬを固定しても関手 Fが 変わると像も変わる ↓↓ • “部分圏の極限”ではなく “関手の極限”も定義できる lim ⟵ℬ F′ = lim ⟵ 𝒟′ lim ⟶ℬ F′ = lim ⟶ 𝒟′ なんか偶然 いい例見つけた
- 9. そもそも : “関手の”極限 𝒞 𝒟′ ℬ F′ • 関手 F ∶ ℬ → 𝒞 の像は圏 ℬ の構造を反映した部分圏 • 圏 ℬを固定しても関手 Fが 変わると像も変わる ↓↓ • “部分圏の極限”ではなく “関手の極限”も定義できる lim ⟶ℬ F′ lim ⟵ℬ F′ = lim ⟵ 𝒟′ lim ⟶ℬ F′ = lim ⟶ 𝒟′
- 10. そもそも : “関手の”極限 𝒞 𝒟′ ℬ F′ • 関手 F ∶ ℬ → 𝒞 の像は圏 ℬ の構造を反映した部分圏 • 圏 ℬを固定しても関手 Fが 変わると像も変わる ↓↓ • “部分圏の極限”ではなく “関手の極限”も定義できる lim ⟶ℬ F′ 合成射 lim ⟵ℬ F′ = lim ⟵ 𝒟′ lim ⟶ℬ F′ = lim ⟶ 𝒟′
- 11. そもそも : “関手の”極限 • lim ⟵ℬ F は関手 F に依存 ↓↓ • lim ⟵ℬ は「関手を引数にして 対象を得る『関数』」 𝒞 𝒟 ℬ F lim ⟶ℬ Flim ⟵ℬ F
- 12. そもそも : “関手の”極限 • lim ⟶ℬ F は関手 F に依存 ↓↓ • lim ⟶ℬ は「関手を引数にして 対象を得る『関数』」 ↓↓ • lim ⟶ℬ は「関手圏 𝒞ℬ から 圏 𝒞 への関手」 • lim ⟵ℬ も同様 𝒞 𝒟 𝒞ℬF lim ⟶ℬ Flim ⟵ℬ F F′′F′ lim ⟶ℬ lim ⟵ℬ lim ⟵ℬ , lim ⟶ℬ : 𝒞ℬ → 𝒞 lim ⟶ℬ F′ 都合がいいので lim ⟵ℬ じゃなくて lim ⟶ℬ で説明します．(lim ⟵ℬ でも同じ)
- 13. lim ⟵ℬ lim ⟵ℬ F そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 「いやちょっと待って？ 関手であるためには圏𝒞ℬ の 射αが圏 𝒞の射に対応してる 必要があるよね？」 ↓↓ • 𝐥𝐢𝐦 ⟵𝓑 𝛂 は圏 𝒞 のどの射？ • α は関手圏の射⇒自然変換 𝒞 𝒞ℬF lim ⟶ℬ F F′′F′ lim ⟶ℬ lim ⟶ℬ F′ 𝛂
- 14. • (再掲) 自然変換とは 𝜶 ∶ 𝑨 ↦ 𝜶 𝑨 圏ℬ の各対象に 圏𝒞 の射を対応させる『関数』 𝐴′𝐴 𝐹 𝐴′𝐹 𝐴 ℬ 𝒞 𝐹 𝑝 𝑝 𝐹 𝐺 𝐴′𝐺 𝐴 𝐺 𝑝 𝐺 𝜶 𝑨 𝜶 𝑨′ α そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性
- 15. lim ⟵ℬ lim ⟵ℬ F そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 試しに 2種類の関手 F, F′ と その間の自然変換 α を図示 • この状態でこれが求まる？ lim ⟵ℬ α ∶ lim ⟵ℬ F → lim ⟵ℬ F′ 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 16. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • 対象を複製 (同値な対象) 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 17. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 18. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 19. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 20. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 21. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α 大変さ伝われ
- 22. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α 大変さ伝われ
- 23. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α 大変さ伝われ
- 24. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α ここ分かり づらそう
- 25. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α ここ分かり づらそう
- 26. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 27. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 28. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • ねじれを修正 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α
- 29. そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • 見やすいように グニャグニャ動かしてみよう • 完成 𝒞 ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 関手 F 関手 F′ 自然変換 α 長かった……
- 30. • lim ⟶ℬ F′ について，極限の 定義を思い出すと 1) 部分圏の任意の対象から 射が伸びていて…… ℬ 𝐴2 lim ⟶ℬ F 𝐴3𝐴1 lim ⟶ℬ F′ 𝒟′ 𝒞 そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性
- 31. 𝐴3𝐴1 𝐴2 そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • lim ⟶ℬ F′ について，極限の 定義を思い出すと 1) 部分圏の任意の対象から 射が伸びていて…… 2) 1) を満たす全ての 対象へ射が唯一つ 伸びている ℬ lim ⟶ℬ F lim ⟶ℬ F′ 𝒟′ 𝒞 𝒟
- 32. 𝐴3𝐴1 𝐴2 そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • lim ⟶ℬ F′ について，極限の 定義を思い出すと 2) 1) を満たす全ての 対象へ射が唯一つ 伸びている • 上半分は対象 lim ⟶ℬ F が 部分圏𝒟 の極限なので存在 • 下半分は関手F, F′ の間の 自然変換 α なので存在 ℬ lim ⟶ℬ F lim ⟶ℬ F′ 𝒟′ 𝒞 𝒟
- 33. 𝐴3𝐴1 𝐴2 そもそも :lim ⟶ℬ , lim ⟵ℬ の関手性 • lim ⟶ℬ F′ について，極限の 定義を思い出すと 2) 1) を満たす全ての 対象へ射が唯一つ 伸びている • 上半分は対象 lim ⟶ℬ F が 部分圏𝒟 の極限なので存在 • 下半分は関手F, F′ の間の 自然変換 α なので存在 ℬ lim ⟶ℬ F lim ⟶ℬ F′ 𝒟′ 𝒞 𝒟 lim ⟶ℬ α 任意の α ∶ F ⇒ F′ に対して lim ⟶ℬ α ∶ lim ⟶ℬ F → lim ⟶ℬ F′ が一意に存在する ⇒ lim ⟶ℬ ∶ 𝒞ℬ → 𝒞 は関手的である
- 35. 何の話だったっけ……??? • 「極限とは対角関手の随伴」の意味が分かったので まとめてみる ↑↑これ↑↑ lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ これの定義を 説明した これがまだ
- 36. そもそも : 対角関手 • 圏ℬ について • 全ての対象を 𝐶 に • 全ての射を id 𝐶 に 対応させる操作は 関手的である ∆𝐶 ∶ ℬ → 𝒞 𝒞 𝒟 ℬ ∆𝐶 𝐶 id 𝐶
- 37. そもそも : 対角関手 • 圏𝒞 の対象𝐶 ごとに 関手∆𝐶 が存在する • 「関手を作る操作」 を定義できる • これを対角関手という ∆ ∶ 𝒞 → 𝒞ℬ 𝒞 𝒟 𝒞ℬ 𝐶 𝐶′ 𝐶′′ ∆𝐶 ∆𝐶′′∆𝐶′
- 38. そもそも : ∆ の関手性 • 「いやちょっと待って？ 関手であるためには圏𝒞 の射𝑓が圏𝒞ℬ の射に対応 してる必要があるよね？ 」 ↓↓ • ∆𝑓 は圏𝒞ℬのどの射？ • 圏𝒞ℬの射は自然変換なので ∆𝑓も自然変換 𝒞 𝒟 𝒞ℬ 𝐶 𝐶′ 𝐶′′ ∆𝐶 ∆𝐶′′∆𝐶′ ?? ??
- 39. • (再掲) 自然変換とは 𝜶 ∶ 𝑨 ↦ 𝜶 𝑨 圏ℬ の各対象に 圏𝒞 の射を対応させる『関数』 𝐴′𝐴 𝐹 𝐴′𝐹 𝐴 ℬ 𝐹 𝑝 𝑝 𝐹 𝐺 𝐴′𝐺 𝐴 𝐺 𝑝 𝐺 𝜶 𝑨 𝜶 𝑨′ α そもそも : ∆ の関手性 𝒞
- 40. • 今回の場合は ∆𝒇: 𝑨 ↦ ∆𝒇 𝑨 • 全ての対象を 𝐶 に • 全ての射を id 𝐶 に 𝐴′𝐴 𝐶𝐶 ℬ id 𝐶 𝑝 ∆𝐶 𝐶′𝐶′ id 𝐶′ ∆𝐶′ ∆𝒇 𝑨 ∆𝒇 𝑨′ ∆𝑓 そもそも : ∆ の関手性 𝒞
- 41. • 今回の場合は ∆𝒇: 𝑨 ↦ 𝒇 • 全ての対象を射 𝒇 に対応させれば ∆𝒇 は自然変換になる！ 𝐴′𝐴 𝐶 ℬ 𝒞 id 𝐶 𝑝 ∆𝐶 𝐶′ id 𝐶′ ∆𝐶′ ∆𝒇 𝑨= ∆𝒇 𝑨′ = 𝒇∆𝑓 そもそも : ∆ の関手性
- 43. いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ • (再掲)随伴関係 F ⊣ G ⇔ 𝒟 F 𝐴 , 𝐵 ≅ 𝒞 𝐴, G 𝐵 𝐵′𝐵 G 𝐵 G 𝐵′𝐴𝐴′ F 𝐴F 𝐴′ 𝒞 𝒟 G 𝑞 F 𝑝 𝑝 𝑞 F G 𝑔 ҧ𝑔 ത∗
- 44. • 今回の場合 ∆ ⊣ lim ⟵ℬ ⇔ 𝒟 ∆𝐶, F ≅ 𝒞 𝐶, lim ⟵ℬ F いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ F′F lim ⟵ℬ F lim ⟵ℬ F′𝐶𝐶′ ∆𝐶∆𝐶′ 𝒞 𝒞ℬ lim ⟵ℬ αF ∆𝑓 𝑓 αF ∆ lim ⟵ℬ 𝜷⟵ 𝜷⟵ ത∗ 自然変換𝜷⟵に対応する圏 𝒞 上の射 𝜷⟵が一意に求まることを示せばいい
- 45. • 今回の場合 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⇔ 𝒞 lim ⟶ℬ F, 𝐶 ≅ 𝒟 F, ∆𝐶 いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ ∆𝐶∆𝐶′ 𝐶 𝐶′lim ⟶ℬ G′lim ⟶ℬ G G′G 𝒞 𝒞ℬ lim ⟶ℬ αG ∆𝑓 𝑓 αG ∆lim ⟶ℬ ത∗ 𝜷⟶ 𝜷⟶ 自然変換𝜷⟶に対応する圏 𝒞 上の射 𝜷⟶が一意に求まることを示せばいい
- 46. • 一つにまとめるとこんな感じ いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ ∆𝐶∆𝐶′ 𝐶 𝐶′lim ⟶ℬ G′lim ⟶ℬ G G′G 𝒞 𝒞ℬ lim ⟶ℬ αG ∆𝑓 𝑓 αG ∆lim ⟶ℬ ത∗ 𝜷⟶ 𝜷⟶ F′F lim ⟵ℬ F lim ⟵ℬ F′ lim ⟵ℬ αF αF lim ⟵ℬ 𝜷⟵ 𝜷⟵ ത∗
- 47. いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ • 以下をそれぞれ 図示してみる • 関手 F, G, ∆𝐶, ∆𝐶′ • 自然変換 𝛽⟶, ∆𝑓, 𝛽⟵ 𝑑3 𝑑2 𝑑1 G 𝑑1 G 𝑑2 G 𝑑3 F 𝑑1 F 𝑑2 F 𝑑3 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶′ 𝐶′ 𝐶′ 𝒞 ℬ id 𝑐 id 𝑐 id 𝑐′ id 𝑐′ 𝑓 𝑓 𝑓
- 48. いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ • 関手はそれぞれ こんな感じ 𝑑3 𝑑2 𝑑1 G 𝑑1 G 𝑑2 G 𝑑3 F 𝑑1 F 𝑑2 F 𝑑3 𝒞 ℬ id 𝑐 id 𝑐 id 𝑐′ id 𝑐′ 𝑓 𝑓 𝑓 F G ∆𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶′ 𝐶′ 𝐶′ ∆𝐶′ FG ∆𝐶 ∆𝐶
- 49. いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ • 自然変換はそれぞれ こんな感じ 𝑑3 𝑑2 𝑑1 G 𝑑1 G 𝑑2 G 𝑑3 F 𝑑1 F 𝑑2 F 𝑑3 𝒞 ℬ id 𝑐 id 𝑐 id 𝑐′ id 𝑐′ 𝑓 𝑓 𝑓 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶′ 𝐶′ 𝐶′ FG ∆𝐶 ∆𝐶 𝛽⟶ 𝛽⟶ ∆𝑓 ∆𝑓 𝛽⟵ 𝛽⟵ 𝛽⟶ ∆𝑓 𝛽⟵
- 50. いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ • 対象 𝐶, 𝐶′ を一つに まとめるとこうなる 𝑑3 𝑑2 𝑑1 G 𝑑1 G 𝑑2 G 𝑑3 F 𝑑1 F 𝑑2 F 𝑑3 𝒞 ℬ 𝑓 𝐶 𝐶′ FG ∆𝐶 ∆𝐶 𝛽⟶ ∆𝑓 𝛽⟵ 𝛽⟶ ∆𝑓 𝛽⟵
- 51. いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ • ところで，関手F, G の 極限，余極限を加えると こうなる 𝑑3 𝑑2 𝑑1 G 𝑑1 G 𝑑2 G 𝑑3 F 𝑑1 F 𝑑2 F 𝑑3 𝒞 ℬ 𝑓 𝐶 𝐶′ FG ∆𝐶 ∆𝐶 𝛽⟶ ∆𝑓 𝛽⟵ 𝛽⟶ ∆𝑓 𝛽⟵ lim ⟶ℬ G lim ⟵ℬ F
- 52. いよいよ本題 lim ⟶ℬ ⊣ ∆ ⊣ lim ⟵ℬ • 極限，余極限の定義 (極限) 2) 1)を満たす全ての対象 から射が唯一つ伸びている (余極限) 2) 1)を満たす全ての対象 に射が唯一つ伸びている ↓↓ 自然変換𝛽⟶, 𝛽⟵ に対応する 射 𝜷⟶, 𝜷⟵ が一意に存在する □ 𝑑3 𝑑2 𝑑1 G 𝑑1 G 𝑑2 G 𝑑3 F 𝑑1 F 𝑑2 F 𝑑3 𝒞 ℬ 𝑓 𝐶 𝐶′ FG ∆𝐶 ∆𝐶 𝛽⟶ ∆𝑓 𝛽⟵ 𝛽⟶ ∆𝑓 𝛽⟵ lim ⟶ℬ G lim ⟵ℬ F 𝜷⟶ 𝜷⟵