1. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
UNIDAD II. FACTORES USADOS EN LA INGENIERÍA Ahora de forma inversa obtenemos:
ECONÓMICA
VP -n FACTOR DE VALOR PRESENTE DE PAGO ÚNICO
Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes = (1 + i ) (VP/VF, i, n)
VF
Saber: Describir los factores de valores presente, futuro, gradientes
aritméticos geométrico y series uniformes, tasas de interés, nominales
y efectivas y requisitos para la utilización de modelos
computacionales Factores de equivalencia para series de pagos uniformes.
Hacer: Calcular los factores económicos, tasas de interés Para pagos iguales en el tiempo, podemos definir dos grupos: los pagos
desconocidas, nominales y efectivas, número de periodos, utilizando anticipados y los vencidos; ambos se conocen como “anualidades”
modelos computacionales para la posterior evaluación de alternativas.
Anualidad: conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales
de tiempo.
Factores de equivalencia
A continuación veremos factores de equivalencia mas usados. No necesariamente se refiere a periodos anuales, se ha conservado el
nombre de anualidad por costumbre en dichas operaciones; pero
Factor de cantidad compuesta de pago único. ejemplos de anualidades son:
Este factor sale de la ecuación de interés compuesto vista en temas • Pagos mensuales por la renta de un local o departamento
pasados, la cual tiene la siguiente estructura: • Cobro quincenal de sueldos
n • Pagos anuales a las pólizas de seguro
M=C (1 + i )
Intervalo o periodo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y
Dado que el monto se le conoce como valor futuro y el capital como otro.
valor presente podemos definir la siguiente ecuación:
n
VF=VP (1 + i ) Plazo: Tiempo que trascurre entre el primer pago y el último.
Dado que se realiza un solo pago (VF) a partir de una deuda única Tipos de anualidades. La variación en los elementos de las
(VP) bajo una tasa de interés (i) podemos definir el siguiente factor o anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas, por lo tanto se
razón VF/VP: clasifican de la siguiente manera.
VF n FACTOR DE VALOR FUTURO DE PAGO ÚNICO
= (1 + i ) (VF/VP, i, n)
VP
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

2. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Criterio Tipo Descripción Dado que entre cada tipo de criterio de clasificación (tiempo, intereses,
Tiempo Ciertas Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas y se pagos, iniciación) no son mutuamente excluyentes; la diversidad de
(fecha de estipulan de antemano. anualidades puede ser de la siguiente manera:
Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija
inicio y tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago,
fin) Inmediatas
como la fecha para efectuar el último pago. Vencidas
Contingentes Anualidad contingente. La fecha del primer pago, Ciertas Diferidas
la fecha del último pago, o ambas no se fijan de Inmediatas
antemano. Anticipadas
Simples Diferidas
Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un Inmediatas
cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la Vencidas
renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe Contingentes Diferidas
exactamente cuándo. Inmediatas
Anticipadas
Intereses Generales Anualidad general. Son aquellas que el periodo de Anualidades Diferidas
pago no coincide con el periodo de capitalización. Inmediatas
Ejemplo: el pago de una renta semestral con Vencidas
intereses al 30% anual capitalizable Ciertas Diferidas
trimestralmente. Inmediatas
Anticipadas
Simples Anualidad simple. Cuando el periodo de pago Generales Diferidas
coincide con el de capitalización de los intereses. Inmediatas
Ejemplo: el pago de una renta mensual con Vencidas
Contingentes Diferidas
intereses al 18% capitalizable mensualmente. Inmediatas
Pagos Vencidas Anualidad vencida. Las anualidades vencidas u Anticipadas
ordinarias son aquellas en que los pagos se Diferidas
efectúan a su vencimiento, es decir, al final de
cada periodo.
Anticipadas Anticipadas. Los pagos se efectúan al principio de
cada periodo.
Iniciación Inmediatas Anualidades inmediatas. Es el caso más común. La
realización de los cobros o pagos tiene lugar en al
periodo inmediatamente siguiente a la
formalización del trato.
Ejemplo: se compra un articulo a crédito hoy, que
se va a pagar con mensualidades, la primera de
las cuales habrá de realizarse en ese momento o un
mes después de adquirida la mercancía (puede ser
así, anticipada o vencida).
Diferidas Diferidas. La realización de los cobros o pagos se
hace tiempo después de la formalización del trato
(se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un
articulo a crédito para pagar con abonos
mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6
meses después de adquirida la mercancía.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 2

3. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al Las anualidades anticipadas ocurren al inicio de cada periodo de
finalizar cada periodo, un diagrama de flujo de caja de dichas tiempo, el diagrama de flujo de caja de estas anualidades es el
anualidades se muestra a continuación: siguiente:
Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son
La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor los periodos de tiempo transcurridos.
del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad
determinada de periodos de tiempo (n) es: La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del
pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad
Para anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas: determinada de periodos de tiempo (n) es:
 (1+i ) n − 1 
M=R   Para anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:

 i 
  (1+i ) n − 1 
M=R   (1+i )
La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor  i 
presente, con el pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de  
una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es: Esta ecuación equivale a la usada para anualidades vencidas, solo que
se le añade un periodo (1+i) ya que el monto total se capitaliza un
1 − (1 + i )-n 
C=R   periodo más.

 i 

En el caso del capital la ecuación queda:
 1 − (1 + i )-n+1 
C=R 1 + 

 i 

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3

4. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Entonces a partir de las ecuaciones anteriores podemos definir los Relacionándolo con el valor presente, tenemos:
siguientes factores: 1 − (1 + i )-n 
C=R  
Para anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas: 
 i 

 (1+i ) n − 1 
M=R   Pasando VP = C y R = A, nos queda:

 i 
 1 − (1 + i ) -n 
VP=A  
Pasando M = VF y R = A para ser consistente con el resto de los 
 i 

autores, tenemos: FACTOR DE PAGO ÚNICO EN EL PRESENTE
-n
VP 1 − (1 + i ) DE UNA CANTIDAD COMPUESTA PARA UNA
= SERIE UNIFORME DE PAGOS VENCIDOS
 (1+i ) n − 1  A i
VF=A   (VP/A, i%, n)

 i 

Invirtiendo la ecuación tenemos:
n
FACTOR DE PAGO ÚNICO EN EL FUTURO DE FACTOR DE UNA SERIE UNIFORME DE
VF (1+i ) − 1 UNA CANTIDAD COMPUESTA PARA UNA A i PAGOS VENCIDOS SOBRE UN PAGO ÚNICO
= =
A i SERIE UNIFORME DE PAGOS VENCIDOS VP 1 − (1 + i ) -n EN EL PRESENTE (A/VP, i%, n)
(VF/A, i%, n)
¿Cómo quedarían entonces las ecuaciones para anualidades
Invirtiendo tenemos: vencidas?
EL ALUMNO ELABORARÁ LOS FACTORES DE
A i FACTOR DE UNA SERIE UNIFORME DE PAGOS EQUIVALENCIA PARA LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS.
=
VF (1+i ) n − 1 VENCIDOS SOBRE UN PAGO ÚNICO EN EL
FUTURO (A/VF, i%, n)
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4

5. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Para los siguientes ejemplos el alumno calculará los factores de Ejemplo 2. Determine el valor del monto al cual equivalen 6 pagos
equivalencia que apliquen. semestrales anticipados de $14,500 si el interés es del 19% anual
capitalizable semestralmente.
Ejemplo 1. Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al
inicio de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% de interés mensual Solución: Los datos son:
capitalizable al mes ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año? M =?
n=6
Solución: se realiza el diagrama de flujo de caja para visualizar los R = $14,500
pagos: i = 19% anual capitalizable al semestre
R = $250
 (1+i ) n − 1 
R R R R R R R R R R R R M=R   (1+i )

 i 

  0.19 6 
 1+  − 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 M=$14,500   2   1+ 0.19  = $120, 968.40
 0.19  2 

Entonces los datos son:  2 
 
R = $250;
n = 12,
i = 1.3% mensual capitalizable al mes
M=?
Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo
cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:
 (1+i ) n − 1 
M=R   (1+i )

 i 

 (1+0.013)12 − 1 
M=250   (1+0.013) = $3, 265.99

 0.013 

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5

6. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Ejemplo 3. Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda Ejemplo 5. En un almacén se vende un mueble por $4,600 al contado o
pagar $2,750 de renta por anticipado. Como desearía liberarse del mediante pagos mensuales anticipados de $511.69; si el interés es del
compromiso mensual, decide proponer una renta anual anticipada. Si 29.4% convertible mensualmente ¿Cuántos pagos se requieren hacer?
los intereses son del 15.6% anuales convertibles mensualmente Solución:
¿Cuánto debería ser la renta anual anticipada? C = $4,600
R=$511.69
Solución: i = 29.4% anual convertible mensualmente.
C=? n=?
R=$2,750
i = 15.6% anual capitalizable al mes Se requiere despejar el valor de “n” de la ecuación:
n = 12 meses  1 − (1 + i )-n+1 
 1 − (1 + i )-n+1  C=R 1 + 
C=R 1 +  
 i 


 i 
 -n+1
i+1 − (1 + i )
  0.156 
-12+1
 C=R =C
 1 − 1 +   i
12 
C=$2,750 1 +   = $30, 767.60 -n+1
i+1 − (1 + i ) C
 0.156  =
 12  i R
  -n+1 iC
i+1 − (1 + i ) =
R
Ejemplo 4. Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para
lo cual desea hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de -n+1 iC
− (1 + i ) = -i-1
inversión que rinde 4.2% bimestral ¿Cuál debe ser el valor de los R
depósitos si hoy realiza el primero? -n+1 iC
Solución:
(1 + i ) =i+1-
R
n = 12
i = 0.042 bimestral Log (1 + i )
-n+1
 =Log i+1- iC 
  
 R 
M = $90,000
iC 
R=?
( -n+1) Log (1 + i ) =Log i+1-

 (1+i ) n − 1   1  i   R 
M=R   (1+i ) Despejando queda: R=M   
 iC 
 (1+i )  (1+i ) − 1  

n

 i 
  Log i+1- 
 
 R
 1      -n+1=
i 1 0.042 Log (1 + i )
R=M     = $90,000   
 (1+i )  (1+i ) − 1  
  (1+0.042 )  (1+0.042 ) − 1   
n 12
     
R = $5, 682.64
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 6

7. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
 iC  Ejemplo 7. A que tasa de interés anual, 6 depósitos anuales anticipados
Log i+1-  de $25,000 equivalen a un valor actual de $75,000.
 R
-n= −1
Log (1 + i )
Solución:
 iC  i=?
Log i+1- 
 R n=6
n=1- R = $25,000
Log (1 + i )
C = $75,000
  0.294  
 0.294   12  $4,600 
Log      1 − (1 + i )-n+1 
 +1- C=R 1 + 
 12  $511.69  i
  
 

n=1-   = 1 + 9 = 10 -n+1
  0.294   C 1 − (1 + i )
Log 1 +  =1 +
 R i
  12  
-n+1
1 − (1 + i ) C
Por lo tanto deberían ser 10 pagos. = −1
i R
-6+1
Ejemplo 6. Una persona desea obtener $500,000 mediante depósitos 1 − (1 + i ) $75,000
= −1
mensuales de $1,000 en una cuenta bancaria que paga 1.25% mensual; i $25,000
¿Cuántos pagos o periodos mensuales se requieren para alcanzar dicha 1 − (1 + i )
-5
suma si el primer depósito lo hace el día de hoy? = 3 −1
i
-5
Solución: 1 − (1 + i )
M = $500,000 =2
i
R=$1,000
i = 1.25% mensual Ahora se realiza un proceso de iteración, buscando obtener el valor 2.
n=? Puede iniciar con i = 0.5
RESPUESTA i ≈ 0.41 o 41%
 (1+i ) n − 1 
M=R   (1+i )

 i 

Ahora hay que despejar el valor de “n” de la ecuación mostrada.
EL ALUMNO PROPONE LA SOLUCIÓN A ESTE PROBLEMA.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 7

8. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Actividad 2.1. Factores de equivalencia anualidades anticipadas. Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
Realiza los siguientes ejercicios, además calcula los factores de direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com;
equivalencia que apliquen: marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx
Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto
1.- Para un proyecto de construcción se requieren $15,000 al inicio de cada colocar “2.1. Factores de equivalencia anualidades anticipadas”.
mes durante 6 meses que dura la construcción. ¿Cuánto se debe depositar al
comienzo de las obras en un banco que paga una tasa de interés del 23.7%
anual compuesto mensualmente?
2.- ¿Cuanto se acumula en una cuenta de ahorros si se realizan 15 depósitos
quincenales vencidos de $500 y la tasa de interés es del 34.5% quincenal?
3.- Cuanto debe depositar una persona al inicio de cada mes durante 20
meses para que se disponga de $12,000 al final del plazo, suponiendo que se
gana una tasa de interés del 26% anual capitalizable semanalmente.
4.- Se abre una cuenta bancaria con un depósito inicial de $8,500 y después
deposita la misma cantidad por cada mes transcurrido; ¿Cuánto logra
acumular en dicha cuenta en un año si se le paga una tasa de interés de
18.24% anual capitalizable mensualmente?
5.- Realice el mismo problema anterior, pero el depósito inicial cambia ahora
a $30,000.
6.- ¿Cuántos pagos anticipados de $623.84 se requieren mensualmente para
alcanzar un monto acumulado de $15,000 si el dinero rinde:
a) 2.97% de interés anual capitalizable mensualmente
b) 2.97% mensual capitalizable mensualmente.
7.- ¿Cuántos pagos anticipados de $623.84 se requieren mensualmente para
cubrir una deuda inicial de $150,000 si el dinero rinde:
a) 2.97% de interés anual capitalizable mensualmente
b) 2.97% mensual capitalizable mensualmente.
8.- ¿Cuál es la tasa de interés que se paga en la compra de una computadora
que se ofrece mediante 96 pagos anticipados quincenales de $285 pesos si su
valor de contado es de $17,710.75?
Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS,
siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 8

9. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Ejemplo 8. Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al Ejemplo 9. Determine el valor del monto al cual equivalen 6 pagos
FINAL de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% de interés mensual semestrales de $14,500 que ocurren al final de cada semestre si el
capitalizable al mes ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año? interés es del 19% anual capitalizable semestralmente.
Solución: se realiza el diagrama de flujo de caja para visualizar los Solución: Los datos son:
pagos: M=?
R = $250 n=6
R = $14,500
R R R R R R R R R R R R i = 19% anual capitalizable al semestre
 (1+i ) n − 1 
M=R  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 i 

  0.19  6 
Entonces los datos son:  1+  −1
R = $250;  2 
M=$14,500   = $110, 473.43
n = 12,  0.19 
i = 1.3% mensual capitalizable al mes  2 
 
Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo
cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:
 (1+i ) n − 1 
M=R  

 i 

 (1+0.013)12 − 1
M=250   = $3, 224.07

 0.013 

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 9

10. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Ejemplo 10. Un comerciante alquila un local para su negocio y Ejemplo 12. En un almacén se vende un mueble por $4,600 al contado
acuerda pagar un servicio privado de vigilancia en $2,750 de renta o mediante pagos mensuales vencidos de $524.23; si el interés es del
vencida. Como desearía liberarse del compromiso mensual, decide 29.4% convertible mensualmente ¿Cuántos pagos se requieren hacer?
proponer una renta anual anticipada. Si los intereses son del 15.6% Solución:
anuales convertibles mensualmente ¿Cuánto debería ser la renta anual C = $4,600
que debería pagar al inicio de cada año? Solución: R=$524.23
C=? i = 29.4% anual convertible mensualmente.
R=$2,750 n=?
i = 15.6% anual capitalizable al mes
n = 12 meses Se requiere despejar el valor de “n” de la ecuación:
1 − (1 + i )-n  1 − (1 + i )-n 
C=R   C=R  

 i 
 
 i 

  0.156  -12  1 − (1 + i )
-n
1 −  1 +   C=R =C
12  
C=$2,750   = $30,372.75 i
 0.156  -n
  1 − (1 + i ) C
12 =
  i R
-n iC
Ejemplo 11. Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para 1 − (1 + i ) =
R
lo cual desea hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de
inversión que rinde 4.2% bimestral ¿Cuál debe ser el valor de los -n iC
− (1 + i ) = -1
depósitos si el primer pago se hace dentro de un bimestre? R
Solución: -n iC
n = 12
(1 + i ) =1-
R
i = 0.042 bimestral  iC 
Log (1 + i )  =Log 1- 
-n
M = $90,000  
R=?  R
 (1+i ) n − 1     iC 
i -nLog (1 + i ) =Log 1- 
M=R   Despejando queda: R=M  n   R

 i 
  (1+i ) − 1 
 
 iC 
    Log 1- 
i 0.042  R
R=M  n  = $90,000  12  -n=
 (1+i ) − 1 
   (1+0.042 ) − 1 
  Log (1 + i )
R = $5,921.31
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 10

11. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
 iC  Ejemplo 14. A que tasa de interés anual, 6 depósitos anuales vencidos
Log 1-  de $25,000 equivalen a un valor actual de $75,000.
-n=  R
Solución:
Log (1 + i )
i=?
 iC  n=6
Log 1- 
 R R = $25,000
n=- C = $75,000
Log (1 + i )
1 − (1 + i )-n 
  0.294   C=R  
  12  $4,600  
 i 

Log 1-    -n
 $524.23  C 1 − (1 + i )
  =
n=-   = 10 R i
  0.294   -n
1 − (1 + i ) C
Log 1 +   =
  12   i R
-6
Por lo tanto deberían ser 10 pagos. 1 − (1 + i ) $75,000
=
i $25,000
Ejemplo 13. Una persona desea obtener $500,000 mediante depósitos -6
1 − (1 + i )
mensuales de $1,000 en una cuenta bancaria que paga 1.25% mensual; =3
¿Cuántos pagos o periodos mensuales se requieren para alcanzar dicha i
suma si el primer depósito lo hace el dentro de un mes a partir del día
de hoy? Ahora se realiza un proceso de iteración, buscando obtener el valor 2.
Solución: Puede iniciar con i = 0.5
M = $500,000
R=$1,000
i = 1.25% mensual
n=?
 (1+i ) n − 1 
M=R  

 i 

Ahora hay que despejar el valor de “n” de la ecuación mostrada.
EL ALUMNO PROPONE LA SOLUCIÓN A ESTE PROBLEMA.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 11

12. Ingeniería Económica Tema 2.1. Factores de equivalencia y series de gradientes
Actividad 2.2. Factores de equivalencia anualidades vencidas. Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
Realiza los siguientes ejercicios y calcula los factores de equivalencia direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com;
que apliquen: marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx
Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto
1.- Para un proyecto de construcción se requieren $15,000 al FINAL de cada colocar “2.2. Factores de equivalencia anualidades vencidas”.
mes durante 6 meses que dura la construcción. ¿Cuánto se debe depositar al
comienzo de las obras en un banco que paga una tasa de interés del 23.7%
anual compuesto mensualmente?
2.- ¿Cuanto se acumula en una cuenta de ahorros si se realizan 15 depósitos
quincenales ANTICIPADOS de $500 y la tasa de interés es del 34.5%
quincenal?
3.- Cuanto debe depositar una persona al final de cada mes durante 20 meses
para que se disponga de $12,000 al final del plazo, suponiendo que se gana
una tasa de interés del 26% anual capitalizable semanalmente.
4.- Se abre una cuenta bancaria en la que se depositan $8,500 al final de cada
mes transcurrido; ¿Cuánto logra acumular en dicha cuenta en un año si se le
paga una tasa de interés de 18.24% anual capitalizable mensualmente?
5.- Realice el mismo problema anterior, pero los depósitos cambian ahora a
$30,000.
6.- ¿Cuántos pagos vencidos de $623.84 se requieren mensualmente para
alcanzar un monto acumulado de $15,000 si el dinero rinde:
a) 2.97% de interés anual capitalizable mensualmente
b) 2.97% mensual capitalizable mensualmente.
7.- ¿Cuántos pagos vencidos de $623.84 se requieren mensualmente para
cubrir una deuda inicial de $150,000 si el dinero rinde:
a) 2.97% de interés anual capitalizable mensualmente
b) 2.97% mensual capitalizable mensualmente.
8.- ¿Cuál es la tasa de interés que se paga en la compra de una computadora
que se ofrece mediante 96 pagos vencidos quincenales de $285 pesos si su
valor de contado es de $17,710.75?
Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS,
siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 12