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Teorema 2.1. π ´ um n´mero irracional.               e     u   Para provarmos que π ´ um n´mero irracional, vamos supor qu...
{F (x)sen πx − πF (x) cos πx}           =           F (x)sen πx + πF (x) cos πx − πF (x) cos πx + πF (x)sen πx            ...
Segundo Vilela (2005), “George Cantor, com sua teoria dos n´meros transfinitos, n˜o apenas mostrou que era                 ...
√ √ 7        √racionais, todos os irracionais da forma 2, 3 7, 1 + 2, etc. tamb´m s˜o enumer´veis, j´ que s˜o alg´bricos. ...
√   Em 1929, Siegel provou que 2 2 ´ trascendente, mas foi Gelfond (1934) e Schneider (1935), independentemente,          ...
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  1. 1. V Bienal da SBMSociedade Brasileira de Matem´tica aUFPB - Universidade Federal da Para´ ıba18 a 22 de outubro de 2010 ´ ´ topicos sobre o “Pi” e os numeros reais ¨ Kelly Roberta Mazzutti Lubeck ∗ & ¨ Marcos Lubeck † Este trabalho pretende fazer uma singela an´lise acerca da natureza dos n´meros reais, levantando alguns a uquestionamentos sobre no¸˜es que muitas vezes julgamos ser de senso comum. Para tanto, faremos uma abordagem cohist´rica sintetizada sobre o n´mero Pi, mostrando a sua configura¸˜o ao longo da hist´ria da matem´tica e sua o u ca o aimportˆncia para os delineamentos tomados por esta ciˆncia ao longo dos tempos. Com isso, visamos mostrar uma a eparcela, pequena que seja, para alunos de gradua¸˜o - especialmente de matem´tica - da “evolu¸˜o” das id´ias ca a ca ematem´ticas acerca da estrutura dos n´meros reais e da dinamicidade destes pensamentos at´ se tornarem, por a u ehora, estanques.1 Motiva¸˜o caNum curso de Licenciatura em Matem´tica muitos s˜o os desafios que os acadˆmicos precisam sobrepor para obter a a eo grau de licenciados em matem´tica. Durante o per´ a ıodo de quatro anos (em geral o tempo m´ ınimo necess´rio para aa integraliza¸˜o do curso) ´ apresentado a estes alunos diferentes teorias matem´ticas e m´todos de ensino variados ca e a epara que eles tenham plenas condi¸˜es de exercer os of´ co ıcios de sua profiss˜o de modo eficiente, oferecendo-lhes asuporte para as eventuais dificuldades que venham encontrar em seus ambientes de trabalho. Por isso, um dos objetivos dos cursos de forma¸˜o de professores de matem´tica ´ mostrar a matem´tica como ca a e auma ciˆncia viva, dinˆmica, pass´ e a ıvel de experimenta¸˜o. O grande desafio ´ desmistificar que a matem´tica ´ ca e a euma ciˆncia pronta, est´tica, onde para todo problema ´ poss´ apresentar uma f´rmula ou, o que ´ muito mais e a e ıvel o epreocupante, uma ciˆncia em que se d˜o as f´rmulas para depois se resolver os problemas. e a o Refletindo a respeito destas “experimenta¸˜es” nos deparamos com o n´mero Pi (π) e, um questionamento co usurgiu: O que ´ o n´mero Pi? Ou melhor: Quem ´ o n´mero Pi? Bom, independentemente de cursarem matem´tica, e u e u aacreditamos que muitas pessoas responderiam que ´ o n´mero (constante) dado pela raz˜o do comprimento de uma e u acircunferˆncia pelo seu diˆmetro e muitos ainda acrescentariam que Pi ´ um n´mero irracional. e a e u De fato, mesmo concordando com eles - at´ porque isto nos ´ ensinado no ensino fundamental - surgiu-nos outra e equest˜o: Ser´, realmente, que a raz˜o do comprimento de qualquer circunferˆncia pelo seu diˆmetro ´ constante, a a a e a ee a esta constante chamamos de Pi? Quantos acadˆmicos (e porque n˜o mencionarmos cidad˜os) j´ tiveram a e a a apossibilidade e/ou curiosidade de experimentar se a raz˜o mencionada acima ´ constante? De fato, esta raz˜o ´ a e a econstante e isto j´ foi apresentado, inclusive, no Livro XII dos Elementos, de Euclides, onde a proposi¸˜o 2 j´ trazia a ca a“Os c´ırculos est˜o entre si como os quadrados sobre os diˆmetros” e a proposi¸˜o 18 dizia que “As esferas est˜o a a ca aentre si em uma raz˜o tripla da dos pr´prios diˆmetros.” Para maiores detalhes veja Euclides [4], p´ginas 528 e a o a a561, respectivamente. Ainda, as seguintes inquieta¸˜es a respeito do n´mero Pi do tipo: Quando o descobriram? Quais foram as co umelhores aproxima¸˜es que lhe foram atribu´ co ıdas? Ele ´ ou n˜o um irracional?, motivaram investiga¸˜es n˜o s´ a e a co a oseu respeito mas, tamb´m, a respeito da essˆncia dos n´meros reais, procurando esclarecer quais os n´meros que e e u ucompreendem o conjunto dos reais e o que se pode explorar sobre a“reta real”. Deste modo, no decorrer deste trabalho, procuramos esclarecer de maneira simples e objetiva a alguns destesquestionamentos. ∗ Universidade Estadual do Oeste do Paran´ , UNIOESTE, PR, Brasil, kellyrobertaml@gmail.com a † Universidade Estadual do Oeste do Paran´, UNIOESTE, PR, Brasil, marcoslubeck@gmail.com. Doutorando UNESP/Rio Claro, abolsista CNPq.
  2. 2. 2 Um n´ mero chamado Pi uAssim como n˜o podemos afirmar com precis˜o qual foi o primeiro povo que “fez” matem´tica, ou equivalentemente, a a aquando surgiu a matem´tica, tamb´m n˜o podemos apontar uma unica civiliza¸˜o que descobriu que para qualquer a e a ´ cacircunferˆncia a raz˜o de seu comprimento (per´ e a ımetro) por seu diˆmetro ´ constante. Talvez uns dos primeiros a eregistros de que se tem conhecimento e que traz uma aproxima¸˜o para o n´mero Pi seja o Papiro de Ahmes (ou ca uPapiro de Rhind). Este papiro1 , que data de aproximadamente de 1600 a. C., apresenta “receitas” para algunsproblemas (matem´ticos) do povo eg´ a ıpcio e o problema 48 sugere que o n´mero Pi seja aproximado por 4(8/9)2 . uEste valor era obtido comparando-se a ´rea de um c´ a ırculo de diˆmetro 9 com a ´rea de um quadrado de lado 8. a a 1Outro valor que os eg´ ıpcios adotavam era 3 6 (ou aproximadamente 3,16), conforme (CONTADOR, 2006, Vol. I, p.253). Esta “problem´tica” do n´mero Pi ´ t˜o antiga que at´ mesmo a B´ a u e a e ıblia faz referˆncia ao que hoje chamamos ede Pi no livro dos Reis, I, 7:23 e em Crˆnicas, II, 4:2. A seguir descrevemos o trecho do livro dos Reis: “Hiram ofez ainda o Mar2 , todo de metal fundido, com cinco metros de diˆmetro. Era redondo, tinha dois metros e meio de aaltura, e sua circunferˆncia tinha quinze metros” (B´ e IBLIA SAGRADA, 1998, p. 374). J´ os babilˆnicos (1800 a 1600 a. C.) aproximavam o valor3 de Pi por 3 1 e existem registros que no vale a o 8mesopotˆmico o valor de Pi era 3 (Conf. CONTADOR, 2006, Vol. I, p. 253). a Os chineses aproximavam o n´mero Pi, quando observado no c´lculo da ´rea do c´ u a a ırculo, pelo n´mero 3. Por´m, u eoutras estimativas s˜o apresentadas na obra Chui-Chang Suan-Shu (Nove Cap´ a ıtulos sobre a Arte Matem´tica), acomposto por volta de 250 a. C. Nela Pi ´ aproximado por “3, 14 usando um pol´ e ıgono regular de 96 lados e aaproxima¸˜o de 3, 14159 considerando um pol´ ca ıgono de 3.072 lados” (BOYER, 1996, p. 138). Outra aproxima¸˜o de ca e 355Pi (historicamente relevante) dada por chineses ´ 113 , que ´ correta at´ a sexta casa decimal. Segundo Eves (2004, e ep. 142) este valor foi encontrado pelo chinˆs Tsu Ch’ung-chih. e Quando nos reportamos ` hist´ria do Pi n˜o podemos deixar de mencionar o nome de Arquimedes. Ele ´ a o a econsiderado um dos maiores pensadores de todos os tempos, com grandes contribui¸˜es tanto na matem´tica quanto co ana f´ ısica. Em um dos seus trabalhos apresentou um m´todo, o Princ´ e ıpio da Alavanca (ou Lei da Alavanca), quepossibilitou avan¸ar significativamente no c´lculo de ´reas e volumes (quadratura da par´bola, volume da esfera). c a a aEle tamb´m abordou diversos problemas como por exemplo a trissec¸˜o do ˆngulo, o estudo da esfera e do cilindro, e ca aos problemas astronˆmicos e hidrost´ticos e a medida do c´ o a ırculo e, conseq¨entemente, uma aproxima¸˜o para o u can´mero Pi. u Para calcular uma aproxima¸˜o para o n´mero Pi ele trabalhou com pol´ ca u ıgonos inscritos em uma circun-ferˆncia.“Come¸ando com o hex´gono regular inscrito, ele calculou os per´ e c a ımetros dos pol´ ıgonos obtidos dobrando-sesucessivamente o n´mero de lados at´ chegar a noventa e seis lados.” (BOYER, 1996, p. 86). u e O grande m´rito no trabalho de Arquimedes reside no fato de ele n˜o tentar apresentar o valor exato de Pi, mas e asimplesmente um limite inferior e um superior para esta constante. Segundo Contador (2006, p. 265) “o m´todo ede Arquimedes ´ o unico matematicamente correto e foi com certeza a primeira tentativa cient´ e ´ ıfica de buscar umvalor para Pi”. Atrav´s de seu m´todo Arquimedes encontrou a aproxima¸˜o 3 10 < π < 3 1 . e e ca 71 7 O livro de Contador (2006, p. 256) traz os c´lculos que motivaram as f´rmulas recorrentes abaixo e, segundo o a oautor, estes c´lculos fazem referˆncia ao m´todo utilizado por Arquimedes. a e e Identificando ln como o lado do pol´ ıgono regular inscrito num c´ ırculo de raio r, pn o per´ ımetro do pol´ıgonoinscrito, Ln o lado do pol´ ıgono circunscrito no c´ ırculo de raio r, e Pn o seu per´ ımetro, temos as seguintes rela¸˜es, co 2Pn pn P2n = , (2.1) Pn + pn 1 Para maiores detalhes veja (BOYER, 1996, p. 12). Mar de Bronze era um grande reservat´rio de ´gua, necess´ria para as purifica¸˜es rituais e a limpeza do templo” (B´ 2 “O o a a co IBLIASAGRADA, 1998, p. 374). 3 Valor encontrado em problemas registrados em tabelas de argila.
  3. 3. e p2n = pn P2n , (2.2)onde (??) representa o per´ ımetro do pol´ıgono circunscrito de 2n lados (P2n ) como uma “m´dia harmˆnica” e (??) e orepresenta o pol´ıgono inscrito de 2n lados (p2n ) como uma m´dia geom´trica. Al´m disso, da Figura 1 abaixo ´ e e e ef´cil concluir que ln = 2r sen θ, pn = 2.n.r. sen θ e Ln = 2r tan θ, Pn = 2.n.r. tan θ. a Figura 1: Pol´ ıgonos inscrito e circunscrito. Hoje, com a representa¸˜o num´rica indo-ar´bica, com o desenvolvimento de v´rios algoritmos para c´lculos ca e a a ab´sicos (divis˜o, multiplica¸˜o, radicia¸˜o) e, por fim, com o aux´ de uma calculadora, facilmente chegamos aos a a ca ca ıliovalores estabelecidos por Arquimedes. Tomando um c´ ırculo de raio 1, com pol´ ıgonos de seis lados inscrito e circuns- ◦crito, obtemos n = 6 e θ = 30 . Assim, com as f´rmulas recorrentes dadas acima obtemos: o • Pol´ ıgono com 6 lados. L6 = 2.1. tan 300 = 1, 1547 e l6 = 2.1.sen 300 = 1. P6 = 2.6.1. tan 300 = 6, 9282 e p6 = 2.6.1.sen 300 = 6. • Pol´ ıgono com 12 lados. √ P12 = 2.p+P6 = 6, 4307 e p12 = p6 .P12 = 6, 2116 p6 6 .P6 • Pol´ ıgono com 24 lados. √ P24 = 2.p12 .P12 = 6, 3192 e p24 = p12 .P24 = 6, 2651 p12 +P 12 • Pol´ ıgono com 48 lados. √ P48 = 2.p24 .P24 = 6, 2930 e p48 = p24 .P48 = 6, 2790 p24 +P 24 • Pol´ ıgono com 96 lados. √ P96 = 2.p48 .P48 = 6, 2859 e p96 = p48 .P96 = 6, 2824. p48 +P 48 Dessa forma ´ f´cil concluir que o valor de π est´ entre os valores 3, 1412 e 3, 14295. e a a
  4. 4. O livro de Garbi (2007, p. 210) apresenta um m´todo que segundo o autor ´ “de mais f´cil compreens˜o” e e e a a 4tamb´m estabelece as f´rmulas (??) e (??) . e o Arquimedes tamb´m utilizou, conforme Garbi (2009, p. 81), o m´todo da dupla redu¸˜o ao absurdo para e e cacalcular a ´rea do c´ a ırculo, que provou ser igual a ´rea do triˆngulo retˆngulo tendo como base o comprimento a a a 5da circunferˆncia e como altura o raio do c´ e ırculo . Com isto Arquimedes pode inferir que se “o comprimento dacircunferˆncia ´ 2πr, sua ´rea ´ πr2 ”. e e a e ´ Figura 2: Areas da circunferˆncia e do triˆngulo explorados por Arquimedes. e a Especula-se, tamb´m, que uma das melhores aproxima¸˜es para o n´mero Pi foi dada por Apolˆnio de Perga e co u o(± 262 a 190 a. C.) o qual atribuiu 3, 1416 como valor de Pi, mas n˜o existem explica¸˜es de como ele chegou a a coeste fato. No Almagesto de Ptolomeu a aproxima¸˜o dita ser de Apolˆnio tamb´m foi utilizada (BOYER, 1996, p. ca o e96). Outros povos e outro estudiosos tamb´m possu´ e ıam suas aproxima¸˜es para o valor de Pi, mas conforme Boyer co(1996, p. 167) foi o matem´tico ´rabe Al-Kashi (? - 1436) que melhor se aproximou do valor de Pi, estabelecendo a ao valor 6, 2831853011795865 para estimar 2π. Esta aproxima¸˜o s´ foi superada ao final do s´culo XVI 6 . ca o e Esta constante, que foi por muitos e diferentes povos investigada, s´ se consagrou com o s´ o ımbolo da letra gregaπ quando Euler (1734 - 1800) a publicou em seus livros. (Ela foi usada pela primeira vez pelo inglˆs William Jones, econforme Garbi (2009, p. 102)). A primeira express˜o anal´ a ıtica envolvendo o n´mero π foi apresentada pelo francˆs Fran¸ois Vi`te (1540 - 1603) u e c ee ´ dada por: e 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = · + · + + ··· (2.3) π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Mais do que uma forma de representar π esta express˜o refor¸a o surgimento de uma nova t´cnica na matem´tica, a c e aonde no¸˜es aritm´ticas, alg´bricas e trigonom´tricas se fundem, cada vez mais, em express˜es anal´ co e e e o ıticas. Segundo(GARBI, 2007, p. 57) “O uso espor´dico de letras para representar n´meros era pr´tica muito antiga, mas at´ o a u a esurgimento de Vi`te n˜o se costumava fazer manipula¸˜es alg´bricas de s´ e a co e ımbolos nem eram empregados coeficientesliterais para representar classes gen´ricas.” e Abaixo apresentamos, baseados na obra de Garbi (2007), o procedimento que Vi`te utilizou para deduzir a ef´rmula (??). o Da cl´ssica f´rmula a o sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a´ f´cil deduzir quee a θ θ sen θ = 2 sen cos , 2 2 4O m´todo referenciado n˜o ´ o apresentado por Arquimedes. e a e 5 Os c´lculos encontram-se na bibliografia citada. a 6 Cronologias para o n´ mero Pi s˜o apresentadas nas obras (CONTADOR, 2006, p. 265) e (EVES, 2004, p. 143). u a
  5. 5. donde θ θ sen θ = 2 · 2 sen cos cos θ. 4 4 Repetindo-se este processo n vezes temos que θ θ θ θ θ θ sen θ = 2n sen n cos n cos n−1 cos n−2 · · · cos cos . 2 2 2 2 4 2 Analisando o termo 2n sen 2θ , percebemos que ele pode ser re-escrito como n θ θ θ θ sen 2θ n 2n · sen n = θ sen n = θ θ . θ 2 2n 2 2n Mas, ´ poss´ provarmos que para valores cada vez maiores de n o quociente acima se aproxima de 1, ou seja, e ıvel sen 2θ nse n → ∞ ent˜oa θ → 1. 2n Assim, Vi`te fez a identifica¸˜o e ca θ θ θ θ θ θ sen θ = θ cos cos cos · · · cos n−1 cos n cos n+1 · · · 2 4 8 2 2 2 Para θ = π/2 temos sen θ = 1 e, portanto, π π π π π π π 1= cos cos cos · · · cos n−1 cos n cos n+1 · · · (2.4) 2 4 8 16 2 2 2 Novamente, das cl´ssicas f´rmulas sen 2 θ + cos2 θ = 1 e cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b temos que cos θ = a o−1 + 2 cos2 θ , donde cos θ = 1 + 2 cos θ. 2 2 2 1 Dessa forma, como cos π/2 = 0 temos que, π 1 1 π 1 cos = + cos = , 4 2 2 2 2 π 1 1 π 1 1 1 cos = + cos = + , 8 2 2 4 2 2 2 π 1 1 π 1 1 1 1 1 cos = + cos = + + , etc. 16 2 2 8 2 2 2 2 2 Substituindo na equa¸˜o (??) obtemos ca π 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= + + + ··· (2.5) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Que, por fim, ´ equivalente ` e a 2 π= (2.6) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 + 2 2 2 + 2 2 + 2 2 ··· Apesar de toda a sofistica¸˜o que a matem´tica j´ possu´ ainda necessitou-se mais de um s´culo para que um ca a a ıa, econtemporˆneo de Vi`te, o francˆs J. H. Lambert (1728 - 1777) em 1761 provasse que π ´ realmente um n´mero a e e e uirracional. Lambert se apoiou na teoria das fun¸˜es cont´ co ınuas para obter a sua demonstra¸˜o. Outras demonstra¸˜es ca coem linguagem mais “moderna” foram apresentadas e, uma razoavelmente simples (se ´ que estas palavras podem eser utilizadas em matem´tica) pode ser obtida na obra de Figueiredo (2002, p. 9). A prova que ali se encontra, a aqual discutiremos abaixo, ´ devida a I. Niven e foi publicada no Bulletin of the American Mathematical Society, 53 e(1947), p. 509.
  6. 6. Teorema 2.1. π ´ um n´mero irracional. e u Para provarmos que π ´ um n´mero irracional, vamos supor que π 2 seja uma fra¸˜o irredut´ e chegar a algum e u ca ıvel 2absurdo, logo π s´ pode ser irracional e, consequentemente, π tamb´m o ´. Para tanto, faremos uso das id´ias dos o e e elemas descritos abaixo. n nLema 2.1. Dada a fun¸˜o f (x) = x (1−x) , com n inteiro positivo, ent˜o Dk f (0) ´ um n´mero inteiro para ca n! a e uqualquer k = 0, 1, 2, · · · , onde Dk f representa a k−´sima derivada de f e D0 f = f. eProva: A f´rmula de Leibnitz para as derivadas de um produto de fun¸˜es g e h ´ dada por o co e k k Dk (gh) = Dj g · Dk−j h, j=0 j k k!onde = j!(k−j)! representam os coeficientes do Binˆmio de Newton. o j Aplicando a f´rmula de Leibnitz para a fun¸˜o f obtemos o ca k 1 k Dk f = Dj xn · Dk−j (1 − x)n (2.7) n! j=0 j Por outro lado, um c´lculo simples mostra que: a • Se j < n ent˜o Dj xn |x=0 = n(n − 1) · · · (n − j)xn−j |x=0 = 0; a • Se j = n ent˜o Dj xn |x=0 = n(n − 1) · · · 3.2.1|x=0 = n!; a • Se j > n ent˜o Dj xn |x=0 = 0|x=0 = 0. a Substituindo estes valores na (??) conclu´ ımos que Dk f (0) = 0 se k < n (2.8)e 1 k Dk f (0) = n!Dk−n (1 − x)n |x=0 se k ≥ n (2.9) n! n Sendo os coeficientes binomiais inteiros, temos que a express˜o do lado esquerdo de (??) ´ um inteiro, donde a eest´ provado o resultado. aLema 2.2. Dk f (1) ´ um n´mero inteiro para qualquer k = 0, 1, 2, 3, · · · e uProva: Basta observar que f (1 − x) = f (x), ou seja, f (1) = f (0), e que pelo lema anterior foi provado que Dk f (0)sempre ´ um inteiro, logo Dk f (1) ser´ um inteiro. e a p Assumindo agora que π 2 = q fra¸˜o irredut´ ca ıvel, definimos a seguinte fun¸˜o ca F (x) = q n {π 2n f (x) − π 2n−2 D2 f (x) + · · · + (−1)n D2n f (x)}. Dos lemas e com a hip´tese de que π 2 = p/q temos que F (0) e F (1) s˜o n´meros inteiros. o a u Considerando que a representa a derivada de uma fun¸˜o, temos as rela¸˜es ca co
  7. 7. {F (x)sen πx − πF (x) cos πx} = F (x)sen πx + πF (x) cos πx − πF (x) cos πx + πF (x)sen πx = F (x)sen πx + πF (x)sen πx = (F (x) + π 2 F (x))sen πx = (q n (−1)n D2n+2 f (x) + q n π 2n+2 f (x))sen πx, como D2n+2 f (x) = 0 = pn π 2 f (x)sen πx, nobserve que q n π 2n+2 = q n π 2n π 2 = q n pn π 2 = pn π 2 . q Do Teorema Fundamental do C´lculo7 aplicado a rela¸˜o acima, segue-se que a ca 1 pn π 2 0 f (x)sen πx dx = F (x)sen πx − πF (x) cos πx|10 = (F (1)sen π − πF (1) cos π) − (F (0)sen 0 − πF (0) cos 0) = πF (1) + πF (0) Com isto chegamos a equa¸˜o ca 1 pn π f (x)sen πx dx = F (1) + F (0) (2.10) 0que por um lado j´ verificamos que ´ inteiro. J´ o lado esquerdo de (??) ´ um n´mero positivo e menor do que 1, a e a e u 1pois para todo 0 < x < 1 temos que 0 < f (x) < n! . Al´m disso e 1 1 pn 2pn 0 < πpn f (x)sen πx dx < π sen πx dx = (2.11) 0 n! 0 n! pn Como limn→∞ n! = 0 temos que existe n ∈ N tal que 2pn /n! < 1, portanto chegamos a um absurdo. Provando-se, por fim, a irracionalidade do n´mero π e observando que mesmo nos registros mais antigos, nos umais diferentes povos, o π j´ era investigado, surge-nos um novo questionamento: Por que a demora em se provar a √que o n´mero π ´ um n´mero irracional? Ao contr´rio, por exemplo, do n´mero 2, que j´ no tempo de Pit´goras u e u a u a ase conhecia a sua incomensurabilidade com uma unidade pr´-fixada. Esta quest˜o est´ intimamente relacionada e a acom a “natureza” dos n´meros reais e ser´ abordada, juntamente com outros t´picos, na pr´xima se¸˜o. u a o o ca3 Explorando a reta realAlgumas das primeiras no¸˜es sobre conjuntos num´ricos que nos s˜o apresentadas fazem referˆncia ao conjunto dos co e a en´meros naturais, inteiros, racionais e irracionais e aprendemos, ainda, que o conjunto dos n´meros reais engloba u u(de forma n˜o disjunta) todos estes conjuntos, ou seja, o conjunto dos reais ´ formado pelos racionais e irracionais. a ePodemos observar, tamb´m, que quando solicitado exemplos de n´meros racionais e irracionais provavelmente para e u100% das solicita¸˜es surgem respostas como co 1 −3 5 √ √ √ , , , 2, 3, 7, π. 2 4 7 ´ E claro que estes valores surgem, pois eles s˜o muito mais representativos que v´rios outros racionais e irracionais, a a 1 ncomo por exemplo a fra¸˜o 2507 e o n´mero de Euler e = limn→∞ 1 + n . ca 4562 u Esta no¸˜o (elementar) que foi apresentada j´ come¸a a estabelecer diferentes “categorias” nos conjuntos ca a cnum´ricos pois o quˆ, al´m da periodicidade, diferencia o conjunto dos racionais dos irracionais? e e e Quem contribuiu imensamente para a compreens˜o desta quest˜o foi o matem´tico G. Cantor (1845 - 1918) com a a asua teoria sobre os diferentes tipos de infinito. Cantor provou que apesar de ambos os conjuntos dos naturais e dosreais serem infinitos, a potˆncia de seus infinitos ´ distinta. e e 7 Se 1 g : [0, 1] → R ´ uma fun¸˜o continuamente diferenci´vel em [0,1], ent˜o e ca a a 0 g (x)dx = g(1) − g(0).
  8. 8. Segundo Vilela (2005), “George Cantor, com sua teoria dos n´meros transfinitos, n˜o apenas mostrou que era u aposs´ıvel analisar sem nenhuma contradi¸˜o este conceito, mas ainda provou que existem v´rios tipos de infinito ca adiferentes - alguns maiores, outros menores” (p. 75). E, tamb´m, e Cantor estendeu aos conjuntos infinitos a id´ia de que eles s˜o numericamente iguais se for e a poss´ ıvel estabelecer uma rela¸ao biun´ c˜ ıvoca entre os seus elementos. Se isso for imposs´ ıvel, ent˜o um deles ´ maior do que o outro. Ele conseguiu provar que ´ poss´ a e e ıvel associar cada n´mero racional a um n´mero natural e que, portanto, os dois conjuntos s˜o numericamente u u a iguais. (p. 77). Dizemos, de fato, que um conjunto ´ enumer´vel se possui uma correspondˆncia biun´ e a e ıvoca com o conjunto dosnaturais ou for finito. Caso contr´rio, ele ´ dito n˜o enumer´vel. a e a a Como os naturais s˜o enumer´veis e os reais s˜o n˜o enumer´veis 8 temos, consequentemente, que a n˜o enu- a a a a a amerabilidade ´ uma caracter´ e ıstica/propriedade dos n´meros irracionais. Portanto, sob a reta real existem significa- utivamente mais n´meros irracionais que racionais. Grosseiramente falando, quem d´ o “preenchimento”, o “peso”, u ada reta real s˜o os irracionais. a Estas observa¸˜es nos auxiliam a compreender os reais, mas n˜o nos ajudam a responder a quest˜o anteriormente co a aformulada: Por que a demora em se provar que Pi ´ um n´mero irracional? e u A resposta mais ´bvia ´ porque necessitou-se de mais ferramentas matem´ticas para realizar tal feito e, tamb´m, o e a enecessitou-se conhecer melhor o conjunto dos reais. Colocamos isto porque apesar de “conhecermos” os n´meros reais, concordarmos que os irracionais s˜o n˜o u a aenumer´veis e, portanto, representam a grande maioria dos reais, ainda ´ poss´ mostrar que todos os n´meros a e ıvel u √irracionais da forma p = ±a ± b, a, b ∈ N, e similares9 formam um conjunto enumer´vel. Assim, quase todos os an´meros irracionais que conhecemos (lembramos) representam a ´ u ınfima parte dos reais, uma vez que tamb´m s˜o e aenumer´veis. a Bom! Neste caso quem s˜o os irracionais que “sobraram” para compor o conjunto dos reais e que representam a(em potˆncia de infinito) uma quantidade significativamente superior? Os n´meros π e e fazem parte deste conjunto? e u Euler j´ havia demonstrado que e e e2 s˜o irracionais e, segundo Garbi (2007) ele percebeu um fato curioso. a a √ Enquanto a 2 elevada a qualquer expoente par torna-se um n´mero racional, as potˆncias u e racionais de e continuam a ser irracionais. Parecia que a irracionalidade de e era mais √ “profunda” do que a de 2. [...] Estes ind´ ıcios sugeriam, portanto, que os n´meros chamados u reais poderiam estar divididos em duas categorias: os que s˜o e os que n˜o s˜o ra´ a a a ızes de equa¸oes polinomiais de coeficientes inteiros. ( p. 193). c˜ Para responder a pergunta acima e, consequentemente, conhecer melhor a natureza dos reais necessitamos demais um conceito matem´tico, o dos n´meros alg´bricos e transcendentes. a u e Qualquer solu¸˜o de uma equa¸˜o polinomial da forma ca ca an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0onde os coeficientes ai s s˜o inteiros, ´ chamado de um n´mero alg´brico. Assim, um n´mero α ´ alg´brico se existe a e u e u e euma equa¸˜o polinomial com coeficientes inteiros da qual α seja raiz. (Da defini¸˜o observamos que todo n´mero ca ca u pracional q ´ alg´brico, j´ que ´ raiz da equa¸˜o qx − p = 0). E, um n´mero ´ dito transcendente quando ele n˜o ´ e e a e ca u e a ealg´brico. e Vamos mostrar, abaixo, que o conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel10 e, consequentemente, al´m dos u e e a e 8 Para maiores detalhes veja a bibliografia (LIMA, 2000). 9 Entendemos √ por similares o conjunto dos n´ meros da forma q = a + p, com p descrito anteriormente. u 10 Veja Figueiredo (2002, p. 16). A demonstra¸˜o apresentada ali, a qual servir´ de base para nossos c´lculos, ´ devida a Cantor. ca a a e
  9. 9. √ √ 7 √racionais, todos os irracionais da forma 2, 3 7, 1 + 2, etc. tamb´m s˜o enumer´veis, j´ que s˜o alg´bricos. e a a a a e 11Segue disto que o conjunto dos n´meros transcendentes ´ n˜o vazio e n˜o enumer´vel . u e a a aTeorema 3.1. O conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel. u e e aProva: Considere o polinˆmio com coeficientes inteiros o p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 . (3.12)Definimos a altura do polinˆmio p, e denotamos por |p|, ao n´mero natural o u |p| = |an | + · · · + |a1 | + |a0 | + n. (3.13) Os n´meros alg´bricos s˜o ra´ u e a ızes de polinˆmios, com coeficientes inteiros, logo p(x) = 0. Mas, o teorema ofundamental da ´lgebra garante que p(x) = 0 tem exatamente n ra´ a ızes complexas (e, portanto, n˜o mais do que n ara´ ızes reais). O n´mero de polinˆmios do tipo (??) com uma altura determinada ´ um n´mero finito. Logo, o conjunto de u o e utodas as ra´ ızes dos polinˆmios de uma determinada altura ´ finito. Como uni˜o enumer´vel de conjuntos finitos o e a a´ enumer´vel segue-se que todas as ra´e a ızes (conjuntos finitos) de todos os polinˆmios de todas as alturas (conjunto oenumer´vel) formam um conjunto enumer´vel. a a A natureza distinta do n´mero π e do n´mero e nos indica que eles s˜o n´meros transcendentes, mas somente u u a uem 1873 o matem´tico francˆs C. Hermite (1822 - 1901) demonstrou que e ´ transcendente. “Mais ainda, provou a e eque e elevado a qualquer n´mero alg´brico continua a ser transcendente” (GARBI, 2007, p. 194). Em 1882, F. u eLindemann (1852 - 1939) provou que π tamb´m ´ um n´mero transcendente. Lindemann, em seu trabalho, estendeu e e uo m´todo usado por Hermite. e Considerando-se que o produto de n´meros alg´bricos ´ alg´brico e o produto de um n´mero alg´brico por u e e e u e iπum transcendente ´ transcendente e, com o aux´ da f´rmula de Euler (e = −1), Lindemann usou o seguinte e ılio oracioc´ ınio, eiπ ´ alg´brico, pois -1, obviamente, o ´. Portanto πi ´ transcendente pois e elevado a um e e e e n´mero alg´brico continuaria a ser transcendente. Se πi ´ transcendente, sendo i alg´brico u e e e (´ solu¸ao da equa¸ao x2 + 1 = 0), ent˜o π s´ pode ser transcendente (GARBI, 2007, p. e c˜ c˜ a o 194). Com esta certeza, fica tamb´m provado que o cl´ssico problema da quadratura do c´ e a ırculo n˜o tem resposta a √positiva12 , pois se fosse poss´ ter´ ıvel ıamos que π ´ um n´mero alg´brico e, consequentemente, π tamb´m ´ alg´brico, e u e e e eo que ´ uma contradi¸˜o. e ca Por fim, nos resta aceitar que o conjunto de “peso” da reta real ´ formado pelo conjunto dos n´meros transcen- √ √ e udentes, n´meros da forma π, e, 2 2 , e 2 , eπ , π e , π π , · · · . u A importˆncia de se conhecer mais exemplos de n´meros transcendentes (al´m de e e de π) foi tal, que D. a u eHilbert (1862 - 1943) na sua famosa lista dos vinte e trˆs problemas apresentada no 2◦ √ 13 e Congresso Internacionalde Matem´tica em Paris, no ano de 1900, colocou como o 7◦ problema determinar se 2 2 era transcendente ou aalg´brico. e 11 O conjunto dos reais ´ n˜o enumer´vel e, ´ composto pelos n´ meros alg´bricos e transcendentes. Como os alg´bricos s˜o enumer´veis, e a a e u e e a atemos que o conjunto dos transcendentes ´ n˜o vazio e n˜o enumer´vel. e a a a 12 Assumimos, para tanto, que todo n´ mero construt´ u ıvel ´ alg´brico. Maiores detalhes consulte o livro de L. H. Jacy Monteiro, “A e eTeoria de Galois”, conforme a referˆncia (FIGUEIREDO, 2002, p. 33). e 13 Esta lista ajudou a delinear o rumo para as novas pesquisas em matem´tica. a
  10. 10. √ Em 1929, Siegel provou que 2 2 ´ trascendente, mas foi Gelfond (1934) e Schneider (1935), independentemente, eque generalizaram a quest˜o, ou seja, provaram que: “Sejam α e β n´meros alg´bricos (reais ou complexos). Se a u eα = 0 e α = 1 e β n˜o for um n´mero racional (real), ent˜o αβ ´ transcendente.” a u a e Com isso, podemos dizer que a natureza dos reais foi vastamente apresentada.4 Conclus˜o aO trabalho aqui exposto teve a inten¸˜o de instigar a curiosidade sobre quest˜es matem´ticas que aparentemente ca o anos s˜o banais e mostrar que para fazer ciˆncia, a investiga¸˜o, a quebra de tabus, s˜o fundamentais, principalmente a e ca aquando associadas a pr´-concep¸˜es sobre a facilidade ou dificuldade de se compreender determinados conceitos. e co Assim, desejamos que a matem´tica seja apresentada como uma ciˆncia em constru¸˜o, onde para cada des- a e cacoberta, cada n´mero real, cada f´rmula, necessitou-se de tempo para amadurecer estas id´ias. u o e Queremos, por fim, mostrar que mesmos conceitos aparentemente simples podem conter uma implicˆncia de asignificados complexos e que a beleza da matem´tica est´ na curiosidade de buscar mais esclarecimentos, mais a acompreens˜o. Este tamb´m ´ um dos pap´is desta ciˆncia: o de agu¸ar os sentidos, fazer querer saber mais, olhar a e e e e cal´m. eReferˆncias e[1] B´ ıblia Sagrada, Paulus, S˜o Paulo, 26a edi¸˜o, 1998. a ca[2] boyer, c.b. - Hist´ria da Matem´tica, Editora Edgard Bl¨cher Ltda, S˜o Paulo, 2a edi¸˜o, 2006. o a u a ca[3] contador, p. r. - Matem´tica, uma breve hist´ria, vol. 1, Editora Livraria da F´ a o ısica, S˜o Paulo, 2a edi¸˜o, a ca2006.[4] euclides - Os Elementos / Euclides, Editora Unesp, S˜o Paulo, 2009. a[5] eves, h. - Introdu¸ao ` Hist´ria da Matem´tica, Editora Unicamp, Campinas, 2004. c˜ a o a[6] figueiredo, d. g. - N´meros Irracionais e Transcendentes, SBM, Rio de Janeiro, 2002. u[7] garbi, g. g. - A Rainha das Ciˆncias: um passeio hist´rico pelo maravilhoso mundo da matem´tica, Editora e o a aLivraria da F´ ısica, S˜o Paulo, 3 edi¸˜o, 2009. a ca[8] garbi, g. g. - O Romance das Equa¸˜es Alg´bricas, Editora Livraria da F´ co e ısica, S˜o Paulo, 2a edi¸˜o, 2007. a ca[9] lima, e. l. - Curso de An´lise, vol. I, Rio de Janeiro, Instituto de Matem´tica Pura e Aplicada (IMPA), 10a a aedi¸˜o, 2000. ca[10] vilela, d. s. - Dos Gregos ` Modernidade, o Medo do Infinito, in SCIAM, Espcial Hist´ria - Os Grandes a o oErros da Ciˆncia, n 6, 2005, p. 74-79. e

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