코딩 더 매트릭스 11장 특수기저

1. 코딩 더 매트릭스
Ch11. 특수기저
아꿈사 김진성

2. 11 특수 기저 Intro
• 이 장은 우선 기저의 변경에 대해서 이야기를 시작하고 k-
스파스를 이용한 행렬 연산의 변환을 이야기 한다.
• k-스파스를 이용한 변환의 경우 큰 이미지나 동영상 등을
압축하면 그 시간이 다소 비현실적이다.
• 이 계산을 간략하게 해주는 역할로 특수 기저를 사용한다.
• 특수 기저로 다루는 내용은 크게 웨이브릿 변환과 푸리에
변환이다.

3. 11.1 가장 가까운
k-스파스 벡터
• Input : 벡터 b , 정수 k
• Output : b에 가장 가까운 k-스파스 벡터 b
• 이 계산은 compression by suppression이라는 프로시저
를 통해서 계산하여 압축할 수 있지만 결과는 알아보기 힘
듬.
~
423p. 이미지 424p. 이미지

4. 11.2 주어진 기저에 대한 표현이
k-스파스인 가장 가까운 벡터
• 앞과 같이 compression by supperssion에 의해 압축을
하게 되면 이미지를 알아보기 힘듬
• 이를 해결하기 위한 방법으로 주어진 기저로 된 표현이 스
파스인 가장 가까운 벡터를 구한다.

5. • 이제는 기저의 특수한 상황을 알아 보면 기저가
가 정규직교하는 경우에 대해서 알아본다.
• Q는 직교행렬이고 Q의 역행렬을 Q (Corollary 10.7.3에
의거)
Qx=b -> x=Q b
• 하지만 이 연산은 100만 화소의 경우나 동영상의 경우는 연산
을 해야 하는 양이 너무 많으므로 계산을 간략하게 하기 위하여
웨리브릿기저를 사용한다.
• 정규직교 기저의 장점 중에 norm(거리)를
보존한다.
• 그람-슈미트과정에 의해 정규직교 기저를
정의했다.
T
T
기저의 모든성분
벡터가 직교
직교기저
성분벡터의 norm = 1
정규직교기저

6. • 의 증명
결론

7. 11.3 웨이브릿(Wavelets)
• 정의 : 효율적으로 한정된 구간에서 지속되며 그 평균값이
0인 파동형태 (정규직교기저를 사용하여 계산)
이미지나 파형을 블록화하여 평균값으로 샘플링한다.
• 1차원 “이미지”

8. • Vn을 직합으로 분해(직교여공간을 고려)
• 웨이브릿 기저
의 투영
정리 :
나열화
투영연산
직교

9. • 투영연산을 통해 평균을 구하여 표현
에서 빼면
• 이 과정을 반복하여 최종적으로
을 구할 수 있다.
• V1에 대한 기저
-벡터의 제곱 norm

10. • 웨이브렛 변환의 핵심은 선형결합에 있고 그 베이스는 정
규직교 기저에 있다.
그래서 모든 연산의 표현은 선형결합으로 이루어져 있다.
• 첫단계의 계수 계산 과정

11. • 웨이브렛의 분해

12. • 웨이브릿 계수(계수의 차를 표현)
총 15개의 웨이브릿 계수

13. • 지금까지는 기저들을 표현하는데 norm의 값이 1이 아니기
때문에 정규직교 기저가 아니다
정규직교 기저가 되기 위해서는 norm의 값을 1로 만들어
야 하기 때문에 정규화계산을 하여 정규직교 기저로 만들
수 있다.
• 기존의 선형결합으로
여기서 벡터 에 벡터 의 스칼라 값을 나눠 주어 단위
벡터로 바꾸어 준다.

14. 11.4 다항식 평가와 인터
폴레이션
• 인터폴레이션의 정의 : 통계적 혹은 실험적으로 구해진 데
이터들(xi)로부터, 주어진 데이터를 만족하는 근사 함수
(f(x))를 구하고,
이 식을 이용하여 주어진 변수에 대한 함수 값을 구하는
일련의 과정을 의미
• 이고 이 모두 다를 경우,
이를 가역함수

15. 11.5 푸리에 변환(Fourier
transform)
• 정의 : 시간에 대한 함수 (혹은 신호) 를 함수를 구성하고
있는 주파수 성분으로 분해하는 작업
• 푸리에 변환의 직관적인 이해는 주기함수를 이루는 사인
파를 이용하여 각각의 주기함수들의 진폭과 주기, 강도등
을 중첩하여 하나의 파동으로 변환한다.
그림은 하나의 예
푸리에 변환 (그림출처: 위키피디아)

16. 11.6 이산 푸리에 변환
• 먼저 푸리에 급수의 각 항의 값을 이산적으로 풀어나 나열
하여 이해하기 위해서 n개의 스톱워치를 통해 설명
• 는 시간이 증가함에 따라 속도는 다르지만 반지름이
인 원을 따라 돈다.
• 일 때, 나열하여 주기가
n/k임을 확인할 수 있다.
• 기저 함수 샘플링
푸리에 계수

17. • 푸리에 역행렬은 푸리에 행렬과 모양이 비슷하여 행렬이
형태중에서 특수한 경우이다.
• 푸리에 역행렬의 핵심 :
• 패스트 푸리에 변환(FFT)
FFT 전제 조건 : n=2의 거듭제곱,
• FFT 알고리즘
1) 짝수번과 홀수번으로 나누어서 구성
2) 나눈 방정식을 다음과 같이 표현

18. 11.7 복소수의 필드에 대
한 내적
• 복소수 필드상의 벡터들의 내적
• 복소수 필드상의 자기자신과의 내적은 음이 아닌 실수다.
• 복소수 필드상의 norm

19. 11.8 순환행렬
• 순환행렬의 일반적인 형태
• 순환행렬과 푸리에 행렬의 곱은 계산의 양을 확줄여준다.
같은값
순서