2. Campus centre
Définition
Une poutre est sollicitée à la flexion pure si le seul élément de
réduction au centre de gravité de chaque section des forces de
cohésion est un moment perpendiculaire au plan de symétrie appelé
moment de flexion.
N=Ty=Tz=0 , Mt=0 , Mfy et/ou Mfz 0
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3. Etude des contraintes
Campus centre
M
M
Deux sections droites voisines tournent l’une par rapport à l’autre d’un
angle élémentaire autour de l’axe z, normal au plan de symétrie.
La déformation d’ensemble observée résulte de la composition de
toutes les rotations relatives de toutes les sections.
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4. Etude des contraintes
Campus centre
Si on soumet la section S à la flexion, elle tourne
Δα y
d’un angle autour de Gz. On appelle S’ la section
déformée et M’ représente la position de M après
déformation.
M0 M’ M
D’après la loi de Hooke, on a :
y
x
S0 S S’
Δx
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5. Etude des contraintes
O
Si on prolonge toutes les sections déformées, elles
concourent toutes en un point O, appelé centre de
courbure. La distance OG est appelée , rayon de courbure.
y
Détermination de l’axe neutre =0
La force normale élémentaire agissant sur chaque dS vaut :
M0
M’ M
y On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire :
G
x
S0 S S’ 5
x
6. Etude des contraintes
Campus centre
Relation entre contrainte et moment de flexion
On coupe la poutre en une section (S) et on exprime que la partie
isolée est en équilibre sous l’action des efforts extérieurs et des forces
de cohésion dans la section (S).
On sait que la force normale élémentaire vaut:
Le moment élémentaire s’écrit :
L’équilibre de la partie isolée s’écrit donc :
Ce qui donne :
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7. Etude des contraintes
Campus centre
y Remarques:
max
la distribution de la contrainte normale
dans une section est linéaire,
l’axe neutre ( =0) passe par le centre de
gravité des sections,
G la contrainte normale est maximale
x ( max) pour la fibre la plus éloignée de c.d.g.
ymax=h/2 dans le cas des sections
symétriques / Gz
max
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8. Etude des déformations
Campus centre
v représente la flèche de la poutre,
v’ représente la rotation de la section.
On a une équation différentielle donnant l’expression de v’’, pour
trouver la flèche v, il faut donc intégrer deux fois. On obtient donc
des constantes d’intégration. Pour connaître leurs valeurs, il faut
appliquer les conditions aux limites de la poutre étudiée.
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9. Dimensionnement
Campus centre
Condition de résistance
On limitera la valeur de la contrainte normale à une valeur notée Rpe
(résistance pratique à l’extension = contrainte normale admissible
adm) définie par :
On obtient ainsi l’inéquation suivante:
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10. Dimensionnement
Campus centre
Condition de déformation
On peut limiter la flèche maximale (vmax) à une valeur limite (vlim)
imposée par le type de construction ou les contraintes
technologiques.
On obtient ainsi l’inéquation suivante:
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