「小数のかけ算・わり算」「割合の3用法」「速さ」に関する合計9つの文章題をそれぞれ二重数直線で表して求めてみました。Q&Aもあります。

1. 二重数直線で解く
takehikom
2021年8月20日版

2. 目次
① 小数のかけ算・わり算
② 割合の3用法
③ 速さ
Q&A

3. ① 小数のかけ算・わり算
①-1 小数のかけ算
• 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
①-2 小数のわり算（等分除）
• 200円で2.5mの長さの布を買いました。
1mだといくらですか。
①-3 小数のわり算（包含除）
• 200円あります。1mの長さが80円の布を何mまで
買うことができますか。
（おことわり）①-1のみステップごとにスライドを作成して
います。①-2以降は完成形のみです。

4. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
問題文です。
図に表し，式と答えを求めましょう。

5. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
0
0
2本の数直線を引いて，左端に縦線を引き，
「0」を書きます。

6. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
0
0
(m)
(円)
上の数直線を代金(円)、下の数直線を布の長さ(m)
とします。

7. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
0
0
(m)
(円)
「1m」「2.5m」を書くことができるよう，
2か所に縦線を引きます。

8. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1 2.5
0
0
(m)
(円)
問題文に「1m」「2.5m」とあるので，
下の数直線に，「1」と「2.5」を書きます。

9. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1
80
2.5
0
0
(m)
(円)
1mの価格として「80」を書きます。

10. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1
□
80
2.5
0
0
(m)
(円)
2.5mの代金を「□」とします。これで，
未知数を含む4つの数量が出そろいました。

11. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1
□
80
2.5
0
0
(m)
(円)
×2.5
下の数直線の「1」から「2.5」へ向けて，
矢印を作り，「×2.5」を添えます。
（長さが2.5倍になると...）

12. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1
□
80
2.5
0
0
(m)
(円)
×2.5
×2.5
下と対応するように，上の数直線にも「80」から
「□」へ，矢印を作って「×2.5」を添えます。
（代金も2.5倍になります。）

13. ①-1 小数のかけ算
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1
□
80
2.5
0
0
(m)
(円)
×2.5
×2.5
80×2.5=□
上の数直線の「80」「×2.5」「□」から，
「80×2.5＝□」という式になります。

14. ①-1 小数のかけ算
80×2.5=
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1
□
80
2.5
0
0
(m)
(円)
×2.5
×2.5
式
80×2.5=□
代金を求めるための式は，「80×2.5」です。

15. ①-1 小数のかけ算
80×2.5=200
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1
□
80
2.5
0
0
(m)
(円)
×2.5
×2.5
式
80×2.5=□
暗算または筆算で，積の200を求めます。

16. ①-1 小数のかけ算
80×2.5=200
200円
問題 1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
1
□
80
2.5
0
0
(m)
(円)
×2.5
×2.5
答え
式
80×2.5=□
単位に注意して，答えを書きます。

17. ①-2 小数のわり算（等分除）
200÷2.5=80
80円
問題
1
200
□
2.5
0
0
(m)
(円)
×2.5
×2.5
答え
式
□×2.5=200
200円で2.5mの長さの布を買いました。
1mだといくらですか。
÷2.5 200÷2.5=□

18. ①-3 小数のわり算（包含除）
200÷80=2.5
2.5m
問題
1
200
80
□
0
0
(m)
(円)
×□
×□
答え
式
80×□=200
□=200÷80
200円あります。1mの長さが80円の布を何mまで
買うことができますか。

19. ② 割合の3用法
②-1 割合の第1用法
• ある小学校には3年生が80人います。そのうち，
逆上がりができるのは32人です。逆上がりができる
のは，3年生全体の何%ですか。
②-2 割合の第2用法
• ある小学校には3年生が80人います。そのうち，
逆上がりができるのは40%です。逆上がりができる
のは何人ですか。
②-3 割合の第3用法
• ある小学校の3年生のうち，逆上がりができるのは
32人です。これは，3年生全体の40%にあたります。
3年生は何人いますか。

20. 割合の第1用法
問題 ある小学校には3年生が80人います。そのうち，
逆上がりができるのは32人です。逆上がりができる
のは，3年生全体の何%ですか。
□
80
32
1
0
0
(倍)
(人)
×□
×□
32÷80=0.4
40%
80×□=32
答え
式
□=32÷80

21. 割合の第2用法
問題
0.4
80
□
1
0
0
(倍)
(人)
×0.4
×0.4
80×0.4=32
32人
80×0.4=□
答え
式
ある小学校には3年生が80人います。そのうち，
逆上がりができるのは40%です。逆上がりができる
のは何人ですか。

22. 割合の第3用法
問題
0.4
□
32
1
0
0
(倍)
(人)
×0.4
×0.4
32÷0.4=80
80人
□×0.4=32
答え
式
32÷0.4=□
ある小学校の3年生のうち，逆上がりができるのは
32人です。これは，3年生全体の40%にあたります。
3年生は何人いますか。
÷0.4

23. ③ 速さ
③-1 速さを求める
• 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
③-2 道のりを求める
• 時速2.8kmで，1.5時間歩きました。
歩いた道のりは何kmですか。
③-3 時間を求める
• 4.2kmの道のりを，時速2.8kmで歩きました。
着くまでに何時間歩きましたか。
（おことわり）③-1のみステップごとにスライドを作成して
います。③-2以降は完成形のみです。

24. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
問題文です。
図に表し，式と答えを求めましょう。

25. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
0
0
2本の数直線を引いて，左端に縦線を引き，
「0」を書きます。

26. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
0
0
(時間)
(km)
上の数直線を道のり(km)、下の数直線を時間(時間)
とします。

27. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
0
0
(時間)
(km)
「1時間(単位量)」「1.5時間」を書くことができる
よう，2か所に縦線を引きます。

28. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
1 1.5
0
0
(時間)
(km)
時間について，下の数直線に，「1」と「1.5」を
書きます。

29. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
1
4.2
1.5
0
0
(時間)
(km)
問題文に「4.2km」とあるので，「1.5時間」と対応
するよう，上の数直線に，「4.2」を書きます。

30. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
1
4.2
□
1.5
0
0
(時間)
(km)
1時間あたりに進む道のりを「□」とします。
これで，未知数を含む4つの数量が出そろいました。

31. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
1
4.2
□
1.5
0
0
×1.5
(時間)
(km)
下の数直線の「1」から「1.5」へ向けて，
矢印を作り，「×1.5」を添えます。
（時間が1.5倍になると...）

32. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
1
4.2
□
1.5
0
0
×1.5
×1.5
(時間)
(km)
下と対応するように，上の数直線にも「□」から
「4.2」へ，矢印を作って「×1.5」を添えます。
（道のりも1.5倍になります。）

33. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
1
4.2
□
1.5
0
0
×1.5
×1.5
□×1.5=4.2
(時間)
(km)
上の数直線の「□」「×1.5」「4.2」から，
「□×1.5＝4.2」という式になります。

34. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
1
4.2
□
1.5
0
0
×1.5
×1.5
÷1.5
□×1.5=4.2
(時間)
(km)
上の矢印と反対向きの矢印を作って，
「÷1.5」を添えます。

35. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
1
4.2
□
1.5
0
0
×1.5
×1.5
÷1.5
□×1.5=4.2
4.2÷1.5=□
(時間)
(km)
上の数直線の「4.2」「÷1.5」「□」から，
「4.2÷1.5＝□」という式になります。

36. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
4.2÷1.5=
式
1
4.2
□
1.5
0
0
×1.5
×1.5
÷1.5
□×1.5=4.2
4.2÷1.5=□
(時間)
(km)
時速(1時間あたりに進む道のり)を求めるための
式は，「4.2÷1.5」です。

37. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
4.2÷1.5=2.8
式
1
4.2
□
1.5
0
0
×1.5
×1.5
÷1.5
□×1.5=4.2
4.2÷1.5=□
(時間)
(km)
暗算または筆算で，商の2.8を求めます。

38. ③-1 速さを求める
問題 4.2kmの道のりを，1.5時間で歩きました。
速さは時速何kmですか。
答え
4.2÷1.5=2.8
時速2.8km
式
1
4.2
□
1.5
0
0
×1.5
×1.5
÷1.5
□×1.5=4.2
4.2÷1.5=□
(時間)
(km)
単位に注意して，答えを書きます。

39. ③-2 道のりを求める
問題
答え
2.8×1.5=4.2
4.2km
式
1
□
2.8
1.5
0
0
×1.5
×1.5
時速2.8kmで，1.5時間歩きました。
歩いた道のりは何kmですか。
2.8×1.5=□
(時間)
(km)

40. ③-3 時間を求める
問題
答え
4.2÷2.8=1.5
1.5時間
式
1
4.2
2.8
□
0
0
×□
×□
2.8×□=4.2
□=4.2÷2.8
4.2kmの道のりを，時速2.8kmで歩きました。
着くまでに何時間歩きましたか。
(時間)
(km)

41. Q&A

42. Q&A
 二重数直線って，何ですか？ 何ができますか？
• 2本の数直線を対応づけて数量の関係を表すための図式です。
• 比例関係（一方が2倍，3倍，...になれば，それに伴って他方も2倍，
3倍，...になるような関係）を図示するのに有用です。
• 小数や分数のかけ算・わり算の問題を，筋道を立てて解けるようにな
り，演算決定（立式）の根拠を示すことができます。

43. Q&A
 以前に作っていませんでしたか？
• 2014年に公開していました。「小数のかけ算の文章題」「百分率の文
章題」で，合わせて6つの文章題とその求め方でした。
• 2020年度より，速さも5年で学習することになったので，「速さ」で3
問を追加し，合わせて9問としました。
• フォントや，包含除の場合の矢印など，細部の変更も行っています。

44. Q&A
 二重数直線を使用する者がいない，という論文は？
• [熊倉2019]ですね。その調査では，小学生は解いていません。
• 小学校の算数で利用可能な（利用が推奨されている）手法と，中学以
降の数学で学ぶ手法が異なる事例は，[中山2008]でも指摘されていま
す。
 二重数直線を使用しなければならないのですか？
• 5年生のときに習熟して，かけ算・わり算の問題がこの図で表せること
を理解し，比例の考え方を培うのは，有益だと思います。
• 自分で描かなくても，テストなどで数直線が提示されたときに，数量
をその数直線上に表せることを目指す（ように指導する）のは，いか
がでしょうか。

45. Q&A
 二重数直線について，読んでおくべき論文はありますか？
• [白井1997]がおすすめです。J-STAGEより無料でダウンロードできま
す。
• この文献の「数直線の系統的な段階表」と，現行の各学年の教科書や
他の文献とを見比べるといいでしょう。
[白井1997, p.53]

46. Q&A
 この数直線，誰が描いても同じになるの？
• バリエーションがあります。「矢印と『×数』を添えるか」
「『÷数』を使用するか」「2本の線をまたいだ矢印を認めるか」
などです。
• 共通するのは，2本の横線を引き，右に行けば大きくなるものとし，縦
の位置で対応させることです。
• この数直線の名称についても，いくつかバリエーションがあります。
『小学校学習指導要領解説算数編』では，単に「数直線」です。
「数直線図」「2本の数直線」「比例数直線」「複線図」も見かけます。

47. Q&A
 9つの問題の解き方，3つずつ似た形状になっている？
• そうです。背景にあるのは「3用法」と「乗法構造」です。
• 割合の3用法は，例えば次のように表せます。
• 割合＝比べられる量÷もとにする量
• 比べられる量＝もとにする量×割合
• もとにする量＝比べられる量÷割合
• 取り違えが起こりやすい「言葉の式」を使用することなく，図と，
比例の考え方（proportional reasoning）を活用すれば，「a×b」また
は「a÷b」で立式される算数の問題を解くことができるのが，二重数
直線の強みと言えます。

48. Q&A
 図の中に「1」は必要？
• 今回の9つの問題では，いずれも「1に当たる大きさ（基準にする大き
さ）」を見つけることができるので，「1」を記載しています。
• 「1」が明示されない二重数直線も，作ることができます。
7
1000
500
□
0
0
×2
(分間)
(m)
×2
7×2=14
令和3年度全国学力・学習状況調査 算数 1 (2)

49. Q&A
 筆算は必要？
• 今回の9つの問題では，いずれも筆算は必須ではありません。例えば③
-3の「4.2÷2.8」について，42も28も7で割り切れることに気づけば，
4.2÷2.8= 42÷28=6÷4=3÷2=1.5として求められます。
• 筆算は，上記のような計算が思いつかない場合のほか，「たしかめ」
としての活用が期待されます。
 ①-3は，なぜ「200÷80」になるのでしょうか？
• 二重数直線から得られる式は「80×□=200」です。
• そこから，3年で学習する「1つ分の数×いくつ分=ぜんぶの数 ⇒
いくつ分=ぜんぶの数÷1つ分の数」をもとに，□=200÷80としています。

50. Q&A
 この図から，「かけ算の順序」に対して言えることは？
• 小学5年で学習する，典型的なかけ算・わり算の場面においても，
「かけられる数」と「かける数」をそれぞれ特定でき（「順序は不
要」ではない），「積」は「かけられる数」と同種の数量になります。
0
0
×p
p
A A
p (量2)
(量1)
1
B
×p
×p
×p
p<1のとき
B×p=A
B=A÷p
p=A÷B
p>1のとき

51. Q&A
 「みはじ（はじき）」「くもわ」に反対？
• 反対はしません。文章題などに対して，それらを用いて適切に立式で
きるのなら，それでいいと思います。
• 単純な構造を組み合わせて，より複雑な対象を図示できるのは，興味
深いものです。
[Greeno 1987, p.74]
[Greeno 1987, p.78]

52. 参考文献
 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編.
https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFi
les/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf
 熊倉啓之, 國宗進, 柗元新一郎: 中学生・高校生の割合の理解に
関する調査研究, 静岡大学教育実践総合センター紀要, Vol.29,
pp.80-89 (2019). http://doi.org/10.14945/00026356
 中山理: 算数再入門, 中央公論新社 (2008). ISBN:9784121019424
 白井一之ほか8名: 乗法・除法の演算決定に有効にはたらく数直
線の指導. 日本数学教育学会誌, Vol.79, No.6, pp.51-56 (1997).
https://doi.org/10.32296/jjsme.79.6_51

53. 参考文献
 令和3年度全国学力・学習状況調査 解説資料 小学校算数.
https://www.nier.go.jp/21chousa/pdf/21kaisetsu_shou_sansuu.pdf
 Kaput & West: “Missing-Value Proportional Reasoning
Problems: Factors Affecting Informal Reasoning Patterns”
(1994). ISBN:0791417646
 Greeno: “Instructional Representations Based on Research
about Understanding” (1987).
https://books.google.co.jp/books?id=xvHESHH7m5IC&lpg=PP1&hl=ja&pg=
PA61#v=onepage&q&f=false

54. 関連記事
 「×」から学んだこと 14.02 – わさっきhb
https://takehikom.hateblo.jp/entry/20140228/1393537997
 東京新聞「日本の算数・数学 大丈夫？」のうち二重数直線を目
にして思ったこと – かけ算の順序の昔話
https://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2018/04/11/212807
 かけることの本質 – かけ算の順序の昔話
https://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2020/05/31/092042
 「割合の深い理解」の調査問題を，数直線図で – かけ算の順序
の昔話 https://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2020/08/08/004414