La compañía desea maximizar sus ingresos mensuales realizando auditorías y liquidaciones de impuestos. Para ello debe resolver un problema de programación lineal con restricciones en las horas de trabajo directo y de revisión disponibles, así como en el número máximo de liquidaciones. La solución óptima es realizar 100 liquidaciones que requieren 600 horas de trabajo directo, y 20 auditorías que requieren 220 horas de revisión, maximizando los ingresos en $10,500.

1. PROGRAMACIÓN LINEAL
Resolverlas siguientes Inecuaciones
2x+3y≥7
2x+3y=7
x y
0 2,3
3,5 0
2(0)+3(0)≥7
0≥7 FALSO
1.- 4x-8y<12
2.- 4x-8y=12
X
Y
3,5
2,3

2. x y
0 -1,5
3 0
4(0)+8(0)<12
0<12 VERDADERO
3.-
2𝑥 − 𝑦 > 0
2𝑥 = 𝑦
x y
0 0
1 2
X
Y
3
-1,5
𝑃(2,0)
2(2) − 0 > 0
4 > 0 → Verdadero

3. 4.-
{
4𝑥2
+ 4𝑦2
≥ 36
𝑥 + 5𝑦 < 7
{
4𝑥2
+ 4𝑦2
= 36
𝑥 + 𝑦 = 7
𝑥2
+ 𝑦2
= 9
𝑃(0,0)
4(0)2
+ 4(0)2
≥ 36
0 ≥ 36 → Falso
5.-
𝟒𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 < 12
𝟐𝒙 + 𝟑 > y
𝑥 + 5𝑦 = 7
x Y
0 7
5⁄
7 0
𝑃(0,0)
0 < 7

4. 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 = 12
𝑥2
3
𝑦2
4
= 1
X: √3 = 1,7
Y: √4 = 2
P(0,0)
4(02) + 3(02) <12
0 < 12 Verdadero
2x-y=-3
x y
0 3
-1,5 0
P(0,0)
2𝑥 − 𝑦 > -3
2(0)-(0) >-3
0>--3 Verdadero

5. 6. 3x2+y>6
2x2-y2<4
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)
(1) (2)
3(0)2+(0)>6 2(0)2-(0)2<4
0>6 0<4
FALSO VERDAD
GRÁFICO
(1) (2)
3x2+y=6
y=6-3x2
2x2-y2=4
𝑥 = ±√
4 + 𝑦2
2
x y x y
-3 -21 ±2.6 -3
-2 -6 ±2 -2
-1
0
1
2
3
3
6
3
-6
-21
±1.6
±1.4
±1.6
±2
±2.6
-1
0
1
2
3

6. 1.- Una Compañía de Auditores se especialista en preparar liquidaciones y auditorías de
pequeñas empresas. Tiene interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden
realizarse mensualmente para maximizar sus ingresos? Se dispone de 600 horas de trabajo
directo y 220 horas para revisión, además aporta un ingreso de $250, una liquidación de
impuestos requiere de 6 horas de trabajo directo y 4 de revisión producen un ingreso de
$90, una auditoría requiere de 30 horas de trabajo directo y 8 de revisión, aporta con un
ingreso de $250. El máximo de liquidaciones posibles es de 50.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN TRABAJO
DIRECTO
REVISIÓN INGRESOS MÁXIMO
LIQUIDACIONES 8 2 90 50
AUDITORÍAS 1 1 250
DISPONIBILIDAD 600 220
FUNCIÓN OBJETIVO.
Max. Z=90x+250y
RESTRICCIONES
(1) 6x+30y≤ 600
(2) 4x+8y≤ 200
(3) x≤50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) (2) (3)
6x+30y=600 4x+8y=200 x=50
x y x y
100 0 0 27,5
0 20 55 0

7. COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
6(0)+30(0)≤600 4(0)+8(0)≤ 200 0≤50
0≤600 0≤ 200
VERDAD VERDAD VERDAD
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
C.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Punto x y z
A 0 0 0
B 0 20 1050
C 25 15 6000
D 50 0 4500
(1) -24x-120y= -2400
(2) 24x+48y= 1200
y=15
x=25

8. Z= 1050
VALORES ÓPTIMOS
x= 3 y=2
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3
RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

9. 2.- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos
mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la fruta
en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas,
1 de plátanos y 2 de manzanas.
El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de plátano y 7 de manzanas
si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el mayorista B a 30
km. Determine cuantos contenedores habrá que comparar a cada mayorista con el objeto
de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN A B DISPONIBILIDAD
NARANJA 8 2 16
PLÁTANOS 1 1 5
MANZANAS 2 7 20
DISTANCIA 150 30
FUNCIÓN OBJETIVO.
Min. Z=150x+30y
RESTRICCIONES
(1) 8x+2y16
(2) x+y5
(3) 2x+7y20
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) 8x+2y=16 (2) x+y=5 (3) 2x+7y=20
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) 8(0)+2(0)16 (2) 0+05 (3) 2(0)+7(0)20
016 05 020
FALSO FALSO FALSO
x y
0 8
2 0
x y
0 5
5 0
x y
0 2,9
10 0

10. GRÁFICO
ARCO CONVEXO
B. C.
(2) -2A-2B= -10
(3) 2A+7B= 20
B=2
A=3
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 1050
VALORES ÓPTIMOS
x= 3 y=2
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3
RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
Punto x y z
A 10 0 1500
B 3 2 1050
C 1 4 1350
D 0 8 2400
(1) -8A-8B= -40
(2) 8A+2B= 10
B=4
A=1

11. 3.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
𝑍 =
5
2
𝑥 + 𝑦
SUJETO A
(1) 3𝑥 + 5𝑦 ≤ 15
(2) 5𝑥 + 2𝑦 ≤ 10
CONDICIONES TÉCNICAS
𝑥 ≥ 0 O 𝑗 = 1; 2
GRÁFICO
(1) (2)
3x+5y=15 5x+2y=10
x y
0 3
5 0
0 ≤ 15
x y
0 5
2 0
0 ≤ 10

12. ARCO CONVEXO
C.
RESPUESTA
Este problema tiene múltiples soluciones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z1= 5 Z2=5
VALORES ÓPTIMOS
x1= 20/19 y1=45/19; x2=2 y2=0
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS
Punto X Y Z
A 0 0 0
B 0 3 3
C
20
19
45
19
5
D 2 0 5
−15𝑥 − 25𝑦 = −75
15𝑥 + 6𝑦 = 30
𝑦 =
𝟒𝟓
𝟏𝟗
3𝑥 + 5 (
45
19
) = 15
𝑥 =
𝟐𝟎
𝟏𝟗

13. 4.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z= 2x+3y
SUJETO A
(1) x≤2
(2) y≥4
(3) 2x+y≥5
CONDICIÓN TÉCNICA
(4) x,y 0
SISTEMA DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
x≤2 y≥4 2x+y≥5
0≤2 04 05
VERDAD FALSO FALSO
(1) (2) (3)
x=2 y=4 2x+y=5 x y
0 5
5/2 0

14. GRÁFICO
ARCO
CONVEXO
PUNTOS x y z
A 2 4 16
B 1/2 4 13
C 0 5 15
B.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 16
VALORES ÓPTIMOS
x= 2 y=4
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
RESTRICCIONES INACTIVAS: 3
(3) -2x-y= -5
(2) y= 4
x=1/2
y=4

15. 5.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z= 2x+3y
RESTRICCIONES
(1) x≤2
(2) y≤3
(3) 2x+y≥18
RESTICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x+y≥0
SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
x≤2 y≤3 2x+y≥18
0≤2 0≤3 018
VERDAD VERDAD FALSO
GRÁFICO
RESPUESTA: El problema no tiene solución
x y
0 18
9 0
(1) (2) (3)
x=2 y=3 2x+y=18

16. 6.- Una compañía produce automóviles y camiones, cada vehículo tiene que pasar por un
taller de pintura y un taller de montaje de carrocería si el taller de pintura pinta solamente
camiones, se podría pintar 40 camiones al día y si pinta solo automóviles se podrían pintar
60 automóviles si el taller de carrocerías ensamblara solo camiones podría ensamblar 50
camiones al día y si ensamblaría solo automóviles podrían ensamblar 50
automóviles al día cada camión aporta $300 a la utilidad y cada automóvil $200.
Maximice la utilidad.
Pintura PENDIENTE
P1(0,40) 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
P2(60,0) 𝑚 =
40−0
0−60
𝒎 = −
𝟐
𝟑
Ensamblaje PENDIENTE ECUACIÓN DE LA RECTA
P(0,50) 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
y-y1=m(x-x1)
P(50,0) 𝑚 =
50−0
0−50
y-50=-1 (x)
𝒎 = −𝟏 x+y=50
FUNCIÓN OBEJTIVO
Z= 200x+ 300y
RESTRICCIONES
(1) 2x+3y ≤ 120
(2) x+y ≤ 50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(3) x,y0
ECUACIÓN DE LA RECTA
y-y1=m(x-x1)
y-40=-2/3 (x)
3y-120=-2x
2x+3y=120

17. SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)
(1) (2)
2(0)+3(0)≤120 (0)+(0)≤ 50
0≤120 0≤ 50
VERDAD VERDAD
GRÁFICO
(1) (2)
2x+3y=120 x+y=50
x y x y
60 0 0 50
0 40 50 0

18. ARCO CONVEXO
C.
RESPUESTA
El problema tiene múltiples soluciones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z1= 12000 Z2=12000
VALORES ÓPTIMOS
x1= 0 y1=40; x2=30 y2=20
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS
Punto x y z
A 0 0 0
B 0 40 12000
C 30 20 12000
D 50 0 10000
(1) -2x-3y= -120
(2) 2x+2y= 100
y=20
x=30

19. 7.- En una pastelería se hace 2 tipos de torta. Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita
¼ de relleno por cada Kg de bizcocho y produce un beneficio de $250. Una torta Real
necesita ½ kg de relleno por cada kg de Bizcocho y produce $400 de beneficio en la
pastelería e pueden hacer diariamente hasta 150kg de bizcocho y 50kg de relleno. Por
problemas de la maquina o se pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. Determine
cuantas tortas de cada tipo deben venderse al día para maximizar el beneficio.
FUNCIÓN OBJETIVO
MAX. Z= 250x + 400y
RESTRICCIONES
(1) x +y ≤ 150
(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50
(3) X ≤ 125
(4) y ≤ 125
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(5) x, y ≥ 0
SISTEMAS ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
(0)+(0)≤150 0,250(0)+0,500(0)≤ 50 0≤125 VERDAD
0≤150 0≤ 50 (4)
VERDAD VERDAD 0≤125 VERDAD
(1) (2) (3) (4)
x+y=150 0,250x+0,500y=50 x=125 y=125
X y x Y
150 0 0 100
0 150 200 0

20. GRÁFICO
ARCO CONVEXO
C.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 131200
VALORES ÓPTIMOS
x= 125 y=25
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
Punto x Y Z
A 0 0 0
B 0 100 40000
C 50 100 32500
D 125 25 131200
E 125 0 31250
(1) -0,250 x -0,250y ≤ -37,5
(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50
y=50
x=100

21. 8.- Una joyería elaboro 2 modelos de joyas el primer modelo es 5, 5,20 y el segundo
modelo es 5, 10,5, los números que se indican representan en porcentaje oro, plata, cobre
la joyería dispone de 10kg de oro, 180 de plata y 200 kg de cobre por cada tipo de modelo
5, 5, 10 se obtiene una utilidad de $18,50 y por el otro modelo una utilidad de $20,00
maximice la utilidad establezca restricciones activas e inactivas y verifica si hay holgura
o excedente.
FUNCIÓN OBJETIVO
Max Z= 8,50x + 20Y
SUJETO A
(1) 0,05X + 0,05y ≤ 110
(2) 0,05x + 0,10y ≤ 180
(3) 0,10x + 0,05y ≤ 200
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x, y ≥ 0
SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
0,05(0)+0,05(0)≤110 0,05(0)+0,10(0)≤ 180 0,10(0)+0,05(0)≤200
0≤110 0≤ 180 0≤200
VERDAD VERDAD VERDAD
(1) (2) (3)
0,05X + 0,05y = 110 0,05x + 0,10y =180 0,10x + 0,05y = 200
x y x y x y
2200 0 0 1800 0 4000
0 2200 3600 0 2000 0

22. GRÁFICO
C D
(1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1) (1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1)
(2) 0,05x + 0,10y= 180 (2) 0,10x + 0,05y= 200
- 0,05x - 0,05y = -110 0,05x - 0,05y = -110
0,05x+ 0,10y = 180 0,10x+ 0,05y = 200
0,05 y= 70 0,05 X = 90
Y= 1400 y= 1800
0,05x + 0,10 y = 180 0,10x + 0,05 y = 200
x= 800 x= 400
Z= 18,50(800) + 20(1400) Z= 18,50(1800) + 20(400)
Z= 42800 Z= 41300
Arco Convexo Solución Óptima
X Y Z Z= 42800
C 800 1400 42800 Valores Óptimos
D 1800 400 41300 x= 800
Y= 1400
Cálculode la Holgura para el oro
0,05x + 0,05y ≤ 110

23. 0,05(800) + 0,05(1400) + h1 ≤ 110
h1 ≤ 0 Disponibilid. Ocupados Holgura
Oro 110 110 0
Plata 180 180 0
Cálculode la Holgura para la plata Cobre 200 50 50
0,05x + 0,10y ≤ 180
0,05(800) + 0,10(1400) + h2 ≤ 180 Solución Óptima
h2 ≤ 0 Z= 42800
Valores Óptimos
x= 800
Cálculode la Holgura para el cobre Y= 1400
0,10x + 0,05y ≤ 200 h1= 0
0,10(800) + 0,05(1400) + h3 ≤ 200 h2= 0
h3 ≤ 50 h3= 50
Restricción Activa= 1,2
Restricción Inactiva= 3

24. 9. .- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos
mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la fruta
en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas,
1 de plátanos y 2 de manzanas.
El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de plátano y 7 de manzanas
si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el mayorista B a 30
km. Determine cuantos contenedores habrá que comparar a cada mayorista con el objeto
de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN A B DISPONIBILIDAD
NARANJA 8 2 16
PLÁTANOS 1 1 5
MANZANAS 2 7 20
DISTANCIA 150 30
FUNCIÓN OBJETIVO.
Min. Z=150x+30y
RESTRICCIONES
(1) 8x+2y16
(2) x+y5
(3) 2x+7y20
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(2) 8x+2y=16 (2) x+y=5 (3) 2x+7y=20
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(2) 8(0)+2(0)16 (2) 0+05 (3) 2(0)+7(0)20
016 05 020
FALSO FALSO FALSO
x y
0 8
2 0
x y
0 5
5 0
x y
0 2,9
10 0

25. GRÁFICO
ARCO CONVEXO
B. C.
(2) -2A-2B= -10
(3) 2A+7B= 20
B=2
A=3
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 1050
VALORES ÓPTIMOS
x= 3 y=2
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3
RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
Cálculode Excedente de Naranja
8x + 2y ≥ 16
8(5) + 2(2) - 16≥ E1
12≥ E1
Punto x y z
A 10 0 1500
B 3 2 1050
C 1 4 1350
D 0 8 2400
(1) -8A-8B= -40
(2) 8A+2B= 10
B=4
A=1

26. Cálculode Excedente de Plátano
x + y ≥ 5
(5) + (2) ≥ 5 + E2
E2 ≤ 0
Cálculode Excedente de Manzanas
2x + 7y ≥ 20
2(5) + 7(2) ≥ 20 + E3
E3 ≥ 0
PROBLEMA DUAL
P.PRIMAL
Max Z= 5X1 + 6X2
S.A.
(1) X1+9X2 ≤ 60
(2) 2X1+3X2≤ 45
(3) 5X1-2X2≤20
(4) X2 ≤ 30
X1,X2 0
VERDAD VERDAD VERDAD
(1) (2) (3)
X1+9X2=60 2X1+3X2=45 5X1- 2X2=20
X1 X2 X1 X2 A B
0 6,7 0 15 0 -10
60 0 22,5 0 4 0

27. GRÁFICO
Z = 67,56
6,36+9(5,96)+ h1 60 2 (6,36)+3(5,96)+ h2  45 5 (6,36)- 2(5,96)+ h3  20
h1 = 0 h2 = 14 h3 = 0
5,96+ h4  30
h4 ≤ 24
P.DUAL
MIN Z= 60Y1 + 45Y2 + 20Y3 + 30Y4
S.A.
(1) Y1+2Y2+5Y3 ≥ 5
(2) 9Y1+3Y2-2Y3≥ 6
(3) Y1,Y2,Y3,Y4 ≥0
(1) 5X1 – 2X2 = 20
(2) -5X1- 45X2= -300
X2= 5,96
X1= 6,36
(1) -9Y1 - 45Y3 = -45
(2) 9Y1 - 2Y3 = 6

28. Z = 60(
𝟒𝟎
𝟒𝟕
) + 20(
𝟑𝟗
𝟒𝟕
)
Z= 67,65
Y3 =
𝟑𝟗
𝟒𝟕
Y1 =
𝟒𝟎
𝟒𝟕