Conjuntos apostila i

UNESPAR - APUCARANA - DEPARTAMENTO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS
Prof: Severino Miranda de Resende e João Francisco Morgado Matemática 1°
ano
REVISÃO SOBRE CONJUNTOS
CONJUNTO: É um conceito primitivo associado à idéia de coleção.
.
-
INDICAÇÃO: Os conjuntos serão, em geral, indicados por letras maiúsculas do alfabeto: A,B,C, ... ,
enquanto os elementos por letras minúsculas: a, b, c, d, ...
REPRESENTAÇÃO: Um conjunto pode ser representado por:
Enumeração: N = { dó, ré, mi, fá, sol, la, si}
Propriedade característica: D = {d | d é dia da semana} V
a e u
Diagrama de Venn : i o
RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA: É a relação que existe entre um elemento e seu conjunto.
Exemplos. Para o conjunto V = { a, e, i, o, u }, pode se escrever:
a ∈ V lê-se a pertence a V
a ∉ V lê-se a não pertence a V
RELAÇÕES DE INCLUSÃO: É a relação que só existe entre conjuntos.
Exemplos. Para os conjuntos: A = { a , b , c , d } ; B = {a , b } ; C = { e }, temos:
B ⊂ A lê-se B está contido em A ⇒ ( B é subconjunto de A )
A ⊃ B lê-se A contém B
C ⊄ B lê-se C não está contido em B
IGUALDADE DE CONJUNTOS : Dois conjuntos são iguais se, e somente se possuem os mesmos ele
Mentos.
A = B ⇒ ( ∀ x ) (x ∈A ⇔ x ∈ B )
1

ano
Conjunto Universo ( U ) : é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos que podem ser utilizados
num determinado estudo.
Convenções:
- n(A) = 8 lê-se, o número de elementos do conjunto A é oito;
- n( C ) = 1 lê-se o número de elementos do conjunto C é um ( C é classificado como conjunto unitário ).
- O conjunto desprovido de elementos é chamado de conjunto vazio e indicado por ∅ ou { }. Repare
que n(∅) =0.
Exercícios:
1. Escreva em notação simbólica:
a) a é elemento de A. ________ b) A é subconjunto de B. _______
c) A contém B. ________ d) A não está contido em B. _______
e) A não contém B. _______ f) a não é elemento de A _______
2. Escreva os elementos de cada um dos conjuntos:
a) conjunto dos números naturais entre 8 e 12 (inclusive);b) conjunto das vogais do alfabeto;
c) conjunto dos números pares entre 0 e 18 (exclusive);
d) conjunto dos números primos pares positivos;
e) conjunto das frações próprias positivas de denominador 7;
f) {x / x2
– 1 = 0};
g) {x / x é letra da palavra ARARA};
h) { x / x2
= 9 e x – 3 = – 6 };
j) { x / x é algarísmo de 2 134}.
3. Escreva os conjuntos abaixo usando o método das propriedades características:
a) { 1, 3, 5, 7, ... , 15};
b) { 1, 7};
c) o conjunto dos números pares entre 5 e 21;
d) o conjunto dos números reais entre –1 e 10, incluindo o –1.
4. Seja A o conjunto { 3, 5, 7, 9, 11, 12}, enumere cada um dos seguintes, conjuntos:
a) { x ∈ A / x2
≠ 9} =
b) { x ∈ A / x +9 = 16} =
c) { x ∈ A / x é primo} =
d) { x ∈ A / x2
–12x + 35 =0} =
e) { x ∈ A / (x +1) ∉ A } =
2

ano
5. Se A = { a, e, i }, diga se as proposições abaixo são corretas ou não:
a) a ∈ A ( ) b) a ⊂ A ( ) c) {a} ∈ A ( ) d) {a} ⊂ A ( )
6. Construa todos os subconjuntos dos conjuntos:
a) { 0, 1, 2 } =
b) { 1, { 2,3}} =
c) { R, O, M, A} =
07. Dados os conjuntos A = { x / x é par positivo e menor que 7} e B = { 2, 4, 6 },
assinale V ( verdadeiro) ou F ( falso).
a) A ⊂ B ( ) b) B ⊂ A ( ) c) A = B ( )
7. Diga se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1 } ( ) b) { 1, 2 , 1 , 2 } ⊂ {1, 2, 3 } ( )
c) { 4 } ∈ { { 4 } } ( ) d) ∅ ⊂ { 1, 2, 3 } ( )
e) { 2 , 3 } ⊃ { x / x2
– 5x + 6 = 0 } ( ) f) { B, R, A, S, A} ⊂ { B, R, A, S} ( )
8. Classifique os conjuntos abaixo como finitos ou infinitos.
a) o conjunto dos números inteiros múltiplos de 5;
b) o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2;
c) o conjunto das raízes de x6
+ x5
– x2
= 0;
d)






<∈ 5xe/
2
Nx
x
;
e)






∈∈ ∗
Nxe/ Nx
y
x
.
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.
Sejam os conjuntos: A = { 2, 3, 5, 7, 8 } B = { 0, 1, 3, 5 } e C = { 9 }
UNIÃO: Denomina-se união de dois conjunto A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a
A ou a B.
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B } A∪ B = { 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8 }
3

ano
Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:
A ∪ A = A A ∪ ∅ = A A ∪ B = B ∪ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) A ⊂ B ⇒ A∪ B = B
INTERSECÇÃO: Denomina-se intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formados pelos ele
mentos pertencentes a A e a B.
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B } A ∩ B = { 3, 5 }
A ∩ A = A A ∩ ∅ = ∅ A ∩ B = B ∩ A
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
Dois conjuntos diz-se disjuntos se a interseção entre eles é vazia, isto é. A∩ C = ∅
DIFERENÇA: A – B = { x | x ∈ A e x ∉ B } A – B = { 2, 7, 8 } B – A = { 0 ,1}
A – A = ∅ A – ∅ = A ∅ – A = ∅ B ⊂ A ⇒ B – A = ∅
COMPLEMENTAR: Quando dois conjuntos A e B são tais que B ⊂ A, Damos à diferença o
nome de complementar de B em A
B ⊂ A ⇒ CA B = A – B lê-se complementar de B em A
Exemplo. Considere os conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 3 , 4 }
Como B ⊂ A ⇒ CA B = A – B = { 1, 2 }
4

ano
Obs. Dado um conjunto P contido no universo U, chama-se complementar de P, simplesmente o U – P
cuja representação simbólica pode ser feita por P’ ou P .
Ou seja: P = CU P = {x / x ∈ U e x ∉ P}
Exemplos:
01. se U = { 1, 3, 5, 9, 10 } e P = { 1, 9 } P = { 3, 5, 10 }
se U = N* e P = { 2, 4, 6, 8, ...} P = { 1, 3 , 5, 7,... }
se U = N e P = N* P = { 0 }
02. Dados os conjuntos: A = {1,4,5,6,8}, B = {2,6,8,13,17,20} e C = {5,7,8,6}, verifique que as igualdades:
a) n(A∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩ B)
b) n(A∪ B∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩ B) – n( A∩ C) – n(B∩ C) + n(A∩ B∩ C)
03. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-
se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A e nem B.
Que parte desta população consomem tanto o produto A quanto o produto B?
5

ano
04 . Sejam A e B dois conjuntos tais que: n(A) = 12 ; n(B) = 10 ; n(A∪ B) = 15. Determine:
a) n(A∩ B) =
b) n(B – A) =
c) n(A – B) =
05. Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-
se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18;
Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química , 15; Química e Física, 17;
Matemática e física, 9. Nas das três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Com estas informações:
a) faça o diagrama de Venn para a situação;
b) obtenha o número estudantes gostam de pelo menos duas disciplinas avaliadas;
c) Determine n(M) = n(F) = n(Q) = n( M ) =
d) Calcule n(M ∪ F ∪ Q) usando o diagrama e confirme o resultado pela fórmula:
n(M∪ F∪ C) = n(M) + n(F) + n(C) – n(M∩ F) – n( M∩ C) – n(F∩ C) + n(M∩ F∩ C)
06. Na figura, escreva uma expressão para cada região numerada. Por exemplo, 8 é ( CBA ∪∪ )
6
1
6
5
B
7
52
3
8C
A

ano
07.Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas.
Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda . 35 responderam
sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria?
08. Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas
fumam a marca A de cigarros; 50% fumam a marca B; 45% fuma a marca C; 20% fumam A e B; 30%
fumam A e C; 25% fumam B e C; 8% fumam A,B e C. Que porcentagem das pessoas fumam exatamente
duas marcas.
09. Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }; A = { 1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8} e C = { 1, 2, 3, 5},
Calcule:
a) A ∪ C = b) B ∪ C =
c) A ∩ B = d) A ∩ C =
e) A – C = f) C – A =
g) A – B = h) B – A =
i) A = j) C =
k) BA ∪ = l) CA ∩ =
m) BA − = n) CA − =
o) ( A – B ) ∩ C = p) ( A – C ) ∪ ( B – C ) =
7

ano
CONJUNTOS DAS PARTES
Seja o conjunto A = { 1, 2 }. Os subconjuntos de A, são: {1} ; {2} ; {1, 2} ; ∅.
O conjunto das partes de A que se indica por P(A) é o conjunto cujos elementos são subconjuntos de A, i é:
P(A) = { {1} ; {2} ; {1, 2} ; ∅ } ∴ P(A) = {x ∈ A/ x ⊂ A}
Observações:
( 1 ) O número de elementos de um conjunto das partes é dado por 2n
, onde n é o número de elementos do
conjunto A. Assim se A = {1, 2} tem-se que n [ P(A) ] = 22
= 4
( 2 ) Se A = {2}, então P(A) = { {2}, { } }
( 3 ) Se A = ∅ , P(A) = { ∅ }, que não é vazio.
CONJUNTO NUMÉRICOS - ( REVISÃO)
NúMEROS NATURAIS
N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,...} ; N* = {1,2,3,4,5,6,7, ...} N*⊂ N ∴ N*∩ N = N*
NÚMEROS INTEIROS RETIVOS
Z = { 0, ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ...} ONDE Z= = {... - 4,-3, -2, -1, 0} e Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
NÚMEROS RACIONAIS
Q = { x/x = a/b ; a∈Z e b∈Z*
} isto é são todos os números que podem ser escritos em forma de
fração. As dízimas periódicas são exemplos.
8

ano
RECORDANDO AS DÍZIMAS PERIÓDICAS.
Quando se deseja aumentar a precisão de um resultado, faz-se necessário muitas vezes
trabalharmos com frações. Nestas circunstância saber obter a geratriz de uma dízima periódica é
importante. Assim, vamos reviver um pouquinho a nossa 5ª série do primeiro grau.
As geratrizes se determinam segundo as regras seguintes:
I) A fração geratriz, de uma dízima periódica simples, é uma fração que tem como
numerador o período e como denominador tantos noves quantos algarismos tiver esse
período.
Ex: a) 0,333... = b) 0,363636... = c) 2,555... =
II) A geratriz de uma dízima periódica composta, é uma fração, onde o numerador é
formado pela parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica. O
denominador possui tantos noves quanto são os algarismos do período, seguidos de
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Ex: a) 2,4222... = b) 5, 32121... =
OBTER A GERATRIZ DAS DÍZIMAS; ( é bom lembrar que 0,9999 = 1)
a) 0,525252... =
b) 0,324444... =
c) 4,45555... =
d) 5,66666.... =
e) 53,48333... =
NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )
Categoria de números que não podem ser representados em forma de fração.
Exemplos: 2 = 1,41421356... ; π = 3,1415926535... ; e = 2,718281829...
9

ano
NÚMEROS REAIS
É o conjunto que reúne os números racionais Q e os irracionais I cuja representação é
dada por:
R = { x | x∈Q ou x ∈ I } ,
INTERVALOS: São subconjuntos especiais dos números reais.
Sendo a e b números reais e a < b, temos:
INTERVALO FECHADO:
[ a , b ] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } ou
INTERVALO ABERTO:
] a , b [ = { x ∈ R / a < x < b } ou
INTERVALO FECHADO À ESQUERDA:
[ a , b [ = { x ∈ R / a ≤ x < b } ou
INTERVALO FECHADO À DIREITA:
] a , b ] = { x ∈ R / a < x ≤ b } ou
INTERVALOS INFINITOS:
[ a , + ∞ [ = { x ∈ R / x ≥ a } ou
] a , + ∞ [ = { x ∈ R / x > a } ou
]-∞ , a ] = { x ∈ R / x ≤ a } ou
]-∞ , a [ = { x ∈ R / x < a } ou
Usando a reta dos números reais, represente as operações indicadas.
i) Se A = [-1 , 3 [ e B = [ 1 / 2 , ∞ [ , e U = R ( conjunto dos números reais), obtenha:
a) A ∪ B = b) A ∩ B =
10

ano
c) [-1 , 2 ] ∩ [ 0 , 5 ] = d) [-2 , 3] ∪ ] 1 , 4 ] =
e) A = CA R = R – A = ] – ∞ , – 1 ] ∪ [ 3, + ∞ ] ( não representa intervalo )
EQUAÇÕES e INEQUAÇÕES
Resolva no universo dos números reais as equações e inequações a seguir:
a)
4
1−x
+
3
x
=
6
1
b)
3
52
−
+
x
x
=
3
1
+
3
4
−x
c)
2
42 −m
+
3
1−m
≤ 1 d) 4(2x - 3) > 2(x -1)
e) 1
3
2
4
23
=
+
−
+ xx
f) 4
3
2
2
53
≥
−
+
− yy
11

ano
g) –x2
+ 3x – 2 =0 h)
mm −
=+
+ 3
3
2
3
5
12

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