El documento trata sobre conjuntos y operaciones con conjuntos en matemáticas. Explica que un conjunto es una colección de elementos y que una operación como la unión permite unir dos conjuntos para formar uno nuevo con todos los elementos sin repetir. Luego describe los números reales, incluyendo sus propiedades como ser infinitos y poder expresarse como decimales. Finalmente, define las desigualdades y el valor absoluto, indicando que una desigualdad relaciona expresiones con valores distintos.
2. En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos
considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto,
pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se
dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido
como incluido de algún modo dentro de él.
3. Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra
de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para
obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las
siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar
otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que
se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos
A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los
elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para
representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se
forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
4. Son cualquier número que se encuentre o corresponda con
la recta real que incluye a los números racionales y números
irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se
encuentra entre menos infinito y más infinito.
Orden: Todos los números reales siguen un orden,
por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
Integral: La integridad de los números reales marca
que no hay espacios vacíos, es decir, cada conjunto
que dispone de un límite superior tiene un límite más
pequeño.
Infinitos: Los números reales no tienen final, ni por el
lado positivo ni por el lado negativo. Por eso su
dominio está entre menos infinito y más infinito.
Decimal: Los números reales pueden ser expresados
como una expansión decimal infinita.
5. Números naturales: Son los números iguales o mayores que uno
no decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en
cuenta el cero.
Números enteros: Son los números positivos y negativos no
decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales
incluyendo los números negativos y el cero.
Números racionales: Los que se pueden representar como el
cociente de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las
fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y
enteros.
Números irracionales: Aquellos que no pueden ser expresados
como una fracción de números enteros con denominador distinto a
cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un
ejemplo de este tipo de números.
6. Propiedad
Interna:
Cuando se suman
dos números reales
el resultado que se
obtiene es otro
número real. Lo
mismo ocurre con la
multiplicación de
números reales, que
también da como
resultado otro
número real.
Propiedad
Asociativa:
El modo en que se
asocian o agrupan
los sumandos no
influye en el
resultado de una
suma. En el caso
de una
multiplicación
tampoco importa
la asociación pues
el resultado será
siempre el mismo.
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
Propiedad
Conmutativa:
Tanto la suma
como la
multiplicación de
números reales
cumplen con la
propiedad
conmutativa que
indica que el orden
no varía el
resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
Elemento Neutro y
Opuesto:
En la suma el cero se convierte
en el elemento neutro pues
cualquier número que se sume
con el 0 va a dar como
resultado el mismo número.
a + 0 = a
Por su parte, si al sumar dos
números reales se obtiene cero
se dice que esos números son
opuestos (e - e = 0).
En cuanto a la multiplicación,
el elemento neutro en los
números reales es el 1, ya que
cualquier número real que se
multiplique por 1 da lugar al
mismo número.
a x 1 = a
0.453 x 1 = 0.453
En la multiplicación el inverso
de un número es aquel que al
multiplicarlo, da como
resultado la unidad:
a x 1/a = 1
3.4 x 1/3.4 = 1
Propiedad Distributiva:
El producto de un número real por
una suma de números reales es
igual a la suma de los productos de
dicho número por cada uno de los
sumandos.
a x (b + c) = a x b + a x c
Al proceso inverso de la propiedad
distributiva se le conoce como sacar
el factor común.
a x b + a x c = a x (b + c)
La gran mayoría de las situaciones
físicas que tienen lugar se modelan
con números reales por lo que son
de suma importancia. El conjunto
de los números reales está formado
por otros números como los
naturales, enteros, racionales e
irracionales. Los números reales
son infinitos y siguen un orden,
pudiendo ser decimales y
negativos.
Es habitual que utilicemos los
números naturales en el día a día y
que sepamos mucho más de ellos
de lo que pensamos, porque forman
parte importante en nuestra
sociedad para organizar, contar y
realizar cálculos.
7. Es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos
valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos
diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual.
Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según
su naturaleza.
Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad
entre elementos. De este modo, entenderemos como desigualdades de
este tipo el “mayor que” (>) o “menor que” (<).
Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no
se especifica si uno de los elementos es mayor/menor o igual. Por lo
tanto, estamos hablando de “menor o igual que” (≤), o bien “mayor o
igual que” (≥).
Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la desigualdad matemática
que es usualmente confundido con ella: las inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser incongruente o, simplemente, denotar que
no existe solución posible al enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser una desigualdad, pero, por otro
lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.
Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una inecuación porque no contiene
ninguna incógnita. Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos expresiones algebraicas
cuyos valores son distintos. No necesita contener una incógnita y si es así puede ser, a la vez, una inecuación.
8. El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en una recta
numérica . Por ejemplo, 4 y –4 tienen el mismo valor absoluto (4).
Así, el valor absoluto de un número positivo es justo el mismo número,
y el valor absoluto de un número negativo es su opuesto. El valor absoluto de 0 es
0.
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable dentro.
La desigualdad |x| <3 significa que la distancia entre x y 0 es menor que
4. Así, x-3 y x < 3. El conjunto solución es x 1-3 < x <3, x E R}
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (>)
La desigualdad [x] > 3 significa que la distancia entre x y 0 es
mayor que 4.
Así, x < −3 o x > 3. ΕΙ conjunto solución es {x I x < -3 o x > 3, x E R}
