Este documento descreve a Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática que ocorreu de 18 a 22 de outubro de 2010 na Universidade Federal da Paraíba. Ele também discute brevemente a história do número Pi e como diferentes civilizações ao longo da história chegaram a aproximações para este número.

1. V Bienal da SBM
Sociedade Brasileira de Matem´tica
a
UFPB - Universidade Federal da Para´
ıba
18 a 22 de outubro de 2010
´ ´
topicos sobre o “Pi” e os numeros reais
¨
Kelly Roberta Mazzutti Lubeck ∗ & ¨
Marcos Lubeck †
Este trabalho pretende fazer uma singela an´lise acerca da natureza dos n´meros reais, levantando alguns
a u
questionamentos sobre no¸˜es que muitas vezes julgamos ser de senso comum. Para tanto, faremos uma abordagem
co
hist´rica sintetizada sobre o n´mero Pi, mostrando a sua configura¸˜o ao longo da hist´ria da matem´tica e sua
o u ca o a
importˆncia para os delineamentos tomados por esta ciˆncia ao longo dos tempos. Com isso, visamos mostrar uma
a e
parcela, pequena que seja, para alunos de gradua¸˜o - especialmente de matem´tica - da “evolu¸˜o” das id´ias
ca a ca e
matem´ticas acerca da estrutura dos n´meros reais e da dinamicidade destes pensamentos at´ se tornarem, por
a u e
hora, estanques.
1 Motiva¸˜o
ca
Num curso de Licenciatura em Matem´tica muitos s˜o os desafios que os acadˆmicos precisam sobrepor para obter
a a e
o grau de licenciados em matem´tica. Durante o per´
a ıodo de quatro anos (em geral o tempo m´
ınimo necess´rio para
a
a integraliza¸˜o do curso) ´ apresentado a estes alunos diferentes teorias matem´ticas e m´todos de ensino variados
ca e a e
para que eles tenham plenas condi¸˜es de exercer os of´
co ıcios de sua profiss˜o de modo eficiente, oferecendo-lhes
a
suporte para as eventuais dificuldades que venham encontrar em seus ambientes de trabalho.
Por isso, um dos objetivos dos cursos de forma¸˜o de professores de matem´tica ´ mostrar a matem´tica como
ca a e a
uma ciˆncia viva, dinˆmica, pass´
e a ıvel de experimenta¸˜o. O grande desafio ´ desmistificar que a matem´tica ´
ca e a e
uma ciˆncia pronta, est´tica, onde para todo problema ´ poss´ apresentar uma f´rmula ou, o que ´ muito mais
e a e ıvel o e
preocupante, uma ciˆncia em que se d˜o as f´rmulas para depois se resolver os problemas.
e a o
Refletindo a respeito destas “experimenta¸˜es” nos deparamos com o n´mero Pi (π) e, um questionamento
co u
surgiu: O que ´ o n´mero Pi? Ou melhor: Quem ´ o n´mero Pi? Bom, independentemente de cursarem matem´tica,
e u e u a
acreditamos que muitas pessoas responderiam que ´ o n´mero (constante) dado pela raz˜o do comprimento de uma
e u a
circunferˆncia pelo seu diˆmetro e muitos ainda acrescentariam que Pi ´ um n´mero irracional.
e a e u
De fato, mesmo concordando com eles - at´ porque isto nos ´ ensinado no ensino fundamental - surgiu-nos outra
e e
quest˜o: Ser´, realmente, que a raz˜o do comprimento de qualquer circunferˆncia pelo seu diˆmetro ´ constante,
a a a e a e
e a esta constante chamamos de Pi? Quantos acadˆmicos (e porque n˜o mencionarmos cidad˜os) j´ tiveram a
e a a a
possibilidade e/ou curiosidade de experimentar se a raz˜o mencionada acima ´ constante? De fato, esta raz˜o ´
a e a e
constante e isto j´ foi apresentado, inclusive, no Livro XII dos Elementos, de Euclides, onde a proposi¸˜o 2 j´ trazia
a ca a
“Os c´ırculos est˜o entre si como os quadrados sobre os diˆmetros” e a proposi¸˜o 18 dizia que “As esferas est˜o
a a ca a
entre si em uma raz˜o tripla da dos pr´prios diˆmetros.” Para maiores detalhes veja Euclides [4], p´ginas 528 e
a o a a
561, respectivamente.
Ainda, as seguintes inquieta¸˜es a respeito do n´mero Pi do tipo: Quando o descobriram? Quais foram as
co u
melhores aproxima¸˜es que lhe foram atribu´
co ıdas? Ele ´ ou n˜o um irracional?, motivaram investiga¸˜es n˜o s´ a
e a co a o
seu respeito mas, tamb´m, a respeito da essˆncia dos n´meros reais, procurando esclarecer quais os n´meros que
e e u u
compreendem o conjunto dos reais e o que se pode explorar sobre a“reta real”.
Deste modo, no decorrer deste trabalho, procuramos esclarecer de maneira simples e objetiva a alguns destes
questionamentos.
∗ Universidade Estadual do Oeste do Paran´ , UNIOESTE, PR, Brasil, kellyrobertaml@gmail.com
a
† Universidade Estadual do Oeste do Paran´, UNIOESTE, PR, Brasil, marcoslubeck@gmail.com. Doutorando UNESP/Rio Claro,
a
bolsista CNPq.

2. 2 Um n´ mero chamado Pi
u
Assim como n˜o podemos afirmar com precis˜o qual foi o primeiro povo que “fez” matem´tica, ou equivalentemente,
a a a
quando surgiu a matem´tica, tamb´m n˜o podemos apontar uma unica civiliza¸˜o que descobriu que para qualquer
a e a ´ ca
circunferˆncia a raz˜o de seu comprimento (per´
e a ımetro) por seu diˆmetro ´ constante. Talvez uns dos primeiros
a e
registros de que se tem conhecimento e que traz uma aproxima¸˜o para o n´mero Pi seja o Papiro de Ahmes (ou
ca u
Papiro de Rhind). Este papiro1 , que data de aproximadamente de 1600 a. C., apresenta “receitas” para alguns
problemas (matem´ticos) do povo eg´
a ıpcio e o problema 48 sugere que o n´mero Pi seja aproximado por 4(8/9)2 .
u
Este valor era obtido comparando-se a ´rea de um c´
a ırculo de diˆmetro 9 com a ´rea de um quadrado de lado 8.
a a
1
Outro valor que os eg´ ıpcios adotavam era 3 6 (ou aproximadamente 3,16), conforme (CONTADOR, 2006, Vol. I, p.
253). Esta “problem´tica” do n´mero Pi ´ t˜o antiga que at´ mesmo a B´
a u e a e ıblia faz referˆncia ao que hoje chamamos
e
de Pi no livro dos Reis, I, 7:23 e em Crˆnicas, II, 4:2. A seguir descrevemos o trecho do livro dos Reis: “Hiram
o
fez ainda o Mar2 , todo de metal fundido, com cinco metros de diˆmetro. Era redondo, tinha dois metros e meio de
a
altura, e sua circunferˆncia tinha quinze metros” (B´
e IBLIA SAGRADA, 1998, p. 374).
J´ os babilˆnicos (1800 a 1600 a. C.) aproximavam o valor3 de Pi por 3 1 e existem registros que no vale
a o 8
mesopotˆmico o valor de Pi era 3 (Conf. CONTADOR, 2006, Vol. I, p. 253).
a
Os chineses aproximavam o n´mero Pi, quando observado no c´lculo da ´rea do c´
u a a ırculo, pelo n´mero 3. Por´m,
u e
outras estimativas s˜o apresentadas na obra Chui-Chang Suan-Shu (Nove Cap´
a ıtulos sobre a Arte Matem´tica),
a
composto por volta de 250 a. C. Nela Pi ´ aproximado por “3, 14 usando um pol´
e ıgono regular de 96 lados e a
aproxima¸˜o de 3, 14159 considerando um pol´
ca ıgono de 3.072 lados” (BOYER, 1996, p. 138). Outra aproxima¸˜o de
ca
e 355
Pi (historicamente relevante) dada por chineses ´ 113 , que ´ correta at´ a sexta casa decimal. Segundo Eves (2004,
e e
p. 142) este valor foi encontrado pelo chinˆs Tsu Ch’ung-chih.
e
Quando nos reportamos ` hist´ria do Pi n˜o podemos deixar de mencionar o nome de Arquimedes. Ele ´
a o a e
considerado um dos maiores pensadores de todos os tempos, com grandes contribui¸˜es tanto na matem´tica quanto
co a
na f´
ısica. Em um dos seus trabalhos apresentou um m´todo, o Princ´
e ıpio da Alavanca (ou Lei da Alavanca), que
possibilitou avan¸ar significativamente no c´lculo de ´reas e volumes (quadratura da par´bola, volume da esfera).
c a a a
Ele tamb´m abordou diversos problemas como por exemplo a trissec¸˜o do ˆngulo, o estudo da esfera e do cilindro,
e ca a
os problemas astronˆmicos e hidrost´ticos e a medida do c´
o a ırculo e, conseq¨entemente, uma aproxima¸˜o para o
u ca
n´mero Pi.
u
Para calcular uma aproxima¸˜o para o n´mero Pi ele trabalhou com pol´
ca u ıgonos inscritos em uma circun-
ferˆncia.“Come¸ando com o hex´gono regular inscrito, ele calculou os per´
e c a ımetros dos pol´
ıgonos obtidos dobrando-se
sucessivamente o n´mero de lados at´ chegar a noventa e seis lados.” (BOYER, 1996, p. 86).
u e
O grande m´rito no trabalho de Arquimedes reside no fato de ele n˜o tentar apresentar o valor exato de Pi, mas
e a
simplesmente um limite inferior e um superior para esta constante. Segundo Contador (2006, p. 265) “o m´todo e
de Arquimedes ´ o unico matematicamente correto e foi com certeza a primeira tentativa cient´
e ´ ıfica de buscar um
valor para Pi”. Atrav´s de seu m´todo Arquimedes encontrou a aproxima¸˜o 3 10 < π < 3 1 .
e e ca 71 7
O livro de Contador (2006, p. 256) traz os c´lculos que motivaram as f´rmulas recorrentes abaixo e, segundo o
a o
autor, estes c´lculos fazem referˆncia ao m´todo utilizado por Arquimedes.
a e e
Identificando ln como o lado do pol´ ıgono regular inscrito num c´ ırculo de raio r, pn o per´
ımetro do pol´ıgono
inscrito, Ln o lado do pol´
ıgono circunscrito no c´
ırculo de raio r, e Pn o seu per´
ımetro, temos as seguintes rela¸˜es,
co
2Pn pn
P2n = , (2.1)
Pn + pn
1 Para
maiores detalhes veja (BOYER, 1996, p. 12).
Mar de Bronze era um grande reservat´rio de ´gua, necess´ria para as purifica¸˜es rituais e a limpeza do templo” (B´
2 “O o a a co IBLIA
SAGRADA, 1998, p. 374).
3 Valor encontrado em problemas registrados em tabelas de argila.

3. e
p2n = pn P2n , (2.2)
onde (??) representa o per´ ımetro do pol´ıgono circunscrito de 2n lados (P2n ) como uma “m´dia harmˆnica” e (??)
e o
representa o pol´ıgono inscrito de 2n lados (p2n ) como uma m´dia geom´trica. Al´m disso, da Figura 1 abaixo ´
e e e e
f´cil concluir que ln = 2r sen θ, pn = 2.n.r. sen θ e Ln = 2r tan θ, Pn = 2.n.r. tan θ.
a
Figura 1: Pol´
ıgonos inscrito e circunscrito.
Hoje, com a representa¸˜o num´rica indo-ar´bica, com o desenvolvimento de v´rios algoritmos para c´lculos
ca e a a a
b´sicos (divis˜o, multiplica¸˜o, radicia¸˜o) e, por fim, com o aux´ de uma calculadora, facilmente chegamos aos
a a ca ca ılio
valores estabelecidos por Arquimedes. Tomando um c´ ırculo de raio 1, com pol´
ıgonos de seis lados inscrito e circuns-
◦
crito, obtemos n = 6 e θ = 30 . Assim, com as f´rmulas recorrentes dadas acima obtemos:
o
• Pol´
ıgono com 6 lados.
L6 = 2.1. tan 300 = 1, 1547 e l6 = 2.1.sen 300 = 1.
P6 = 2.6.1. tan 300 = 6, 9282 e p6 = 2.6.1.sen 300 = 6.
• Pol´
ıgono com 12 lados.
√
P12 = 2.p+P6 = 6, 4307 e p12 = p6 .P12 = 6, 2116
p6
6 .P6
• Pol´
ıgono com 24 lados.
√
P24 = 2.p12 .P12 = 6, 3192 e p24 = p12 .P24 = 6, 2651
p12 +P
12
• Pol´
ıgono com 48 lados.
√
P48 = 2.p24 .P24 = 6, 2930 e p48 = p24 .P48 = 6, 2790
p24 +P
24
• Pol´
ıgono com 96 lados.
√
P96 = 2.p48 .P48 = 6, 2859 e p96 = p48 .P96 = 6, 2824.
p48 +P
48
Dessa forma ´ f´cil concluir que o valor de π est´ entre os valores 3, 1412 e 3, 14295.
e a a

4. O livro de Garbi (2007, p. 210) apresenta um m´todo que segundo o autor ´ “de mais f´cil compreens˜o” e
e e a a
4
tamb´m estabelece as f´rmulas (??) e (??) .
e o
Arquimedes tamb´m utilizou, conforme Garbi (2009, p. 81), o m´todo da dupla redu¸˜o ao absurdo para
e e ca
calcular a ´rea do c´
a ırculo, que provou ser igual a ´rea do triˆngulo retˆngulo tendo como base o comprimento
a a a
5
da circunferˆncia e como altura o raio do c´
e ırculo . Com isto Arquimedes pode inferir que se “o comprimento da
circunferˆncia ´ 2πr, sua ´rea ´ πr2 ”.
e e a e
´
Figura 2: Areas da circunferˆncia e do triˆngulo explorados por Arquimedes.
e a
Especula-se, tamb´m, que uma das melhores aproxima¸˜es para o n´mero Pi foi dada por Apolˆnio de Perga
e co u o
(± 262 a 190 a. C.) o qual atribuiu 3, 1416 como valor de Pi, mas n˜o existem explica¸˜es de como ele chegou a
a co
este fato. No Almagesto de Ptolomeu a aproxima¸˜o dita ser de Apolˆnio tamb´m foi utilizada (BOYER, 1996, p.
ca o e
96).
Outros povos e outro estudiosos tamb´m possu´
e ıam suas aproxima¸˜es para o valor de Pi, mas conforme Boyer
co
(1996, p. 167) foi o matem´tico ´rabe Al-Kashi (? - 1436) que melhor se aproximou do valor de Pi, estabelecendo
a a
o valor 6, 2831853011795865 para estimar 2π. Esta aproxima¸˜o s´ foi superada ao final do s´culo XVI 6 .
ca o e
Esta constante, que foi por muitos e diferentes povos investigada, s´ se consagrou com o s´
o ımbolo da letra grega
π quando Euler (1734 - 1800) a publicou em seus livros. (Ela foi usada pela primeira vez pelo inglˆs William Jones,
e
conforme Garbi (2009, p. 102)).
A primeira express˜o anal´
a ıtica envolvendo o n´mero π foi apresentada pelo francˆs Fran¸ois Vi`te (1540 - 1603)
u e c e
e ´ dada por:
e
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= · + · + + ··· (2.3)
π 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Mais do que uma forma de representar π esta express˜o refor¸a o surgimento de uma nova t´cnica na matem´tica,
a c e a
onde no¸˜es aritm´ticas, alg´bricas e trigonom´tricas se fundem, cada vez mais, em express˜es anal´
co e e e o ıticas. Segundo
(GARBI, 2007, p. 57) “O uso espor´dico de letras para representar n´meros era pr´tica muito antiga, mas at´ o
a u a e
surgimento de Vi`te n˜o se costumava fazer manipula¸˜es alg´bricas de s´
e a co e ımbolos nem eram empregados coeficientes
literais para representar classes gen´ricas.”
e
Abaixo apresentamos, baseados na obra de Garbi (2007), o procedimento que Vi`te utilizou para deduzir a
e
f´rmula (??).
o
Da cl´ssica f´rmula
a o
sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
´ f´cil deduzir que
e a
θ θ
sen θ = 2 sen cos ,
2 2
4O m´todo referenciado n˜o ´ o apresentado por Arquimedes.
e a e
5 Os c´lculos encontram-se na bibliografia citada.
a
6 Cronologias para o n´ mero Pi s˜o apresentadas nas obras (CONTADOR, 2006, p. 265) e (EVES, 2004, p. 143).
u a

5. donde
θ θ
sen θ = 2 · 2 sen cos cos θ.
4 4
Repetindo-se este processo n vezes temos que
θ θ θ θ θ θ
sen θ = 2n sen n
cos n cos n−1 cos n−2 · · · cos cos .
2 2 2 2 4 2
Analisando o termo 2n sen 2θ , percebemos que ele pode ser re-escrito como
n
θ θ θ θ sen 2θ
n
2n · sen n = θ sen n = θ θ
.
θ 2 2n
2 2n
Mas, ´ poss´ provarmos que para valores cada vez maiores de n o quociente acima se aproxima de 1, ou seja,
e ıvel
sen 2θ
n
se n → ∞ ent˜oa θ → 1.
2n
Assim, Vi`te fez a identifica¸˜o
e ca
θ θ θ θ θ θ
sen θ = θ cos cos cos · · · cos n−1 cos n cos n+1 · · ·
2 4 8 2 2 2
Para θ = π/2 temos sen θ = 1 e, portanto,
π π π π π π π
1= cos cos cos · · · cos n−1 cos n cos n+1 · · · (2.4)
2 4 8 16 2 2 2
Novamente, das cl´ssicas f´rmulas sen 2 θ + cos2 θ = 1 e cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b temos que cos θ =
a o
−1 + 2 cos2 θ , donde cos θ = 1 + 2 cos θ.
2 2 2
1
Dessa forma, como cos π/2 = 0 temos que,
π 1 1 π 1
cos = + cos = ,
4 2 2 2 2
π 1 1 π 1 1 1
cos = + cos = + ,
8 2 2 4 2 2 2
π 1 1 π 1 1 1 1 1
cos = + cos = + + , etc.
16 2 2 8 2 2 2 2 2
Substituindo na equa¸˜o (??) obtemos
ca
π 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1= + + + ··· (2.5)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Que, por fim, ´ equivalente `
e a
2
π= (2.6)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 + 2 2 2 + 2 2 + 2 2 ···
Apesar de toda a sofistica¸˜o que a matem´tica j´ possu´ ainda necessitou-se mais de um s´culo para que um
ca a a ıa, e
contemporˆneo de Vi`te, o francˆs J. H. Lambert (1728 - 1777) em 1761 provasse que π ´ realmente um n´mero
a e e e u
irracional. Lambert se apoiou na teoria das fun¸˜es cont´
co ınuas para obter a sua demonstra¸˜o. Outras demonstra¸˜es
ca co
em linguagem mais “moderna” foram apresentadas e, uma razoavelmente simples (se ´ que estas palavras podem
e
ser utilizadas em matem´tica) pode ser obtida na obra de Figueiredo (2002, p. 9). A prova que ali se encontra, a
a
qual discutiremos abaixo, ´ devida a I. Niven e foi publicada no Bulletin of the American Mathematical Society, 53
e
(1947), p. 509.

6. Teorema 2.1. π ´ um n´mero irracional.
e u
Para provarmos que π ´ um n´mero irracional, vamos supor que π 2 seja uma fra¸˜o irredut´ e chegar a algum
e u ca ıvel
2
absurdo, logo π s´ pode ser irracional e, consequentemente, π tamb´m o ´. Para tanto, faremos uso das id´ias dos
o e e e
lemas descritos abaixo.
n n
Lema 2.1. Dada a fun¸˜o f (x) = x (1−x) , com n inteiro positivo, ent˜o Dk f (0) ´ um n´mero inteiro para
ca n! a e u
qualquer k = 0, 1, 2, · · · , onde Dk f representa a k−´sima derivada de f e D0 f = f.
e
Prova: A f´rmula de Leibnitz para as derivadas de um produto de fun¸˜es g e h ´ dada por
o co e
k
k
Dk (gh) = Dj g · Dk−j h,
j=0
j
k k!
onde = j!(k−j)! representam os coeficientes do Binˆmio de Newton.
o
j
Aplicando a f´rmula de Leibnitz para a fun¸˜o f obtemos
o ca
k
1 k
Dk f = Dj xn · Dk−j (1 − x)n (2.7)
n! j=0
j
Por outro lado, um c´lculo simples mostra que:
a
• Se j < n ent˜o Dj xn |x=0 = n(n − 1) · · · (n − j)xn−j |x=0 = 0;
a
• Se j = n ent˜o Dj xn |x=0 = n(n − 1) · · · 3.2.1|x=0 = n!;
a
• Se j > n ent˜o Dj xn |x=0 = 0|x=0 = 0.
a
Substituindo estes valores na (??) conclu´
ımos que
Dk f (0) = 0 se k < n (2.8)
e
1 k
Dk f (0) = n!Dk−n (1 − x)n |x=0 se k ≥ n (2.9)
n! n
Sendo os coeficientes binomiais inteiros, temos que a express˜o do lado esquerdo de (??) ´ um inteiro, donde
a e
est´ provado o resultado.
a
Lema 2.2. Dk f (1) ´ um n´mero inteiro para qualquer k = 0, 1, 2, 3, · · ·
e u
Prova: Basta observar que f (1 − x) = f (x), ou seja, f (1) = f (0), e que pelo lema anterior foi provado que Dk f (0)
sempre ´ um inteiro, logo Dk f (1) ser´ um inteiro.
e a
p
Assumindo agora que π 2 = q fra¸˜o irredut´
ca ıvel, definimos a seguinte fun¸˜o
ca
F (x) = q n {π 2n f (x) − π 2n−2 D2 f (x) + · · · + (−1)n D2n f (x)}.
Dos lemas e com a hip´tese de que π 2 = p/q temos que F (0) e F (1) s˜o n´meros inteiros.
o a u
Considerando que a representa a derivada de uma fun¸˜o, temos as rela¸˜es
ca co

7. {F (x)sen πx − πF (x) cos πx} = F (x)sen πx + πF (x) cos πx − πF (x) cos πx + πF (x)sen πx
= F (x)sen πx + πF (x)sen πx
= (F (x) + π 2 F (x))sen πx
= (q n (−1)n D2n+2 f (x) + q n π 2n+2 f (x))sen πx, como D2n+2 f (x) = 0
= pn π 2 f (x)sen πx,
n
observe que q n π 2n+2 = q n π 2n π 2 = q n pn π 2 = pn π 2 .
q
Do Teorema Fundamental do C´lculo7 aplicado a rela¸˜o acima, segue-se que
a ca
1
pn π 2 0
f (x)sen πx dx = F (x)sen πx − πF (x) cos πx|10
= (F (1)sen π − πF (1) cos π) − (F (0)sen 0 − πF (0) cos 0)
= πF (1) + πF (0)
Com isto chegamos a equa¸˜o
ca
1
pn π f (x)sen πx dx = F (1) + F (0) (2.10)
0
que por um lado j´ verificamos que ´ inteiro. J´ o lado esquerdo de (??) ´ um n´mero positivo e menor do que 1,
a e a e u
1
pois para todo 0 < x < 1 temos que 0 < f (x) < n! . Al´m disso
e
1 1
pn 2pn
0 < πpn f (x)sen πx dx < π sen πx dx = (2.11)
0 n! 0 n!
pn
Como limn→∞ n! = 0 temos que existe n ∈ N tal que 2pn /n! < 1, portanto chegamos a um absurdo.
Provando-se, por fim, a irracionalidade do n´mero π e observando que mesmo nos registros mais antigos, nos
u
mais diferentes povos, o π j´ era investigado, surge-nos um novo questionamento: Por que a demora em se provar
a
√
que o n´mero π ´ um n´mero irracional? Ao contr´rio, por exemplo, do n´mero 2, que j´ no tempo de Pit´goras
u e u a u a a
se conhecia a sua incomensurabilidade com uma unidade pr´-fixada. Esta quest˜o est´ intimamente relacionada
e a a
com a “natureza” dos n´meros reais e ser´ abordada, juntamente com outros t´picos, na pr´xima se¸˜o.
u a o o ca
3 Explorando a reta real
Algumas das primeiras no¸˜es sobre conjuntos num´ricos que nos s˜o apresentadas fazem referˆncia ao conjunto dos
co e a e
n´meros naturais, inteiros, racionais e irracionais e aprendemos, ainda, que o conjunto dos n´meros reais engloba
u u
(de forma n˜o disjunta) todos estes conjuntos, ou seja, o conjunto dos reais ´ formado pelos racionais e irracionais.
a e
Podemos observar, tamb´m, que quando solicitado exemplos de n´meros racionais e irracionais provavelmente para
e u
100% das solicita¸˜es surgem respostas como
co
1 −3 5 √ √ √
, , , 2, 3, 7, π.
2 4 7
´
E claro que estes valores surgem, pois eles s˜o muito mais representativos que v´rios outros racionais e irracionais,
a a
1 n
como por exemplo a fra¸˜o 2507 e o n´mero de Euler e = limn→∞ 1 + n .
ca 4562 u
Esta no¸˜o (elementar) que foi apresentada j´ come¸a a estabelecer diferentes “categorias” nos conjuntos
ca a c
num´ricos pois o quˆ, al´m da periodicidade, diferencia o conjunto dos racionais dos irracionais?
e e e
Quem contribuiu imensamente para a compreens˜o desta quest˜o foi o matem´tico G. Cantor (1845 - 1918) com
a a a
sua teoria sobre os diferentes tipos de infinito. Cantor provou que apesar de ambos os conjuntos dos naturais e dos
reais serem infinitos, a potˆncia de seus infinitos ´ distinta.
e e
7 Se 1
g : [0, 1] → R ´ uma fun¸˜o continuamente diferenci´vel em [0,1], ent˜o
e ca a a 0 g (x)dx = g(1) − g(0).

8. Segundo Vilela (2005), “George Cantor, com sua teoria dos n´meros transfinitos, n˜o apenas mostrou que era
u a
poss´ıvel analisar sem nenhuma contradi¸˜o este conceito, mas ainda provou que existem v´rios tipos de infinito
ca a
diferentes - alguns maiores, outros menores” (p. 75).
E, tamb´m,
e
Cantor estendeu aos conjuntos infinitos a id´ia de que eles s˜o numericamente iguais se for
e a
poss´
ıvel estabelecer uma rela¸ao biun´
c˜ ıvoca entre os seus elementos. Se isso for imposs´
ıvel,
ent˜o um deles ´ maior do que o outro. Ele conseguiu provar que ´ poss´
a e e ıvel associar cada
n´mero racional a um n´mero natural e que, portanto, os dois conjuntos s˜o numericamente
u u a
iguais. (p. 77).
Dizemos, de fato, que um conjunto ´ enumer´vel se possui uma correspondˆncia biun´
e a e ıvoca com o conjunto dos
naturais ou for finito. Caso contr´rio, ele ´ dito n˜o enumer´vel.
a e a a
Como os naturais s˜o enumer´veis e os reais s˜o n˜o enumer´veis 8 temos, consequentemente, que a n˜o enu-
a a a a a a
merabilidade ´ uma caracter´
e ıstica/propriedade dos n´meros irracionais. Portanto, sob a reta real existem significa-
u
tivamente mais n´meros irracionais que racionais. Grosseiramente falando, quem d´ o “preenchimento”, o “peso”,
u a
da reta real s˜o os irracionais.
a
Estas observa¸˜es nos auxiliam a compreender os reais, mas n˜o nos ajudam a responder a quest˜o anteriormente
co a a
formulada: Por que a demora em se provar que Pi ´ um n´mero irracional?
e u
A resposta mais ´bvia ´ porque necessitou-se de mais ferramentas matem´ticas para realizar tal feito e, tamb´m,
o e a e
necessitou-se conhecer melhor o conjunto dos reais.
Colocamos isto porque apesar de “conhecermos” os n´meros reais, concordarmos que os irracionais s˜o n˜o
u a a
enumer´veis e, portanto, representam a grande maioria dos reais, ainda ´ poss´ mostrar que todos os n´meros
a e ıvel u
√
irracionais da forma p = ±a ± b, a, b ∈ N, e similares9 formam um conjunto enumer´vel. Assim, quase todos os
a
n´meros irracionais que conhecemos (lembramos) representam a ´
u ınfima parte dos reais, uma vez que tamb´m s˜o
e a
enumer´veis.
a
Bom! Neste caso quem s˜o os irracionais que “sobraram” para compor o conjunto dos reais e que representam
a
(em potˆncia de infinito) uma quantidade significativamente superior? Os n´meros π e e fazem parte deste conjunto?
e u
Euler j´ havia demonstrado que e e e2 s˜o irracionais e, segundo Garbi (2007) ele percebeu um fato curioso.
a a
√
Enquanto a 2 elevada a qualquer expoente par torna-se um n´mero racional, as potˆncias
u e
racionais de e continuam a ser irracionais. Parecia que a irracionalidade de e era mais
√
“profunda” do que a de 2. [...] Estes ind´
ıcios sugeriam, portanto, que os n´meros chamados
u
reais poderiam estar divididos em duas categorias: os que s˜o e os que n˜o s˜o ra´
a a a ızes de
equa¸oes polinomiais de coeficientes inteiros. ( p. 193).
c˜
Para responder a pergunta acima e, consequentemente, conhecer melhor a natureza dos reais necessitamos de
mais um conceito matem´tico, o dos n´meros alg´bricos e transcendentes.
a u e
Qualquer solu¸˜o de uma equa¸˜o polinomial da forma
ca ca
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
onde os coeficientes ai s s˜o inteiros, ´ chamado de um n´mero alg´brico. Assim, um n´mero α ´ alg´brico se existe
a e u e u e e
uma equa¸˜o polinomial com coeficientes inteiros da qual α seja raiz. (Da defini¸˜o observamos que todo n´mero
ca ca u
p
racional q ´ alg´brico, j´ que ´ raiz da equa¸˜o qx − p = 0). E, um n´mero ´ dito transcendente quando ele n˜o ´
e e a e ca u e a e
alg´brico.
e
Vamos mostrar, abaixo, que o conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel10 e, consequentemente, al´m dos
u e e a e
8 Para maiores detalhes veja a bibliografia (LIMA, 2000).
9 Entendemos √
por similares o conjunto dos n´ meros da forma q = a + p, com p descrito anteriormente.
u
10 Veja Figueiredo (2002, p. 16). A demonstra¸˜o apresentada ali, a qual servir´ de base para nossos c´lculos, ´ devida a Cantor.
ca a a e

9. √ √ 7 √
racionais, todos os irracionais da forma 2, 3 7, 1 + 2, etc. tamb´m s˜o enumer´veis, j´ que s˜o alg´bricos.
e a a a a e
11
Segue disto que o conjunto dos n´meros transcendentes ´ n˜o vazio e n˜o enumer´vel .
u e a a a
Teorema 3.1. O conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel.
u e e a
Prova: Considere o polinˆmio com coeficientes inteiros
o
p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 . (3.12)
Definimos a altura do polinˆmio p, e denotamos por |p|, ao n´mero natural
o u
|p| = |an | + · · · + |a1 | + |a0 | + n. (3.13)
Os n´meros alg´bricos s˜o ra´
u e a ızes de polinˆmios, com coeficientes inteiros, logo p(x) = 0. Mas, o teorema
o
fundamental da ´lgebra garante que p(x) = 0 tem exatamente n ra´
a ızes complexas (e, portanto, n˜o mais do que n
a
ra´
ızes reais).
O n´mero de polinˆmios do tipo (??) com uma altura determinada ´ um n´mero finito. Logo, o conjunto de
u o e u
todas as ra´
ızes dos polinˆmios de uma determinada altura ´ finito. Como uni˜o enumer´vel de conjuntos finitos
o e a a
´ enumer´vel segue-se que todas as ra´
e a ızes (conjuntos finitos) de todos os polinˆmios de todas as alturas (conjunto
o
enumer´vel) formam um conjunto enumer´vel.
a a
A natureza distinta do n´mero π e do n´mero e nos indica que eles s˜o n´meros transcendentes, mas somente
u u a u
em 1873 o matem´tico francˆs C. Hermite (1822 - 1901) demonstrou que e ´ transcendente. “Mais ainda, provou
a e e
que e elevado a qualquer n´mero alg´brico continua a ser transcendente” (GARBI, 2007, p. 194). Em 1882, F.
u e
Lindemann (1852 - 1939) provou que π tamb´m ´ um n´mero transcendente. Lindemann, em seu trabalho, estendeu
e e u
o m´todo usado por Hermite.
e
Considerando-se que o produto de n´meros alg´bricos ´ alg´brico e o produto de um n´mero alg´brico por
u e e e u e
iπ
um transcendente ´ transcendente e, com o aux´ da f´rmula de Euler (e = −1), Lindemann usou o seguinte
e ılio o
racioc´
ınio,
eiπ ´ alg´brico, pois -1, obviamente, o ´. Portanto πi ´ transcendente pois e elevado a um
e e e e
n´mero alg´brico continuaria a ser transcendente. Se πi ´ transcendente, sendo i alg´brico
u e e e
(´ solu¸ao da equa¸ao x2 + 1 = 0), ent˜o π s´ pode ser transcendente (GARBI, 2007, p.
e c˜ c˜ a o
194).
Com esta certeza, fica tamb´m provado que o cl´ssico problema da quadratura do c´
e a ırculo n˜o tem resposta
a
√
positiva12 , pois se fosse poss´ ter´
ıvel ıamos que π ´ um n´mero alg´brico e, consequentemente, π tamb´m ´ alg´brico,
e u e e e e
o que ´ uma contradi¸˜o.
e ca
Por fim, nos resta aceitar que o conjunto de “peso” da reta real ´ formado pelo conjunto dos n´meros transcen-
√ √
e u
dentes, n´meros da forma π, e, 2 2 , e 2 , eπ , π e , π π , · · · .
u
A importˆncia de se conhecer mais exemplos de n´meros transcendentes (al´m de e e de π) foi tal, que D.
a u e
Hilbert (1862 - 1943) na sua famosa lista dos vinte e trˆs problemas apresentada no 2◦ √
13
e Congresso Internacional
de Matem´tica em Paris, no ano de 1900, colocou como o 7◦ problema determinar se 2 2 era transcendente ou
a
alg´brico.
e
11 O conjunto dos reais ´ n˜o enumer´vel e, ´ composto pelos n´ meros alg´bricos e transcendentes. Como os alg´bricos s˜o enumer´veis,
e a a e u e e a a
temos que o conjunto dos transcendentes ´ n˜o vazio e n˜o enumer´vel.
e a a a
12 Assumimos, para tanto, que todo n´ mero construt´
u ıvel ´ alg´brico. Maiores detalhes consulte o livro de L. H. Jacy Monteiro, “A
e e
Teoria de Galois”, conforme a referˆncia (FIGUEIREDO, 2002, p. 33).
e
13 Esta lista ajudou a delinear o rumo para as novas pesquisas em matem´tica.
a

10. √
Em 1929, Siegel provou que 2 2 ´ trascendente, mas foi Gelfond (1934) e Schneider (1935), independentemente,
e
que generalizaram a quest˜o, ou seja, provaram que: “Sejam α e β n´meros alg´bricos (reais ou complexos). Se
a u e
α = 0 e α = 1 e β n˜o for um n´mero racional (real), ent˜o αβ ´ transcendente.”
a u a e
Com isso, podemos dizer que a natureza dos reais foi vastamente apresentada.
4 Conclus˜o
a
O trabalho aqui exposto teve a inten¸˜o de instigar a curiosidade sobre quest˜es matem´ticas que aparentemente
ca o a
nos s˜o banais e mostrar que para fazer ciˆncia, a investiga¸˜o, a quebra de tabus, s˜o fundamentais, principalmente
a e ca a
quando associadas a pr´-concep¸˜es sobre a facilidade ou dificuldade de se compreender determinados conceitos.
e co
Assim, desejamos que a matem´tica seja apresentada como uma ciˆncia em constru¸˜o, onde para cada des-
a e ca
coberta, cada n´mero real, cada f´rmula, necessitou-se de tempo para amadurecer estas id´ias.
u o e
Queremos, por fim, mostrar que mesmos conceitos aparentemente simples podem conter uma implicˆncia de a
significados complexos e que a beleza da matem´tica est´ na curiosidade de buscar mais esclarecimentos, mais
a a
compreens˜o. Este tamb´m ´ um dos pap´is desta ciˆncia: o de agu¸ar os sentidos, fazer querer saber mais, olhar
a e e e e c
al´m.
e
Referˆncias
e
[1] B´ ıblia Sagrada, Paulus, S˜o Paulo, 26a edi¸˜o, 1998.
a ca
[2] boyer, c.b. - Hist´ria da Matem´tica, Editora Edgard Bl¨cher Ltda, S˜o Paulo, 2a edi¸˜o, 2006.
o a u a ca
[3] contador, p. r. - Matem´tica, uma breve hist´ria, vol. 1, Editora Livraria da F´
a o ısica, S˜o Paulo, 2a edi¸˜o,
a ca
2006.
[4] euclides - Os Elementos / Euclides, Editora Unesp, S˜o Paulo, 2009.
a
[5] eves, h. - Introdu¸ao ` Hist´ria da Matem´tica, Editora Unicamp, Campinas, 2004.
c˜ a o a
[6] figueiredo, d. g. - N´meros Irracionais e Transcendentes, SBM, Rio de Janeiro, 2002.
u
[7] garbi, g. g. - A Rainha das Ciˆncias: um passeio hist´rico pelo maravilhoso mundo da matem´tica, Editora
e o a
a
Livraria da F´ ısica, S˜o Paulo, 3 edi¸˜o, 2009.
a ca
[8] garbi, g. g. - O Romance das Equa¸˜es Alg´bricas, Editora Livraria da F´
co e ısica, S˜o Paulo, 2a edi¸˜o, 2007.
a ca
[9] lima, e. l. - Curso de An´lise, vol. I, Rio de Janeiro, Instituto de Matem´tica Pura e Aplicada (IMPA), 10a
a a
edi¸˜o, 2000.
ca
[10] vilela, d. s. - Dos Gregos ` Modernidade, o Medo do Infinito, in SCIAM, Espcial Hist´ria - Os Grandes
a o
o
Erros da Ciˆncia, n 6, 2005, p. 74-79.
e